数值分析(13)Hermite插值

1、数值分析数值分析数值分析数值分析n 假设函数假设函数y=f(x)是是 在在a,b上有一定光滑性的函数上有一定光滑性的函数, ,在在a,b 上有上有n+1个互异点个互异点xoxn, f(x)在这些点上取值在这些点上取值yo.yn. .求一个确定的函数求一个确定的函数p(x)在上面在上面n+1个点上满个点上满足足p(xi)=yi i=0,1,n.这是最简单的插值问题这是最简单的插值问题, ,如果除如果除了知道了知道f(x)在插值节点上的取值外在插值节点上的取值外, ,还知道还知道f(x)在插值在插值节点节点xi上的上的 1min阶导数，如何来构造插值函数呢阶导数，如何来构造插值函数呢? ? Her

2、miteHermite插值就是既满足插值节点插值就是既满足插值节点xi的函数值条件又的函数值条件又满足微商条件的插值函数。满足微商条件的插值函数。 第四节第四节 带导数条件的带导数条件的HermiteHermite插值插值数值分析数值分析数值分析数值分析 Hermite插值也叫带指定微商值的插值插值也叫带指定微商值的插值,它要构造一个插值函数它要构造一个插值函数,不但在给定节点上取不但在给定节点上取函数值函数值,而且取已知微商值，使插值函数和被而且取已知微商值，使插值函数和被插函数的密和程度更好插函数的密和程度更好 。数值分析数值分析数值分析数值分析01012()000()111()( )1,

3、(),(),()(),(),()(),(),()(0,1,2, )nnmmmnnniHf xnxxxxf xfxfxf xermfxfxf xfxitfxm ine 插插值值的的一一般般提提法法如如下下给给出出函函数数在在个个互互异异节节点点上上的的函函数数值值及及若若干干导导数数值值，设设插插值值节节点点为为。给给出出其其中中是是：正正整整数数。111niiNnmNH x 以以上上总总共共有有个个插插值值条条件件，要要求求构构造造不不低低于于次次插插值值函函数数 （ ）满满足足以以上上插插值值条条件件。数值分析数值分析数值分析数值分析001 02110 110140H xxHHxHHH 求求

4、一一个个四四次次插插值值多多项项式式（ ），使使 时时， （ ）， （ ）； 时时， （）， （）， （）例例012121211,()()(0,1,2, )21( )()0 1 2()niiiinniiniiHermitenxxxyf xyfxinnHxHxyinHxy 插插值值中中，最最基基本本而而重重要要的的情情形形是是只只要要求求一一阶阶导导数数的的条条件件。给给出出个个互互异异节节点点上上的的函函数数值值和和导导数数值值和和构构造造不不低低于于次次插插值值多多项项式式，要要求求满满足足插插值值条条件件， ， ，数值分析数值分析数值分析数值分析Hermite插值多项式的构造插值多项式的构

5、造2122121210.(.)1nnnnnHxaxaxa xa 设设由由待待定定系系数数法法插插值值条条件件012212222,.,.nnnna aaa 共共个个方方程程，可可求求出出个个系系数数niyxHyxHiiniin，210)()(1212 数值分析数值分析数值分析数值分析Hermite插值多项式的构造插值多项式的构造2121()0 1 2()niiniiHxyinHxy 使使其其满满足足插插值值条条件件， ， ，2100( )( )() 2)nniniiiiiHxh x yhLagrangex y 型型插插设设HermiteHermite插插值值多多项项式式为为值值基基函函数数法法数

6、值分析数值分析数值分析数值分析(1)()211(2)()0 ()0(0 1 2)()iiijijijhhxnijhxijhxxijn 应应是是次次多多项项式式；， ，足足条条件件：，应应满满(1)()211(2) ()0()0(0 1 2()iijijijihxnijhxijhxijnhx 应应是是次次多多项项式式；， ，足足条条件件，满满，应应：21002100()()() () () () nninjijijijiinnnjijiijijiiHxh xyh xyyHxhxyhxyy 数值分析数值分析数值分析数值分析( )(1) ( )2111(2) ().( )(00 ()0(0 1 2,

7、1,2, )iiiijijijh xh xnhijh xijhxinjnx i 应应满满足足条条件件：应应是是次次多多项项式式；， ， ， ，构构造造0()2( )()( )()( )njijijj iiixxLagrangel xxxh xaxb lx 利利用用插插值值基基函函数数设设22()() ()1()()2() () ()0iiiiiiiiiiiiiih xaxb lxhxalxaxb lx l x 由由条条件件(2)(2)可可列列出出方方程程组组数值分析数值分析数值分析数值分析()1,1,2 ()0iiiiil xaxbal x 200()()( )(12() ()()(0,1,2

8、,)1( )(),()()iiiiiinnjiiijjijijj ij ih xxx l xlxinxxl xlxxxxx 所所以以其其中中2 ()12()iii iial xbx l x 解解出出22()() ()1()()2() () ()0iiiiiiiiiiiiiih xaxb lxhxalxaxb lx l x 由由条条件件(2)(2)可可列列出出方方程程组组数值分析数值分析数值分析数值分析( )(1)2.( )211(2) ()0()0(0 1 2( ),(0),1,2, )iiijijiijh xh xnijhxh xinijh xijn 应应满满足足条条件件：应应是是次次多多项

9、项式式；， ， ， ，构构造造2( )()( )iih xcxd lx设设22()() ()0 ()()2() () ()1iiiiiiiiiiiiiih xcxd lxhxclxcxd lx l x 由条件(2)可列出方程组由条件(2)可列出方程组数值分析数值分析数值分析数值分析2120( )( )( )(12() ()() ( )iinniiiiiiiih xh xHxxx lxyxxy lx 代代入入和和经经整整理理得得到到2()1,0,11( )() ( )iiiiiiil xcxdccdxh xxx lx 解解出出于于是是求求出出22()() ()0 ()()2() () ()1ii

10、iiiiiiiiiiiih xcxd lxhxclxcxd lx l x 由条件(2)可列出方程组由条件(2)可列出方程组数值分析数值分析数值分析数值分析Hermite插插值值误误差差分分析析(22)22121001( ) , ,221( )( )( )( )()(22)!,nnnniinf xC a ba bnnHermitefRxf xHxxxnxxx 设设，且且在在（）上上存存在在次次导导数数，对对于于个个互互异异节节点点上上的的插插值值函函数数，有有如如下下误误差差估估计计式式其其中中 是是介介于于中中最最小小数数和和定定理理最最大大数数之之间间。21012222101( )1,( )

11、() ()()( )nnnnRxnxxxRxK xxxxxxxtF t 因因有有个个零零点点，故故设设（ ）构构造造以以 为为参参变变量量的的辅辅助助函函数数证证明明：数值分析数值分析数值分析数值分析2210( )( )( )( )()nniiF tf tHtK xtx 2221222210( )(22)!( )( )( )()(22)!nnnnniifK xnRxfRxxxn （）（）由由此此求求出出 （ ）代代入入的的表表达达式式即即得得到到12222( )2( )22(),( )( )0( )(22)!0nnnF ttnxxxxF ttnRollea bFfK xn 0 0（）（）（）（

12、）关于 有个零点： ， ， ， ， 。关于 有个零点： ， ， ， ， 。但关于 有个零点，由罗尔 定理但关于 有个零点，由罗尔 定理必存在点（），使必存在点（），使数值分析数值分析数值分析数值分析12121233331122112232111112,1,21,2( )( )( ) ( ) ( )12( )1iiiixxyyyyHermiteHxHxyiHxyiHxh x yh x yh x yh x yHermiteHxh xxxl xlxh x 在在节节点点 和和上上已已知知和和。试试构构造造两两点点三三次次插插值值多多项项式式 （ ）满满足足条条件件（ ）（ ）（ ）由由插插值值基基函函

13、数数的的一一般般形形式式，用用于于两两点点三三次次 （ ）上上，有有（）（ ） （ ）解解（例例：22222211122222( )( )xxlxlxh xxxlxh xxxlx （）（ ） （ ）（） （ ）（） （ ）211121212221211( )( )1( )( )xxlxlxxxxxxxlxlxxxxx 其其中中，数值分析数值分析数值分析数值分析2212211121121222211222122121( )1 2( )( )1 2( )xxxxxxh xh xxxxxxxxxxxxxxxh xh xxxxxxxxx 代代入入后后得得到到（）（） ，（）（）（）（） ，（）（）12

14、121222314211( )max( )max()4!1max( )4! 2ixx xxx xixx xRxfxxhfhxx （4 4）（4 4）其其中中2231( )( )()4!iifRxxx （4 4）数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析数值分析Hermite不不完完全全导导数数条条件件的的插插值值444444( ),(0)0,(1)1,(2)1,(0)0,(1)1,HermiteHxHHHHH 试试构构造造一一个个不不高高于于4 4例例：次次的的插插值值多多项项式式使使其其满满足足条条件件401400112201( ),( )( )( )( )( )( )HxHx

15、h x yh x yh x yhx yh x y 用用L La ag gr ra an ng ge e插插值值基基函函数数法法构构造造设设解解：0014112210( )( )( )( )yyHxh x yh x yh x y数值分析数值分析数值分析数值分析,01400112201( )( )( )( )( )( )Hxh x yh x yh x yhx yh x y0100102000()1,()0,()0,()0,()0h xh xh xhxh x0101112111()0,()1,()0,()0,()0h xh xh xhxh x0102122222()0,()0,()1,()0,()0

16、h xh xh xhxh x,01400112201( )( )( )( )( )( )Hxh x yh x yh x yhx yh x y,0100102000()0,()0,()0,()1,()0h xh xh xhxh x,0101112111()0,()0,()0,()0,()1h xh xh xhxh x数值分析数值分析数值分析数值分析11(0)(2)( )( )(0)()(0)()(10)(12)xxh xlxxaxbxaxb设设111(1)1,(1)020abhhab 由由得得1,2ab 221( )(2)h xxx2222(0)(1)( )( )()(20)(21)xxh xl

17、x设设111111(0)0,(1)1,(2(1)0,(0)(0,(1)0),h xhhhhh为为四四次次多多项项式式 且且满满足足222222(0)0,(1)0,(2(2)1,(0)(0,(1)0),h xhhhhh为为四四次次多多项项式式 且且满满足足222221(2)1,(2)11,( )(1)4hlh xxx 由由得得数值分析数值分析数值分析数值分析,111111(0)0,(1)0,(2(3)0,(0)(0,(1)1),h xhhhhh为为四四次次多多项项式式 且且满满足足21( )(0) (1)(2)h xxxx 设设,211(1)11( )(1)(2)hhxxxx 由由得得，,141

18、12212222222( )( )( )( )1(2)(1)(1)(2)41(3)4Hxh x yh x yh x yxxxxxxxxx(5)224( )( )(1) (2)5!fR xxxx 误误差差余余项项数值分析数值分析数值分析数值分析Hermite用用重重节节点点差差商商构构造造插插值值。001 02110 110(1)40.H xxHHxHHH 求求一一个个四四次次插插值值多多项项例例式式 （ ），使使时时， （ ），（ ）；时时， （ ），（ ），并并写写出出插插值值余余项项的的表表达达式式。011( )0111( )lim, !kkkxxxxkfxf xxxf xxxxk ， ，

19、 ， ，011xxx 由由于于在在处处有有一一阶阶导导数数值值的的插插值值条条件件，所所以以它它是是“二二重重节节点点”；而而在在处处有有直直到到二二阶阶导导数数值值的的插插值值条条件件，所所以以是是“三三重重节节点点”。因因此此，利利用用重重节节点点差差商商公公式式可可以以作作出出下下解解：列列差差商商表表。数值分析数值分析数值分析数值分析xiyi一阶差商一阶差商 二阶差商二阶差商 三阶差商三阶差商 四阶差商四阶差商0 0-1-10 0-1-1-2-21 10 01 13 31 10 0101096 61 10 0101040/2！=2011115 52222(5)231236(1)5(1)1( )( )(1) 01,5!( )NewtonH xxxxxxxR xfxxf x 根根据据插插值值公公式式，插