高等数学教学课件：3-4 函数的单调性与极值

1、3.4.1函数的单调性与极值函数的单调性与极值 xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)( xf定理定理1.,)(0)(),(,)(0)(),(.),(,)(上单调减少上单调减少在在那末函数那末函数，内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在导导内可内可上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy abBA3.4 函数的单调性与极值函数的单调性与极值 证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf , 012 xx, 0)(

2、),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在, 0)( f则则).()(12xfxf .,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 例例1 1解解.1的单调性的单调性讨论函数讨论函数 xeyx. 1 xey,)0 ,(内内在在 , 0 y函数单调减少；函数单调减少；,), 0(内内在在, 0 y.函函数数单单调调增增加加).,(: D又又例例2 2解解.)(32的的单单调调性性确确定定函函数数xxf ).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，

3、时，当当0 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在), 0 时，时，当当 x0, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在0 ,(单调区间为单调区间为，0 ,( )., 0 32xy 例例3 3解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121 xx时，时，当当1 x, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在1 ,(时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在2 , 1 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加；上单调增加；在在),

4、2单调区间为单调区间为，1 ,(，2 , 1)., 2.exy.-x的单调区间的单调区间确定函数确定函数例例 432 解：函数的定义域为解：函数的定义域为),( )32(3xxeyx 内单调减少；内单调减少；，函数在（函数在（当当 00:,0)( yx032 x,x导数不存在的点：导数不存在的点：导数等于零的点：导数等于零的点：内单调增加；内单调增加；，函数在函数在当当3200:)32, 0( yx调减少；调减少；）单）单，函数在函数在，当当 320:)32( yx），单调区间为（单调区间为（ 323200例例5 5证证.! 3sin,03成立成立试证试证时时当当xxxx ,! 3sin)(3

5、xxxxf 设设,21cos)(2xxxf 则则0sin)( xxxf上单调增加；上单调增加；在在), 0)( xf, 0)0( f时，时，当当0 x, 0)( xf.! 3sin, 0)(3xxxxf 即即注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,3xy , 00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在,), 0)(上单调增加上单调增加在在xf, 0)0( f.x,xxex)10( 11 62 ：证明不等式：证明不等式例例(*) 0)1()(1 2 xexx变形为变形为原不等式原不等式)1()(1)( 2xexxfx 设设1)2(1

6、)( 2 xexxf内单调减少内单调减少在在0,1)( xf (0,1)0,)0()( xfxf单调减少单调减少时，时，当当)(0,1 xfx 0(0)(0,1) fxfx时，时，当当即（即（*）式成立。）式成立。证明证明 04)( 2xxexf有且只有一个实根。有且只有一个实根。：证明方程：证明方程例例 0arctan47 xx xxxfarctan4)( 设设1)1( ,4)0( ff 至至少少有有一一个个零零点点函函数数)(xf至多有一个零点至多有一个零点)( xf单调增加单调增加)(xf证明证明 0111)(2xxf又又由连续函数的零点存在定理知：由连续函数的零点存在定理知：有且只有一

7、个实根。有且只有一个实根。0)( xf(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值. . (2)(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值. . (3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时, , )(xf 符号相同符号相同, ,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值. . 定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )例例8 8解解.593)(23的极值的极值求

8、出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)( xf. 3, 121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,( ), 3( )3 , 1( 1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1( f极大值极大值,10 )3)(1(3 xx例例9 9解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x; 0)( xf时，时，当当2 x. 0)( xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff .)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf例例1010.010

9、)(2的极值的极值求出函数求出函数 xxxxxfx)ln1(2)(02xxxfxx 时，时，.)(,0可可能能不不存存在在时时当当xfx ,1 ex得驻点得驻点无驻点，无驻点，时，时，, 1)(0 xfx, 01 exx有两个可疑点：有两个可疑点：是是极极小小值值的的极极大大值值，为为经经判判断断知知，)()(1)0(1 efxff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf例例1111呢？呢？若若的极值点的极值点是不是是不是问问有有设设0)(, 0)()()(?)(, 0)(, 0)()()(0)4(0000000 axfxfxfxfxfxaxfxfxfxf)()(! 3)()()(30300

10、0 xxoxxxfxfxf 的极值点。的极值点。不是不是)(0 xfx)()(! 4)()()(40400)4(0 xxoxxxfxfxf 的极值点。的极值点。是是)(0 xfx 设设)(xf在在0 x处处具具有有二二阶阶导导数数, ,且且0)(0 xf, , 0)(0 xf, , 那那末末( (1 1) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值; ;( (2 2) )当当0)(0 xf时时, , 函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极小小值值. .定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证0000)()(lim)(xxxfxfxfx ,

11、0 异号，异号，与与故故00)()(xxxfxf 时时，当当0 xx )()(0 xfxf 有有, 0 , 0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值时时，当当0 xx )()(0 xfxf 有有.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在上连续，则上连续，则在在若函数若函数baxfbaxf3.4.2 最大值、最小值问题最大值、最小值问题步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是

12、最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)例例1212解解,3235)(3132 xxxf.21, 1)1(32上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxy得得解方程解方程, 0)( xf，不可导的点不可导的点)(0,521 xx计算计算 )1(f; 2 )0(f; 0 )52(f;3257. 0 .3150 )21(f例例5。，（，（证明：证明：)20032ln42 xxxxx证明证明:单单调调增增加加。)(xf , 0)1()(,1 fxfx时时当当0)1()2, 0()(

13、fxf上上的的最最小小值值在在区区间间即即证证毕毕。, 0)( xf32ln4)(2 xxxxxf设设22ln4)( xxxf0)2(224)( xxxxf1 x得得驻驻点点, 0)1()(,1 fxfx时时当当例例6. 5:3.100km20km路路运运费费之之比比为为每每千千米米的的铁铁路路运运费费与与公公处处所所需需运运费费最最省省？已已知知运运货货到到工工厂厂在在何何处处才才能能从从原原料料站站应应选选问问处处向向工工厂厂修修一一条条公公路路，修修建建一一车车站站，再再由由车车站站中中间间某某处处现现要要在在铁铁路路处处有有一一原原料料供供应应站站为为距距离离，铁铁路路线线上上，垂垂足

14、足为为到到铁铁路路线线的的垂垂直直距距离离为为设设工工厂厂ACDDDBCCBBA于于是是总总运运费费为为则则铁铁路路运运费费为为设设公公路路运运费费则则解解：设设,53,100,400,2aaxCDxADxBD .1000),100(534002 xxaxay处处。应应修修建建在在离离所所以以车车站站kmAD15,15, 053400)(2 xaxaxxf得得由由BCDA三、小结三、小结单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区间，定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立结论仍然成立.应用：利用函数的单调性

15、可以确定某些方应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式程实根的个数和证明不等式.思考题思考题 若若0)0( f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0, 00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)( xxxxxf )212(1kx当当 时，时，0)212(41)( kxf kx21当当 时，时，01)( xf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内， 都不单调递增都不单

16、调递增k00 x)(xf作业作业习题习题3.41(1, 4), 2(2, 3, 4), 3(2, 4), 4(2) , 8, 10.一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数7186223 xxxy单调区间为单调区间为_ _. _.2 2、 函数函数212xxy 在区间在区间 -1,1-1,1上单调上单调_， 在在_上单调减上单调减. .3 3、函数、函数22ln xxy 的单调区间为的单调区间为_， 单减区间为单减区间为_._.二二、 确确定定下下列列函函数数的的单单调调区区间间：1 1、 xxxy6941023 ；2 2、 32)(2(xaaxy ( (0 a) )；3 3、 xxy2s

17、in . .练练 习习 题题三、三、 证明下列不等式：证明下列不等式：1 1、 当当0 x时，时，221)1ln(1xxxx ；2 2、 当当4 x时，时，22xx ；3 3、 若若0 x，则，则361sinxxx . .四、四、 方程方程)0(ln aaxx有几个实根有几个实根. .五、五、 设设)(xf在在 ba, 上连续，在上连续，在( (ba,) )内内)(xf , ,试证试证 明：对于明：对于 ba, 上任意两上任意两1x，2x有有 2)()()2(2121xfxfxxf 提示：方法提示：方法（1 1） 0)( xf，)(xf 单增；方法单增；方法（2 2）0)( xf， 利用泰勒公式利用泰勒公式 一、一、1 1、), 3,1,( 单调增加单调增加, ,3 , 1 单调减少；单调减少；2 2、增加、增加, ,), 1 ,1,( 3 3、1,( , ,), 1 ；1 , 0(,1,(;1 , 0(),0 , 1