单摆运动规律的研究

1、单摆运动规律的研究摘要 单摆问题是高中物理及大学普通物理实验教学中的一个基础问题。受各种 因素的影响，其运动规律较为复杂。本文建立了理想模式下单摆的数学模型， 现 实情况下单摆的数学模型.等对单摆的运动进行了探究。首先，本文从理想情况出发，由牛顿第二定律进行推理，建立了无阻尼小角 度单摆运动模型，对单摆的运动进行了初步探究。然后，本文又建立了无阻尼大角度单摆运动模型， 进一步完善了理想模式下 单摆的数学模型。最后，本文从实际出发，考虑单摆运动中受到的阻力因素， 以理想模式下单 摆的数学模型为基础，建立了现实情况下单摆的运动模型，深度的对单摆运动进 行了探索。关键词简谐运动 角度 阻尼运动 单摆

2、运动目录一、问题的描述二、模型假设三、模型建立及求解1理想模式下单摆的数学模型1.1 小角度单摆运动模型1.1.1 模型建立1.1.2 模型求解1.1.3 结果分析1.2 大角度单摆运动模型1.2.1 模型建立1.2.2 模型求解1.2.3 结果分析2现实模式下单摆的数学模型2.1 小、大阻尼单摆运动模型2.1.1 模型建立2.1.2 模型求解2.1.3 结果分析四模型分析一问题的描述根据平常接触到的摆钟、秋千等实物中，我们可以抽象出单摆的模型。细线一 端固定在悬点，另一端系一个小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直 接与线的长度相比也可以忽略，这样的装置就叫做单摆.我们从理想情况出发

3、进行 分析，并逐渐完善从而推导出单摆实际运动规律。二模型假设1悬挂小球的细线伸缩和质量均忽略不记，线长比小球的直径大得多;2 .装置严格水平；3 .无驱动力。三模型建立及求解1理想模式下单摆的数学模型9图1简单单摆模型在t时刻，摆锤所受切向力ft(t)是重力mg在其运动圆弧切线方向上的分力，即f(t) =mg sin(t)完全理想条件下，根据牛顿第二运动定律，切向加速度为：a(t) = g sin (t)因此得到单摆的运动微分方程组：drgain(9 (r)(1)1.1 小角度单摆运动模型1.1.1 模型建立当摆角8很小时,sin 8故方程1可简化为：婆 +& 8=0(2)出* I1.

4、1.2 模型求解利用matlab软件在0, 5o分别作出方程（1）和方程（2）的解得图像小角度单摆摆动规律（一方程（1）的解，*方程（2）的解）1.1.3 结果分析(0<5),由图像可以看出两方程的解的图像几乎吻合, 两方程的解几乎相等，单摆运动可看为简谐运动。1.2 大角度单摆运动模型1.2.1 模型建立当摆角很大时，方程sin0再成立，方程（1）和方程（2）的解不再相近,1.2.2 模型求解此时利用MATLAB计算软件，得到2000个不同摆角的的精确解.然后以摆角 为横轴，利用绘图函数polt （ x , y ）绘制出任意摆角下单摆周期的精确解的曲线%单摆周期与摆角的关系a= 0;b

5、= pi/ 2;n= 1000;s1= 1: n;h= ( b-a) / n;h1= pi/ ( 2* n)c= 0: hi: pi/ 2x= a;s= 0;for i1= 1: ( n+ 1)f0= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) A2* ( sin( x ) ) A2) / pi;for i2= 1: nx= x+ h;f1= 2/ sqrt ( 1-( sin( c( i1) / 2) ) A2* ( sin( x ) ) A2) / pi;s= s+ ( f0+ f1) * h/ 2;f0= f1;enddisp( 1/ s)s1( i1) = s;s

6、= 0;endplot( c, s1)xlabel( 'theta0/rad )ylabel( 'T/T0')大摆角单摆的运动规律 程序如下：%建立方程(1)Function xdot= per( t,x) xdot= -9. 8* sin( x ( 2) ) x( 1) %建立方程(2)Function xdot= per1( t,x) xdot= -9. 8* x( 2) x( 1) %利用ode45求解微分方程 t0= 0; tf= 10;t, x = ode45( ' per' , t0, t f , pi/ 2, 0) t1, x1 = ode

7、45 ( 'peU' , t0, tf , pi/ 2, 0) plot( t, x( :, 2),'-') holdonplot( t1, x1( :, 2),'')U. b0.40.20-0.2-0.40.6时间t/s1.2.3 结果分析如图所示，随着单摆摆角的增大，单摆的周期也会增加图中两根曲线表明： 大摆角振动时，单摆的运动轨迹并不是简单的正、余弦曲线(虽然很相似),而且,最大摆角越小，两根曲线越相似；摆角越大，分离越明显2现实模式下单摆的数学模型2.1.1 模型建立现实情况下，绳子的质量，摆球的半径，空气的阻力等等都对单摆的摆动有影 响

8、,这些影响的主要作用就是阻止单摆的摆动，为简单起见，可设单摆在摆动中受到阻力fz,显然阻力与摆锤的运动速度有关，即阻力是单摆线速度的函数： fz = f(v) , fz =kv(t)上式中，k>0为阻力比例系数，式中的负号表示阻力方向与摆锤运动方向相反。切向加速度由切向合力ft fz产生，根据牛顿第二运动定律，有a(?) = gsin£ (r) -m因此得到修正后的单摆运动微分方程组dv (?)(5)(6)=gsin0(t)-did® v(f)dt 一I仍然使用欧拉算法求解：将（h=¥（F+dr） 边雨© = 8。+曲）8代入 式（5）及式（6）中

9、，并以仿直步进量小作为证的近似，得到基于时间的递推方程.2.1.2 模型求解据此编写仿真程序：subplot(2,1,1)dt=0.0001; %仿真步进T=16; %仿真时间长度t=0:dt:T;%仿真计算时间序列g=9.8;L=1.5;m=8;k=3;th0=1.5; %初始摆角设置,不能超过九/2v0=0; %初始摆速设置v=zeros(size(t); %程序存储变量预先初始化，可提高执行速度 th=zeros(size(t);v(1)=v0;th(1)=th0;for i=1:length(t) %仿真求解开始v(i+1)=v(i)+(g*sin(th(i)-k./m.*v(i).*

10、dt;th(i+1)=th(i)-1./L.*v(i).*dt;end %使用双坐标系统来作图AX,B1,B2=plotyy(t,v(1:length(t),t,th(1:length(t),'plot');set(B1,'LineStyle'"); % 设置图线型set(B2,'LineStyle',':');set(get(AX(1),'Ylabel'),'String','线速度 v(t)m/s');% 作标注set(get(AX(2),'Ylabel'),'String','角位移 th(t)/rad');xlabel('时间 t/s');legend(B1,线速度 v(t)',2);legend(B2,角位移 th(t)',1);Figure 1Edit View Insert Tools Desktop Window HelpPEjem 能 5一强2 o-26oJIt/s8间寸B.增大阻力系数k=50可以得大阻尼时单摆的运动情况File Edit View Insert Tools Desktop Window HelpfEeA但熠s