[数学]ch4-32幂级数ppt课件

1、第第4章章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数是研讨函数的工具无穷级数是研讨函数的工具表示函数表示函数研讨性质研讨性质数值计算数值计算数项级数数项级数幂级数幂级数付氏级数付氏级数函数项级数函数项级数第第4章章 无穷级数无穷级数第第1节节 常数项级数常数项级数第第2节节 函数项级数函数项级数第第3节节 幂级数幂级数第第4节节 Fourier级数级数讨论一类特殊常见的最简单的函数项级数讨论一类特殊常见的最简单的函数项级数幂级数幂级数研讨研讨: : (1)(1)幂级数的收敛问题幂级数的收敛问题; ;(2)(2)怎样将一个函数用幂级数表示问题。怎样将一个函数用幂级数表示问题。第第3 3节节 幂级

2、数幂级数第第3 3节节 幂级数幂级数3.1 幂级数及其收敛性幂级数及其收敛性3.2 幂级数的运算性质幂级数的运算性质3.3 函数展开为幂级数函数展开为幂级数3.4 幂级数的运用幂级数的运用00()( )(,)nnnaxxs xxR R 上上节节讨讨论论一一个个幂幂级级数数00( )() ,nnnf xaxx ：已已知知，将将其其表表示示成成幂幂级级数数问问题题的的提提出出问题问题:2.假设能展开假设能展开, 是什么是什么?na3.展开式能否独一展开式能否独一?1.在什么条件下函数才干展开成幂级数在什么条件下函数才干展开成幂级数?3.3 3.3 函数展开为幂级数函数展开为幂级数现现在在研研究究反

3、反过过来来的的问问题题。nnnxxaxf)()(00 能否存在幂级数在其收能否存在幂级数在其收敛域内以敛域内以f(x)为和函数为和函数知知f(x)即即定理定理 假设假设( )01() (0,1,2,)!nnafxnn000( )() ,nnnf xaxxxxR :事事实实上上 由由幂幂级级数数的的逐逐项项求求导导性性质质2112030022300( )10( )2 ()3 ()()( )2!3 2 ()(1)()( )!(1) (1)2()nnnnnnnfxaa xxa xxna xxfxaa xxn na xxfxn ann naxx 0,xx 将将代代入入得得( )0000102()()(

4、)(),2!nnfxfxaf xafxaan 展开式独一展开式独一0( )f xx x设设在在点点 = =任任意意阶阶可可导导. .nnnxnf 0)(!)0(称称为为)(xf在在点点0 x的的麦麦克克劳劳林林级级数数. .定义定义1 泰勒级数泰勒级数00 x 当当时时，问题问题泰勒级数在收敛域内能否收敛于泰勒级数在收敛域内能否收敛于f(x)? 不一定不一定.nnnxxnxfxf)(!)()(000)( ? 0, 00,)(21xxexfx例例如如( )0(0)( )!nnnff xxn 0 x ), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且在在x=0点恣意可导点恣意可导,( )0(0)(

5、 )0(,)!nnnfS xxxn 则则阶阶导导数数的的某某个个邻邻域域内内有有直直到到在在若若,1)(0 nxxf)()()1()()(!)()( )()(00)(000 xRxpxRxxnxfxxxfxfxfnnnnn ),()()!1()()(:010)1(之之间间在在其其中中xxxxnfxRnnn 复习泰勒公式复习泰勒公式-Lagrange余项余项定义定义000 ( ),-,f xx xxR xR 设设在在点点 = =任任意意阶阶可可导导 且且在在区区间间( () )内内可可以以表表示示成成它它的的泰泰勒勒级级数数，即即( )000()( )()!nnnfxf xxxxIn 00( )

6、-,f xxR xR 则称在()则称在()可展成能表达为它的泰可展成能表达为它的泰内内（）（）勒级数勒级数. .( )010000()( )()()()()!nnnfxsxf xfxxxxxn 证证)()()(1xSxfxRnn 1( )( )( )( )nnf xf xsxRx 的泰勒公式：的泰勒公式：00(,) ,xxR xR 显显然然，lim( )0nnRx1lim( )( )nnSxf x 00( )(,)f xCxR xR 证证10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收收敛敛在在 nnnxx, 0)!1

7、(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故),(00RxRxx 一致有界一致有界2、函数展开成幂级数、函数展开成幂级数(1).(1).直接法直接法( (泰勒级数法泰勒级数法) )步骤步骤:( )0()(1),!nnfxan 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或讨讨论论).(xf敛敛于于则则级级数数在在收收敛敛区区间间内内收收nN 00(,)xxR xR 00(,)xR xR 作出作出f (x)的的Taloy级数级数.求收敛半径求收敛半径R主要讨论主要讨论x0 =0的情形的情形!例例1.)(展展开开成成幂幂级级数数将将xexf ),(!1! 2112 xxnxxenx0

8、.5!nxnxen 例例证明证明见上讲见上讲11( 1)ln(1)nnnxxn )11( x由上讲例由上讲例42341( 1)2ln(1)34nnxxxxxnx )11( x例例1解解.)(展展开开成成幂幂级级数数将将xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 21120,l , l l 在在上上xnexf )()(le ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的恣意性的恣意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx隐藏例例2.sin)(的的幂幂级级数数展展开开成成将将xxxf 解解),2s

9、in()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )()(xfn且且)2sin( nx1 (,),xnN )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x)1 , 1( x2(1)(1)(1)(1)12!nxnxxxn 牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式留意留意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x1 ( 1,1); 收敛域为收敛域为10 ( 1,1; 收敛域为收敛域为0 1,1. 收敛域为收敛域为例例3推导见书上推导见书上P303例例3.)()1()(的的幂幂级

10、级数数展展开开成成将将xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R( 1,1) 收敛区间为收敛区间为隐藏若若内内在在,)1 , 1( (1)(1)!(1)ns xnxxn 1(1)(1)(1)(1()!nnxxns x 2(1)(1)(1)(1 !( )nnxxxnxs x (1)(1)(1)()(1)(1)(1)!nnnnnn 以下证明：以下证明：( )( )(1)s xf xx 将上面两式相加，并留意将上面两式相加，并留意xn

11、的系数，有的系数，有隐藏)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs . 1)0( s且且,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs -一阶微分方程一阶微分方程分别变量后，两边积分，分别变量后，两边积分，即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x隐藏)1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2牛顿二项式展开式牛顿二项式展开式留意留意: :.1的取值有关的取值有关处收敛性与处收敛性与在在 x1 ( 1,1); 收敛域为收敛域为10 ( 1,1; 收敛域为收

12、敛域为0 1,1. 收敛域为收敛域为隐藏且且展展开开式式是是唯唯一一的的。的的泰泰勒勒级级数数内内能能展展成成点点在在重重要要结结论论,0)(lim)(:000RxxxRxRxxxfnn nnxxnxfxxnxfxxxfxfxf)(!)()(!)()( )()(00)(200000 nnxnfxnfxfxfx)0(!)0()0(!)0()0)(0( )0()(0:)(20时时当当特特别别复习复习我们已得到以下关于我们已得到以下关于x的幂展开的方式：的幂展开的方式：),(!1! 2112 xxnxxenx)1 , 1( x2341( 1)2ln(1)34nnxxxxxnx 213511sin(

13、1)3!5!(21)!nnxxxxxn ),( x2(1)(1)(1)(1)12!nxnxxxn )11( x1x 在在端端点点处处的的收收敛敛性性由由 确确定定有有时时当当,21, 1 23111 3(23)!11( 1)22 42 4 6(2 )! 1,1nnnxxxxxn 23111 31 3 5(21)!1( 1)22 42 4 6(2 )!1 ( 1,1nnnxxxxnx 双阶乘双阶乘)1 , 1()1(11132 nnxxxxx0(21)!( 1)2!nnnnnxn (2).(2).间接法间接法根据独一性根据独一性, 利用常见展开式利用常见展开式, 经过变量代换经过变量代换, 四那

14、么运算四那么运算, 恒等变形恒等变形, 逐项求导逐项求导, 逐项积分等逐项积分等方法方法,求展开式求展开式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn经过逐项求导经过逐项求导用直接展开法用直接展开法1计算计算f (n)(x0)任务量大任务量大;.0)(lim2难难）证证明明（ xRnn性性用用到到幂幂级级数数展展开开的的唯唯一一20arctanarctan01xdxxx 213511arctan( 1)3521nnxxxxxn 1 , 1 x经过逐项积分经过逐项积分2462

15、211( 1)11nnxxxxxx 1x ，1111( 1).43521nn 见课本见课本P.305例例4处处展展开开成成泰泰勒勒级级数数在在将将141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并并求求的的幂幂级级数数展展开开成成 131)4(1xx 113(1,)3x )31()31(311 312 nxxx31 xxxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是,31n .3!)1()(nnnf 故故见课本见课本P.302例例3.63 3、幂级数的运用、幂级数的运用(1) 近似计算近似计算(2) 计算定积分计算定积分(3

16、) 求数项级数的和求数项级数的和(4) 欧拉公式欧拉公式(1)(1)、近似计算、近似计算,21 naaaA,21naaaA 12.nnnRaa误差误差两类问题两类问题: :1.给定项数给定项数,求近似值并估计精度求近似值并估计精度;2.给出精度给出精度,确定项数确定项数.关健关健: :经过估计余项经过估计余项,确定精度或项数确定精度或项数.常用方法常用方法:1.假设余项是交错级数假设余项是交错级数,那么可用余和的首项来处那么可用余和的首项来处理理;2.假设不是交错级数假设不是交错级数,那么放大余和中的各项那么放大余和中的各项,使使之成为等比级数或其它易求和的级数之成为等比级数或其它易求和的级数

17、,从而求出从而求出其和其和.见课本见课本P305例例3.8例例1 1.10,5 使其误差不超过使其误差不超过的近似值的近似值计算计算e解解,!1! 2112 nxxnxxe, 1 x令令,!1! 2111ne 得得余和余和:11(1)!(2)!nRnn)211()!1(1 nn)1(1111()!1(12 nnn!1nn 510,nR 欲欲使使,10!15 nn只只要要,10!5 nn即即,10322560!885 而而! 81! 31! 2111 e71828. 2 隐藏例例2 2.,9sin! 3sin03并并估估计计误误差差的的近近似似值值计计算算利利用用xxx 解解20sin9sin0

18、 ,)20(61203 521()5! 20R 5)2 . 0(1201 3000001 ,105 000646. 0157079. 09sin0 156433. 0 其误差不超越其误差不超越 .510 隐藏(2)(2)、计算定积分、计算定积分.,ln1,sin,2难难以以计计算算其其定定积积分分函函数数表表示示原原函函数数不不能能用用初初等等例例如如函函数数xxxex 解法解法逐项积分逐项积分展开成幂级数展开成幂级数定积分的近似值定积分的近似值被积函数被积函数见课本见课本P306例例3.9第四项第四项30001!771 ,104 取前三项作为积分的近似值取前三项作为积分的近似值,得得! 55

19、1! 3311sin10 dxxx9461. 0 例例3 3.10,sin410 精精确确到到的的近近似似值值计计算算dxxx 642!71! 51! 311sinxxxxx解解),( x !771! 551! 3311sin10dxxx收敛的交错级数收敛的交错级数隐藏(3)(3)、求数项级数的和、求数项级数的和1).1).利用级数和的定义求和利用级数和的定义求和: :(1)直接法直接法;(2)拆项法拆项法;2).2).阿贝尔法阿贝尔法( (构造幂级数法构造幂级数法):):,lim010nnnxnnxaa ,)(0nnnxaxs 求得求得).(lim10 xsaxnn (运用逐项积分、逐项求导

20、运用逐项积分、逐项求导)例例5 5.2121的的和和求求 nnn解解,212)(221 nnnxnxs令令)2, 2( 1022)212()(nxnndxxnxs 112)2(nnnx)2(1(12 nnxx)21(22 xxx)2(2 xx,)2(2222xx 22212lim(2)xxx 1lim ( )xs x, 3 . 32121 nnn故故隐藏的的和和求求数数项项级级数数 12)1(nnnn 1)1(nnxnn作幂级数作幂级数8)211(2122)1()21(31 nnnnS 111)()1()(nnnnxxxnnxS1)1(2)1()(3211 xxxxxxxxnn)1 , 1(,

21、 1, 1)1()2)(1(lim 收收敛敛区区间间Rnnnnn EX解解(4)(4)、欧拉公式、欧拉公式复数项级数复数项级数:1122()()()nnuivuivuiv .), 3 , 2 , 1(,为为实实常常数数或或实实函函数数其其中中 nvunn若若 1nnuu, 1nnvv,则则称称级级数数 1)(nnnivu收收敛敛, , 且且其其和和为为 ivu . .若若 2222222121nnvuvuvu收敛收敛, ,则则 1nnu, , 1nnv绝对收敛绝对收敛, ,称复数项级数绝对收敛称复数项级数绝对收敛. .复数项级数绝对收敛的概念复数项级数绝对收敛的概念三个根本展开式三个根本展开式

22、,! 212 nxxxenx,)!12()1(! 5! 3sin12153 nxxxxxnn,)!2()1(! 4! 21cos242 nxxxxnn)( x)( x)( x的幂级数展开式的幂级数展开式由由xe2111()()2!ixneixixixn 222131(1( 1)2!(2 )!1( 1)3!(21)!nnnnxxnxi xxn cossinxix xcosxsincossinixexix cos2sin2ixixixixeexeexi cossinixexix 又又 提示了三角函数和复变数指数函数之间的提示了三角函数和复变数指数函数之间的一种关系一种关系. .欧拉公式欧拉公式(cossin )x iyxeeyiy 练练 习习 题题2sin2x 1112xx3232( )1(1)f xxx 练习题答案练习题答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxnn； 4 4、)1 , 1(112 nnxn. .二、二、 )1(231x 022)21