【考点整合与训练】推理与证明、算法、复数第5节复数

1、第5节复数最新考纲1.理解复数的基本概念；2.理解复数相等的充要条件；3.了解复数的代数表示法及其几何意义；4.会进行复数代数形式的四则运算；5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.I知快衍化伍验叵顾教匕夯文叁砒知识梳理1.复数的有关概念内容意义备注复数的概念形如a+bi(aCR,bCR)的数叫复数，其中实部为a,虚部为b若b=0,则a+bi为实数；若a=0且bw0,则a+bi为纯虚数复数相等a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,dCR)共腕复数a+bi与c+di共腕?a=c且b=d(a,b,c,dCR)复平向建立平面直角坐标系来表示复数的平闻叫做复平闻，x铀叫实轴，y轴叫虚轴实

2、轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表小纯虚数，各象限内的点都表示虚数复数的模设OZ对应的复数为z=a+bi,则向量OZ的长度叫做复数z=a+bi的模|z|=|a+bi|=da2+b22 .复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即复数z=a+bi,一对"复平面内的点Z(a,b)(a,bCR).(2)复数z=a+bi(a,bCR)-平面向量O乙3 .复数的运算设zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dCR),则(4)除法:zia+biz2c+di(1)加法：zi+Z2=(a+bi)+

3、(c+di)=(a+c)+(b+d)i；(2)减法:zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；(3)乘法：ziZ2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;(a+bi)(cdi)ac+bd+(bcad)iz.w22(c+di*0).(c+di)(cdi)c+d'，微点提醒i,n=4k,i,n=4k+i,i,n=4k+2,-i,n=4k+3i.i的乘方具有周期性(kCZ).2 .复数的模与共腕复数的关系zz=|z|2=|z|2.3 .两个注意点(i)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a+bi=c+di列方程时，注意a,b,c,dCR的前提

4、条件.基础自测疑误辨析I.判断下列结论正误(在括号内打“或"X”)复数z=a+bi(a,bCR)中，虚部为bi.()(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()(3)原点是实轴与虚轴的交点.()(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()解析(I)虚部为b;(2)虚数不可以比较大小.答案(i)x(2)X(3)V(4)V教材衍化2.(选修22P106A2改编)若复数(a23a+2)+(a1)i是纯虚数，则实数a的值为()A.1B.2C.1或2D.-122-一一a3a+2=0,解析依题意，有i解得a=2,故选B.a1"答案

5、B3.(选修2-2P116A1改编)复数i5)的共腕复数是()解析5(2+i)-(2-i)(2+i)A.2iB.2+iC.3-4iD.3+4i3-4i.=(2+i)2=3+4i,所以其共腕复数是J故选C.答案C考题体验、4.(2017全国II卷)含=()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i3+i(3+i)(1i)解析=2i.1+i(1+i)(1i)答案D1,5.(2018北京卷)在复平面内，复数二；的共腕复数对应的点包于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限11+i1111解析J=-2=2+2i，其共腕复数为2-2i,一，111、一一，D.复数J的共腕复数对应的点的坐标为

6、弓，-2J,位于第四象限，故选答案D6.(2019甘IWB一模)已知复数z=1+i(i是虚数单位)，则z+2z2+z解析.z=-1+i,z+21+i(1+i)(1+i)-2"zi(2i)(i)解析(1)z=12i,则复数z的虚部为一2.故选D.i(i).复数z对应的点是Z(1,2),，z=1-2i,一,复数z的共腕复数z=1+2i,故选D.(3)设2=bi,bCR且bw0,1+i则=bi,得到1+i=ab+bi,1+ai.1=ab,且1=b,解得a=1,故选D.+z-1-i-(-1-i)(1+i)2T答案1I考点聚焦突破髓I毒富I置毒蠡嚣最li胃册褰疆靠以例求弱ni考点一复数的相关概

7、念2-i【例11(1)(2019呼和浩特质检)已知z=,则复数z的虚部为()A.-iB.2C.-2iD.-2(2018兰州实战考试)已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1,2),则复数z-的共腕复数z=()A.2-iB.2+iC.1-2iD.1+2i，1+i，一，、，,.,(3)(2019大连一模)若复数z=r为纯虚数，则实数a的值为()1十ai-1A.1B.0C.万D.-1答案(1)D(2)D(3)D规律方法1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程（不等式）组即可.2.解题时一定要先看复数是否为a+bi（a,

8、bR）的形式，以确定实部和虚部.【训练11（1）（2018安庆二模）已知复数z满足：（2+i）z=1i,其中i是虚数单13B.Z+7i551D.-+i3位，则z的共腕复数为（）八13.A.5-5iC.；-i3（2019株洲二模）设i为虚数单位,1-i2+ai,则实数a=（）A.2B.1C.0D.-1解析(1)由(2+i)z=1i,得1i(1i)(2i)13-13z-2+i-(2+i)(2-i)-55i，-5+5i.故选B.2+ai(2)1i=,.2+ai=(1i)(1+i)=2,1+i解得a=0.故选C.答案（1）B（2）C考点二复数的几何意义Z14【例2】（1）已知i是虚数单位，设复数4=1

9、+i,Z2=1+2i,则g在复平面内对应的点在（）B.第二象限C.第三象限D.第四象限（2）（2019吉安一中、九江一中等重点中学联考）在复平面内，复数z对应的点与2对应的点关于实轴对称，则z=（）A.1+iB.一1一iD.1-i解析（1）由题可得,zi1+i(1+i)(1-2i)31=i,z21+2i(1+2i)(12i)55对应在复平面上的C.1+i点的坐标为J3,-5i在第四象限.（2）二复数z对应的点与2(1+i)1-i(1-i)(1+i)=1+i对应的点关于实轴对称,.z=1i.故选D.答案(1)D(2)D规律方法1.复数z=a+bi(a,bR)对应Z(a,b)对应应=(a,b).2

10、.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.1,£,【训练2】（1）（2019东北三省三校二模）设1是虚数单位，则复数1口在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限D.3+i如图，若向量OZ对应的复数为z,则z+4表示的复数为（A.1+3iC.3-i解析上I11.1+厂(1+i)(1-i)=2-"，则复数z对应的点为2）,在第四象限，故选D.由题图可得Z(1,1),即z=1i,所以z+4=1-i+=1-i+z1-i4(1+i)(1-i)(1+i)4+4

11、i=1i+2=1i+2+2i=3+i.故选D.答案(1)D(2)D考点三复数的运算【例3】(1)(2018全国田卷)(1+i)(2i)=()B.-3+iC.3-iD.3+i_*一、,，、r1i(2018全国I卷)设z=K+2i,则|z|=()A.01B.2C.1D.2、一Mtz+ifV2+V3_<1-iJ+V3-V2i-解析(1)(1+i)(2i)=2i+2ii2=3+i.故选D.+3(3)设复数z=1+2i,则77=(z1A.2iB.-2iC.2D.-21i(2)z=+2i=1+i2(1i).,、+2i=(1+i)(1-i)1-2i-12+2i=i,.|z|=|i|=1.故选C.z2+

12、3二;(1+2i)2+312+4i+4i2+34i=万=2.故选C.1+2i12i(4)原式=I-(1+i)22f(爽+V3i)(V3+V2i)r（V3）2+（V2）2=i6+>/6+2i+3i-V6=1+i.答案（1）D（2）C（3）C1+i规律方法复数代数形式运算问题的常见类型及解题策略(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可.(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共腕复数，解题时要注意把i的幕写成最简形式.(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a+bi(

13、a,bCR)的形式，再结合相关定义解答.(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为a+bi(a,bCR)的形式，再结合复数的几何意义解答.【训练3】(1)(2018全国II卷)i(2+3i)=()A.3-2iB.3+2iC.-3-2iD.-3+2i,1+i(2)已知i为虚数单位，则=()3i2+i1+2iDM2-iA5T12iC.5(3)设2=1+i(i是虚数单位)，则z22=()A.1+3iB.1-3iC.-1+3iD.13i解析(1)i(2+3i)=2i+3i2=3+2i,故选D.1+i(1+i)(3+i)1+2i(2)=c-.2(1i)(1i1-i)3-i

14、(3-i)(3+i)5(3)因为z=1+i,所以z2=(1+i)2=1+2i+i2=2i,2=2-=z1+i2(1-i)2(1-i)1-i2=1i,则z22=2i(1i)=1+3i.故选C.答案(1)D(2)D(3)C反思与感悟思维升华1 .复数的代数形式的运算主要有加、减、乘、除及求低次方根.除法实际上是分母实数化的过程.2 .复数z=a+bi（a,bCR）是由它的实部和虚部唯一确定的，两个复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法.对于一个复数z=a+bi（a,bCR）,既要从整体的角度去认识它，把复数看成一个整体；又要从实部、虚部的角度分解成两部分去认识.易错防范1 .判定复

15、数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义.2 .注意复数的虚部是指在a+bi（a,bCR）中的实数b,即虚部是一个实数.I分层限时调绦（ii雪Hiiii霞博II雪霆型露野层训练雅提无能制J基础巩固题组（建议用时：30分钟）一、选择题1 .（2019吴忠联考）已知复数（1+2i）i=a+bi,aCR,bCR,则a+b=（）A.-3B.-1C.1D.3解析因为（1+2i）i=2+i,所以a=2,b=1,则a+b=1,选B.答案B2 .（2018浙江卷）复数产T（i为虚数单位）的共腕复数是（）IiC.1+iA.1+iB.1-iD.-1i一一，2解析因为一2(1+i)2(1+i)

16、1-i(1-i)(1+i)1-i2=1+i,所以复数二-的共腕复1-i数为1i.故选B.答案B3.设复数z满足z=|1-i|+i(i为虚数单位)，则复数z=()B.y/2+iC.1D.12i解析复数z满足z=|1i|+i=&+i,则复数z=42i,故选A.答案A4.下列各式的运算结果为纯虚数的是(2A.i(1+i)2-2C.(1+i)2)B.i2(1-i)D.i(1+i)解析i(1+i)2=i2i=2,不是纯虚数，排除A；i2(1i)=(1i)=1+i,不是纯虚数，排除B；(1+i)2=2i,2i是纯虚数.故选C.答案C、r15.设z=；l+i(i1 +i1A.为虚数单位)，则Zl=(

17、)Bb.2C.2D.2解析因为1-i-1一+(1+i)(1-i).11.11.i=2+1=2+2所以忆|二2.6.若a为实数，且肾为实数，则”()A.1b.2D.-21+2i(1+2i)(a-i)解析因为=a+i(a+i)(ai)a+2+(2a1)ia2+1是一个实数，所以2a.一1一1=0,-a=2.故选B.答案B.一.a+i7.（2019豫南九校质量考评）已知复数=x+yi（a,x,yCR,i是虚数单包），则x+2y=()A.1B.3C.-3D.-155解析由题意得a+i=(x+yi)(2+i)=2xy+(x+2y)i,.x+2y=1,故选A.答案A8.(2019福建省普通高中质量检查)若

18、复数2满足(1+”=|*+1|,则在复平面内，zM应的点位于（）B.第二象限A.第一象限C.第三象限D.第四象限解析由题意，得zyj(V3)2+12_2(1i)1+i(1+i)(1i)一=1i,所以z=1+i,其在复平面内对应的点为（1,1）,位于第一象限，故选A.答案A二、填空题9.（2018天津卷）i是虚数单位，复数6+7i1+2i6+7i(6+7i)(1-2i)20-5i解析厂二一二一'二-c=4i.1+2i(1+2i)(1-2i)5答案4-i10 .复数z=(1+2i)(3i),其中i为虚数单位，则z的实部是解析(1+2i)(3i)=3+5i2i2=5+5i,所以z的实部为5.答案511 .(2019西安八校联考)若亘尚(a,bCR)与(2i)2互为共腕复数，则ab=解析a+bi(a+bi)(i)=bai,(2i)2=44i1=34i,abi.2(a,bCR)与(2i)互为共腕复数，b=3,a=4,则ab=7,故答案为一7.答案712.在复平面内，O为原点，向量OA对应的复数为一1+2i,若点A关于直线y=x的对称点为B,则向量OB对应的复数为.解析因为A(1,2)关于直线y=x的对称点B(-2,1),所以向量OB对应的复数为2+i.答案2+i能力提升题组(建议用时：15分钟)13.(201