西安交大计算方法第一章

1、数学与统计学院数学与统计学院 马军马军理科楼理科楼 338QQ 数学与统计学院数学与统计学院 马军马军理科楼理科楼 338QQ 604751413112134131216113121321321321xxxxxxxxx1, 1, 1:321xxx其解为其解为求解方程组求解方程组78. 020. 025. 033. 008. 125. 033. 050. 083. 133. 050. 000. 1321321321xxxxxxxxx演示计算方法计算方法邓建中邓建中, ,西安交通大学出版社西安交通大学出版社数值分析数值分析李乃成李乃成, ,梅立泉梅立泉 科学出版社科学出版社参考书参考书课程成绩课程

2、成绩 考试成绩考试成绩 80%80%上机成绩上机成绩 20%20%课程基础课程基础数学基础数学基础 计算机基础计算机基础 高等数学高等数学 线性代数线性代数 计算机语言计算机语言 数据结构数据结构 第第1 1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 什么是数值计算方法什么是数值计算方法第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 算法算法数值型问题数值型问题 解决工程计算问题解决工程计算问题非数值型问题非数值型问题 解决一般的计算机应用解决一般的计算机应用理论基础理论基础:高等数学高等数学,线性代线性代数数,数学模型

3、数学模型,计算方法等计算方法等理论基础理论基础:数据结构数据结构,离散离散数学等数学等计算机处理的问题计算机处理的问题第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 问题的类型问题的类型第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 n定义定义 误差误差是指近似值与真正值之差是指近似值与真正值之差 误差分类误差分类模型误差模型误差在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的在建立数学模型时，忽略次要因素而造成的数据误差数据误差由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差由于问题中的值通过观察得到的，从而产生误差截断误差截断误差通过近似替代，简化为较易求解的问题通过近似替代，简化为较

4、易求解的问题舍入误差舍入误差由于计算机中的性能限制而造成的由于计算机中的性能限制而造成的第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 绝对误差绝对误差第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 的近似值是真值设xxxxxx或 的绝对误差称为近似值x误差限称为绝对误差界或绝对则令,x)( xxx或者记为有绝对误差或绝对误差限绝对误差或绝对误差限常常简称为误差常常简称为误差相对误差相对误差第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 的近似值是真值设xxxxxxxxx 或的相对误差称为近似值x误差限称为相对误差界或相对则令rrx, )1 (rxx有相对误差界相

5、对误差界常用百分数表示常用百分数表示, ,简称为相对误差简称为相对误差准确数字准确数字第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 0,12121xxxxxxxxnmmmm并设设nxx1021 50000. 0n个若位小数准确到称为nx准确数字及其以前的非零数字为并称nmx.897931415926535. 3:例1416. 3141105 . 000005. 00000073. 0位准确数字共位小数准确到则541，有效数字有效数字第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 nmmmmxxxxxxx2121设nmmmmmxxxxxx2121. 010mnmxxxx21

6、000 . 0个mnmxxx21. 010位准确数字具有位小数准确到则如果mnnxxxn,1021数称为有效数各位数字都准确的近似字各准确数字称为有效数问题的性态问题的性态第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 可表示为有关与某些参量设数学问题的解,.,21nxxxy),.,(21nxxxy),.,( ,21nxxxy，得到近似解解也会有误差时则当各输入参数有误差),.,(),.,( 2121nnxxxxxxyy-y则解的绝对误差为),.,(y 21nxxxyyy相对误差为问题的性态问题的性态第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 于函数的微分函数的增量可以

7、近似等当数据误差较小时，iniinxxxxxy121),.,(iiniinxxxxxxy121),.,(倍数缩小的放大或表示解的误差相对量的或其中的系数iiixxx的条件数称其为问题y否则称为良态问题态问题条件数大的问题称为病,问题的性态问题的性态第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 可以得到)()()(211221xxxxxx22212121)(xxxxxxx浮点数系浮点数系第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 ). 0()( 21tmxxxbxxflx按舍入原则表示为将实数进制浮点数并称为b:其中称为基数基数 b:的数字为尾数1.,2 , 1 , 0

8、,. 0:21bxxxxit称为规格化的浮点数时当，x01UmL，m:范围称为阶码阶码称为计算机的位数位数 t :浮点数系浮点数系第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 可能有半位误差其末位数字规格化的浮点数txxfl)(tmmtbbbxflx2121)( 绝对误差tbxfl(x)x121 相对误差计算机的相对精度 在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然以同一浮点数系中的数表示,必须用一个比较接近的浮点数代替.因此会产生误差 ,称此误差为舍入误差第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 点数系的浮点数的集合称为浮在计算机中所有

9、规格化浮点数系浮点数系浮点数系浮点数系第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 223(2,3,-1,2)(0.100 2 ) (0.110 2 )0.110 2F上溢 在中 012(2,3,-1,2)(0.100 2 ) (0.110 2 )0.110 2F下溢 在中 浮点数系浮点数系第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 001(2,3,-1,2)(0.100 2 )(0.111 2 )0.1101 2F 在中 浮点数系浮点数系第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 (1)(1)避

10、免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算；参加运算；(2)(2)避免避免“大大”“”“小小”数相加减；数相加减；(3)(3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失；避免相近数相减，防止大量有效数字损失；(4)(4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数。尽可能简化运算步骤，减少运算次数。浮点运算原则浮点运算原则第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 n定义定义 在执行某一数值方法时，如果由初始误差导致最终解在执行某一数值方法时，如果由初始误差导致最终解的误差能被有效地控制，这样的方法是的误差能被有效地控制，这样的方法是数值稳定数值稳定的的 方法的数值稳定性是指运算中由初始误差通过计算方法的数值稳定性是指运算中由初始误差通过计算导致的最终解的误差的可控性导致的最终解的误差的可控性反之，如果各个计算过程中的误差不断增长，且不能反之，如果各个计算过程中的误差不断增长，且不能被有效地控制，则该方法称为被有效地控制，则该方法称为数值不稳定数值不稳定的的第第1章章 数值计算方法的一般概念数值计算方法的一般概念 计算机在计算过程中，由于原始数据可能有误差，每次运算也计算机在计算过程中，由于原始