第17章勾股定理复习课件

1、勾股定理复习课勾股定理复习课什么叫勾股定理？什么叫勾股定理？a2 + b2 = c2 注意：注意：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。1、直角三角形是前提。、直角三角形是前提。2、谁是斜边要清楚。、谁是斜边要清楚。abcS大正方形c2S小正方形（b-a）2S大正方形4S三角形S小正方形即：c2=42C2=2ab+a2-2ab+b2 a2 + b2 = c2现在我们一起来回顾一现在我们一起来回顾一下下“赵爽弦图赵爽弦图”的奥妙吧！的奥妙吧！赵爽弦图赵爽弦图1、勾股定理的公式变形、勾股定理的公式变形a2=c2b2acb22cab22b2 =c2-a2

2、b=c2-a2a2+b2=c2cbaCBA2、常用的勾股数、常用的勾股数3、4、5； 5、12、13； 7、24、25； 8、15、17； 9、40、413、直角三角形中的有关定理、直角三角形中的有关定理（1）在直角三角形中，）在直角三角形中，30角所对角所对的直角边等于斜边的一半。的直角边等于斜边的一半。（2）直角三角形斜边上的中线等）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。于斜边的一半。要点要点1: 在两个命题中，如果第一个命题的题设是第在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫

3、做互逆命题如果把其中一个题设，那么这两个命题叫做互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题 要点要点2: 每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆设改成结论，并将结论改成题设，便可得到原命题的逆命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题但是原命题正确，它的逆命题未必正确例如真命题命题“对顶角相等对顶角相等”的逆命题为的逆命题为“相等的角是对顶角相等的角是对顶角”，此命题就是一个假命题此命题就是一个假命题4、命题与逆命题有何关系？什么是互、

4、命题与逆命题有何关系？什么是互逆定理？逆定理？勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理:三角形的三边三角形的三边a,b,c满足满足a2+b2=c2,则这个三角形是则这个三角形是直角直角三角形三角形; 较大边较大边c 所对的角是所对的角是直角直角.5、特殊三角形的三边关系、特殊三角形的三边关系cbaBCA若若A=30，则，则2:3:1:cbacbaCAB若若A=45，则，则2:1:1:cba考考 点点 一一与勾股定理有关的与勾股定理有关的计算问题计算问题若若A=30A=30,a=2,a=2,则则c=_,b=_,c=_,b=_, a:b:c=_; a:b:c=_;比一比比一比,看谁快看谁快!1 1、在、在

5、RtRtABCABC中，中，C=900若若a=6a=6，b=8b=8， 则则c=_;c=_;若若A= A= C,c= , ,c= , 则则a=_,a:b:c=_.a=_,a:b:c=_.2121094231：1211 ：CBA若若a:b=1:2,c= 2 a:b=1:2,c= 2 则则S SABC=_;=_;5432若若a=40,c=41a=40,c=41，则，则b=_;b=_;abc时时间间到到!2、分别以直角三角形三边为半径作正方形分别以直角三角形三边为半径作正方形则这三个正方形的面积则这三个正方形的面积S1, S2, S3之间的关之间的关系（系（ ）3.如图，两个正方形的面积如图，两个正

6、方形的面积分别为分别为64，49，则，则AC=( ) CAD6449S3 = S1 + S217CBAS3S2S1CBAS3S2S1a ab bS3S2S1c c4、如图，铁路上、如图，铁路上A，B两点相距两点相距25km，C，D为为两村庄，两村庄，DAAB于于A，CBAB于于B，已知，已知 DA=15km，CB=10km，现在要在铁路，现在要在铁路AB上上建一个土特产品收购站建一个土特产品收购站E，使得，使得C，D两村到两村到E站站的距离相等，则的距离相等，则E站应建在离站应建在离A站多少站多少km处？处？CAEBD解：解：设设AE= x km，则，则 BE=（25-x）km根据勾股定理，得

7、根据勾股定理，得 AD2+AE2=DE2 BC2+BE2=CE2 又又 DE=CE AD2+AE2= BC2+BE2即：即：152+x2=102+（25-x）2 x=10 答：答：E站应建在离站应建在离A站站10km处。处。x25-xCAEBD1510考考 点点 二二 与展开图形有关与展开图形有关的计算问题的计算问题我来啦!AB我怎我怎么走么走会最会最近呢近呢? 1.有一个圆柱,它的高等于12厘米,底面半径等于3厘米,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (的值取3) BA 高高12cmBA长长18cm (的值取的值取3)9cm AB2

8、=92+122=81+144=225= AB=15(cm)蚂蚁爬行的最短路程是15厘米.1522.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为和高分别为20dm、3dm、2dm，A和和B是这是这个台阶两个相对的端点，个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，点有一只蚂蚁，想到想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到面爬到B点最短路程是点最短路程是 .2015253、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿出发，沿长方体的表面爬到对角顶点长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所处（三条

9、棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？ABA1B1DCD1C1214分析分析: 根据题意分析蚂蚁爬行的根据题意分析蚂蚁爬行的路线有三种情况路线有三种情况(如图如图 ),由由勾股定理可求得图勾股定理可求得图1中中AC1爬行爬行的路线最短的路线最短.ABDCD1C1421 AC1 =442 2+3+32 2 =25 =25 ;ABB1CA1C1412 AC1 =662 2+1+12 2 =37 =37 ;AB1D1DA1C1412 AC1 =552 2+2+22 2 =29 =29 . 考考 点点 3勾股定理的实际应用勾股定理的实际应用1、如

10、图，要登上、如图，要登上8米米高的建筑物高的建筑物BC，为了，为了安全需要，需使梯子底端离建筑物距离安全需要，需使梯子底端离建筑物距离AB为为6米米，问至少需要多长的梯子？，问至少需要多长的梯子？8mBCA6m解：根据勾股定理得：解：根据勾股定理得：AC2= 62 + 82 =36+64 =100即：即：AC=10（-10不合，舍去）不合，舍去）答：梯子至少长答：梯子至少长10米。米。 2 2、飞机在空中水平飞行，某一时刻、飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方刚好飞到一个男孩子头顶上方4 4千米处，千米处，过了过了2020秒，飞机距离这个男孩子头顶秒，飞机距离这个男孩子头顶5

11、 5千千米，飞机每小时飞行多少千米？米，飞机每小时飞行多少千米？4 km5 kmV=ST20s 3km注意注意3、有一块菜地、有一块菜地,形状如下形状如下, 试求它试求它的面积的面积.(单位单位:米米)ABC341312D5.如图如图,点点A是一个是一个半径为半径为 m的圆形森林公园的圆形森林公园的中心的中心,在森林公园附近有在森林公园附近有 B .C 两个小镇两个小镇,现要在现要在 B.C 两小镇之间修一条长为两小镇之间修一条长为 1000 m 的笔直公路将的笔直公路将两镇连通两镇连通,经测得经测得 B=60,C=30,请通过计算请通过计算说明此公路会不会穿过该森林公园说明此公路会不会穿过该

12、森林公园.ABC10006030D解：在中解：在中B=60,C=30,在在Rt中，中， =2 此公路不会穿过该森林公园此公路不会穿过该森林公园22ABBC 2133A AMMNP PQQA AMMNP PQQA AMMNP PQQ222(10)20(30-)xx勾股定理逆定理勾股定理逆定理的应用的应用考点考点4 a b c 赛一赛赛一赛,看谁准看谁准 1.下面以下面以a,b,c为边长的三角形是为边长的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？不是直角三角形？如果是那么哪一个角是直角？(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;(2) a=13 b=14 c=15 _ _ ;(4)

13、a:b: c=3:4:5 _ _ ;是是是是不是不是 是是 A=900 B=900 C=900(3) a=1 b=2 c= _ _ ;3(5)a=2m b=m2-1 c=m2+1是是 C=900 2、小明向东走小明向东走80m后后,又走了又走了60m,再走再走100m回到回到原地原地,小明向东走小明向东走80m后后,又向又向 方向走的方向走的.南或北南或北3、如图，在如图，在正方形正方形ABABD DC C中，中，E E是是C CD D的中点，的中点，F F为为B BD D上一点，且上一点，且BF=3FDBF=3FD，试猜想线段，试猜想线段AE,EFAE,EF的位置关系并证明的位置关系并证明.

14、 .AFECBD解：解： AEF=900设则，设则， 在在tABF中，中，在在t DEF中，中，在在Rt AEC,AE2=AC2+EC2=20EF2+AE2=AF2AEF=900考考 点点 5用勾股定理解决有用勾股定理解决有关三角形的问题关三角形的问题BACD4、等腰三角形底边上的高为、等腰三角形底边上的高为8，周长为周长为32，求这个三角形的面积，求这个三角形的面积16-x ABx8DC解：设这个三角形为解：设这个三角形为ABC，高为，高为AD，设，设BD为为x，则，则AB为（为（16-x），）， 由勾股定理得：由勾股定理得：x2+82=(16-x)2即即x2+64=256-32x+x2 x

15、=6 SABC=BCAD/2=2 6 82=4824915ab2281ab2222()() 225 81 144aba bab 111443624S ABCab 9642241ABCabS112 8482ABCS 你能分别在下列正方形中画出你能分别在下列正方形中画出格点三角形格点三角形,使它是直角三角形使它是直角三角形,且且各顶点在正方形的三条边上各顶点在正方形的三条边上(没有没有两点在正方形的同一边上两点在正方形的同一边上).并能给并能给予说明吗予说明吗?折叠三角形折叠三角形例例1、如图，一块直角三角形的纸片，两如图，一块直角三角形的纸片，两直角边直角边AC=6，BC=8。现将直角边。现将直

16、角边AC沿直线沿直线AD折叠，使它落在斜边折叠，使它落在斜边AB上，上，且与且与AE重合，求重合，求CD的长的长 ACDBE第8题图x6x8-x46例例2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使的纸片，使A与与B重合，折痕为重合，折痕为DE，若已知，若已知AB=10cm，BC=6cm,你能求出你能求出CE的长吗？的长吗？CABDE练习练习:三角形三角形ABC是等腰三角形是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将，将AB向向AC方向方向对折，再将对折，再将CD折叠到折叠到CA边上，折痕为边上，折痕为CE，求三角形，求三角形ACE的面积的面积ABCDADCDC

17、AD1E13512512-x5xx8折叠四边形折叠四边形例例1：折叠矩形折叠矩形ABCD的一边的一边AD,点点D落在落在BC边上的点边上的点F处处,已知已知AB=8CM,BC=10CM,求求 1.CF 2.EC.ABCDEF810106X8-X48-X折叠长方形纸片，先折出折痕对角线折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点，在绕点D折叠，折叠，使点使点A落在落在BD的的E处，折痕处，折痕DG，若，若AB=4，BC=3，求，求AG的长。的长。DAGBCE例例2：4x3434-xx3522222(4)xx224168xxx812x 32x 你还能用其他方法求你还能用其他方法求AG的长吗？的长吗

18、？折叠长方形纸片，先折出折痕对角线折叠长方形纸片，先折出折痕对角线BD，在绕点，在绕点D折叠，折叠，使点使点A落在落在BD的的E处，折痕处，折痕DG，若，若AB=4，BC=3，求，求AG的长。的长。DAGBCE4x3434-xx352你还能用其他方法求你还能用其他方法求AG的长吗？的长吗？111353 4222xx 812x32x113 (4)522xx 1235xx32x长方形长方形ABCDABCD如图折叠，使点如图折叠，使点D D落在落在BCBC边上的点边上的点F F处，处，已知已知AB=8AB=8，BC=10BC=10，求折痕，求折痕AEAE的长。的长。ABCDFE810810106xx

19、8-x4?2224(8)xx22166416xxx5x 解解得得22225105 5AEEFAF训练训练1 1:1054321181xyxy 4041xy 327xyxy 1512xy MNHGFEODCBA221251331.732,21.4143x32xx20.73231x 111abh222111abh本章你学到了哪些知识本章你学到了哪些知识? ? 直角三角形的两直角边为直角三角形的两直角边为a ,b , 斜边为斜边为 c ,则有则有三角形的三边三角形的三边a、b、c，满足，满足a2+b2=c2,则这个三则这个三角形是角形是直角三角形直角三角形; 逆定理逆定理:a2+ b2=c2。最长边

20、最长边c 所对的角是直角所对的角是直角.勾股定理勾股定理:命题：命题：1、对顶角相等对顶角相等的逆命题是的逆命题是 。相等的两个角是对顶角相等的两个角是对顶角2、等腰三角形两底角相等等腰三角形两底角相等的逆命的逆命题：题： 。有两个角相等的三角形是等腰三角形有两个角相等的三角形是等腰三角形勾勾 股股 数数 1、求下列直角三角形中未知边的长度、求下列直角三角形中未知边的长度.725x125x练习题2 2、如图、如图, ,一根旗杆在离地面一根旗杆在离地面9 9米处折裂米处折裂, ,旗杆顶部落在离旗杆旗杆顶部落在离旗杆底部底部1212米处米处. .旗杆原来有多高旗杆原来有多高? ?12米米9米米3、

21、以直角三角形三条边为边长向外作正方形，求下、以直角三角形三条边为边长向外作正方形，求下列图中字母所代表的正方形的面积。列图中字母所代表的正方形的面积。练习题1418A125B744、在直角三角形、在直角三角形ABC中中,C=90，（1）已知）已知a:b3:4，c=25，求，求a和和b.（2）已知）已知A30，a=3，求，求b和和c.（4）已知）已知A45，c=8，求，求a和和b.5、直角三角形的两边长为、直角三角形的两边长为8和和10，则第三边的长度，则第三边的长度为为 BAC8CBA25（3）已知）已知A30，b= ，求，求a和和c.3ACB3303ACB306或或1646、如图，有一块地，

22、已知，、如图，有一块地，已知，AD=4m，CD=3m，ADC=90，AB=13m，BC=12m。求这块地的面积。求这块地的面积。ABC341312D7、已知、已知RtABC中中,C=90,若若a+b=14cm, c=10cm，则，则RtABC的面积是（的面积是（ ）A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm2CABabc8、等腰三角形底边上的高为、等腰三角形底边上的高为8，周长为，周长为32，则，则三角形的面积为（三角形的面积为（ ） A、56 B、48 C、40 D、32ABCDAMNPQ30例：如图，公路例：如图，公路MNMN和小路和小路PQPQ在在P P处交汇处交汇,Q

23、PN=30,QPN=30, ,点点A A处有一所学校处有一所学校,AP=160m,AP=160m,假设拖拉机行使时假设拖拉机行使时, ,周围周围100m100m内受噪音影响内受噪音影响, ,那么拖拉机在公路那么拖拉机在公路MNMN上沿上沿PNPN方向方向行驶时行驶时, ,学校是否受到噪音的影响学校是否受到噪音的影响? ?100100 如果拖拉机在公路如果拖拉机在公路MNMN上以上以18km/h18km/h的速度沿的速度沿PNPN方向行驶，学校将受到影响方向行驶，学校将受到影响, ,请你求出学校请你求出学校受影响将持续多长时间受影响将持续多长时间? ? 一个长一个长5m的梯子的梯子AB，斜靠在墙

24、，斜靠在墙上，这时梯子顶端离地面上，这时梯子顶端离地面4m，请你设计一种，请你设计一种方案：要求梯子顶端下滑的距离与梯子的底端方案：要求梯子顶端下滑的距离与梯子的底端外移的距离相等。外移的距离相等。挑战自我：挑战自我：ABa a4m4m5m5ma a挑战自我：挑战自我：如图，在如图，在ABC中，中，AB=AC，C是是BC上任意上任意一点，连接一点，连接AP，AB2-AP2=BPCP吗？试说明吗？试说明理由。理由。分析：分析：由结论中的平方能联想到什么？由结论中的平方能联想到什么？勾股定理适用于直角三角形，构造直角三角形是关键。勾股定理适用于直角三角形，构造直角三角形是关键。如何构造呢？如何构造

25、呢？APCBD 在数学的天地里，重要的不在数学的天地里，重要的不是我们知道什么，而是我们怎么是我们知道什么，而是我们怎么知道什么。知道什么。 毕达哥拉斯毕达哥拉斯 无理数在数轴上的表示无理数在数轴上的表示205,17,13，在数轴上表示1.若一个三角形三边的长度比是若一个三角形三边的长度比是3：4：5，则，则这个三角形一定是直角三角形这个三角形一定是直角三角形( );2.有一个三角形，它的两边长分别是有一个三角形，它的两边长分别是3和和4，则第三边的长一定是则第三边的长一定是5( );3.若一个三角形三边若一个三角形三边a、b、c满足满足,则这个三角形一定是直角三角形则这个三角形一定是直角三角

26、形( );4.若一个三角形某两边的平方和不等于第三边的平若一个三角形某两边的平方和不等于第三边的平方方,则这个三角形一定不是直角三角形则这个三角形一定不是直角三角形( ).一、判断：一、判断：1.在在ABC中中,如果如果a2(bc)(bc),那么那么ABC是是_三角形三角形, a是是 _边边._,2510)13(12. 222角形是为边的三则以互为相反数和若zyxzzyxm2n2，m2+n2，2mn(mn,m,n都都是正整数是正整数)是直角三角形的三条边长是直角三角形的三条边长. DACB12提示：作辅助线提示：作辅助线DEAB，利用平，利用平分线的性质和勾股定理。分线的性质和勾股定理。解：过

27、过D点做点做DEAB 1=2, C=90 DE=CD=1.5在在 RtDEB中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得BE2=BD2-DE2=2.52-1.52=4 BE=2在在RtACD和和 RtAED中中,CD=DE , AD=AD RtACD RtAED AC=AE令令AC=x,则则AB=x+2在在 RtABC中中,根据勾股定理根据勾股定理,得得 AC2+BC2=AB2即即:x2+42=(x+2)2 x=3x 例4：已知，如图，已知，如图，RtABCC=90，1=2，CD=1.5, BD=2.5, 求求AC的长的长.E1.1.若若ABCABC的三边的三边a a、b b、c c满足条件满足条件a

28、 a2 2+b+b2 2+c+c2 2+338=10a+24b+26c+338=10a+24b+26c判断判断ABCABC的形状的形状. .AABBCDDC1.1.如图，已知长如图，已知长方体的长、宽、方体的长、宽、高分别为高分别为4cm4cm、3cm3cm、12cm12cm，求，求BDBD的长。的长。1.1.若若ABCABC的三边的三边a a、b b、c c满足条件满足条件a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+338=10a+24b+26c+338=10a+24b+26c判断判断ABCABC的形状的形状. .1.1.如图，已知长方体的长、宽、高分如图，已知长方体的长、宽、高分别为别为4c

29、m4cm、3cm3cm、12cm12cm，求，求BDBD的长。的长。解解:连结连结BD，在直角三角形，在直角三角形ABD中，根据勾股定理中，根据勾股定理5534222222BDADABBD在直角三角形在直角三角形D BD 中，根中，根据勾股定理据勾股定理）。cmBDBDDDBD(1313512222222答：答：BD为为 13cm。AABBCDDC美丽的勾股树拼图游戏abc赵爽弦图a印度婆什迦罗的证明c c2 = b2 + a2b a2 + b2 = c2a2b2a2c2直接观察验证总统法aabbcc青出青出朱方朱方青方青方朱入朱入朱朱出出青入青入青青入入青出青出青青出出华罗庚:青朱出入图 a

30、bc华罗庚:青朱出入图勾股定理勾股定理: :直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.勾股定理逆定理勾股定理逆定理: :如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形作用作用: :计算长度与判断是否是直角三角形概念复习112512137242594041123345常见的直角三角形 3 ,4 ,5 5, 12 ,13 7, 24 ,25 9 ,40 ,41 11, 60 ,61 13, 84, 85 15, 112 ,113 8，15，179, 12, 1512，35，3720，21，29 20，99，10148，55，73 60，91，109 常见勾股数比比

31、一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:8 8x x171716162020 x x12125 5x x基本方法如图，小颍同学折叠一个直角三角形如图，小颍同学折叠一个直角三角形的纸片，使的纸片，使A A与与B B重合，折痕为重合，折痕为DEDE，若已知，若已知AC=10cmAC=10cm，BC=6cm,BC=6cm,你能求出你能求出CECE的长吗？的长吗？CABDE折叠问题等腰等腰ABCABC中，中，ABABACAC13cm 13cm ，BC=10cm,BC=10cm,求求ABCABC的面积和的面积和ACAC边上边上的高。的高。ABCD131310H面积法求三角形的高如图，如图，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求，求AC的长。的长。ABCD308求三角形的边长如图所示，现在已测得长方体木块的长3厘米，宽4厘米，高24厘米。一只蜘蛛潜伏在木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体上和蜘蛛相对的顶点B处。ACDBGFH平面展开问题 如图所示，现在已测得长方体