第二章 复变函数的积分

1、一億美元的太空照片一億美元的太空照片 这次只批改这次只批改1班的同学，班的同学，2班同学的班同学的作业只写作业只写 “查查”、“阅阅”。第二次反过来。第二次反过来。依次类推。依次类推。 请在作业本上务必写上班级、学号！请在作业本上务必写上班级、学号！ 未交作业的同学学号：未交作业的同学学号：物理学物理学1班为班为5、6、40物理学物理学2班为班为9、11、45 复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关复变函数积分理论是复变函数的核心内容，关于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更于复变函数的许多结论都是通过积分来讨论的，更重要的是我们要讨论解析函数积分的性质，并给出重要的是我们要讨论解析函

2、数积分的性质，并给出解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数积分的基本定理与基本公式，这些性质是解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导解析函数理论的基础，我们还将得到解析函数的导数仍然是解析函数这个重要的结论。数仍然是解析函数这个重要的结论。解析函数解析函数?路积分路积分 路积分的概念和性质路积分的概念和性质实变函数复变函数定义性质iniixbaxxfdxxfi10)()(liminiizCzzfdzzfi10)()(limbabadxxfcdxxcf)()(CCdzzfcdzzcf)()(bababagdxfdxdxgfCCCgdzfdzdzgfabbadxxfdxxf)(

3、)(CCdzzfdzzf)()(dxfdxfdxfbabccadzfdzfdzfCCCC2121记住记住记住记住?提问提问路积分路积分 路积分的计算路积分的计算 思路思路 化复数为实数化复数为实数 公式公式I C f(z) dz = C(u +iv)(dx +idy) = C(udx-vdy)+iC(udy+vdx) 公式公式II C f(z) dz = C(u +iv)(eidr +i r eid) = C ei(udr-vrd)+i(urd+vdr)典型应用实例典型应用实例例3.2.2 （非闭合环路积分中的换元积分法） 计算积分计算积分 1idzzz212zz12122ii11d|1(i)

4、 122z zz【解法【解法1】 在整个复平面上解析，且在整个复平面上解析，且运用复积分的牛顿莱布尼兹公复积分的牛顿莱布尼兹公式式有2tziz1t 1z 1t 12111ii111dd()d( )1 ( 1) 12222zttz z 【解法解法2】换元积分法 令，则当，有，有；当；当，有，有所以所以 例3.2.4 计算积分因而积分与路径无关，可用分部积分法得因而积分与路径无关，可用分部积分法得i0sin dzz zsinzzii00ii00sin dd( cos ) ( cos )( cos )dzz zzzzzz z ii1icosi sinii(cosi isini)iiee【解】【解】

5、由于由于 在复平面内处处解析，在复平面内处处解析，附：希腊字母读音表及意义附：希腊字母读音表及意义 大写大写小写小写英文读英文读音音国际音国际音标标意义意义alpha/alfa/角度，系数角度，系数beta/beit/磁通系数，角度，磁通系数，角度，系数系数gamma/gm/电导系数，角度电导系数，角度delta/delt/变动，密度，屈光变动，密度，屈光度度epsilon/epsilon/对数之基数对数之基数zeta/zi:t/系数，方位角，阻系数，方位角，阻抗，相对粘度抗，相对粘度eta/i:t/迟滞系数，效率迟滞系数，效率theta/i:t/温度，角度温度，角度 iota/aioute/

6、微小，一点微小，一点kappa/kp/介质常数介质常数lambda/lmd/波长，体积波长，体积mu/mju:/磁导系数，微，动磁导系数，微，动摩擦系数，流体粘摩擦系数，流体粘度度 例例 计算计算 ，其中，其中C为从原点为从原点到点到点3+4i的直线段的直线段 dCzz 【解】【解】 直线的方程可写成直线的方程可写成 或或 于是于是 又因又因 由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实由高等数学理论，其复积分的实部、虚部满足实积分与路径无关的条件，所以积分与路径无关的条件，所以 的值不论的值不论 是怎是怎样的曲线都等于样的曲线都等于 ，这说明有些函数的积分值，这说明有些函数的积分值与积分路径无

7、关与积分路径无关3 ,4 , 01xt ytt () 3 i4, 01z tttt 11222001d(3 4i) d(3 4i)d(3 4i)2Cz zt tt td(i )(did )ddiddCCCCz zxyxyx x y yy x x ydCz zC21(3 4i)2计算计算作业（必做）dzixyxi102)(积分路径是直线段积分路径是直线段计算计算dzixyxi102)(积分路径是直线段积分路径是直线段)1 (31i精美图苑精美图苑：吳哥：吳哥(柬埔寨古都柬埔寨古都) 记住记住 0z RC R 图 3.10 L 单连通区域与多连通区域单连通区域与多连通区域设设B为复平面上的一个区域

8、，如果在其中作一条为复平面上的一个区域，如果在其中作一条简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲简单的闭曲线（自身不相交的闭合曲线），而曲线内部总属于线内部总属于B ，则称，则称B为单连通区域，否则称为单连通区域，否则称为多连通区域。为多连通区域。BB单连通域单连通域多连通域多连通域记住记住 这个定理是柯西这个定理是柯西(Cauchy)于于1825年发表的，古莎年发表的，古莎(Goursat)于于1900年提出了修改，故又称为柯西古莎定理年提出了修改，故又称为柯西古莎定理.举例记住记住举例举例记住记住填填“顺时针方向顺时针方向”，“逆时针方向逆时针方向”记住记住 据此规定，故有界单连通区域积

9、分的边界线沿据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿 为正为正方向。而对于有界复连通区域，外边界取方向。而对于有界复连通区域，外边界取 为边界线的正为边界线的正方向，内边界取方向，内边界取 为正方向（注意：对于无界区域则相为正方向（注意：对于无界区域则相反，内边界取反，内边界取 为边界线的正方向）为边界线的正方向）举例举例记住记住 据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方据此规定，故有界单连通区域积分的边界线沿逆时针方向为正方向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，向而对于有界复连通区域，外边界取逆时针为边界线的正方向，内边界取顺时针方向为正方向（注意：对于无界

10、区域则相反，内内边界取顺时针方向为正方向（注意：对于无界区域则相反，内边界取顺时针方向为边界线的正方向）。边界取顺时针方向为边界线的正方向）。L 1C D 图 3.4 2C kC Rz |x yORx yORRz |x yROrRzr|10Im,|zRzx yR-ROxO y0Imz21argzxO y21举例指出指出记住记住记住记住123lzdz1举例举例可直接用如下公式：可直接用如下公式：l是圆周是圆周2z务必务必记住记住计算计算lzdz1lzdz3lizdz3作业（必做）lzdz12l是圆周是圆周2z计算计算可直接用如下公式：可直接用如下公式：务必务必记住记住0 xy2-22-21-1l

11、zdz12l是圆周是圆周2z计算计算0精美图苑精美图苑：巴西里約熱內盧救世主耶穌雕像：巴西里約熱內盧救世主耶穌雕像 记住记住记住记住复积分的牛顿莱布尼兹公式复积分的牛顿莱布尼兹公式务必务必记住记住世界科技发展史世界科技发展史10万年前火的使用、石制工具万年前火的使用、石制工具3万年前关于来世、生育等思想万年前关于来世、生育等思想1万年前栽种谷物、动物驯养、陶器出现万年前栽种谷物、动物驯养、陶器出现5000年前金字塔和庙宇、史前巨石阵年前金字塔和庙宇、史前巨石阵4000年前中国早期的天文学，金属加工，印度数学开年前中国早期的天文学，金属加工，印度数学开端端3000年前埃及历法年前埃及历法约约20

12、00年前后托勒密的天文学和地学年前后托勒密的天文学和地学希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯（公元前希腊数学家和哲学家毕达哥拉斯（公元前572-公元前公元前497年）、柏拉图年）、柏拉图(公元前公元前427年年-前前347年）和亚里士多年）和亚里士多德（公元前德（公元前384 - 公元前公元前322）和希腊数学家如欧几里）和希腊数学家如欧几里得（公元前得（公元前325-公元前公元前265）记住记住记住记住记住记住提问提问记住记住应用举例应用举例2|1coshzdzzz1|)2(1zdzzz2|)1(1zdzzz)(2)(afidzazzfL柯西公式 应用举例 例1 问题：计算回路积分 分析：与柯西公式

13、比较，可知f(z)=cosh(z),a = -1解：由柯西公式2|1coshzdzzz)(2)(afidzazzfL1cosh2)1cosh(21cosh2|iidzzzz柯西公式 例2 问题：计算回路积分 分析：与柯西公式比较， 可知f(z)= ，a =1|)2(1zdzzzn例3 问题：计算回路积分2|)1(1zdzzz 分析：记住记住)(2)()(1afnidzazzfnLn！）（或或记住记住记住记住1|2sinhzdzzz例)(2)()(1afnidzazzfnLn！）（ 例例 问题：计算回路积分问题：计算回路积分 分析：与推广的柯西公式比较，分析：与推广的柯西公式比较， 可知可知f(

14、z)=sinh(z)，a = 0，n = 1 解：由推广的柯西公式解：由推广的柯西公式1|2sinhzdzzz)(2)()(1afnidzazzfnLn！）（iiidzzzz20cosh2)0(sinh2sinh1|2)(2)()(1afnidzazzfnLn！）（dzfinzfLnn1)()()(2!)(作业（必做）作业（选做）第31页l其中闭合曲线,9zdzl21、 计算ii33) 1 (，不包围包围ii33)2(，不包围包围ii33)3(和包围2、 计算l6dzzsinz-zl其中闭合曲线,9zdzl21、 计算ii33) 1 (，不包围包围ii33)2(，不包围包围ii33)3(和包围2、 计算l6dzzsinz-z330! 52 i本章小结本章小结 路积分路积分 复变函数的路积分可分解为复变