2平面直角坐标系中的伸缩变换

1、4.3.2平面直角坐标系中的伸缩变换1 .了解平面直角坐标系中的伸缩变换，能运用伸缩变化进行简单的变换.2 .体会平面直角坐标系中的伸缩变换给图形带来的变化.基础初探1 .横坐标的伸缩变换kx-x,一般地，由，（k0）所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着丫n=y轴的伸缩变换（当k1时，表示伸长；当0k0）所确定的伸缩变换，是按伸缩系数为k向着xky=y轴的伸缩变换（当k1时，表示伸长；当0k0）,一一的作用下，点P（x,y）对应到点P（x，y）,称小为平面直Ly=屋底。）角坐标系中的坐标伸缩变换，简称为伸缩变换.思考探究1.91 .如果x轴的单包长度保持不变，y轴的单包长度缩小为原来的5，圆

2、x+y2=4的图形变为什么图形？伸缩变换可以改变图形的形状吗？那平移变换呢？2【提示】x2+y2=4的图形变为椭圆：+y2=1.伸缩变换可以改变图形的形状，但平移变换仅改变位置，不改变它的形状.2 .如何理解平面直角坐标系中的伸缩变换？【提示】在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x轴或y轴的单位长度，将会对图形产生影响.其特点是坐标系和图形发生了改变，而图形对应的方程不发生变化.如在下列平面直角坐标系中，分别作出f(x,y)=0的图形：(1)x轴与y轴具有相同的单位长度；(2)x轴上的单位长度为y轴上单位长度的k倍；1“(3)x轴上的单包长度为y轴上单包长度的口第(1)种坐标系中的意思是x轴

3、与y轴上的单位长度一样，f(x,y)=0的图形就是我们以前学过的平面直角坐标系中的f(x,y)=0的图形；第(2)种坐标系中的意思是如果x轴上的单位长度保持不变，y轴上的单位长度缩小为原来的k，止匕时f(x,y)=0表示的图形与第(1)种坐标系k中的图形是不同的；第(3)种坐标系中的意思是如果y轴上的单位长度保持不变，x轴上的单位长度缩小为原来的1,止匕时f(x,y)=0表示的图形与第(1)种坐标系k中的图形是不同的.质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:解惑：疑问2:解惑：疑问3:解惑：伫山J伸缩变换(kw0,且21).kx=x对下列曲线进行伸缩变换gy(1

4、)y=kx+b；(2)(x-a)2+(yb)2=r2.自主解答】设P(x,y)是变换前的点，P(x，y)是变换后的点，由1kx=x，lx=kx,题意，得彳即dW=y，ly=：y.(1)由1y=k(1x/)+b,v=kx+kb,得直线y=kx+b经过伸缩变换后Kk的方程为y=kx+kb,仍然是一条直线.当b=0时，该直线和原直线重合；当bw0时，该直线和原直线平行.(2)由(kx-a)2+(ky/b)2=r2,(x一ka)2+(ykb)2=(kr)2,得圆(xa)2+(yb)2=r2经过伸缩变换后的方程为(xka)2+(ykb)2=(kr)2,它是一个圆心为(ka,kb),半径为|kr|的圆.再

5、练一题1.在同一平面直角坐标系中，将直线x2y=2变成直线2y=4,求满足图象变换的伸缩变换.x=入冬/0【解】设变换为i,y=ny(j0代入直线方程2xy=4得：2入/n厂4,即入上多=2,比较系数得：即直线x-2y=2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得到直线2y=4.伸缩变换的应用1列曲线y=2sin3x变换成曲线y=3sin2x,求它的一个伸缩变换.【导学号：98990021x=MA0卜【思路探究】设S,代入y=3sin2x,所得式再与y=y=曙m0)2sin3x比较即可求卜.【自主解答】将变换后的曲线y=3sin2x改成y=3sin2xx=入户0),设伸缩变换4代入y

6、=3sin2xy=440),得.尸3sin(2入)一3,.、一即y=in(2人):，与y=2sin3x比较系数，,_32七3,壮2，得3即o=2,匹=5,2,3x=/x,所以伸缩变换为3确定一个伸缩变换，实际上就是求其变换方法，将新旧坐标分清，代入对应的曲线方程，然后比较系数即可.再练一题222.(1)圆x2+y2=a2经过什么样的伸缩变换，可以使方程变为|2+*=1(0b0,【解】设变换为y=仙ym0,一巾x2y2/口fx2代入万程一“十工厂=1,得一9-十22yy_4=1.与x2+y2=1比较，将其变形为奈+才y2=1,比较系数得七3,尸2.x=3x,22i即将圆x2+y2=1上所有点横坐标变为原来的3倍，纵坐标变y=2y,为原来的2倍，可得椭圆年+=1.94,、一一1,1 .直线x+4y6=0按伸缩系数万向着x轴的伸缩变换后，直线的万程是【答案】x+8y-6=02 .直线2x-3y=0按伸缩系数3向着y轴的伸缩变换后，直线的方程是【答案】2x-9y=03,曲线x2+y2=4按伸缩系数2向着y轴的伸缩变换后，曲线的方程是【导学号：98990022xy/【答案】+匚=116