振动理论及应用

1、1振动理论及应用 返回首页Theoretical Mechanics第第20章章 振动振动20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动20.2 计算固有频率的能量法计算固有频率的能量法20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 20.4 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动Theoretical Mechanics第第20章章 振动振动 返回首页4 神州二号振动应用 航天工程5 神州二号振动应用 航空工程6 振动应用 车辆工程7 振动应用 土木工程8 振动应用 计算机工程910有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机器和仪有用的一面：利用振动现象的特征设计制造机器

2、和仪器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、振动给料机、器仪表，例：振动筛选机、振动打桩机、振动给料机、仓壁振动器、钟表计时仪器、振子示波器等。仓壁振动器、钟表计时仪器、振子示波器等。不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转，影响不利的一面：产生噪音、影响机器的正常运转，影响其安全性和可靠性、使机床的加工精度、精密仪器的其安全性和可靠性、使机床的加工精度、精密仪器的灵敏度下降、使机械设备的使用受命缩短，严重时引灵敏度下降、使机械设备的使用受命缩短，严重时引发机器的损坏引发事故发机器的损坏引发事故 。Theoretical Mechanics 返回首页第第20章章 振动振动Theoretical M

3、echanics 返回首页第第20章章 振动振动Theoretical Mechanics 返回首页第第20章章 振动振动Theoretical Mechanics 返回首页第第20章章 振动振动Theoretical Mechanics)sin(0eqeqtFkm 0 kyym 返回首页第第20章章 振动振动Theoretical Mechanics 返回首页第第20章章 振动振动 返回首页Theoretical Mechanics第第20章章 振动振动20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统

4、的自由振动单自由度系统单自由度系统的的典型的单自由度系统:弹簧-质量系统 梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，可视为集中质量。如不计梁的质量，则相当于一根无重弹簧，系统简化成弹簧-质量系统 返回首页Theoretical Mechanics20.1.1 自由振动方程自由振动方程 20.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率 20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数 20.1.4 扭转振动扭转振动 返回首页20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动20.1.1 自由振动方程自由

5、振动方程)(stxkmgxm 当物块偏离平衡位置为x距离时，物块的运动微分方程为 kxxm 02 xpxn 其中mkpn 取物块的静平衡位置为坐标原点O，x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时，由平衡条件，得到stkmg 无阻尼自由振动微分方程 弹簧的静变形固有圆频率 返回首页Theoretical Mechanics 返回首页20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动20.1.1 自由振动方程自由振动方程其通解为：tpCtpCxnnsincos2101xC tppxtpxxnnnsincos00npxC02其中其中C1和和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。为

6、积分常数，由物块运动的起始条件确定。设设t=0时，时， 可解可解00 xxxx ，Theoretical Mechanics)sin( tpAxn )(arctg)(002020 xxppxxAnn这种形式描述的物块振动，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。 无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动 初相位角 振 幅 返回首页20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动20.1.1 自由振动方程自由振动方程Theoretical Mechanics20.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率系统振动的周期kmpTn22 系统振动的频率mkpTfn221 系统振动的圆频

7、率为fpn2 返回首页20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动)sin( tpAxnTheoretical Mechanics用弹簧静变形量st表示固有圆频率的计算公式 物块静平衡位置时stkmg mkpn 固有圆频率stgpn stmgk 返回首页20.1.2 振幅、初相位和频率振幅、初相位和频率20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数0eqeqqkqm 0kxxm 加加的的力力或或力力矩矩。需需要要在在这这一一坐坐标标方方向向施施位位移移，广广义义坐坐标标方方向向产产生生单单位位等等

8、效效刚刚度度：使使系系统统在在eqk向向施施加加的的力力或或力力矩矩。度度，需需要要在在这这一一坐坐标标方方加加速速广广义义坐坐标标方方向向产产生生单单位位等等效效质质量量：使使系系统统在在eqm 返回首页20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics0eqeqqkqm 0qpqn tpCtpCqnncoscos21 tpAqnsin初始速度。初始广义坐标；振动的位相；振动的振幅；系统的固有频率；0000n2020eqeqarctanqqqqppqqAmkpnn 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由振动单自

9、由度系统的自由振动例 在图中，已知物块的质量为m，弹簧的弹簧刚度系数分别为k1、k2，分别求并联弹簧与串联弹簧直线振动系统的固有频率。 解：（1）并联情况。弹簧并联的特征是：二二弹簧变形相等。 振动过程中，物块始终作平行移动。处于平衡位置时，两根弹簧的静变形都是st，而弹性力分别是 st11kF st22kF 系统平衡方程是0 xFst2121)(kkFFmgTheoretical Mechanics 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics如果用一根弹簧刚度系数为k的弹簧来代替原来的两根弹簧

10、，使该弹簧的静变形与原来两根弹簧所产生的静变形相等，则 stkmg 21kkkst2121)(kkFFmgk称为并联弹簧的等效刚度系数。并联后的等效弹簧刚度系数是各并联弹簧刚度系数的算术和。系统的固有频率系统的固有频率mkkmkf212121 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics（2）串联情况。串联弹簧的特征是：二二弹簧受力相等。 当物块在静平衡位置时，它的静位移st等于每根弹簧的静变形之和，即 st = 1st + 2st 由于每根弹簧所受的拉力都等于重力mg，故它们的静变形分别为1st

11、1kmg2st2kmg如果用一根弹簧刚度系数为 k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics如果用一根弹簧刚度系数为k 的弹簧来代替原来的两根弹簧，此弹簧的静变形等于kmgst21111kkkkk kkk1212k称为串联弹簧的等效刚度系数1st1kmg2st2kmg串联后的弹簧刚度系数的倒数等于各串联弹簧刚度系数倒数的算术和)(21212121kkmkkmkf 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由

12、振动单自由度系统的自由振动CTheoretical Mechanics例 质量为m的物块悬挂如图所示。设杆AB的质量不计，两弹簧的弹簧刚度系数分别为k1和k2,又AC=a，AB=b，求物块的自由振动频率。 解：将各弹簧的刚度系数按静力等效的原则，折算到质量所在处。先将刚度系数k2换算至质量m所在处C的等效刚度系数k。设在C处作用一力F，按静力平衡的关系，相当B处作用力 ，222bkFabac 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动bFa由此力使弹簧k2产生的变形，而此变形使C点发生的变形为 Theoretical Mechanics

13、得到作用在C处而与k2弹簧等效的刚度系数 222abkFkc物块的自由振动频率为)(221221kbkamkkbmkpn 将其与弹簧k1串联，可得整个系统的等效刚度系数221222122212221kbkabkkabkkabkkk 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics例 一个质量为m的物块从 h 的高处自由落下，与一根抗弯刚度为EI、长为的简支梁作塑性碰撞，不计梁的质量，求该系统自由振动的频率、振幅和最大挠度。 解：当梁的质量可以略去不计时，梁可以用一根弹簧来代替，于是这个系统简化成弹簧质

14、量系统。如果知道系统的静变形dst，则求出系统的固有频率 st21gf 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics由材料力学可知，简支梁受集中载荷作用，其中点静挠度为EImgl483st求出系统的固有频率为34821mlEIf 中央受集中载荷的简支梁的等效弹簧刚度系数为348lEIk 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点O，建立坐标系，并以撞击时刻为零瞬时

15、，则t=0时，有st0 xghx20自由振动的振幅为st2st20202)(hpxxAn )9611 (48233stst2ststmaxmglEIhEImglhA梁的最大挠度 返回首页20.1.3 等效刚度系数等效刚度系数20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics20.1.4 扭转振动扭转振动内燃机的曲轴、轮船的传动轴等，在运转中常常产生扭转振动，简称扭振。 扭振系统称为扭摆。其中 OA 为一铅直圆轴，圆盘对中心轴 OA 的转动惯量为IO。在研究扭摆的运动规律时，假定圆轴的质量略去不计，圆盘的位置可由圆盘上任一根半径线和该线的静止位置之间

16、的夹角 来决定，称扭角。圆轴的抗扭刚度系数为kn，表示使圆盘产生单位扭角所需的力矩。根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程 返回首页20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretical Mechanics根据刚体转动微分方程建立该系统的运动微分方程nOkI 扭振的运动规律tpptpnnnsincos00 对于单自由度振动系统来说，尽管前述直线振动和当前扭振的结构形式和振动形式均不一样，但其振动规律、特征是完全相同的。 02 np OnnIkp 固有圆频率 返回首页20.1.4 扭转振动扭转振动20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动Theoretic

17、al Mechanics图 (a)所示为扭振系统两个轴并联的情况；图(b)为两轴串联的情况；图(c)则为进一步简化的等效系统。2121nnnnnkkkkk并联轴系的等效刚度系数21nnnkkk串联轴系的等效刚度系数 返回首页20.1.4 扭转振动扭转振动20.1 单自由度系统的自由振动单自由度系统的自由振动39 返回首页Theoretical Mechanics第第20章章 振动振动20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 Theoretical Mechanics20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 xcFc它与物体的形状、尺寸及介质的性质有关，单位是牛顿米/

18、秒(Ns/m)。 返回首页Theoretical Mechanics运动微分方程运动微分方程 图示为一有阻尼的弹簧-质量系统的简化模型。以静平衡位置O为坐标原点，选x轴铅直向下为正，有阻尼的自由振动微分方程 kxxcxm 022 xpxnxn mkpn 22ncm0222 npnrr 222221nnpnnrpnnr 返回首页20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 Theoretical Mechanics22npnnr 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响)ee(e222221tpntpnntnnCCx nrr21)(e21tCCxnt022 xpxnxn 运动微分方程运

19、动微分方程 222221nnpnnrpnnr 返回首页20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 Theoretical Mechanics临界情形是从衰减振动过渡到非周期运动的临界状态。这时系统的阻尼系数是表征运动规律在性质上发生变化的重要临界值。设cc为临界阻尼系数，由于z=n/pn =1，即kmmpnmcnc222 z 阻尼系数与临界阻尼系数的比值，是z 称为阻尼比的原因。 z nncpnmpnmcc22cc只取决于系统本身的质量与弹性常量。由 返回首页20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响Theoretical Me

20、chanicstntnCCx21-2-1ee1zznnppr npn zz1z1Otxnrr21)(e21tCCxnt 返回首页20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响Theoretical Mechanicsdnpprj z（npn） dndnpnnpnrpnnpnrjjjj222221。，221jnppnd )sincos(e21tpCtpCxddnt 其中C1和C2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。设t = 0时， 可解00 xxxx ，dpxnxC002 C1=x0 返回首页20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振

21、动 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响Theoretical Mechanics000220020tan)(nxxpxpnxxxAdd )sin(e tpAxdnt初相位角 振 幅阻尼振动振幅；ntAe 这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的这种情形下，自由振动不是等幅简谐振动，是按负指数衰减的衰减运动。衰减运动的频率为衰减运动。衰减运动的频率为 p d，衰减速度取决于衰减速度取决于 zp n，二者分二者分别为本征值的虚部和实部。别为本征值的虚部和实部。 返回首页20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响Theoret

22、ical Mechanics衰减振动:物块在平衡位置附近作具有振动性质的往复运动，但它的振幅不是常数，随时间的推延而衰减。有阻尼的自由振动视为准周期振动。 )sin(e tpAxdnt 返回首页20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 阻尼对自由振动的影响阻尼对自由振动的影响Theoretical Mechanics221)(1122z TpnppTndddT=2p/pn为无阻尼自由振动的周期。阻尼对周期的影响欠阻尼自由振动的周期Td ：物体由最大偏离位置起经过一次振动循环又到达另一最大偏离位置所经过的时间。由于阻尼的存在，使衰减振动的周期加大。通常z很小，阻尼对周期的影响不大。

23、例如，当z=0.05时，Td=1.00125T，周期Td仅增加了0.125%。当材料的阻尼比z1时，可近似认为有阻尼自由振动的周期与无阻尼自由振动的周期相等。 返回首页20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 Theoretical Mechanics设衰减振动经过一周期Td，在同方向的相邻两个振幅分别为Ai和Ai+1，即)(sine)sin(e)(1 didTtniidntiTtpAAtpAAdii两振幅之比为dnTiiAAe1称为振幅减缩率或减幅系数。如仍以z =0.05为例，算得 ,物体每振动一次，振幅就减少27%。由此可见 ，在欠阻尼情况下，周期的变化虽然微小，但振幅的衰

24、减却非常显著 ，它是按几何级数衰减的。 37. 1ednT 返回首页阻尼对周期的影响20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 Theoretical Mechanics20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 振幅减缩率的自然对数称为对数减缩率或对数减幅系数，以 表示dnTlnz2例 在欠阻尼（z 1）的系统中，在振幅衰减曲线的包络线上，已测得相隔N个周期的两点P、R的幅值之比xP/xR=r，如图所示，试确定此振动系统的阻尼比z。 返回首页Theoretical Mechanics20.3 单自由度系统的衰减振动单自由度系统的衰减振动 解：振动衰减曲线的包络线方程为

25、ntAxe设P、R两点在包络线上的幅值为xP、xR ，则有rdnNTRPxxe当z 21的区域的区域(高频区或惯性控制区高频区或惯性控制区)， ， ，响应与，响应与激励反相；阻尼影响也不大。激励反相；阻尼影响也不大。03、 1的附近区域的附近区域(共振区共振区)， 急剧增大并在急剧增大并在 1略为略为偏左偏左处有峰值。通常将处有峰值。通常将 1，即，即 pn 称为共振频率。称为共振频率。阻尼影响阻尼影响显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，显著且阻尼愈小，幅频响应曲线愈陡峭。在相频特性曲线图上，无论阻尼大小，无论阻尼大小， 1时，总有，时，总有， /2 ,这也是共振的重要这也

26、是共振的重要现象。现象。Theoretical Mechanics20.4 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动例例 题题 例例 质量为质量为M的电机安装在弹性基础上。的电机安装在弹性基础上。由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为由于转子不均衡，产生偏心，偏心距为 e，偏心质量为偏心质量为m。转子以匀角速。转子以匀角速 转动如图转动如图示，试求电机的运动。弹性基础的作用相示，试求电机的运动。弹性基础的作用相当于弹簧常量为当于弹簧常量为k的弹簧。设电机运动时的弹簧。设电机运动时受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为受到粘性欠阻尼的作用，阻尼系数为c。 解：取电机的平衡位置为坐标原点O，x轴铅直向下

27、为正。作用在电机上的力有重力Mg、弹性力F、阻尼力FR、虚加的惯性力FIe、FIr，受力图如图所示。 返回首页Theoretical Mechanics根据达朗贝尔原理，有0sin)(2sttmexMxkMgxc tmekxxcxMsin2 )sin(222 teMmxpxnxn ,22McnMkpn ，= h2eMm 返回首页20.4 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动例例 题题 Theoretical Mechanics电机作受迫振动的运动方程为)sin(tBx22222222224)1 (4)1 (zzbMmeB212arctgzbB222224)1 (zMmeb 当激振力的频

28、率即电机转子的角速度等于系统的固有频率pn时，该振动系统产生共振，此时电机的转速称为临界转速。 返回首页20.4 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动例例 题题 Theoretical Mechanics阻尼比z 较小时，在=1附近，值急剧增大，发生共振。由于激振力的幅值me2与2成正比。当0时，0，B0；当1时，1，Bb，即电机的角速度远远大于振动系统的固有频率时，该系统受迫振动的振幅趋近于 。 Mme 返回首页20.4 单自由度系统的受迫振动单自由度系统的受迫振动例例 题题 返回首页Theory of Vibration with Applications振动控制振动控制 返回首页Theory of Vibration with Applications20.5.1积极隔振20.5.2消极隔振 返回首页Theory of Vibration with Applications 回转机械、锻压机械等在运转时会产生较大的振动，影响其周围的环境；有些精密机械、精密仪器又往往需要防止周围环境对它的影响。这两种情形都需要实行振动隔离，简称隔振。 隔振可分为两类。一类是积极隔振，即用隔振器将振动着的机器与地基隔离开；另一类是消极隔振，即将需要保护的设备用隔振器与振动着的地基隔离开。 这里说的隔振器是由一根弹簧和一