微分中值定理zhm学习教案

1、微分微分(wi fn)中值定理中值定理zhm第一页，共47页。一、罗尔一、罗尔(Rolle)(Rolle)定理定理(dngl)(dngl)二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理(dngl)(dngl)三、柯西三、柯西( (Cauchy) )中值定理中值定理第1页/共47页第二页，共47页。设函数设函数)(xf在点在点 0 x的某邻域的某邻域),(0 xU内内 有定义并且在有定义并且在 0 x处可导，如果对任意处可导，如果对任意 的的),(0 xUx ，有，有 )()()()(00 xfxfxfxf 或或 则则 .0)(0 xf 1.引理（费马引理（费马

2、(Fermat)定理定理(dngl)） xyo0 x.)(,0)(00的的为为函函数数则则称称若若xfxxf 驻驻点点第2页/共47页第三页，共47页。2. 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理(dngl) 则在则在 (a,b) 内至少存在内至少存在(cnzi)一点一点 ，使，使 f() =0 .设函数设函数(hnsh) f (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.3) f (a) = f (b).3 , 132)(12定理定理满足满足上上在区间在区间验证验证例例Rollexxxf 第3页/共47页第四页，共47页。物

3、理物理(wl)(wl)解释解释: :变速变速(bin s)直线运动在折返点处直线运动在折返点处,瞬时速度等于零瞬时速度等于零.几何几何(j h)(j h)解解释释: :ab1 2 xyo)(xfy C.,)(的的在该点处的切线是水平在该点处的切线是水平上至少有一点上至少有一点则弧则弧处纵坐标相等处纵坐标相等、点点在在连续光滑曲线连续光滑曲线CABBAxfy 第4页/共47页第五页，共47页。3、罗尔定理还指出、罗尔定理还指出(zh ch)了这样的一个事实：了这样的一个事实：若若 f (x) 可导，则可导，则 f(x)=0 的任何两个的任何两个(lin )实根之实根之间，至少有间，至少有 f(x

4、) =0 的一个实根的一个实根.例例2 2 不求导数不求导数, , 判断函数判断函数 f(x) = (x f(x) = (x 1) (x 1) (x 2) (x 2) (x 3)3)的导数的导数f f(x)(x)有几个零点及这些有几个零点及这些(zhxi)(zhxi)零点所在的范零点所在的范围围. .第5页/共47页第六页，共47页。4. 注意注意 1)若罗尔定理的三个条件中有一个不满若罗尔定理的三个条件中有一个不满足足,其结论可能其结论可能(knng)不成立不成立.例如例如(lr)(lr), 011)( )0 ,12,12xxf xxxx 1 , 1,)()2 xxxfx1yo11 ,0,)

5、()3 xxxfx1yox1yo第6页/共47页第七页，共47页。2) 罗尔定理的三个条件是充分不必要的罗尔定理的三个条件是充分不必要的,即若有即若有一个不满足一个不满足(mnz),其结论也可能成立其结论也可能成立.例如例如(lr),3, 1,1,yxx 第7页/共47页第八页，共47页。例例3 3.10155的的正正实实根根有有且且仅仅有有一一个个小小于于证证明明方方程程 xx证证, 15)(5 xxxf设设, 1 , 0)(连连续续在在则则xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零点由零点(ln din)定理定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使,),1 , 0(011xxx 设另

6、有设另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之间满足罗尔定理的条之间满足罗尔定理的条在在xxxf使得使得之间之间在在至少存在一个至少存在一个),(10 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾(modn),.为为唯唯一一实实根根即即 为方程小于为方程小于1的正实根的正实根.0 x第8页/共47页第九页，共47页。说明说明(shum(shumng):ng):证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理. .0)( xf),(ba例例4 4.)()(), 0(:, 0)(, 1)

7、0(, ), 0(, 0)( ffaaffaDaCxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设第9页/共47页第十页，共47页。关键技巧关键技巧: 根据根据(gnj)题意会知道如何构造辅助函数题意会知道如何构造辅助函数.即构造的辅助即构造的辅助(fzh)函数函数F(x) 应满足关系式应满足关系式F(x) = f(x) .0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设例例5 5第10页/共47页第十一页，共47页。).()(:bfaf 去掉了去掉了与罗尔定理相比条件中与罗尔定理相比条件中注意注意).()()( faba

8、fbf 结论亦可写成结论亦可写成则在则在 (a,b) 内至少内至少(zhsho)存在一点存在一点 ，使，使 f (b) f (a) = f ()(ba) (a,b) .Lagrange 中值定理中值定理(dngl)： 设函数设函数 f (x) 满足条件：满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导.第11页/共47页第十二页，共47页。作辅助作辅助(fzh)函数函数证明证明(zhngmng)：,)()()()(xabafbfxfxF , ,)(baCxF 则有则有( )( , ) ,F xD a b , )()()()(bFabbfaafb

9、aF ,)(上满足罗尔定理的条件上满足罗尔定理的条件在在即即baxF.0)(,),( Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点在在,0)()()( abafbff 即即).)()()(abfafbf 故有故有拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式(gngsh)第12页/共47页第十三页，共47页。ab1 2 xxoy)(xfy ABCDNM几何几何(j h)解释解释:.,ABCAB线平行于弦线平行于弦在该点处的切在该点处的切一点一点上至少有上至少有在曲线弧在曲线弧.Lagrange1 , 0arctan)(中值定理的条件中值定理的条件上满足上满足在在验证验证xxf 例例1第13页/共47页第十四页

10、，共47页。,),()(内可导内可导在在设设baxf, ,00baxxx , )10(0 xx记记则有则有, )10()()()(000 xxxfxfxxf即即. )10()(0 xxxfy增量增量(zn lin) (zn lin) y y 的的精确表达式精确表达式拉格朗日中值公式又称有限拉格朗日中值公式又称有限(yuxin)增量公式增量公式.拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(dngl)又称有限增量定理又称有限增量定理(dngl).拉格朗日中值定理也称为拉格朗日中值定理也称为微分中值定理微分中值定理第14页/共47页第十五页，共47页。两个两个(lin )推论推论:(1) 设设 f (x) 在

11、在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x)=0，则，则 f(x)=C.(2) 设设 f (x) , ,g(x) 在在 (a,b) 内可导且内可导且 f (x) =g (x) ， 则则 f(x)=g(x) C. )()(, ),(,212121xfxfxxbaxx 有有时时只须证明对只须证明对第15页/共47页第十六页，共47页。拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理的应用: 1、用、用 Lagrange 中值定理证明中值定理证明(zhngmng)等式：等式：例例2 21cossin22 xx证明证明.),( x说明说明(shumng)(shumng)欲证欲证 时时, , ,)(Axf Ix

12、, 0)( xf,0Ix 且且.)(0Axf 使使只需证在只需证在 I 上上练习练习(linx)：).,(,2cotarcarctan xxx 证明证明第16页/共47页第十七页，共47页。2、用、用 Lagrange 中值定理中值定理(dngl)证明不等式：证明不等式：Step1 找出适当找出适当(shdng)的函数的函数 f (x) 及区间及区间,Step2 验证验证 f (x) 满足满足Lagrange 中值定理中值定理(dngl)条条件件,Step3 对对 f ( ) 作适当放大或缩小，推出所要证作适当放大或缩小，推出所要证的结果的结果.例例3 3.costantancos:,2022

13、 证明证明若若第17页/共47页第十八页，共47页。例例4 4.)1ln(1,0:xxxxx 时时当当证明证明证证),1ln()(xxf 设设, 0)(上满足拉氏定理的条件上满足拉氏定理的条件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即第18页/共47页第十九页，共47页。则在则在 (a,b) 内至少内至少(zhsho)存在一点存在一点 ，使，使 Cauchy 中值定理中值定理(dngl) 设函数设函数 f (x)、 g (x) 满足条件：

14、满足条件：1) 在在闭闭区间区间 a,b上连续上连续.2) 在在开开区间区间(a,b)内可导内可导且且 g (x) 0 .)()()()()()( gfbgagbfaf 第19页/共47页第二十页，共47页。证证作辅助作辅助(fzh)函数函数, )()()()()()()(xgagbgafbfxfx ,),(,)(内可导内可导在在上连续上连续在在则则babax , )()()()()()()()(bagbgagbfbgafa 且且,0)(),( 使使定理知：至少存在一点定理知：至少存在一点由由baRolle,0)()()()()()( gagbgafbff即即.)()()()()()( gfa

15、gbgafbf 第20页/共47页第二十一页，共47页。几何几何(j h)解释解释:)()()()()()( gfagbgafbf )()(tfytgx)(af)(bf)()(ddtgtfxy 注意注意(zh (zh y):y):xyo弦的斜率弦的斜率(xil)(xil)切线斜率切线斜率)(ag)(bg)( g.,)(),(ABfgCAB该点处的切线平行于弦该点处的切线平行于弦在在上至少有一点上至少有一点在曲线弧在曲线弧 AB第21页/共47页第二十二页，共47页。,)(xxg 当当, 1)(,)()( xgabagbg)()()()()()( gfagbgafbf ).()()( fabaf

16、bfLagrange 中值定理中值定理(dngl)是是Cauchy 中值定理中值定理(dngl) 的特例的特例.第22页/共47页第二十三页，共47页。例例).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数分析分析(fnx):结论结论(jiln)可变可变形为形为 2)(01)0()1(fff xxxf)()(2第23页/共47页第二十四页，共47页。例例证证,)(2xxg 设设,1 , 0)(),(条条件件上上满满足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在则则xgxf有有内至少存在一点内

17、至少存在一点在在,)1 , 0( 2)(01)0()1(fff).0()1(2)(fff 即即).0()1(2)(, )1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)(fffxf 使使至少存在一点至少存在一点证明证明内可导内可导在在上连续上连续在在设函数设函数第24页/共47页第二十五页，共47页。1. 1. 微分中值定理的条件、结论微分中值定理的条件、结论(jiln)(jiln)及及关系关系罗尔定理罗尔定理(dngl)(dngl)拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理)()(afbf xxg )()()(afbf xxF )(费马引理费马引理中值定理的数学符号简洁表述中值定理

18、的数学符号简洁表述: P125第25页/共47页第二十六页，共47页。2. 微分中值定理微分中值定理(dngl)的应的应用用(1) 证明证明(zhngmng)恒等式恒等式(2) 证明证明(zhngmng)不等式不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: : 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数第26页/共47页第二十七页，共47页。中值定理中值定理(dngl)的数学符号简洁表述的数学符号简洁表述: P125;0)(, ),()()(),(,)1( fbabfafbaDbaCf使使且且);()()(),(),(,)2( fabafbfbabaDbaCf ，使使.

19、)()()()()()(),(),(, 0)(),(,)3( gfagbgafbfbabaxxgbaDbaCgf ，使使且且第27页/共47页第二十八页，共47页。1. 填空题填空题3415 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值._ 第28页/共47页第二十九页，共47页。一、一、 填空题：填空题：1 1、 函数函数4)(xxf 在区间在区间1,21,2上满足拉格朗日中值上满足拉格朗日中值定理，则定理，则=_=_ _ _. .2 2、 设设)4)(3)(2)(1()( xxxxxf， 方 程方 程0)( xf有有_个根，它们分

20、别在区间个根，它们分别在区间_上上. .3 3、 罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是罗 尔 定 理 与 拉 格 朗 日 定 理 之 间 的 关 系 是_._.4 4、 微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的微分中值定理精确地表达函数在一个区间上的_与函数在这区间内某点处的与函数在这区间内某点处的_之间之间的关系的关系. .5 5、 如果函数如果函数)(xf在区间在区间I上的导数上的导数_ _，那，那么么)(xf在区间在区间I上是一个常数上是一个常数. .练练 习习 题题第29页/共47页第三十页，共47页。二、试证明对函数二、试证明对函数rqxpxy 2应用拉

21、氏中值定理应用拉氏中值定理 时所求得的点时所求得的点 总是位于区间的正中间总是位于区间的正中间 . .三、证明等式三、证明等式21arctan1arcsin22 xxx )1 , 0( x . .四、设四、设0 ba，1 n，证明，证明 )()(11banababanbnnnn . .五、五、 证明下列不等式：证明下列不等式： 1 1、baba arctanarctan； 2 2、时时当当1 x，exex . .六六、证证明明方方程程015 xx只只有有一一个个正正根根 . .第30页/共47页第三十一页，共47页。七、设函数七、设函数)(xfy 在在0 x的某邻域内且有的某邻域内且有n阶导数

22、，阶导数，且且)0()0()0()1( nfff试用柯西中值定理试用柯西中值定理证明：证明：!)()()(nxfxxfnn ， （10 ）. .八、设八、设)(xf在在 ba, 内上连续，在内上连续，在( (ba,) )内可导，若内可导，若 ba 0, ,则在则在( (ba,) )内存在一内存在一 点点，使，使 )()()()(baffabfbaf . .第31页/共47页第三十二页，共47页。一、一、1 1、3415；2 2、3,(1,2),(2,3),(3,4)3,(1,2),(2,3),(3,4)；3 3、前者是后者的特殊情形、前者是后者的特殊情形, ,加加)()(bfaf 即可；即可；

23、4 4、增量、增量, ,导数；导数；5 5、恒为零、恒为零. .练习题答练习题答案案第32页/共47页第三十三页，共47页。法国法国(f u)数学家数学家,他是一位律师他是一位律师(lsh),数学数学(shxu)只是他的业余爱好只是他的业余爱好. 他兴趣广泛他兴趣广泛,博博览群书并善于思考览群书并善于思考,在数学上有许多在数学上有许多重大贡献重大贡献. 他特别爱好数论他特别爱好数论, 他提出他提出的费马大定理的费马大定理:,2无整数解方程时当nnnzyxn至今尚未得到普遍的证明至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中费马引

24、理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的提炼出来的.第33页/共47页第三十四页，共47页。法国法国(f u)数学家数学家.他在方程他在方程(fngchng)论论, 解析函数论解析函数论,及数论及数论(shln)方面都作出了重要的贡献方面都作出了重要的贡献,近百近百余年来余年来, 数学中的许多成就都直接或间数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作接地溯源于他的工作,他是对分析数学他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一产生全面影响的数学家之一.第34页/共47页第三十五页，共47页。法国法国(f u)数学家数学家, 他对数学的贡献主要他对数学的贡献主要(zhyo)集中集中在微积分

25、学在微积分学,柯柯 西全集西全集(qunj)共有共有 27 卷卷.其中最重要的的是为巴黎综合学其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的校编写的分析教程分析教程, 无穷小分析概论无穷小分析概论, 微积微积分在几何上的应用分在几何上的应用 等等, 有思想有创建有思想有创建, 响广泛而深远响广泛而深远 .对数学的影对数学的影他是经典分析的奠基人之一他是经典分析的奠基人之一,他为微他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文一生发表论文800余篇余篇, 著书著书 7 本本 , 第35页/共47页第三十六页，共47

26、页。.0,)1 , 0(:,01322210210 nnnxaxaxaaxnaaaa满足满足少存在一个少存在一个内至内至在在证明证明练习：设练习：设第36页/共47页第三十七页，共47页。例例4 4.)1 , 0(23423内内至至少少有有一一个个实实根根在在证证明明方方程程cbacxbxax 证证由由Rolle定理定理(dngl)知知,)()(234xcbacxbxaxxf 设设,1 , 0)(连续连续在在则则xf,)1 , 0()(可导可导在在xf. 0)1()0( ff且且. 0)(),1 , 0(00 xfx使使.)1 , 0(0内的实根内的实根即为方程在即为方程在x说明说明(shu(

27、shumng):mng):证明证明 在在 内有根用内有根用零点零点定理定理. .0)( xf),(ba证明证明 在在 内有根用内有根用罗尔罗尔定理定理. .0)( xf),(ba第37页/共47页第三十八页，共47页。.0)()()(),(),(,)(, 0)()(, ),(,)( fgfbabaDbaCxgbfafbaDbaCxf使使证明：至少存在一点证明：至少存在一点设设推广推广(tugung):.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfafbaDbaCxf使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设例例.0)()(),(:, 0)()(, ),(,)( ffbabfaf

28、baDbaCxf使使至少存在一点至少存在一点证明证明设设例例6 6第38页/共47页第三十九页，共47页。.)()(,)(:,)(的零点的零点一定有一定有的两个零点之间的两个零点之间在在证明证明可导可导设设例例xfxfxfxf （即例（即例5 5）设设,0)()(2121xxxfxf 欲证欲证:, ),(21xx 使使0)()( ff只要只要(zhyo)证证0)()( ff e e亦即亦即0 )( xxxfe作辅助作辅助(fzh)函数函数, )()(xfexFx 验证验证)(xF在在,21xx上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.提示提示(tsh):第39页/共47页第四十页，共47页。证：证

29、：210 xx )()()(1221xfxfxxf 12)(xf 0)(121 fx. )()()(2121xfxfxxf ,(2122xxx 不妨不妨(bfng)设设 )0()()()(1221fxfxfxxf )(21 )011x 0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 设设 , 证明对任意证明对任意第40页/共47页第四十一页，共47页。0)0(,0)( fxf0, 021 xx有有.)()()(2121xfxfxxf 例例 设设 , 证明对任意证明对任意”“0)( xf题设条件题设条件可减弱为可减弱为.)(单调减少”单调减少”“xf 第41页/共47页第四十二页，共47页。练习：练习：),1(e .lncos1sin 试证至少存在一点试证至少存在一点 ，使