龙贝格求积公式PPT学习教案

1、会计学1龙贝格求积公式龙贝格求积公式)()(2)(2)(41021112bfxfxfafnabTnjjnjjnhjahxxjj)21(2121其中102111)(24)()(2)(4njjnjjxfnabbfxfafnab1021)(221njjnxfhT10)21(221njnhjafnabT-(3)10)2)12(221njnnabjafnabT第1页/共12页2,2 , 110abhabhn时，则由(1)(2)(3)式,有)()(21bfafabT)21(22112hafabTT)0(0T)()0(21) 1 (1100hafhTT)(02kTTTkn记kn2若, 2 , 1 , 0k1

2、kjjhax112kkabh12121kjjhxx12)21(kabja12kabjakabja2)12(kkabh2第2页/共12页因此(1)(2)(3)式可化为如下递推公式)()(2bfafab)0(0T120001) 12() 1(21)(kjkkhjafhkTkT,2 , 1k(4)-上式称为递推的梯形公式 递推梯形公式加上一个控制精度,即可成为自动选取步长的复合梯形公式思考12001)2) 12(2) 1(21kjkkabjafabkT第3页/共12页二、外推加速公式由复合梯形公式的余项公式)(3141222nnnnnTTTITITInnTTI31342可得nnjjnTxfnabTI

3、31) )(221(341021由(3)式1021)(6)(431njjnxfnabT第4页/共12页12kn设)1(31)(3400kTkT102111)(6)(4 )(2)()(231njjnjjxfnabxfbfafnabI )(4)(2)()(6102111njjnjjxfxfbfafnabnS复合Simpson公式nnTTI31342令引入),1(1kT)1(1kT)1(31)(3400kTkTnS12kS-(5)-(6)第5页/共12页)(15122nnnSSSI因此由复合Simpson公式的余项可得nnSSI15115162)1(1kT12kS即)1(151)(151611kTk

4、TnS)(1kTnS2当然)1(2kT)1(151)(151611kTkT令nC自己证明-(6)nC-(7)第6页/共12页)1(2kT12kCnC-(8)即)(2kTnC2当然同样由复合Cotes公式的余项)(63122nnnCCCInnCCI63163642)1(631)(636422kTkT得)1(3kT令)1(631)(636422kTkT-(9)第7页/共12页)1(1kT)1(31)(3400kTkT)1(151)(151611kTkT)1(2kT)1(3kT)1(631)(636422kTkT)()(2bfafab)0(0T120001)2)12(2)1(21)(kjkkabja

5、fabkTkT,2 , 1k外推加速公式以上整个过程称为Romberg算法将上述结果综合后第8页/共12页)1()(4141)1(11kTkTkTmmmmm其中外推加速公式可简化为-(9)0(0T)1(0T)0(1T)2(0T)1(1T)0(2T)3(0T)2(1T)1(2T)0(3T,2 , 1mm可以推广到并且,2 , 1kRomberg算法的收敛阶高达m+1的两倍Romberg算法求解步骤Romberg算法的代数精度为m的两倍第9页/共12页龙贝格龙贝格积分积分 /* Romberg Integration */例：例：计算计算dxx 10142 已知对于已知对于 = 10 6 须将区间

6、对分须将区间对分 9 次，得到次，得到 T512 = 3.14159202由由 来计算来计算 I 效果是否好些？效果是否好些？nnnnTTTTI313414422 考察考察412 nnTITI483134TT = 3.141592502 = S4一般有：一般有：nnnSTT 1442nnnCSS 144222nnnRCC 144323Romberg 序列序列 Romberg 算法：算法： ? ? ? T1 =)0(0T T8 =)3(0T T4 =)2(0T T2 =)1(0T S1 =)0(1T R1 =)0(3T S2 =)1(1T C1 =)0(2T C2 =)1(2T S4 =)2(1

7、T第10页/共12页3 Romberg Integration 理查德森理查德森外推法外推法 /* Richardsons extrapolation */利用利用低低阶公式产生阶公式产生高高精度的结果。精度的结果。设对于某一设对于某一 h 0，有公式，有公式 T0(h) 近似计算某一未知值近似计算某一未知值 I。由。由Taylor展开得到：展开得到： T0(h) I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + i 与与 h 无关无关现将现将 h 对分，得：对分，得：( () )( () )( () ).)(3232222120 hhhhIT Q：如何将公式精度由如何将公式精度由 O(h) 提高到提高到 O(h2) ？.432112)()(23322020 hhIhTT