新北师大版_八年级下册数学_第一章_三角形的证明_1.2.1_直角三角形

1、 1.2.1 直角三角形 如图，在高为米，坡角为如图，在高为米，坡角为30的楼梯表面铺毯，地毯长度约为的楼梯表面铺毯，地毯长度约为多米？多米？30米米老师提示老师提示: :对于含对于含30300 0角的直角三角形边角的直角三角形边之间之间, ,角之间的关系要作为常识去认可角之间的关系要作为常识去认可. . 学习目标1经历探索、猜测、证明的过程，了解勾股定理及其逆定理的证明方法，发展学生初步的演绎推理能力。2结合具体例子了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆命题、互逆定理，知道原命题成立其逆命题不一定成立。 复习提问：复习提问：1 1、直角三角形的角有哪些性质？、直角三角形的角有哪些性质？ 一

2、般性质：一般性质：直角三角形的角具有一般三角形的所有性质直角三角形的角具有一般三角形的所有性质.特殊性质：特殊性质：直角三角形两锐角互余直角三角形两锐角互余.2 2、直角三角形的边有哪些性质？、直角三角形的边有哪些性质？ 一般性质：一般性质：直角三角形的边具有一般三角直角三角形的边具有一般三角 形的所有性质形的所有性质. 特殊性质：特殊性质：在直角三角形中，如果一个锐在直角三角形中，如果一个锐 角等于角等于30，那么它所对的直角，那么它所对的直角 边等于斜边的一半边等于斜边的一半. 勾股定理勾股定理:如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为，斜边为c，那么，那么a

3、2+b2=c2.即直角三角形两即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理在勾股定理在西方文献中又称为西方文献中又称为毕达哥拉斯定理毕达哥拉斯定理cabcabcabcab (a+b)2 = c2 + 4ab/2a2+2ab+b2 = c2 +2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2 +4ab/2ca ca cb ca c2= 4ab/2 +(b-a)2 c2 =2ab+b2-2ab+a2 c2 =a2+b2a2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为

4、也可以表示为c24ab/2+(b- a)2aabcc22222122122121221221212122212212221211)2()(cbacababbasscabcababsabbababababasbacbac 已知：如图（已知：如图（1），在），在ABC中，中，AB2+AC2=BC2. 求证：求证：ABC是直角三角形是直角三角形.ABC图（图（1）勾股定理的逆定理l如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.ABC图（图（1）ABC图（图（2）证 明 ： 作证 明 ： 作 R t A B C ， 使， 使A=90,AB=AB,AC=AC（如（如图（图（2）,则

5、则AB2+AC2=BC2（勾股定理）（勾股定理）. AB2+AC2=BC2 , AB=AB,AC=AC, BC2=BC2. BC=BC. ABCABC(SSS). A=A=90(全等三角形的对应角全等三角形的对应角相等相等).因此，因此，ABC是直角三角形是直角三角形. 几何的三种语言 回顾反思回顾反思驶向胜利的彼岸w勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理l如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形.这是判定直角三角形的根据之一.l在ABC中lAC2+BC2=AB2(已知),lABC是直角三角形(如果三角形两边的平方和等于第三边平方, 那么这个三角形是直角三角形).acbAB

6、C(1)及时练：及时练：1、一个三角形的三边之比为、一个三角形的三边之比为 , ,这个三角形的形状是这个三角形的形状是( ) 2、已知：线段、已知：线段abc的值如下，则能够的值如下，则能够组成直角三角形的是（组成直角三角形的是（ ）(A)346 (B)51213(C)124 (4)135253习题习题1.4 独立作业独立作业1.在在ABC中，已知，中，已知，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线边上的中线AD=12cm ，求证：求证：AB=AC DBAC直角三角形两条直角边的平方 和等于斜边的平方。如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三形是直角三角形。w在两个命题中在

7、两个命题中,如果一个命题的如果一个命题的条件条件和和结论结论分别是另一个命题的分别是另一个命题的结论结论和和条条件件,那么这两个命题称为那么这两个命题称为互逆命题互逆命题,其中其中一个命题称为另一个命题的一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题.w你能写出命题你能写出命题“如果两个有理数相如果两个有理数相等等,那么它们的平方相等那么它们的平方相等”的逆命题的逆命题吗吗?w它们都是真命题吗它们都是真命题吗? 逆命题：如果两个有理数的平方相等，逆命题：如果两个有理数的平方相等，那么这两个有理数相等那么这两个有理数相等. . 原命题是真命题，逆命题是假命题原命题是真命题，逆命题是假命题. . 巩固练习：

8、巩固练习： 说出下列命题的逆命题，并判断每对说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：命题的真假： （1 1）四边形是多边形；）四边形是多边形； （2 2）两直线平行，同旁内角互补；）两直线平行，同旁内角互补； （3 3）如果）如果ab=0ab=0，那么，那么a=0,b=0.a=0,b=0. 提问：一个命题是真命题，它的逆命题一提问：一个命题是真命题，它的逆命题一定是真命题吗？定是真命题吗？w一个一个命题命题是真命题是真命题, ,它逆命题却它逆命题却不一定不一定是是真命题真命题. .w你还能举出一些例子吗你还能举出一些例子吗?w想一想想一想: :互逆命题与互逆定理有何关系互逆命题与互逆定理有

9、何关系?w如果一个如果一个定理定理的逆命题经过证明是真命的逆命题经过证明是真命题题,那么它是一个那么它是一个定理定理,这两个定理称为这两个定理称为互逆互逆定理定理,其中一个定理称另一个定理的其中一个定理称另一个定理的逆定理逆定理. 互逆定理：如果一个定理的逆命题经互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是个定理，这过证明是真命题，那么它也是个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理为另一个定理的逆定理. 判断正误：判断正误： （1）互逆命题一定是互逆定理；）互逆命题一定是互逆定理； （2）互逆定理一定是互逆命题）互逆定

10、理一定是互逆命题. 我们已经学习了一些互逆定理，如勾我们已经学习了一些互逆定理，如勾股定理及其逆定理、股定理及其逆定理、“两直线平行，内错两直线平行，内错角相等与角相等与“内错角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行”等等.请你再举出一些互逆定理的例子请你再举出一些互逆定理的例子. 巩固练习：巩固练习： 1 1、写出下列命题的逆命题，并判断、写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假：每对命题的真假：baba，那么如果22)1(2)(2)矩形是正方形矩形是正方形；(3)如果如果x20，那么，那么x0;(4)直角都相等直角都相等.2 、 在 、 在 A B C 中 ， 已 知中 ， 已 知AB=

11、13cm,BC=10cm,BC边上的中线边上的中线AD=12cm.求证：求证：AB=AC.知识拓展知识拓展已知：已知：ABC中，中， C=600，AB=14，AC=10，AD是是BC边上的高，求边上的高，求BC的长的长BCAD解后反思解后反思：在直角三角形中，利用勾股定理在直角三角形中，利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用，在有直角三角形时，个重要应用，在有直角三角形时，可直接应用，在没有直角三角形可直接应用，在没有直角三角形时，常作垂线构造直角三角形，时，常作垂线构造直角三角形，为能应用勾股定理创造条件。为能应用勾股定理创造条件。习题1.4 独立作业

12、独立作业w3.3.如图如图, ,正四棱柱的底面边长为正四棱柱的底面边长为5cm,5cm,侧棱长为侧棱长为8cm,8cm,一只蚂蚁欲从正一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点四棱柱的底面上的点A A沿棱柱侧面沿棱柱侧面到点到点C C1 1处吃食物处吃食物, ,那么它需要爬行的那么它需要爬行的最短路径是多少？最短路径是多少？ 老师提示老师提示: :对于空间图形需要动手对于空间图形需要动手操作操作, ,将其转化为平面图形来解决将其转化为平面图形来解决. . BCAB1 1C1 1D1 1A1 1DBAB1 1D1 1A1 1DC1 1CCABDE 已知：在已知：在ABC中，中， C=900， AD是是BC

13、边上的中线，边上的中线，DEAB，垂足为垂足为E，求证：求证：AC2=AE2-BE2解后反思解后反思证明线段的平方和或差，常常考虑运证明线段的平方和或差，常常考虑运用勾股定理，若无直角三角形，可通用勾股定理，若无直角三角形，可通过作垂线构造直角三角形，以便运用过作垂线构造直角三角形，以便运用勾股定理。勾股定理。梦想成真梦想成真 试一试试一试P141.如图如图(单位：英尺单位：英尺),在一个长方体的在一个长方体的房间里房间里,一只蜘蛛在一面墙的正中间一只蜘蛛在一面墙的正中间离天花板离天花板1英尺的英尺的A处处,苍蝇则在对面苍蝇则在对面墙的正中间离地板墙的正中间离地板1英尺的英尺的B处处.试问试问:蜘蛛为了捕获苍蝇蜘蛛为了捕获苍蝇,需要爬行的需要爬行的最短距离是多少最短距离是多少?AB 301212 小结小结: :请同学们用自己的语言小结请