竞赛两角和与差

1、第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式辅助角公式：辅助角公式：222222cos;sin),sin(cossinbaababxbaxbxa 其其中中一、温故知新一、温故知新 sincoscossin)sin(sincoscossin)sin(: 正正弦弦公公式式 sinsincoscos)cos(sinsincoscos)cos(: 余余弦弦公公式式 tantan1tantan)tan(tantan1tantan)tan( 正正切切公公式式：二、二倍角公式的变形二、二倍角公式的变形 22sin22cos1,cos22cos1 升幂公式升幂公式降幂公式降幂公式 2sin1)cossin(22c

2、os1sin,22cos1cos222 一、温故知新一、温故知新 cossin22sin 2222sin212cos1cos22cossincos2cos 2tan1tan22tan 二倍角公式二倍角公式 二倍角公式中的二倍角公式中的sin2,cos2sin2,cos2能否用能否用tantan来表示？来表示？ 提示提示: :能能. . 2222sin cos2tansin22sin cossincos1tan ，22222222cossin1tancos2cossin.cossin1tan 1.cos331.cos33cos87cos87+sin33+sin33cos177cos177的值为的

3、值为( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 【解析解析】选选B.cos33B.cos33cos87cos87+sin33+sin33cos177cos177=cos33=cos33sin3sin3-sin33-sin33cos3cos3=sin(3=sin(3-33-33)=-sin30)=-sin30= .= .12123232122.2.已知已知tan(+tan(+)=3,tan(-)=5,)=3,tan(-)=5,则则tan2=tan2=（ ）(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D)【解析【解析】选选D.tan2=tanD.tan2

4、=tan(+)+(-(+)+(-) )18184747tan()tan()3584.1tan() tan1 3 5147 3.3.如果如果coscos2 2-cos-cos2 2=a=a，则，则sin(+)sin(-sin(+)sin(-) )等于等于（ ）（A A） （B B） （C C）-a -a （D D）a a【解析【解析】选选C.sin(+)sin(-C.sin(+)sin(-) )=(sincos+cossin)(sincos-cossin=(sincos+cossin)(sincos-cossin) )=sin=sin2 2coscos2 2-cos-cos2 2sinsin2

5、2=(1-cos=(1-cos2 2)cos)cos2 2-cos-cos2 2(1-cos(1-cos2 2)=cos=cos2 2-cos-cos2 2=-a.=-a.a2a21.cos33cos87+sin33cos177的值为的值为2.已知已知tan(+)=3,tan(-)=5,则则tan2=（ ）3tan()42，4.若若 则则2sin2-cos2=_.cos3sin1212若若 则则 =_.1tan2012,1tan1tan2cos2cos103sin10_.1 cos804.4.若若 则则2sin2sin2 2-cos-cos2 2=_.=_.【解析【解析】由由 得，得，2+2t

6、an=3-3tan,2+2tan=3-3tan,答案答案: :3tan()423tan()42，1tan3,1tan21tan.5 222222222sincos2tan12sincossincostan1 而212325.126125 23265.5.化简：化简： =_.=_.【解析【解析】答案答案: :cos3sin121213cos3sin2( cossin)12122122122(coscossinsin)3123122cos()2cos2.312421.1.两角和与差的三角函数公式的理解两角和与差的三角函数公式的理解(1)(1)正弦公式概括为正弦公式概括为“正余，余正符号同正余，余正

7、符号同”“符号同符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为指的是前面是两角和，则后面中间为“+”+”号；号；前面是两角差，则后面中间为前面是两角差，则后面中间为“-”-”号号. .(2)(2)余弦公式概括为余弦公式概括为“余余，正正符号异余余，正正符号异”. .(3)(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令二倍角公式实际就是由两角和公式中令=可得可得. .特别地，对于余弦特别地，对于余弦:cos2=cos:cos2=cos2 2-sin-sin2 2=2cos=2cos2 2-1=1-1=1-2sin2sin2 2，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为，这三个公式各有用处，同等重要，特别

8、是逆用即为“降幂公式降幂公式”，在考题中常有体现，在考题中常有体现. .2.2.弦切互化公式弦切互化公式对于弦切互化对于弦切互化 有时也起到有时也起到简化解题过程的作用简化解题过程的作用. . 22tansin21tan ，221tancos21tan 三角函数式的化简三角函数式的化简【例【例1 1】化简下列各式：】化简下列各式：(1)(1)【审题指导【审题指导】对于含有根式的三角函数，化简一般采用倍角对于含有根式的三角函数，化简一般采用倍角公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公公式转化为完全平方式后开根号，若含有常数可采用倍角公式将常数化掉式将常数化掉. .1 sincos(s

9、incos )22022cos ；【自主解答【自主解答】(1)(1)原式原式因为因为00，所以，所以所以所以所以原式所以原式=-cos=-cos. .2222(2sincos2cos)(sincos )222224cos2cos(sincos)coscos2222.coscos22022，cos0,2【规律方法【规律方法】三角函数的给角求值或化简，所给角往往是非三角函数的给角求值或化简，所给角往往是非特殊角特殊角. .解决的基本思路是：解决的基本思路是： 三角函数的求值三角函数的求值【例【例2 2】(2011(2011东城模拟东城模拟) )已知已知-2cos+sin=0-2cos+sin=0，

10、(, )., ).(1)(1)求求sin(sin(+ );+ );(2)(2)求求tan(tan(+ ).+ ).【审题指导【审题指导】由已知结合同角三角函数关系式可得由已知结合同角三角函数关系式可得sinsin, ,cos,tancos,tan, ,从而再利用两角和的公式可得（从而再利用两角和的公式可得（1 1）（）（2 2）. .3244【自主解答【自主解答】(1)(1)由由-2cos+sin=0-2cos+sin=0即即sinsin=2cos.=2cos.又又sinsin2 2+cos+cos2 2=1=1得得 又又(, ), ),(2)(2)由（由（1 1）可得）可得tantan=2=

11、2，24sin.5 322 55sin,cos,55 sin()sin coscos sin4442(sincos )222 553 10().25510 1tan12tan()3.41tan12 已知已知cos(+)+cos(-)= sin(+)+sin(-)= 求求(1)tan; 22cos3sin122.2sin()44,53,5【规律方法【规律方法】三角函数的求值是三角变换中常见题型，它分三角函数的求值是三角变换中常见题型，它分为非条件求值（特殊的化简）和条件求值为非条件求值（特殊的化简）和条件求值. .条件求值中又有给值求值和给值求角，此类问题的关键是把条件求值中又有给值求值和给值求

12、角，此类问题的关键是把待求角用已知角表示：待求角用已知角表示：(1)(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和与差. .(2)(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍倍”的关系或的关系或“互余互补互余互补”关系关系. .(3)(3)对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有：对于角还可以进行配凑，常见的配凑技巧有：= =(+)-=-(- =(+)-=-(-) )= = (+)+(-(+)+(-) )，对于给值求角，关键是求该角的某一个三角函数值，再根据对于给值求角，关键是求该角的某一个三角函数值，再根据范

13、围确定角范围确定角. .12().424 2【互动探究】若将本例中的【互动探究】若将本例中的范围修改为范围修改为(0, ),(0, ),则如则如何求何求coscos( -2)( -2)和和sin( -2)?sin( -2)?【解析【解析】由本例可得由本例可得: : 又又(0, ),(0, ),故故23624sin,5 2 55sin,cos,55 2 554sin22sin cos2,555 2253cos22cos12 ()1,55 2133425254 3310 （），sin(2 )sincos2cossin26661334()252534 3.10 cos(2 )coscos2sinsi

14、n2333 【变式训练】已知【变式训练】已知0 0 ，且，且cos(cos(- )=- )= 求求cos(+cos(+) )的值的值. .【解析【解析】0 ,0 0)x(0)的最的最小正周期为小正周期为 (1)(1)求求的值；的值；（2 2）若函数）若函数y=g(xy=g(x) )的图象是由的图象是由y=f(xy=f(x) )的图象向右平移的图象向右平移 个个单位长度得到单位长度得到, ,求求y=g(xy=g(x) )的单调增区间的单调增区间. .2.32【审题指导【审题指导】本例可将原函数平方展开本例可将原函数平方展开, ,利用同角三角函数基利用同角三角函数基本关系式及倍角公式和两角和与差的

15、逆用化为一个角的一个本关系式及倍角公式和两角和与差的逆用化为一个角的一个三角函数，再利用周期可求三角函数，再利用周期可求，利用图象变换可求，利用图象变换可求g(xg(x) )的单的单调增区间调增区间. .【规范解答【规范解答】(1)f(x)=sin(1)f(x)=sin2 2x+cosx+cos2 2x+2sinxx+2sinxcosxcosx+1+cos2x=sin2x+cos2x+2+1+cos2x=sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2,= sin(2x+ )+2,依题意得依题意得 故故(2)(2)依题意得依题意得由由解得解得故故g(xg(x) )的单调增区间为的单调增区间

16、为2422,233.2 5g x2sin3(x)22sin(3x)2.24452k3x2k(kZ)242227kxkkZ .34312227k,kkZ .34 312【规律方法【规律方法】高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中二倍角公式的考查往往渗透在研究三角函数性质中. .需要利用需要利用这些公式，先把函数解析式化为这些公式，先把函数解析式化为y=Asin(xy=Asin(x+ )+ )的形式，再的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周

17、期性、对称性等性质性、对称性等性质. .【变式备选】已知【变式备选】已知f(xf(x)=sin)=sin2 2x(0)x(0)的最小正周期为的最小正周期为.求求函数函数f(xf(x) )在区间在区间 上的值域上的值域. .【解析【解析】= - cos2x= - cos2x，其周期为，其周期为.=1.f(x)=- cos2x+ .=1.f(x)=- cos2x+ .当当xx0, 0, 时，时，2x2x0, 0, . .cos2xcos2x-1,1-1,1.f(x.f(x)0,10,1. .203， 21 cos2 xf xsinx2 121212122343【变式训练】已知函数【变式训练】已知函

18、数 (0)(0)的最小正周期为的最小正周期为.(1)(1)求求f(xf(x););(2)(2)当当xx 时，求时，求f(xf(x) )的值域的值域. . 2f xsinx3sin xsin( x)2 ,12 2 三角函数、三角恒等变换的综合问题三角函数、三角恒等变换的综合问题【典例】（【典例】（20102010湖南高考）已知函数湖南高考）已知函数(1)(1)求函数求函数f(xf(x) )的最大值；的最大值；(2(2）求函数）求函数f(xf(x) )的零点的集合的零点的集合. .【审题指导【审题指导】由已知利用降幂公式及由已知利用降幂公式及 将函数化为同一个角的三角函数，而后求解即可得将函数化为

19、同一个角的三角函数，而后求解即可得结果结果. .第第(2)(2)问可解方程求解问可解方程求解. . 2f x3sin2x2sin x.22asinxbcosxabsin(x) 两角和与差及倍角公式解答题的答题技巧两角和与差及倍角公式解答题的答题技巧【典例】（【典例】（1212分）（分）（20102010北京高考）已知函数北京高考）已知函数f(xf(x)=2cos2x+sin)=2cos2x+sin2 2x.x.(1)(1)求求 的值；的值；(2(2) )求求f(xf(x) )的最大值和最小值的最大值和最小值. .【审题指导【审题指导】利用倍角公式展开和同角三角函数关系转化求利用倍角公式展开和同

20、角三角函数关系转化求解，也可利用倍角公式逆用转化求解解，也可利用倍角公式逆用转化求解. .f( )3【规范解答【规范解答】方法一方法一: : 4 4分分(2)f(x)=2(2cos(2)f(x)=2(2cos2 2x-1)+(1-cosx-1)+(1-cos2 2x)x)=3cos=3cos2 2x-1,xR.x-1,xR.cosxcosx-1,1-1,1,cos,cos2 2xx0,10,1，1010分分当当cosxcosx= =1 1时时,f(x),f(x)maxmax=2.=2.当当cosxcosx=0=0时，时，f(x)f(x)minmin=-1. =-1. 12 12分分21f( )

21、2cos(2)sin333（ ）22312cossin1.3344 方法二方法二:(1):(1)由由f(xf(x)=2cos2x+sin)=2cos2x+sin2 2x x得得 4 4分分(2)xR,cos2x(2)xR,cos2x-1,1-1,1. . 9 9分分 1212分分 1 cos2x31f x2cos2xcos2x222，321311f( )cos.3232424 max31f x2,cos2x1,22此时 min31f x1,cos2x1.22 此时【失分警示【失分警示】本题考查二倍角公式的正用、逆用及其性质，本题考查二倍角公式的正用、逆用及其性质，属容易题，掌握好公式是关键，其

22、失分原因主要有：一是特属容易题，掌握好公式是关键，其失分原因主要有：一是特殊角的三角函数值记不清，二是运算错误造成失分殊角的三角函数值记不清，二是运算错误造成失分. .解决此类问题的失分点主要是：解决此类问题的失分点主要是：1.1.不能对所给函数式准确化简造成失分不能对所给函数式准确化简造成失分. .2.2.求最值或取值范围问题忽略相应变量的取值范围造成失分求最值或取值范围问题忽略相应变量的取值范围造成失分. .【变式训练】已知函数【变式训练】已知函数f(xf(x)=sin)=sin2 2x+ sinxsin(xx+ sinxsin(x+ )+ )(0)(0)的最小正周期为的最小正周期为.(1

23、)(1)求求的值；的值；(2)(2)求函数求函数f(xf(x) )在区间在区间0 0， 上的取值范围上的取值范围. .3223【解析【解析】 函数函数 的最小正周期是的最小正周期是_. 2f xsin (2x)42.（2010全国全国）已知）已知 则则cos(-2)=（ ）(A) (B) (C) (D)2sin,3 53191953已知已知为第二象限角，为第二象限角， 则则tan2=_.3sin,5 1.(20111.(2011福州模拟福州模拟) )将函数将函数 的图象向左平的图象向左平移移m m个单位个单位(m0)(m0)，若所得图象对应的函数为偶函数，则，若所得图象对应的函数为偶函数，则m

24、 m的最的最小值是小值是( )( )(A) (B) (C) (D) (A) (B) (C) (D) 【解析【解析】选选A.A.由由 向左平移向左平移m m个个单位后得单位后得g(xg(x)=2sin(x- +m),)=2sin(x- +m),若若g(xg(x) )是偶函数是偶函数, ,则则m- =m- =k+ (kZ),k+ (kZ),m=k+ (kZ),mm=k+ (kZ),mminmin= .= . f x3sinxcosx233856 f x3sinxcosx2sin(x)666223232.(20102.(2010陕西高考陕西高考) )对于函数对于函数f(xf(x)=2sinxcosx

25、)=2sinxcosx，下列选项中，下列选项中正确的是正确的是( )( )(A)f(x(A)f(x) )在在 上是递增的上是递增的(B)f(x(B)f(x) )的图象关于原点对称的图象关于原点对称(C)f(x(C)f(x) )的最小正周期为的最小正周期为22(D)f(x(D)f(x) )的最大值为的最大值为2 2【解析【解析】选选B.f(xB.f(x)=2sinxcosx=sin2x,)=2sinxcosx=sin2x,其增区间为其增区间为 kZkZ且且f(xf(x) )是奇函数是奇函数, ,图象关于原点对称，图象关于原点对称，最小正周期最小正周期T=T=，f(x)f(x)maxmax=1,=

26、1,故选故选B.B.(,)4 2 k,k,443.(20113.(2011银川模拟银川模拟) )已知已知 且且sin-cossin-cos1,1,则则sin2=sin2=（ ）【解析【解析】选选A.sin= sin-cosA.sin= sin-cos1,cos1,cos0,在第二象限，在第二象限，4sin5 4C5 24A25 12B25 24D254,53cos,5 4324sin22sincos2().5525 4.(20114.(2011长沙模拟长沙模拟) )已知已知coscos( -)= ,( -)= ,则则的值为的值为( )( )【解析【解析】选选B.B. 1122A B - C D

27、 -33336335sin(2 )6 5sin(2 )6 22sin(2 )23cos(2 )2cos () 136312 ()1.33 5.(20115.(2011南通模拟南通模拟) )满足满足 的锐角的锐角x=_.x=_.【解题提示【解题提示】利用两角和的余弦公式的逆用化为一个角的三利用两角和的余弦公式的逆用化为一个角的三角函数后解方程可得角函数后解方程可得. .【解析【解析】由题意知由题意知即即 故故 又因为又因为x x为锐角，为锐角，故故答案答案: :1sinsinxcoscosx,55241sinsinxcoscosx5521cos(x),52 2x2k ,kZ53 ，7x.1571

28、5一、选择题一、选择题( (每小题每小题4 4分，共分，共2020分分) )1.(20111.(2011山师大附中模拟山师大附中模拟) )若若 则则的值为的值为( )( )【解析【解析】选选D.D.故故1sin(),63 2cos(2 )3 1177A B C D33991cos()sin(),363 227cos(2 )2cos () 1.339 2.(cos152.(cos15-cos75-cos75)(sin75)(sin75+sin15+sin15)=( )=( )(A) (B) (C) (D)1(A) (B) (C) (D)1【解析解析】选选C.C.原式原式=(cos15=(cos1

29、5-sin15-sin15)(cos15)(cos15+sin15+sin15) )=cos=cos2 21515-sin-sin2 21515=cos30=cos30= .= .122232323.3.已知已知 则则f()f()取得最大值时取得最大值时的值是的值是( )( )(A) (B) (C) (D)(A) (B) (C) (D) 1cos2f,(0,),12tan2tan2 64325【解析【解析】选选B. B. 当当 即即 时，函数时，函数f(f() )取得最大值取得最大值. . 222221cos22cosf1tancossin222tan2sincos222cossincossi

30、n cos122sin2 ,cos2cossin22 22 ，4 4.(20114.(2011长沙模拟长沙模拟) )函数函数y=2sin( -x)-cosy=2sin( -x)-cos( +x)( +x)(x(0,)(x(0,)，则函数，则函数( )( )(A)(A)有最小值有最小值-1,-1,无最大值无最大值(B)(B)有最大值有最大值1 1，无最小值，无最小值(C)(C)有最小值有最小值 最大值最大值1 1(D)(D)有最小值有最小值-1-1，最大值，最大值365,5【解析【解析】选选A.y=2sin cosx-2cos sinxA.y=2sin cosx-2cos sinx- -cos cosx+sin sinxcos cosx+sin sinx= cosx- sinx=