第3章 矩阵初等变换与线性方程组

1、线性代数3 31 1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换第三章第三章 矩阵的初等变换与线性方程组矩阵的初等变换与线性方程组3 33 3 线性方程组的解线性方程组的解3 32 2 矩阵的秩矩阵的秩第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组3-1 3-1 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运算 它它在在解线性方程组解线性方程组、求逆阵求逆阵及及矩阵理论矩阵理论的探讨中都可起重要的探讨中都可起重要的作用的作用。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组一、消元法解一、消元法解线性方程组线

2、性方程组 引例引例1( )求解线性方程组求解线性方程组 ,97963,42264,42,224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx1342分析：用消元法解下列方程组的过程分析：用消元法解下列方程组的过程第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组解：解：1()B1( )121321234123412341234242223236979,xxxxxxxxxxxxxxxx13422 132 33 142()B123423423423424222055363343,xxxxxxxxxxxxx 1342第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变

3、换与线性方程组123423444240263,xxxxxxxxx 13425 221 33 42212342344240300,xxxxxxxx 134232 443用用“回代回代”的方法求出解：的方法求出解：3()B4()B第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组于是解得于是解得 33443231xxxxx,3344321 cccxxxxx14131003xc即即（2）其中其中c为任意常数。为任意常数。令令x3= =c , ,方程组的解可记作方程组的解可记作其中其中x3 3为任意取值。为任意取值。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组小结

4、：小结：1 1、上述解方程组的方法称为消元法上述解方程组的方法称为消元法 2 2、始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1 1）交换方程次序；交换方程次序；（2 2）以不等于的数乘某个方程；以不等于的数乘某个方程；（3 3）一个方程加上另一个方程的一个方程加上另一个方程的k k倍倍ij（与相互替换）（与相互替换）（以替换）（以替换）ik ij（以替换）（以替换）ik i第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组3 3、上述三种变换都是可逆的上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是由于三种变换都是可逆可逆的，所以变换前

5、的方程组与变的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bik )(B则则);(Aik )(B则则).(Ak ji第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算。常数进行运算，未知量并未参与运算。若记若记21112112144622436979(, )BA b则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵则对方程组的

6、变换完全可以转换为对矩阵B方程组（方程组（1 1）的的增广矩阵增广矩阵的变换。的变换。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组二、矩阵的初等变换二、矩阵的初等变换定义定义3-13-1下面三种变换称为矩阵的初等下面三种变换称为矩阵的初等行行变换变换: :（1 1）互调：互调：对调两行对调两行（对调（对调i，j两行，记作：两行，记作：ri rj ）（2 2）倍乘：倍乘：以非零数以非零数k k乘以某一行的所有元素；乘以某一行的所有元素；（第（第i行乘以数行乘以数k，记作：记作：ri k ）（3 3）倍加：倍加：把某一行所有元素的把某一行所有元素的k倍加到另一行对应的元倍加到

7、另一行对应的元素上去；素上去；（第（第j行的行的k倍加到第倍加到第i行上，记作：行上，记作：ri+krj ）1 1、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组定义定义3-23-2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为 初等变换。初等变换。初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换, , 且变换类型相同且变换类型相同同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等初等列列变换变换( (所用标记把所用标记把“r”换成换成“c”) )jirr 逆变换逆变换;jirr kri 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或

8、jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组2 2、矩阵的等价关系、矩阵的等价关系 如果矩阵如果矩阵A经有限次初等变换变成矩阵经有限次初等变换变成矩阵B 就称就称矩阵矩阵A与与B等价等价 记作记作 A B。如果矩阵如果矩阵A经有限次初等经有限次初等行行变换变成矩阵变换变成矩阵B 就称就称矩阵矩阵A与与B行行等价等价 记作记作 A B。r如果矩阵如果矩阵A经有限次初等经有限次初等列列变换变成矩阵变换变成矩阵B 就称就称矩阵矩阵A与与B列列等价等价 记作记作 A B。c cv等价关系的性质等价关系的性质 (1)(1)反身

9、性：反身性： A A (2)(2)对称性：对称性： 若若A B 则则B A (3)(3)传递性：传递性： 若若A B B C 则则A C 。 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组例如用矩阵的初等行变换解方程组（例如用矩阵的初等行变换解方程组（1 1）：）： 97963422644121121112B197963211322111241211B 12rr32r 234330635500222041211B 33122rrrr134rr3 3、矩阵初等变换举例、矩阵初等变换举例 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组331000620000

10、111041211B 32252rrr234rr4 00000310000111041211B 34rr324rr5 00000310003011040101B 12rr32rr112140222005536033432B第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 33443231xxxxx1234433xcxcxxcx其中其中c为任意常数。为任意常数。或令或令x3= =c方程组的解可记作方程组的解可记作B5对应的方程组的解为对应的方程组的解为14131003c 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组4 4、矩阵初等变换结果形、矩阵初等变换结

11、果形 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵特点：行阶梯形矩阵特点： （1 1）阶梯线下方全是）阶梯线下方全是0 0； （2 2）每个台阶高度是）每个台阶高度是1 1行；行； （3 3）阶梯竖线后面第一个元素为非零元。）阶梯竖线后面第一个元素为非零元。11214011100001300000 4B第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组行最简形矩阵行最简形矩阵 行最简形矩阵特点：行最简形矩阵特点： 行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元为行阶梯形矩阵非零行的第一个非零元为1 1， 且这些非零元所在列的且这些非零元所在列的其他元素都为其他元素都为0 0。 1 01 04011

12、 030001300000 5B 可以证明可以证明 对于任何矩阵对于任何矩阵A 总可经过有限次初等总可经过有限次初等行行变换变换把它变为把它变为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵和和行最简形矩阵行最简形矩阵。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 对行最简形矩阵再施以初等对行最简形矩阵再施以初等列列变换变换 可变成一种形状可变成一种形状更简单的矩阵更简单的矩阵 称为标准形称为标准形。00000001000001000001 c矩阵的标准形矩阵的标准形1 01 04011 030 00130 00 00 5B矩阵标准形矩阵标准形的的特点是特点是 左上角是一个单位矩阵左上角是一个

13、单位矩阵 其余元素全为其余元素全为0。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组nmrOOOEF 所有与矩阵所有与矩阵A等价的矩阵组成的一个集合，称为一等价的矩阵组成的一个集合，称为一个个等价类等价类，标准形，标准形F是这个等价类中最简单的矩阵是这个等价类中最简单的矩阵. . 矩阵总可以经过初等变换化为矩阵总可以经过初等变换化为标准形标准形mn此标准形由此标准形由m,n,r三个数唯一确定，其中三个数唯一确定，其中r就是行阶梯形就是行阶梯形矩阵矩阵中中非零行的行数非零行的行数。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组101040110300013

14、00000 5B例如，例如，21112112144622436979Br00000001000001000001 c第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组三、初等变换的性质三、初等变换的性质 由单位矩阵由单位矩阵E经过经过一次初等变换一次初等变换得到的矩阵称为得到的矩阵称为初等矩阵初等矩阵。 1 1、初等矩阵、初等矩阵 （1 1）三种初等变换对应三种初等变换对应三种初等矩阵三种初等矩阵。 E( (i j) )表示表示对调对调单位矩阵单位矩阵E的第的第i j两行两行( (列列) )得到的初等矩阵得到的初等矩阵。E( (i j) )左左乘矩阵乘矩阵A，相当于：把，相当于

15、：把A的第的第i j两行对调；两行对调；E( (i j) )右右乘矩阵乘矩阵A，相当于：把，相当于：把A的第的第i j两列对调；两列对调；第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组E( (i( (k) ) )表示用非零数表示用非零数k乘乘E的的第第i行行( (列列) )得到得到初等矩阵初等矩阵。11( (1)1kkE ii第第 行行i第第 列列E( (i( (k) ) )左左乘矩阵乘矩阵A，相当于：，相当于：把把A的第的第i行行乘乘k倍倍；E( (i( (k) ) )右右乘矩阵乘矩阵A，相当于：，相当于：把把A的第的第i列列乘乘k倍倍；第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与

16、线性方程组的初等变换与线性方程组 E( (ij( (k) ) )表示把单位矩阵表示把单位矩阵E的的第第j行行的的k倍加到第倍加到第i行行上上 或把单或把单位矩阵位矩阵E的的第第i列列的的k倍加到第倍加到第j列列上得到初等矩阵上得到初等矩阵。11()11( )iij kjkE第第 行行第第 行行第第i列列 第第j列列E( (ij( (k) ) )左左乘矩阵乘矩阵A，相当于：，相当于：把把A的第的第j行行的的k倍加到倍加到 第第i行行上上；E( (ij( (k) ) )右右乘矩阵乘矩阵A，相当于：，相当于：把把A的第的第i列列的的k倍加到倍加到 第第j列列上上；第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线

17、性方程组的初等变换与线性方程组（2 2）初等矩阵可逆性初等矩阵可逆性 初等矩阵都是初等矩阵都是可逆的可逆的 并且并且 1()(),ijEjE i1()1( ) ( () )EEi kik1()( )()EkEij kij第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组（3 3）初等矩阵应用初等矩阵应用 性质性质3-13-1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵， 对对A施行一次初等施行一次初等行行变换变换 相当于对相当于对A左乘左乘相应的相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵 对对A施行一次初等施行一次初等列列变变换换 相当于对相当于对A右乘右乘相应的相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵。 11

18、0211103A21rr 110103211110211103100001010) 2 , 1 (3AE110103211110211103100001010) 2 , 1 (3AE110103211 例如例如 设设 则有则有 110211103A110211103A21rr 110103211 r1r2第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组（3 3）初等矩阵应用初等矩阵应用 性质性质3-13-1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵， 对对A施行一次初等施行一次初等行行变换变换 相当于对相当于对A左乘左乘相应的相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵 对对A施行一次初等施行一次初

19、等列列变变换换 相当于对相当于对A右乘右乘相应的相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵。 例如例如 设设 则有则有 110211103A110211103A21rr 110103211110211103A312cc 112215105 102010001110211103)2( 1 3 (3AE112215105102010001110211103)2( 1 3 (3AE112215105 c12c3第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组（3 3）初等矩阵应用初等矩阵应用 性质性质3-13-1 设设A是一个是一个m n矩阵矩阵， 对对A施行一次初等施行一次初等行行变换变换

20、相当于对相当于对A左乘左乘相应的相应的m阶初等矩阵阶初等矩阵 对对A施行一次初等施行一次初等列列变变换换 相当于对相当于对A右乘右乘相应的相应的n 阶初等矩阵阶初等矩阵。 性质性质3-23-2方阵方阵A可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P1 1 P2 2 Ps 使使A P1 1P2 2 Ps v推论推论 方阵方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A E r第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组v注：注：此定理可以利用上述此定理可以利用上述 性质性质3-13-1和和 性质性质3-23-2证明。证明。 v考研题考研题：

21、n阶方阵阶方阵A与与B等价，若等价，若 A =0=0，则，则 B =_=_ 。 （1 1） 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P 使使PA B rAB （2 2） 存在可逆矩阵存在可逆矩阵Q 使使AQ B cAB （3 3） 存在可逆矩阵存在可逆矩阵P、Q 使使PAQ B AB 定理定理3-13-1 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组四、初等变换的应用（四、初等变换的应用（1） 设设A B, ,即即A经一系列初等行变换化为经一系列初等行变换化为B，则有可逆矩，则有可逆矩阵阵P，使得，使得PA= =B。如何求可逆矩阵。如何求可逆矩阵P？r由于由于( ,)( ,)( ,)(

22、,)rPABPABP A EB PA EB PPEP方法：方法：对矩阵对矩阵( (A E) )作初等行变换，化为作初等行变换，化为( (B P) )。即当把即当把A变为变为B时，时，E就变为就变为P。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 例例3-13-1 设设 的行最简形矩阵为的行最简形矩阵为F，求，求F，并求一个可逆矩阵并求一个可逆矩阵P，使得，使得PA= =F 解解 211112462A211 100( ,)112 010462001A E12rr212rr312rrP（A E) ) ( (F P) )PA F11201003312004420123rr12r

23、r312rr1013310113210001083第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组即即( ,)A Er1013310113210001083(,)F P101011000F3313211083P第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组1 1、求逆矩阵的初等行变换法、求逆矩阵的初等行变换法强调：强调：由此得到了一个求逆矩阵的由此得到了一个求逆矩阵的巧妙方法巧妙方法初等变换法，初等变换法，即：即： P( (A E) )对矩阵对矩阵( (A E) )进行初等行变换，当进行初等行变换，当A变为变为E时，时，E就变为就变为A 1 1！若矩阵若矩

24、阵A可可逆逆 设设PA E(则则P是是A的逆矩阵的逆矩阵)，显然，显然PE P， 求逆矩阵方法小结求逆矩阵方法小结：（：（1 1）定义法、（）定义法、（2 2）伴随矩阵法、）伴随矩阵法、 （3 3）分块矩阵法、（）分块矩阵法、（4 4）初等行变换法）初等行变换法 ( (E A 1 1) ) ( (E P) )第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 例例3-23-2 设设 求求A 1 1 解解 021302230A021100( ,)302 010230001A E123rrr213rr312rr22r23rr111 111010423052223325rr11111

25、101042300218812 1 1 -1 1 1 1 1 1 -1 1 1 1 3 0 -2 0 1 0 3 0 -2 0 1 0-2 3 0 0 0 1-2 3 0 0 0 1 0 -3 1 -3 -2 -3 0 -3 1 -3 -2 -3 0 5 -2 2 2 3 0 5 -2 2 2 3第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组10131201042300194612rr2( 1)r 3( 2)r 13rr100 634010 423001 946021100( ,)302 010230001A Er111111010423002188121634423946

26、A( ,)A Er100 634010 423001 946即即1( ,)E A所以所以第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组方法：方法：对矩阵对矩阵( (A B) )作初等作初等行行变换，化为变换，化为( (E X) )。即当把即当把A变为变为E时，时，B就变为就变为X。2 2、求解矩阵方程、求解矩阵方程，AXB( ,)(,)( ,)P A BPA PBE PB1( ,)( ,)( ,) ( ,)rP A BE A BA BE XPAE1PA1PBA BX若若B是常数列向量是常数列向量 ，则此法可解线性方程组。，则此法可解线性方程组。b设设A是可逆矩阵，求解是可逆

27、矩阵，求解1于是XA B第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 例例3-33-3 求解矩阵方程求解矩阵方程AX= =B，其中，其中213122132A112025B 解解 21311( , )122201 3225A B12rr212rr31rr12220031310500523rr25r 323rr12220010010013 212322rrr100420100100132第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组即即( , )A Br100420100100132所以所以420132X第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变

28、换与线性方程组 例例3-43-4 设设 求线性方程组求线性方程组 的解的解213122132A1122b2105b21311( , )122201 3225A Br1004201001001321403x2212x 12AxbAxb和和 解解 记记 则两个线性方程组可合成一个则两个线性方程组可合成一个矩阵方程矩阵方程AX B 1212(,),( ,)Xx xBb b 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组3-2 3-2 矩阵的秩矩阵的秩 我们已经知道我们已经知道 给定一个给定一个m n矩阵矩阵A 它的标准形它的标准形 由数由数r完全确定完全确定。r也就是也就是A的行

29、阶梯形的行阶梯形中非零行的行中非零行的行数数 即矩阵即矩阵A的的秩秩。 “秩秩”者者“秩序秩序”也，它来源于求解线性方程组，在求也，它来源于求解线性方程组，在求解过程中需要将解过程中需要将“浑水摸鱼浑水摸鱼”的的方程方程“揪揪”出来出来，以，以维护维护方程组的正常方程组的正常 “秩秩”序！序！rOFOOE第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组v上一节的例子：上一节的例子： 此例中增广矩阵此例中增广矩阵B的行阶梯形中的行阶梯形中非零行的行数非零行的行数为为3 3 所所以以3 3便是增广矩阵便是增广矩阵B的秩的秩 3124312431243124222424624936

30、79xxxxxxxxxxxxxxxx其解为其解为 33443231xxxxx其中其中x3 3为任意取值。为任意取值。1 01 04011 030001300000()rBA b,第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组一、矩阵秩的概念一、矩阵秩的概念, m nA任任何何矩矩阵阵总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行变变换换把把它它变变为为行行阶阶梯梯形形，行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中是是唯唯非非零零一一行行的的行行数数确确定定的的. .矩阵的秩矩阵的秩1 1、k阶子式阶子式 定义定义3-3 3-3 在在m n矩阵矩阵A中中 任取任取k行与行与k列列( (k m k

31、n) ) 位位于这些行列交叉处的于这些行列交叉处的k2 2个元素个元素 不改变它们在不改变它们在A中所处的位置中所处的位置次序而得的次序而得的k阶行列式阶行列式 称为矩阵称为矩阵A的的k阶子式阶子式。 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组例如例如 11124023512013524613A 是是A的一个二阶子式的一个二阶子式 1203D m n 矩阵矩阵A的的k阶子式共有阶子式共有 个。个。kkmnC C第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组2 2、矩阵的秩、矩阵的秩 定义定义3-43-4 设在矩阵设在矩阵A中有中有一个一个不等于不等于

32、0的的r阶子式阶子式D 且且所所有有r 1 1阶子式阶子式( (如果存在的话如果存在的话) )全等于全等于0 那么那么D称为矩阵称为矩阵A的的最最高阶非零子式高阶非零子式 数数r称为称为矩阵矩阵A的秩的秩 记作记作R( (A) )。并规定零矩并规定零矩阵的秩等于阵的秩等于0。 矩阵矩阵A的秩的秩R( (A) )等于等于A中非零子式的中非零子式的最高最高阶数阶数。 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 (1)(1)若矩阵若矩阵A中有某个中有某个s阶子式不为阶子式不为0 0 则则R( (A) ) s；若若A中中所有所有t阶子式全为阶子式全为0 0 则则R( (A) )

33、 t。 v几个结论几个结论 (4)(4)对于对于n阶矩阵阶矩阵A 当当| |A| | 0 0时时 R( (A) ) n 当当| |A| | 0 0时时 R( (A) ) n (3)(3)R( (AT) ) R( (A) )。 (2)(2)若若A为为m n矩阵矩阵 则则0 0 R(A) minm n。可逆矩阵又称为可逆矩阵又称为满秩矩阵满秩矩阵 不可逆矩阵不可逆矩阵( (奇异矩阵奇异矩阵) )又称又称为为降秩矩阵降秩矩阵 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 例例3-53-5 求矩阵求矩阵A和和B的秩的秩 其中其中 解解 （1 1）在在A中中 容易看出一个容易看出一

34、个2 2阶子式阶子式 A的的3 3阶子式只有一个阶子式只有一个| |A| | 经计算可知经计算可知| |A| | 0 0 因此因此R( (A) ) 2 2 123235471A21032031250004300000B121023 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组提示提示 以三个非零行的首非零元为以三个非零行的首非零元为对角元的对角元的3 3阶子式：阶子式：是一个上三角行列式是一个上三角行列式 它显然不等于它显然不等于0 0 因此因此R( (B) ) 3 3 （2 2）B是一个有是一个有3 3个非零行的行阶梯形矩阵个非零行的行阶梯形矩阵 其所有其所有4 4阶阶

35、子式全为零子式全为零 对于行阶梯形矩阵对于行阶梯形矩阵 它的秩就等于非零行的行数它的秩就等于非零行的行数。21032031250004300000B213032004第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组二、初等变换法求矩阵的秩二、初等变换法求矩阵的秩 定理定理3-23-2 若若AB 则则R(A) R(B) 定理定理3-23-2给出了给出了求矩阵的秩的方法：只要把矩阵用求矩阵的秩的方法：只要把矩阵用初初等行变换等行变换化成化成行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵 行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵中非零行的行中非零行的行数数即是该矩阵的即是该矩阵的秩秩 推论推论 若若可逆阵可逆阵P、Q使

36、得使得PAQ=B，则，则R (A) R (B) 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 例例3-63-6 设设 求矩阵求矩阵A的秩的秩 并求并求A的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式。32050323612015316414A 解解 32050323612015316414Ar16414043110004800000所以所以R( (A) ) 3 3。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 为求为求A的最高阶非零子式的最高阶非零子式 考虑考虑由由A的的 1 1、2 2、4 4 列构成的矩阵：列构成的矩阵： 1615026235230A

37、因为因为A0 0的子式的子式0502623523 所以这个子式是所以这个子式是A的最高阶非零子式的最高阶非零子式。 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 例例3-73-7 求矩阵求矩阵A及及B ( (A b) )的秩的秩 其中其中 6063324208421221A 4321b 解解 则则A0 0就是就是A的行阶梯形矩阵。的行阶梯形矩阵。 对对B ( (A b) )作初等行变换变为行阶梯形矩阵作初等行变换变为行阶梯形矩阵 设其行阶设其行阶梯形矩阵为梯形矩阵为 B0 0 ( (A0 0 b0 0) )故从故从B0 0 ( (A0 0 b0 0) )中可同时看出中可同

38、时看出R( (A) )及及R( (B) ) 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组注注 以以B为增广矩阵的线性方程组为增广矩阵的线性方程组Ax b是无解的是无解的 这是因为这是因为行阶梯形矩阵的第行阶梯形矩阵的第3 3行表示矛盾方程行表示矛盾方程0 0 1 1。因为因为所以所以R(A) 2 R(B) 3 12211248022423336064Br12211002100000100000第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组(4)若若P、Q可逆可逆 则则R(PAQ) R(A) (1)0 R(Am n) minm n 三、矩阵秩的性质三、矩

39、阵秩的性质前面介绍了矩阵秩的基本性质：前面介绍了矩阵秩的基本性质：(2)R(AT) R(A)(3)若若AB 则则R(A) R(B) 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 (8)若若Am n Bn l O 则则R(A) R(B) n (7)R(AB) minR(A) ,R(B) (6)R(A B) R(A B) R(A) R(B) (5) maxR(A) ,R(B) R(A B) R(A) R(B)()( , )()1R AR A bR A特别地特别地 当当B 为列向量时为列向量时 有有 b（证明见下节（证明见下节定理定理7 7证明）证明）（证明见下章（证明见下章例

40、例1313）第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组所以所以 例例3-83-8 设设A为为n阶矩阵阶矩阵 证明证明R(A E) R(A E) n 证明证明 因为因为由性质由性质(6)(6) 有有()()2AEEAE()()R AER EA(2)RE而而()()R EAR AE()()R AER AEnn即即()()R AER EAn第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组四、有关矩阵秩的重要结论四、有关矩阵秩的重要结论（1） A为为m n矩阵矩阵 则则R（A）= n矩阵矩阵 则称则称A为为列满秩矩阵。列满秩矩阵。R（A）= m矩阵矩阵 则称则

41、称A为为行满秩矩阵。行满秩矩阵。（2）若若A为为n阶方阵阶方阵 则则若若R（A）= n矩阵矩阵 则称则称A为为满秩矩阵满秩矩阵1、列满秩矩阵、行、列满秩矩阵、行满秩矩阵满秩矩阵第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组2、几个重要结论、几个重要结论结论结论1 Am n为为行行满秩矩阵满秩矩阵A的标准形为（的标准形为（Em，O）( )R Am结论结论2 Am n为为列列满秩矩阵满秩矩阵( )R AnA的标准形为的标准形为结论结论3( )( )AOAORRCRBBAOBR( )( )AOADRRORBBAOBRnEO第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线

42、性方程组结论结论4对对n阶方阵阶方阵A，结论结论50( )0AR AnAn*( )()( )1)10(1R AnR AR AnR Ann 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 例例3-93-9 证明：若证明：若AB=C ， A为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 R(B)=R(C) 证明证明设设A为为m n矩阵矩阵 则则R（A）=nA行最简形矩阵为行最简形矩阵为nm nEO，并有，并有m阶可逆阵阶可逆阵P，使得，使得nEPAOnEBPCPABBOO()()BR CRR BO特例：特例： 若若AB=O ， A为列满秩矩阵，则为列满秩矩阵，则 B=O 第三章第三章 矩阵矩

43、阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组思考题思考题设设A为任意矩阵为任意矩阵 R(ATA)与与R(A)是否相等？是否相等？第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组解答：解答：相等相等TTA AxxO TAAxxO由此可知由此可知 TR A AR A故故因为对于非零列向量因为对于非零列向量x（1）当当 时时AOx TA AOx （2）反之当反之当 时时TA AOx AOx AOx TA AOx 综合综合(1)、(2)00TAxxAA与与同同解解即即第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组3-3 3-3 线性方程组的解线性方程组的解 设有

44、设有n个未知数个未知数m个方程的线性方程组个方程的线性方程组11121211212222121212nnnnmmmnmnxxxxxxxxxaaabaaabaaab一、线性方程组解的个数一、线性方程组解的个数Axb线性方程组线性方程组(1)(1)若有解，则称它是若有解，则称它是相相容的，若无解，容的，若无解，称其称其不相容。不相容。(1)第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组(1)无解无解的充要条件的充要条件 R(A) R(A b) (2) 唯一解唯一解的充要条件的充要条件R(A) R(A b) n (3)有有无限多解无限多解的充要条件的充要条件R(A) R(A b)

45、 n 定理定理3-33-3 n元线性方程组元线性方程组Ax b，则：，则：第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组二、线性方程组的解二、线性方程组的解n元齐次线性方程组元齐次线性方程组: :0Ax 1 1、齐次线性方程组、齐次线性方程组由由 定理定理3-33-3知，齐次线性方程组肯定有解。知，齐次线性方程组肯定有解。（1 1）当当R( (A)=)=n时，齐次线性方程组有时，齐次线性方程组有唯一唯一零解零解。（2 2）当当R( (A)=)=r n时，齐次线性方程组有时，齐次线性方程组有非零解（非零解（无限多解无限多解）。解齐次线性方程组的解齐次线性方程组的重点重点是求是

46、求非零解非零解 ( (通解通解）。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组求解齐次线性方程组的方法：求解齐次线性方程组的方法：（1 1）对系数矩阵）对系数矩阵A作行变换化为作行变换化为行阶梯形行阶梯形。()R Ar确定确定（2 2）若）若r =n,则知：则知：（3 3）若）若R（A）= =r n，进一步将，进一步将A化成化成行最简形行最简形。根据。根据A的行最简形，写出含的行最简形，写出含n- -r个参量的通解个参量的通解（非零解）（非零解）。齐次线性方程组只有齐次线性方程组只有零解零解。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组1231231

47、2312203420540720 xxxxxxxxxxx 例例3-103-10求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 解解 对系数矩阵对系数矩阵A作行初等变换，化为行最简形：作行初等变换，化为行最简形：121342541720A4123rrrr3122rrr213rr0210125001021326rr121021000001( )3R A 方程组有唯一解方程组有唯一解1230 xxx第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组35124351243512435124351242230542470362407536100324870 xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

48、xxxxx 例例3-113-11求解齐次线性方程组求解齐次线性方程组 解解 对系数矩阵对系数矩阵A作行初等变换，化为行最简形：作行初等变换，化为行最简形：12231245741234636710548372A0011200117000000012231664514rrr412rrr31rr212rr第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组001120011700000001223166432rr526rrAr1223100112000000000090080r12231001120000000000100001232rrr232rr000010000001201000

49、1100000第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组由由A的行最简形，得：的行最简形，得：1243452000 xxxxxx令令 x2 2= =c1 1 , , x4 4= =c2 2，则有：，则有：121221234520cxxxxxcccc122110010100+cc第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组求解线性方程组的方法：求解线性方程组的方法：（1 1）对增广矩阵）对增广矩阵B作行变换化为行阶梯形。作行变换化为行阶梯形。()R A()R B确定确定 和和（2 2）若）若R（A ）=R（B），则进一步把），则进一步把B化成行最简形

50、。化成行最简形。（3 3）若）若R（A）=R（B）= =n，由，由B的行最简形，即可写的行最简形，即可写出方程组有唯一解。出方程组有唯一解。若若 则方程无解。则方程无解。()()R AR B2 2、非齐次线性方程组、非齐次线性方程组（4 4）设）设R（A）=R（B）= =rn，由，由B的行最简形，即可写的行最简形，即可写出含出含n- -r个参量的通解。个参量的通解。第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 , 97963, 42264, 42, 224321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxxv还以上节课中线性方程组为例：还以上节课中线性方程组为例

51、： 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组1121401110000130000010040110300013000001r2111211214( , )4622436979BAbr3132343433xxxxxxx 123414131003xxxcxx 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组12341234123423135322223xxxxxxxxxxxx 例例3-123-12求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 解解 对增广矩阵对增广矩阵B作行初等变换，化为行最简形：作行初等变换，化为行最简形：12 31 1()31 53 2

52、212,2 3A bB0 00020 54 0112 31 1213r r r 312rr23rr05401000021231 1此方程组无解。此方程组无解。( )2R A ( )( , )3R BR A b第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组1234123412343133445980 xxxxxxxxxxxx 例例3-133-13求解非齐次线性方程组求解非齐次线性方程组 解解 增广矩阵增广矩阵B作行初等变换，化为行最简形：作行初等变换，化为行最简形：11311()31344159,80A bB046710461111731213rr31rr32rr2( 4)r

53、 37101244000031101112rr137101244003350040240第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组1342343344335244371244xxxxxxxxxx解得：解得：即即142213335244371244100010 xcxxxc 第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组三、矩阵方程三、矩阵方程1 1、线性方程组、线性方程组 定理定理3-43-4 n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有有非零解非零解的充要条件是：的充要条件是：0Ax 定理定理3-53-5 线性方程组线性方程组 有解有解的充要条件是的充要

54、条件是 Axb()(, )R AR A b()R An第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 定理定理3-63-6 矩阵方程矩阵方程AX=B有解有解的充要条件是的充要条件是 ()(,)R AR A B2 2、矩阵方程、矩阵方程将将X和和B按列分块为：按列分块为：12(,)lXx xx12( ,)lBb bb (1,2,)iiAxbil矩阵方程有解无解的矩阵方程有解无解的判别判别矩阵方程矩阵方程AX=B的的求解方法求解方法AXB(1,2,)ixil求求第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组 定理定理3-73-7 设设AB=C ，则，则()m

55、in (),()R CR AR B 证明证明 ：因因AB=C，知矩阵方程，知矩阵方程AX=C有解：有解：X=B，则由，则由 定理定理3-63-6有：有：( )( ,)R AR A C矩阵秩的性质（矩阵秩的性质（5 5）知）知( )( ,)R CR A C( )( )R CR A又又TTTB AC同理有同理有()()TTR CR B( )( )R CR B综合得：综合得：( )max ( ),( )R CR A R B第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组例如：例如：11011( , )11011E i

56、 j10000010(2,3)01000001Ei 第第 行行j 第第 行行i第第 列列j第第 列列第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组例如：例如：11122121211jjjnnnmmimniijaaaaaaAaaaaaai第第 行行第第 行行11121121212( , )nnnjjmminjiimaaaaaaE i j Aaaaaaiaj第第 行行第第 行行第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组例如：例如：11111212221nnmmmmniiijjjaaaaaaaaAaaaa11111212122( , )iijjnnmijm

57、mmnaaaaaaaaAE i jaaaaij第第 列列第第 列列第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组例如：例如：111111iniiiinmmimnaaaAaaaaaa111111()( )iniiiinmmimnaaaAEaaaaaaki kkk111111( )()iniiiinmmimni kkkkaaaEAaaaaaa第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组例如：例如：1211111212221) )( (iiijnijnmmimjmnmiaaaaaaaaAEaaaaaaij ka1112112121212( )()njjjiiinjjjnmmnmnkakakaij kaaaaaaEAaaaaaa第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组3236120115332641405014rr32050323612015316414A043110129711043116414123rr413rrr322rr16414043000480000101323rr42rr第三章第三章 矩阵矩阵的初等变换与线性方程组的初等变换与线性方程组（1 1）先证明：先证明：maxmaxR( (A), )