对坐标曲线积分

1、第二节一、对坐标的曲线积分的概念与性质一、对坐标的曲线积分的概念与性质二、二、 对坐标的曲线积分的计算法对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系 机动 目录 上页 下页 返回 结束 对坐标的曲线积分 第十一章 一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 A 沿光滑曲线弧 L 移动到点 B, ABLxy求移cosABFW “分割” “近似”“求和” “取极限”常力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功W.ABF ABF),(, ),(),(yxQy

2、xPyxF机动 目录 上页 下页 返回 结束 1kMkMABxy1) “分割分割”.2) “近似近似”L把L分成 n 个小弧段,有向小弧段kkMM1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyQxP),(),(kk所做的功为,kWF 沿kkMM1kkkkMMFW1),(k),(kkFnkkWW1则用有向线段 kkMM1kkMM1上任取一点在kykx机动 目录 上页 下页 返回 结束 3) “求和求和”4) “取极限取极限”nkW1kkkkkkyQxP),(),(nkW10limkkkkkky)Q(x)P,(1kMkMABxyL),(kkFkykx(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)机动

3、 目录 上页 下页 返回 结束 2. 定义定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,LyyxQxyxPd),(d),(kkkxP),(kkkyQ),(nk 10lim则称此极限为函数或第二类曲线积分第二类曲线积分. 其中, ),(yxPL 称为积分弧段积分弧段 或 积分曲线积分曲线 .称为被积函数被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限),(, ),(),(yxQyxPyxF记作),(yxF),(yxQ机动 目录 上页 下页 返回 结束 LxyxPd),

4、(LyyxQd),(在 空间曲线弧 上的对坐标的曲线积分为: 称为称为),(, ),(, ),(),(zyxRzyxQzyxPzyxF( , , )d( , , )d( , , )dP x y z x Q x y z y R x y z z类似地, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 LyyxQxyxPd),(d),(LxyxPd),(LyyxQd),(对 y 的曲线积分.对 x 的曲线积分;),(yxP),(yxQ3. 性质性质(1) 若 L 可分成 k 条与L同向的光滑曲线弧iLLyyxQxyxPd),(d),(kiLiyyxQxyxP1d),(d),(2) 用L 表示 L 的反向弧 ,

5、则LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(,则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向方向 !机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、对坐标的曲线积分的计算法二、对坐标的曲线积分的计算法定理定理:),(, ),(yxQyxP设在有向光滑弧 L 上有定义且L 的参数方程为)()(tytx,:t则曲线积分LyyxQxyxPd),(d),( )(),(ttP)(t)(ttd)(),(ttQ连续,存在, 且有机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:不一定小于.特别是, 如果 L 的方程为,:),(baxxy则xxxQxxPba

6、d )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(对空间光滑曲线弧 :类似有zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),()(t)(t)(t)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd )(, )(),(tttP,:)()()(ttztytx定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 计算,dLxyx其中L 为沿抛物线xy 2解法解法1 取 x 为参数, 则OBAOL:01:,:xxyAO10:,:xxyOBOBAOLxyxxyxxyxdddxxxd)(0154d21023xxyyyyxyxLd)(d2112xyxy 解法解法2 取 y 为参数, 则11:,:2yy

7、xL54d2114yy从点xxxd10的一段. ) 1, 1 ()1, 1(BA到)1 , 1(B)1, 1( Aoyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算其中 L 为,:, 0aaxyyBAoaax(1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为,d2xyL0:,sin,costtaytaxxyLd2ttadsin2203332a(2) 取 L 的方程为xyLd2ta202sinttad)sin(132334aaaxd00则则机动 目录 上页 下页 返回

8、 结束 yxo例例3. 计算,dd22yxxyxL其中L为(1) 抛物线 ; 10:,:2xxyL(2) 抛物线 ;10:,:2yyxL(3) 有向折线 .:ABOAL解解: (1) 原式22xxxx d4103(2) 原式yyy222yy d5104(3) 原式yxxyxOAdd22102d)002(xxx1)0, 1(A)1 , 1(B2yx 2xy 10(xxxd)2210(yyd)4yxxyxABdd2210d)102(yy11机动 目录 上页 下页 返回 结束 ozyx例例4. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从 z 轴正向看为顺时针方向.解解: 取

9、 的参数方程,sin,costytx)02:(sincos2tttz20Itttcos)sincos22(tttttd )sin)(cossin(costt d)cos41 (220)sin)(cos2(tt 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、两类曲线积分之间的联系三、两类曲线积分之间的联系设 L 的参数方程为( ) ,( ) ( 0)xx tyy ttl 则L的切向量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 cosdd , cosddsxsy所以所以L的切向量的方向余弦为 tytx, tytxtx22cos tytxty22cosdsdxdsdy类似的，有zRyQxPdddsRQPdco

10、scoscos机动 目录 上页 下页 返回 结束 则两类曲线积分有如下联系LyyxQxyxPd),(d),(LsyxQyxPdcos),(cos),(cosdd , cosddsxsy例例5. .将积分yyxQxyxPLd),(d),(化为对弧长的积分,0222xyx).0 , 2()0 , 0(BO到从解：解：oyxB,22xxycos,22xx cosx1yyxQxyxPLd),(d),(syxQyxPLd),(),(22xx)1(x其中L 沿上半圆周机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以L的切向量为221, 1xxx则L的切向量的方向余弦为所以因为L的方程为1. 定义kkkknkyQx

11、P),(),(limkk10LyyxQxyxPd),(d),(2. 性质(1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧), 1(kiLiLyyxQxyxPd),(d),(iLkiyyxQxyxPd),(d),(1(2) L 表示 L 的反向弧LyyxQxyxPd),(d),(LyyxQxyxPd),(d),(对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向积分弧段的方向!内容小结内容小结机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 计算,)()(:tytxL: tLyyxQxyxPd),(d),(tttQttPd )(),( )(),()(t)(t 对有向光滑弧 对有向光滑弧baxxyL:, )(:xxxQxxPb

12、ad )(,)(,)(xLyyxQxyxPd),(d),(机动 目录 上页 下页 返回 结束 zzyxRyzyxQxzyxPd),(d),(d),(:,)()()(ttztytx)(, )(),(tttP)(t)(t)(t4. 两类曲线积分的联系LyQxPddsQPLdcoscoszRyQxPdddsRQPdcoscoscos)(, )(),(tttQ)(, )(),(tttRtd 对空间有向光滑弧 :机动 目录 上页 下页 返回 结束 F原点 O 的距离成正比,思考与练习思考与练习1. 设一个质点在),(yxM处受恒指向原点,)0,(aA沿椭圆此质点由点12222byax沿逆时针移动到, )

13、,0(bB),(yxMxyo)0 ,(aA), 0(bB提示提示:yykxxkWdd AB:ABtaxcostbysin20:t, ),(yxOM F 的大小与M 到原F 的方向力F 的作用,求力F 所作的功. ),(yxkFF),(xyk思考思考: 若题中F 的方向 改为与OM 垂直且与 y 轴夹锐角,则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )0 , 0 , 1 (A)0 , 1 , 0(B) 1 , 0 , 0(Coxyz2. 已知为折线 ABCOA(如图), 计算zyyxIddd提示提示:I001d)1 (yy10dx2)211 ( 12101d2 x1 yx1 zyyxABddzyyBCddOAxd机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 设曲线C为曲面2222azyx与曲面axyx22,)0, 0(的交线az从 ox 轴正向看去为逆时针方向,(1) 写出曲线 C 的参数方程 ;(2) 计算曲线积分.ddd222zxyzxyC