第五章 测量误差的基本

1、 测量与观测值测量与观测值 观测观测与观测值的分类与观测值的分类 观测条件观测条件 等精度观测和不等精度观测等精度观测和不等精度观测 直接观测和间接观测直接观测和间接观测 独立观测和非独立观测独立观测和非独立观测 5-1 5-1 测量误差概述测量误差概述 测量误差及其来源测量误差及其来源 测量误差的来源测量误差的来源（1 1）仪器误差：仪器误差：仪器精度的局限、轴系残余误差等。仪器精度的局限、轴系残余误差等。（2 2）人为误差：人为误差：判断力和分辨率的限制、经验等。判断力和分辨率的限制、经验等。（3 3）外界条件的影响：外界条件的影响：温度变化、风、大气折光等温度变化、风、大气折光等 测量误

2、差的表现形式测量误差的表现形式 测量误差（真误差测量误差（真误差=观测值-真值）Xl jiijllXl（观测值与真值之差）（观测值与观测值之差）测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为：系统误差和偶然误差。系统误差和偶然误差。一系统误差一系统误差(system error)1定义：定义：在相同观测条件下，对某量进行一系在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一列观测，如误差出现符号和大小均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。定的规律变化，这种误差称为系统误差。2特点：特点：具有积累性，对测量结果的影响大，但具有积

3、累性，对测量结果的影响大，但可通过一般的改正或用一定的观测方法可通过一般的改正或用一定的观测方法加以消除。加以消除。 例如：钢尺尺长误差、例如：钢尺尺长误差、 钢尺温度误差、水准钢尺温度误差、水准仪视准轴误差、仪视准轴误差、 经纬仪视准轴误差。经纬仪视准轴误差。二偶然误差二偶然误差 (accident error)1、定义：、定义：在相同观测条件下，对某量进行一系列观在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，如误差出现符号和大小均不一定，这测，如误差出现符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。但具有一定的统计种误差称为偶然误差。但具有一定的统计规律。规律。2、特点：、特点： （见图（见图 ）（

4、1 1）具有一定的范围。）具有一定的范围。（2 2）绝对值小的误差出现概率大。）绝对值小的误差出现概率大。（3 3）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同，）绝对值相等的正、负误差出现的概率相同，数学期限望等于零。即：数学期限望等于零。即： 此外，在测量工作中还要注意避免此外，在测量工作中还要注意避免粗差粗差(gross error)(gross error)（即：错误）的出现。（即：错误）的出现。 0limnn举例举例: : 在某测区，等精度观测了在某测区，等精度观测了358358个三角形的内个三角形的内 角之和，得到角之和，得到358358个三角形闭合差个三角形闭合差 i i( (偶然误偶然

5、误 差，也即真误差差，也即真误差) ) ，然后对三角形闭合差，然后对三角形闭合差 i i 进行分析。进行分析。 分析结果表明，分析结果表明，当观测次数很多时，偶然当观测次数很多时，偶然 误差的出现，呈现出统计学上的规律性。误差的出现，呈现出统计学上的规律性。而而 且，观测次数越多，规律性越明显。且，观测次数越多，规律性越明显。偶然误差的特性偶然误差的特性用用频率直方图频率直方图表示的偶然误差统计：表示的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近，频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐渐逼近， 对称于对称于y轴。轴。频率直方图中，每一条形的面积表示误差出现在该区频率直方图中，每一

6、条形的面积表示误差出现在该区 间的频率间的频率k/n，而所有条形的，而所有条形的总面积等于总面积等于1。各条形顶边中点各条形顶边中点连线经光滑后的曲连线经光滑后的曲线形状，表现出偶线形状，表现出偶然误差的普遍规律然误差的普遍规律 图6-1 误差统计直方图正态分布曲线正态分布曲线四个特性：四个特性：有界性，趋向性，对称性，有界性，趋向性，对称性，抵偿性抵偿性。 0limlim21nnnnn -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18 +24x= y误差分布频率直方图误差分布频率直方图从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误从

7、误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的差的四个特性四个特性：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性特性(4)具有实用意义。具有实用意义。 3.3.偶然误差的特性偶然误差的特性(1)(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值的限值( (有界性有界性) )；(2)(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多( (趋向性趋向性) )；(3)(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等( (对称性对称性) )；(4)(4)当观测

8、次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 ( (抵偿性抵偿性) )： 0limlim21nnnnn偶然误差具有正态分布的特性偶然误差具有正态分布的特性当观测次数当观测次数n n无限增多无限增多( (n n)、误差区间误差区间d d 无限缩小无限缩小( (d d 0)0)时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，时，各矩形的顶边就连成一条光滑的曲线，这条曲线称为这条曲线称为“正态分布曲正态分布曲线线”，又称为，又称为“高斯误差分高斯误差分布曲线布曲线”。所以偶然误差所以偶然误差具有具有正态分布正态分布的特性。的特性。图6-1 误差统计直方图52

9、衡量精度的指标 几个概念: 准确度：测量成果与真值的差异； 精（密）度：观测值之间的离散程度； 最或是值：最接近真值的估值，最可靠值； 测量平差：求解最或是值并评定精度。52 衡量精度的指标 一、中误差一、中误差(mean square error) 1. 1.用真误差（用真误差（true errortrue error）计算中误差的公式）计算中误差的公式。，XlXliii为观测值的真值为观测值真误差：真误差：标准差公式：标准差公式：为观测值的个数nnnlimnnmn22221中误差公式为：中误差公式为：举举 例例2.2.用改正数计算中误差的公式用改正数计算中误差的公式iiilxlnlv当观测

10、值的真值未知时：当观测值的真值未知时：设某未知量的观测值为：设某未知量的观测值为：nlll,21nlnlllxn21则该量的算术平均值为：则该量的算术平均值为： 则该量的改正数：则该量的改正数：1nVVm计算得：观测值的中误差计算得：观测值的中误差举举 例例1 1）方差与标准差）方差与标准差 由正态分布密度函数 22221axex式中 、 为常数；a =2.72828ex=y正态分布曲线(a=0)令：令： ，上式为：ax22221)(efy3. 3. 中误差公式的推导中误差公式的推导标准差标准差 的数学意义的数学意义22221)(efy 表示表示 的的离散程度离散程度x=y较小较大nnnnli

11、mlim2称为标准差标准差：nnnnnlimlim22222122上式中， 称为方差方差：测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度的标准。中误差中误差: :观测次数无限多时，用标准差观测次数无限多时，用标准差 表示偶然误差的离散情形：表示偶然误差的离散情形：nnlim上式中，偶然误差上式中，偶然误差 为观测值为观测值 与真值与真值X之差：之差：观测次数观测次数n n有限有限时，用时，用中误差中误差m表示偶然误差的离散情形：表示偶然误差的离散情形：nnmn22221i=i - XP123表5-2 m m1 1小于小于m m2 2, ,说明第一组观测值的误差分布比较说明第一组观测值的误差分布比

12、较集中集中， 其其精度较高；精度较高；相对地，第二组观测值的误差分布比相对地，第二组观测值的误差分布比 较较离散，离散，其其精度较低：精度较低： m1=2.7是第一组观测值的中误差； m2=3.6是第二组观测值的中误差。 二、相对误差(相对中误差) 误差绝对值与观测量之比。 用于表示距离的精度。用于表示距离的精度。用分子为用分子为1 1的分数表示。的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。 K2K1，所以距离，所以距离S2精度较高精度较高。例2：用钢尺丈量两段距离分别得用钢尺丈量两段距离分别得S S1 1=100=100米米,

13、,m m1 1=0.02m=0.02m； S S2 2=200=200米米, ,m m2 2=0.02m=0.02m。计算。计算S S1 1、S S2 2的相对误差。的相对误差。 0.02 1 0.02 1 K1= = ； K2= = 100 5000 200 10000解：解：三、容许误差三、容许误差(极限误差) 根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：demdfPm22221)()(误差出现在K倍中误差区间内的概率为：kmkmmdemkmP22221)( 将K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率： P(| m)=0.683=6

14、8.3 P(|2m)=0.954=95.4 P(|3m)=0.997=99.7 测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为限差：|容|=3|m| 或 |容|=2|m|一一.一般函数的中误差一般函数的中误差令 的系数为 ， (c)式为：ixiixFf由于 和 是一个很小的量，可代替代替上式中的 和 ： ixidxdznnxxFxxFxxF2211(c)代入(b)得对(a)全微分：nndxxFdxxFdxxFdZ2211(b)设有函数：),(21nxxxFZ为独立独立观测值ix设 有真误差 ，函数 也产生真误差ixixZ(a)5-3 5-3 误差传播定律误差传播定律)()(22)(11)

15、()2()2(22)2(11)2() 1 () 1 (22) 1 (11) 1 (knnkkknnnnxfxfxfxfxfxfxfxfxf对Z观测了k次，有k个式(d)对(d)式中的一个式子取平方：（i，j=1n且ij）jijinnxxffxxffxxffxfxfxf2223131212122222221212(e)对K个(e)式取总和：njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)njijijijinnxxffxfxfxf1,222222212122(f)(f)式两边除以K，得(g)式：(g)njijijijinnKxxffKxfKxfKxfK1,2222222

16、12122由偶然误差的抵偿性知：0limnxxjin(g)式最后一项极小于前面各项，可忽略不计，则：则：前面各项KxfKxfKxfKnn22222221212即即22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)22222221212xnnxxzmfmfmfm(h)考虑考虑 ，代入上式，得中误差关系式：，代入上式，得中误差关系式：iixFf2222222121nnZmxFmxFmxFm(6-10)上式为上式为一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式，也称为，也称为误差传播定律误差传播定律。 通过以上误差传播定律的推导，我们通过以上误差传播定律的推导，我们可以总结出可以总结出求观测值函数中误

17、差的步骤求观测值函数中误差的步骤： 1.列出函数式；列出函数式； 2.对函数式求全微分；对函数式求全微分； 3.套用误差传播定律，写出中误差式。套用误差传播定律，写出中误差式。 1.倍数函数的中误差 设有函数式 (x为观测值，K为x的系数) 全微分 得中误差式xxZKmmKmKdxdZKxZ22例：例：量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm, 计算该两点实地距离S及其中误差ms：l1000:1m2 . 0m5 .168m2 . 0mm2002 . 01000100010001000SmmddlSlSlS解：解：列函数式 求全微分 中误差式二二 .几种常用函数的中误差几种常用函数的

18、中误差 2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式 全微分 中误差式nnxkxkxkZ2211nndxkdxkdxkdz22112222222121nnZmkmkmkm例：例：设有某线性函数设有某线性函数 其中其中 、 、 分别为独立观测值，它们的中误差分分别为独立观测值，它们的中误差分 别为别为 求Z的中误差 。 314121491144xxxZ321xxxmm6,mm2,mm3321mmmZm314121491144dxdxdxdzmm6 . 1623214121492144233222211xxxZmfmfmfm解：解：对上式全微分：由中误差式得： 函数式 全微分 中误差式 nnn

19、nnllllx12111lnnlnlnddddx1211121221211222nnnnxmmmm3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 由于等精度观测时， ，代入上式： 得mmmmn21nmmnnmX221n 由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。 对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均， 是提高观测成果精度最有效的方法。4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式： 全微分： 中误差式：nxxxZ21ndxdxdxdz2122221nZmmmm当等精度观测时： 上式可写成：mmmmmn321nmmZ例：例：测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每

20、站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。 解：解： ABhmm2mhmABh921hhhhABmm692nmmh 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 ),(21nxxxFZ2222222121nnZmxFmxFmxFmxxZKmmKmKxZ22nxxxZ21nmmZnnxkxkxkZ22112222222121nnZmkmkmkmnnnnnllllx12111nmmX误差传播定律的应用误差传播定律的应用 用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 m m1515 。例例1：

21、要求三角形最大闭合差m15 ，问用DJ6经纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？ 123=(1+2+3)-180解：解：由题意：2m= 15,则 m= 7.5每个角的测角中误差：3 . 435 . 7m测回即43 . 45 . 8,5 . 83 . 4,22nnnmmx由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：5 . 826m3 . 435 . 7 xm误差传播定律的应用误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解:(1)测量水平距离的精度 基本公式： 2cosKlD 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2水平距离中误

22、差： 22222)2sin()cos( mKlmKmlD)206265( 其中： 误差传播定律的应用误差传播定律的应用例2：试用中误差传播定律分析视距测量的精度。 解: (2)测量高差的精度 基本公式： 求全微分： dKldlKdDdllDdD)cossin2(cos2高差中误差： 2222)2cos(2sin21 mKlmKmlh2sin21Klh )206265( 其中： 误差传播定律的应用误差传播定律的应用例3:(1)用钢尺丈量某正方形一条边长为 求该正方形的周长S和面积A的中误差.解: (1)周长 , lml (2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中: 求该正方形的周长S和面积A的中

23、误差.iliml lllllmmmmmlllll43214321且lS4lSmm4 面积 , 2lAlAlmm2 周长的中误差为 dldS4全微分:面积的中误差为 全微分:ldldA2解:(1)周长和面积的中误差分别为 例3:(2)用钢尺丈量某正方形四条边的边长为其中: 求该正方形的周长S和面积A的中误差.iliml lllllmmmmmlllll43213321且lSmm4lAlmm2 (2)周长 ;周长的中误差为 lllllS44321 面积llllllSmmmmmmm24222224321 得周长的中误差为 2243214LllllA全微分:432141414141dldldldldL

24、但由于LdLdA2llllllAlmmLmLmLmLmLm22222222224422224321 观测值的算术平均值观测值的算术平均值(最或是值) 用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算观测值的计算观测值的 中误差中误差 (即:白塞尔公式) 5 54 4 同（等）精度直接观测平差同（等）精度直接观测平差 一一. .观测值的观测值的算术平均值算术平均值(最或是值、最可靠值) 证明算术平均值为该量的最或是值： 设该量的真值为X，则各观测值的真误差为 1= 1- X 2= 2- X n= n- X对某未知量未知量进行了n 次观测，得n个观测值1,2,n,则该量的算术平均值为：x= =1+2+n

25、nn上式等号两边分别相加得和： lnX L= nlnlllLn21 nXl 当观测无限多次时：nlXnnnlimlim得Xnlnlim两边除以n：由 lnX nlXn当观测次数无限多时，观测值的算术平均值就是该 量的真值；当观测次数有限时，观测值的算术平均 值最接近真值。所以，算术平均值是最或是值。L X nXl XLXnln 0)(limlimXLnnn观测值改正数特点二二. .观测值的改正数观测值的改正数v v ： 以算术平均值为最或是值，并据此计算各观测值的改正数 v ，符合vv=min 的“最小二乘原则”。Vi = L - i (i=1,2,n)特点特点1 改正数总和为零：改正数总和为

26、零：对上式取和：以 代入：通常用于计算检核L= nv=nL- nv =n -=0v =0特点特点2 vv符合符合“最小二乘原则最小二乘原则”：则即vv=(x-)2=min=2(x-)=0dvv dx(x-)=0nx-=0 x= n 比较前面的公式，可以证明，两式根号内的部分是相等的，1nvvnnmnvvm1即在 与 中：精度评定精度评定用观测值的改正数用观测值的改正数v v计算中误差计算中误差1nvvm一一. .计算公式计算公式(即白塞尔公式)：1nvvn证明如下：证明如下：nnnnlxvlXlxvlXlxvlX22221111真误差：真误差：改正数：改正数：XlXlXlnn2211nnlLv

27、lLvlLv2211iiiivXLv对上式取n项的平方和 vvvn22由上两式得由上两式得其中: 0lnLv 222222)(nnXlnnXnlXL njijijinn1,2222122122)( 02222nn vvnvvvn222nvvnn21nvvn中误差中误差定义定义: :nm白塞尔白塞尔公式公式: :1nvvm解：解：该水平角该水平角真值未知真值未知，可用，可用算术平均值的改正数算术平均值的改正数V V计计 算其中误差：算其中误差：例：例：对某水平角等精度观测了5次，观测数据如下表， 求其算术平均值及观测值的中误差。算例1: V =098315601 .nVVm4715983 .nm

28、M7642451.74 算例算例2：对某距离用精密量距方法丈量六次，求对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术该距离的算术 平均值平均值 ； 观测值的中误差观测值的中误差 ； 算术平均值的中误算术平均值的中误 差差 ； 算术平均值的相对中误差算术平均值的相对中误差 ：xxmMxM /凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。5 55 5 权（不同精度直接观测平差）权（不同精度直接观测平差）一、权的概念 权是权衡利弊、权衡轻重的意思。在测量工作中权是一个表示观测结果可靠程度的相对性指标。1 权的定义：权的定义：设一组不同精度的观测值为l i ,其中误差为mi(I=1,2n)，选定任一大于零的常数，则定义权为： 2iimP称Pi为观测值l i 的权。1 权的定义：对于一组已知中误差mi的观