数学组合数学级学习教案

1、数学数学(shxu)组合数学组合数学(shxu)级级第一页，共61页。第1页/共61页第二页，共61页。第2页/共61页第三页，共61页。第3页/共61页第四页，共61页。第4页/共61页第五页，共61页。7.1.2 群的性质群的性质(xngzh) 第5页/共61页第六页，共61页。第6页/共61页第七页，共61页。第7页/共61页第八页，共61页。第8页/共61页第九页，共61页。循环群，或称循环群，或称H是由元素是由元素a生生成的群，成的群，a叫做叫做H的生成元。的生成元。第9页/共61页第十页，共61页。第10页/共61页第十一页，共61页。 m（na）=（mn）a。第11页/共61页第

2、十二页，共61页。第12页/共61页第十三页，共61页。12n12n aaab bb第13页/共61页第十四页，共61页。1 2 3 3 1 23 2 1 3 2 14 3 1 2 4 3 2 11 2 3 4 3 4 1 212343421第14页/共61页第十五页，共61页。12n12n aaaaaa 称为(chn wi)n元恒等置换。112n12n12n12n aaab bbb bbaaa第15页/共61页第十六页，共61页。3 2 1 3 2 131 2 3 3 1 2 21 2 3 2 3 1 第16页/共61页第十七页，共61页。21BCA3图图7.2.12逆时针旋转(xunzhu

3、n)第17页/共61页第十八页，共61页。41 2 3 2 1 3 61 2 3 1 3 2 51 2 3 3 2 1 因此，描述正三角形的全部对称关系，对应以上六种置换。连续两次对称映射对应两个置换的乘积，则置换集在置换乘法(chngf)下构成一个三次对称群S3。21BCA3图图7.2.1第18页/共61页第十九页，共61页。6 5 1 4 2 3 6 5 4 3 2 1第19页/共61页第二十页，共61页。第20页/共61页第二十一页，共61页。第21页/共61页第二十二页，共61页。 （7.2.3）于是由定理于是由定理7.2.3即可推知下即可推知下列推论。列推论。第22页/共61页第二十

4、三页，共61页。第23页/共61页第二十四页，共61页。1niiCin第24页/共61页第二十五页，共61页。第25页/共61页第二十六页，共61页。类（C1,C2,Cn）类中置换类中元素数（3，0，0） （1）（2）（3）1（1，1，0） （1 2）（3），（1 3）（2），（1）（2 3） 3（0，0，1） （1 2 3），（1 3 2） 2第26页/共61页第二十七页，共61页。C1 C2 Cn n！C1!C2!Cn!1 2 n C1 C2 Cn第27页/共61页第二十八页，共61页。C1 C2 Cn()()()() ()() _/ 1个 _/ 2个 _/ n个_ _/ / C1个_ _

5、/ / C2个_ _/ / Cn个 1）一个长度为k的循环有k种表示， 2）Ck个长度为k的循环有Ck! 种。因此Ck个k阶循环在排列时有Ck!kCk个表示。 1,2,n的全排列共有n!个，给定一个排列，装入格式(g shi)得一置换。除以这些重复度得 n!/(C1!C2!Cn!1 2 n )个不同的置换.C1 C2 Cn第28页/共61页第二十九页，共61页。3001100013!|(3,0,0)|13!0!0!1 2 33!|(1,1,0)|31!1!0!12 33!|(0,0,1)|20!0!1!1 2 3DDD第29页/共61页第三十页，共61页。第30页/共61页第三十一页，共61页

6、。P2 P1P1P2PP-1第31页/共61页第三十二页，共61页。第32页/共61页第三十三页，共61页。第33页/共61页第三十四页，共61页。第34页/共61页第三十五页，共61页。第35页/共61页第三十六页，共61页。Ltn)的等价类，设为。的等价类，设为。)()(111jrjGNnkkZN1|nkkjrjZ111|)(12,.,Laaa第36页/共61页第三十七页，共61页。12 .LSaaa11| | | | | | |(1) | | |jjkjkkjkkkajjjnLkkkjkakZaZkZaZGZGkajLkakaZZL G 第37页/共61页第三十八页，共61页。 1 2

7、3 4 1(aj)(1)(2)(3)(4) 1 1 1 1 4 (1)(12)(3)(4) 0 0 1 1 2 (1) (2)(1)(2)(34) 1 1 0 0 2 (1) (2)(12)(34) 0 0 0 0 0 (2) |Zk| 2 2 2 2 8 Sjk kaj42 12 12第38页/共61页第三十九页，共61页。第39页/共61页第四十页，共61页。1 2 3 4 5 6 7 89 10 11 12 13 14 15 16S=1,2,16第40页/共61页第四十一页，共61页。(16+2+2+4)/4=6(种方案(fng n)。第41页/共61页第四十二页，共61页。第42页/共

8、61页第四十三页，共61页。11232721234567891011 12131415161718192021222625232724312346579810121113151416181719212022()()()(),()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(eaaaaaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aa a aa a aaaaa a aa a aa a aa a aa a aa a aa 2526232427)()a aa a a(27+3+3)/3=11第43页/共61页第四十四页，共61页。第44页/共61页第

9、四十五页，共61页。第45页/共61页第四十六页，共61页。 G作用在方案集作用在方案集CS上上.第46页/共61页第四十七页，共61页。HG)(1)(m)(第47页/共61页第四十八页，共61页。1216 ,SCa aa1234 (1) (2) (3) (4) (1234) (13)(24) (4321) 第48页/共61页第四十九页，共61页。( 3)2 ( 1)2 ( 2)2 ( 4)2 1(p2)=21=第49页/共61页第五十页，共61页。11()4111()4 ()1622p 1第50页/共61页第五十一页，共61页。. 4 , 3 , 2 , 1,2)()(1iiiHG 求着色的

10、方案(fng n)数也即求图象的等价类个数。按 Burside定理，求等价类的个数归结为每个置 换下的不动点(不动图象)的个数。第51页/共61页第五十二页，共61页。定理定理(dngl)7.4.1(Plya定理定理(dngl) 设设H是是n个对象的一个个对象的一个(y )置换群，用置换群，用m种颜色涂染这种颜色涂染这 n个对象，一个个对象，一个(y )对象涂任意一种颜色，则在对象涂任意一种颜色，则在H作用下不等价的方案数为作用下不等价的方案数为: ( )1|qq HLmH)(q为将置换为将置换q表示成不相交的轮换表示成不相交的轮换(lnhun)的个数，其中包括单轮换的个数，其中包括单轮换(l

11、nhun).第52页/共61页第五十三页，共61页。例例7.4.2 用红，黄，蓝三色对等边三角形的顶点染色用红，黄，蓝三色对等边三角形的顶点染色(例例7.3.8)，共有多少种不同方案，共有多少种不同方案(翻转翻转(fn zhun)和旋转）？和旋转）？ 123第53页/共61页第五十四页，共61页。解：设针对解：设针对(zhndu)的的 置换群为置换群为 3 , 2 , 1S2)(3) (13)(2), (13), (1)(22), 3 (13), 2 1 (),3)(2)(1(Q所求不等价的方案(fng n)数为： 103332361213L12331132 3 113L （只有(zhyu)旋转）第54页/共61页第五十五页，共61页。204342461213 L第55页/共61页第五十六页，共61页。设6个面分别是1，2，3，4，5，6，则S=1,2,3,4,5,6,找到S上的置换群H。 （前3后5