数学北京理工大学工科数学分析定积分应用学习教案

1、会计学1数学北京理工大学工科数学北京理工大学工科(gngk)数学分析数学分析定积分应用定积分应用第一页，共65页。回顾回顾(hug)曲边梯形曲边梯形(txng)求面积的问题求面积的问题 badxxfA)(曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 分割分割近似代替近似代替求和求和取极限取极限第1页/共65页第二页，共65页。面积表示为定积分的步骤面积表示为定积分的步骤(bzhu)如下如下:iiixfA )( ,1iiixx ni 11). , ;iiia bnxnnAAA 把把区区

2、间间分分成成个个长长度度为为的的小小区区间间，相相应应的的曲曲边边梯梯形形被被分分成成个个小小窄窄曲曲边边梯梯形形，第第个个窄窄小小曲曲边边梯梯形形的的面面积积为为，则则的近似值的近似值计算计算iA ).2.)().31iniixfAA 的近似值，的近似值，求和，得求和，得第2页/共65页第三页，共65页。ab xyo)(xfy 4). 4). 求极限求极限(jxin)(jxin)，得，得A A的精的精确值确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示(tsh) 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取d

3、xxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素第3页/共65页第四页，共65页。特点特点(tdin)：1. 所求量具有代数可加性，即大区间上对应所求量具有代数可加性，即大区间上对应2. 的量等于个小区间上对应的量的和，如面积、的量等于个小区间上对应的量的和，如面积、3. 质量质量(zhling)、功、体积等；、功、体积等；2. 所求量在区间所求量在区间(q jin)上分上分布不均匀。布不均匀。第4页/共65页第五页，共65页。元素法元素法(微元法微元法)的一般的一般(ybn)步骤：步骤：;,)1bax变化区间变化区间积分变量，并

4、确定它的积分变量，并确定它的为为选取一个变量如选取一个变量如根据问题的具体情况，根据问题的具体情况，2) , ,. , ( )( )( ).a bnx xdxUUa bxf xdxf x dxUdUdUf x dx 设设法法把把区区间间分分成成个个小小区区间间，取取其其中中任任一一小小区区间间并并记记为为求求出出相相应应于于这这小小区区间间的的部部分分量量的的近近似似值值 若若能能近近似似地地表表示示为为上上的的一一个个连连续续函函数数在在处处的的值值与与的的乘乘积积，就就把把称称为为量量的的元元素素且且记记作作，即即第5页/共65页第六页，共65页。这个方法通常这个方法通常(tngchng)

5、(tngchng)叫做叫做 微元法或元微元法或元素法素法应用应用(yngyng)方向：方向：几何：平面图形几何：平面图形(txng)的面积；体积；平面曲线的弧长；的面积；体积；平面曲线的弧长；物理：功；水压力；引力和平均值等物理：功；水压力；引力和平均值等的积分表达式。的积分表达式。所求量所求量即为即为上作定积分，得上作定积分，得区间区间为被积表达式，在为被积表达式，在的元素的元素以所求量以所求量UdxxfUbadxxfUba,)(,)()3 第6页/共65页第七页，共65页。第7页/共65页第八页，共65页。xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形曲边梯形(txn

6、g)的面的面积积 badxxfA)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badxxfxfA)()(12xxxx x 第8页/共65页第九页，共65页。)(yx )(yx dcxy0围成，则面积围成，则面积与直线与直线平面图形由曲线平面图形由曲线)(,)(),(dcdycyyxyx dcdyyyA)()( 第9页/共65页第十页，共65页。解解:两曲线两曲线(qxin)的的交点交点)1 , 1()0 , 0(面积面积(min j)元素元素dxxxdA)(2 1 , 0, xx 作作积积分分变变量量选选dxxxA)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx ;1.22形的面积形的面积围成的图

7、围成的图和和计算由两条抛物线计算由两条抛物线例例xyxy 第10页/共65页第十一页，共65页。解：解：两曲线两曲线(qxin)的的交点交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy4, 2 yy 作作积积分分变变量量，选选dyyydA 242.1842 dAAxy22 xy22 4 xy成的图形的面积；成的图形的面积；所围所围和直线和直线计算由曲线计算由曲线例例422.2 xyxy第11页/共65页第十二页，共65页。 8220)4(2)2(2dxxxdxxxA822822/3202/3)4(213223222 xxx18 x若若选选为为积积分分变变量量，则则第12页/共65页第十三页，

8、共65页。若所给曲线若所给曲线(qxin)方程为方程为.,)()( ttyytxx.)(| )(| dttxtyA所围图形的面积为所围图形的面积为与直线与直线轴轴，的增加而增加，则由的增加而增加，则由随随连续，连续，在在，bxaxxtyytxxttxtxtytxbxax ,)(),()(,)()()(,)(,)( 第13页/共65页第十四页，共65页。解：解： 椭圆椭圆(tuyun)的参的参数方程数方程 tbytaxsincos由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于(dngy)4(dngy)4倍第一象限部倍第一象限部分面积分面积 aydxA04 02)cos(sin4tatdbdttab 2

9、02sin4.ab .13.2222的面积的面积求椭圆求椭圆例例 byax第14页/共65页第十五页，共65页。；轴所围平面图形的面积轴所围平面图形的面积的一拱与的一拱与求由摆线求由摆线例例xatayttax)0)(cos1(, )sin(. 4 )cos1(tadA 解解:ttad)cos1( ttad)cos1(2022 ttad2sin42042 )2(tu 令令uuadsin8042 224408(sincos)dauuu 23 a 20Axyoa2第15页/共65页第十六页，共65页。21nnnIIn2200sincosnnnIxdxxdx；()!()!()!.()!21222222

10、121mnmmmnmm， 2/044sin xdxI22413 163 第16页/共65页第十七页，共65页。,0)(, ,)( C设设求由曲线求由曲线(qxin)( r及及 ,射线射线围成的曲边扇形围成的曲边扇形(shn xn)的的面积面积 .)( r x d在区间在区间(q jin), 上任取小区间上任取小区间d, 则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为 d)(21d2 A所求曲边扇形的面积为所求曲边扇形的面积为 d)(212 A 3). 3). 极坐标下的面积公式极坐标下的面积公式第17页/共65页第十八页，共65页。解：解：由对称性知总面积由对称性

11、知总面积=4=4倍第一倍第一(dy)(dy)象限部分面积象限部分面积14AA daA2cos214402 .2a xy 1A1A 2cos22a ;2cos5.22的面积的面积所围成平面图形所围成平面图形求双纽线求双纽线例例 a 第18页/共65页第十九页，共65页。解：解： dadA22)cos1(21 利用利用(lyng)对称性对称性知知.232a d d2)cos1( 02212aA d)coscos21(2 02a 2sin41sin2232a 0 d).0()cos1(6. aar的面积的面积所围平面图形所围平面图形求心型线求心型线例例 第19页/共65页第二十页，共65页。6 4

12、解：解：图形图形(txng)(txng)关于关于y y轴轴对称，由对称，由 2cossin22rr216 r，交点坐标为交点坐标为求得两曲线在第一象限求得两曲线在第一象限 围成；围成；与射线与射线图形由图形由6sin2 r.62cos2围成围成与射线与射线图形由图形由 r分的面积；分的面积；的公共部的公共部与双纽线与双纽线求园求园例例 2cossin27.2 rr第20页/共65页第二十一页，共65页。故所求面积故所求面积(min j)为：为：2cos21)sin2(21 24/6/6/02 ddA 4/6/6/022cossin2 dd2316 第21页/共65页第二十二页，共65页。Oxy

13、解：解：和第三象限，由对称性和第三象限，由对称性位于第一位于第一双纽线的两个分支分别双纽线的两个分支分别 dA202212 202sin4 d. 42cos220 .2sin48.2所围图形的面积所围图形的面积求双纽线求双纽线例例 第22页/共65页第二十三页，共65页。xy解：解：所围图形所围图形(txng)(txng)如图所示，对称如图所示，对称性性 dA 0222)sin1(212121 022)sinsin21(2 d. 245 .sin119.面积面积所围公共部分的所围公共部分的与心形线与心形线求园求园例例 第23页/共65页第二十四页，共65页。求在直角坐标系下、参数方程求在直角坐

14、标系下、参数方程(fngchng)(fngchng)形式下、极坐标系下平面图形式下、极坐标系下平面图形的面积形的面积. .（注意（注意(zh y)恰当的选择积分变量有助于恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）简化积分运算）hw：p316 1(2,4,6,9),2(2),3(2),4(2),6.第24页/共65页第二十五页，共65页。设所给立体设所给立体(lt)垂直于垂直于x 轴的截面面积为轴的截面面积为A(x), ,)(baxA在在则对应则对应(duyng)于于小区间小区间d,xxx 的体积的体积(tj)元元素为素为xxAVd)(d 因此所求立体体积为因此所求立体体积为xxAVbad)( xa

15、bxxxd)(xA上连续上连续,2.2.立体体积立体体积1). 已知平行截面面积的立体体积已知平行截面面积的立体体积第25页/共65页第二十六页，共65页。解解:取坐标系如图取坐标系如图底圆方程底圆方程(fngchng)为为222Ryx 垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形截面截面(jimin)面积面积,tan21)(2222 xRxRxA 立体立体(lt)体积体积dxxRVRR tan)(2122 .tan323 R RR xyo xRR x立体的体积；立体的体积；所得所得，计算这平面截圆柱体，计算这平面截圆柱体并于底面交成角并于底面交成角的圆柱体的底园中心，的圆柱体的底园

16、中心，一平面经过半径为一平面经过半径为例例 R1.第26页/共65页第二十七页，共65页。 hRxoxA(x)A(x)yh xRhV = RRxxAd )(. RRxxRhd hRdcos22022 hR . .Ry. 例例2. 求以半径为求以半径为R的圆为底，平行的圆为底，平行(pngxng)且等于底圆直径的且等于底圆直径的 线段为顶，高为线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。的正劈锥体的体积。y第27页/共65页第二十八页，共65页。圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体就是由一个平面旋转体就是由一个平面(pngmin)(pngmin)图形饶这平面图形饶这平面(pngmin)(pngmin)内一条直线

17、旋转一周而成的立体这内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴直线叫做旋转轴第28页/共65页第二十九页，共65页。xyoabxyoab)(xfy 当考虑当考虑(kol)连续曲线连续曲线段段2)(xf 轴旋转轴旋转(xunzhun)一周围成的立一周围成的立体体积时体体积时,有有轴轴绕绕 xbxaxfy)()( xd baV当考虑当考虑(kol)连续曲连续曲线段线段)()(dycyx 绕绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时轴旋转一周围成的立体体积时,有有2)(y yd dcVxxoy)(yxcdy第29页/共65页第三十页，共65页。xf(x)ab 曲边梯形曲边梯形(txng)： y=f(x)，

18、x=a,x=b,y=0 绕绕 x轴旋转轴旋转 求旋转体体积求旋转体体积(tj)(tj)第30页/共65页第三十一页，共65页。xf(x)abx.111111111 )(xA)( 2xf baxxf)d( 曲边梯形曲边梯形(txng)： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕绕 x 轴旋转轴旋转V = 求旋转体体积求旋转体体积(tj)(tj)第31页/共65页第三十二页，共65页。x=g(y)yx0cd曲边梯形曲边梯形(txng)：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴 求旋转体体积求旋转体体积(tj)(tj)第32页/共65页第三十三页，共65页。x=g(y)yx0cd曲边梯

19、形曲边梯形(txng)：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴. 求旋转体体积求旋转体体积(tj)(tj)第33页/共65页第三十四页，共65页。x=g(y)yx0cd dcyyAVd)( )(yAy dcyygVd)(.)( 2yg. 求旋转体体积求旋转体体积(tj)(tj).曲边梯形曲边梯形(txng)：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕绕 y轴轴第34页/共65页第三十五页，共65页。abf (x)yx0 求旋转体体积求旋转体体积(tj) (tj) 柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形(txng) y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴xdx第35页

20、/共65页第三十六页，共65页。xabyx0)(2xxf内表面积内表面积.dx. 求旋转体体积求旋转体体积(tj) (tj) 柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形(txng) y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f (x)dxf (x)第36页/共65页第三十七页，共65页。byx0a. 求旋转体体积求旋转体体积(tj) (tj) 柱壳柱壳法法曲边梯形曲边梯形(txng) y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV= 2 x f (x)dxf (x)第37页/共65页第三十八页，共65页。byx0a. 求旋转体体积求旋转体体积(tj) (tj)

21、柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形(txng) y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f (x)dxf (x)第38页/共65页第三十九页，共65页。0y0 xbxadx. 求旋转体体积求旋转体体积(tj) (tj) 柱壳法柱壳法曲边梯形曲边梯形(txng) y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴dV=2 x f (x)dxf (x)第39页/共65页第四十页，共65页。f (x)Yx0bdx0yz. baxxxfVd)(a.曲边梯形曲边梯形(txng) y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕绕 y 轴轴 求旋转体体积求旋转体体积(tj)

22、 (tj) 柱壳柱壳法法dV=2 x f (x)dx第40页/共65页第四十一页，共65页。积；积；轴旋转所得旋转体的体轴旋转所得旋转体的体所围图形绕所围图形绕与与求抛物线求抛物线例例yxyxy 2. 1解：解：，与与两曲线交点为两曲线交点为)1 , 1()0 , 0()1 , 1(2xy 2yx yx0ydyy 所求旋转体体积应所求旋转体体积应为两个为两个(lin )(lin )曲曲边梯形绕边梯形绕y y 轴旋转所轴旋转所得旋转体体积之差，得旋转体体积之差，故故 1022102)()(dyydyyV dyyy 104)( 103 第41页/共65页第四十二页，共65页。；旋转体的体积为旋转体

23、的体积为轴旋转所成轴旋转所成绕绕证明由椭圆证明由椭圆例例22222341. 2abVxbyax 证明证明(zhngmng)：上半椭圆上半椭圆(tuyun)方程为：方程为：22xaaby aadxyV2 dxxaabaa)(2222 234ab ).(343为球半径为球半径时，为球体体积时，为球体体积特别地，特别地，aaVba 第42页/共65页第四十三页，共65页。另法另法 利用利用(lyng)椭圆参数方程椭圆参数方程 tbytaxsincos则则xyVad202 ttabdsin232 22 ab 32 234ab 1 02 第43页/共65页第四十四页，共65页。轴所得旋转体的体积。轴所得

24、旋转体的体积。绕绕所围图形所围图形求星形线求星形线例例xttaytax)20(sincos. 333 xy0aa 解：解：由对称性，有：由对称性，有： adxyV022 02/223sincos3)sin(2 tdttata 2/0973)sin(sin6 dttta310532a 3516753642sin207 dxx 29512897538642sin209 dxx 第44页/共65页第四十五页，共65页。心形线方程心形线方程(fngchng)还可写还可写为：为：)0(323232 aayx332322)(yax Vdyxaa 2 dyyaaa 33232)( 第45页/共65页第四十六

25、页，共65页。该圆锥体的体积。该圆锥体的体积。，试求，试求，高为，高为设一正园锥体的半径为设一正园锥体的半径为例例hr. 4),(rhhxxdxx ry0解：解：, 0,hxxhry dxxhrdV2)( , 0dxxxh 上任取一小区间上任取一小区间在在 hdxxhrV02)( .),(),0 ,(),0 , 0(轴旋转所得的旋转体轴旋转所得的旋转体形绕形绕为顶点的平面三角为顶点的平面三角该锥体可以看作是以点该锥体可以看作是以点xrhh三角形的斜边方程三角形的斜边方程(fngchng)为：为： hdxxhr0222 32hr 第46页/共65页第四十七页，共65页。),(rhhyxdyy r

26、y0yrhh 或或dyyrhhydV)(2 轴而得轴而得看作是一窄曲边梯形绕看作是一窄曲边梯形绕 x rdyyrhhyV0)(2 rrdyyrhydy02022 32hr ，故体积元为：，故体积元为：为高的矩形薄片的体积为高的矩形薄片的体积为宽为宽为长，为长，可以近似地等于以可以近似地等于以dyyrhhy,)(2 第47页/共65页第四十八页，共65页。体积；体积；旋转一周所得旋转体的旋转一周所得旋转体的绕直线绕直线图形图形所确定，求所确定，求与与由由设平面图形设平面图形例例225.22 xAxyxyxA21xy0ydyy ) 1 , 1 (解：解：，与与园园与与直直线线的的交交点点为为)1

27、, 1()0 , 0(转体的体积微元为转体的体积微元为旋转一周所得旋旋转一周所得旋图形绕图形绕相应的平面相应的平面小区间小区间上取上取在在为积分变量为积分变量选选2, 1 , 0. xdyyyydyxxdV)2()2(2221 dyyy)2()11(222 dyyy)1(1(222 .,11221yxyx 其中其中第48页/共65页第四十九页，共65页。积分积分(jfn)(jfn)得得: :dyyyV 1022)1(12 dyydyy 102102)1(212 tysin 令令 102202)1(2cos2dyydtt 3222 第49页/共65页第五十页，共65页。解解:4 , 0 y体积体

28、积(tj)元素为元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 3dyPQM;3046.2旋转构成旋转体的体积旋转构成旋转体的体积绕直线绕直线所围成的图形所围成的图形及及求由曲线求由曲线例例 xyxy, y取积分变量为取积分变量为第50页/共65页第五十一页，共65页。轴所围图轴所围图及及表示表示xtxxfytV)0(, )()( 例例7 7. 设)(xfy 在在 x0 时为连续时为连续(linx)的非负函数的非负函数, 且且 ,0)0( f形绕直线形绕直线 xt 旋转一周旋转一周(y zhu)所成旋转体所成旋转体体积体积 ,证明证明(zh

29、ngmng):. )(2)(tftV 证证:x)(xfxoytxxd 利用柱壳法利用柱壳法xxfxtVd)()(2d 则则xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0 )(2tft)(2tft)(2)(tftV 故故p317 8,9(1,4,6),10(2)p317 8,9(1,4,6),10(2)。第51页/共65页第五十二页，共65页。ox1 2yBC3A例例2. 2. 求曲线求曲线(qxin)(qxin)132 xy与与 x 轴围成的封闭轴围成的封闭(fngb)图形图形绕直线绕直线 y3 旋转旋转(xunzhun)得的得的旋转

30、旋转(xunzhun)体体积体体积.(94 考研考研)解解: 利用对称性利用对称性 , y10 x,22 x21 x,42x 故旋转体体积为故旋转体体积为 V432 xxd)2(321022 xxd)1(2361022 xxd) 1(22122xxd)1(22022 15448 在第一象限在第一象限 xxd)4(322122 第52页/共65页第五十三页，共65页。Dec. 14 Fri. Dec. 14 Fri. Review Review 直角坐标方程直角坐标方程. 1一一. . 平面平面(pngmin)(pngmin)图形面积图形面积;)()()(),(,)()(围成围成图形由图形由xg

31、xfxgyxfybxaxdxxgxfAba ;)()()(),(,)()(围成围成图形由图形由yyyxyxdycydxyyAdc 第53页/共65页第五十四页，共65页。参数方程下的面积公式参数方程下的面积公式. 2若所给曲线若所给曲线(qxin)方程为方程为.,)()( ttyytxx.| )()(| dttxtyA围图形的面积为围图形的面积为所所轴与直线轴与直线，则由则由连续，连续，在在，bxaxxtyytxxtxtytxbxax ,)(),(,)()()(,)(,)( 第54页/共65页第五十五页，共65页。,0)(, ,)( C设设由曲线由曲线(qxin)( r及及 ,射线射线围成的曲

32、边扇形围成的曲边扇形(shn xn)的的面积面积 . d)(212 A3. 3. 极坐标下的面积极坐标下的面积(min j)(min j)公式公式第55页/共65页第五十六页，共65页。积积已知截面面积立体的体已知截面面积立体的体. 1二二. . 立体立体(lt)(lt)体积体积2. 2. 旋转体的体积旋转体的体积(tj)(tj)围成的立体的体积为围成的立体的体积为轴旋转一周轴旋转一周绕绕连续曲线段连续曲线段xbxaxfy)()( badxxfV2)( badxxAVbaxAxAx.)(,)()(为为上连续，所求立体体积上连续，所求立体体积在在，轴的截面面积为轴的截面面积为设所给立体垂直于设所给立体垂直于第56页/共65页第五十七页，共65页。围成的立体体积为围成的立体体积为轴旋转一周轴旋转一周绕绕连续曲线段连续曲线段ydycyx)()( dyyVdc 2)( . baxxxfVd)(形绕轴旋转形绕轴旋转曲边梯曲边梯0,),( ybxaxxfy第57页/共65页第五十八页，共65页。xoy0MA nMB 1M2M1 nM设设A、B是是曲曲线线弧弧上上的的两两个个端端点点，在在弧弧上上插插入入分分点点BMM