第七章 刚体的平面运动

1、1刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程2平面图形上各点的速度关系平面图形上各点的速度关系3平面图形上各点的加速度关系平面图形上各点的加速度关系第七章第七章 刚体的平面运动刚体的平面运动概述概述 刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是刚体的平面运动是工程上常见的一种运动，这是一种较为复杂的运动一种较为复杂的运动 研究：在研究刚体的研究：在研究刚体的平动平动和和定轴转动定轴转动的基础上，的基础上，通过运动通过运动合成合成和和分解分解的方法，将平面运动分解为的方法，将平面运动分解为上述两种基本运动然后应用合成运动的理论，上述两种基本运动然后应用合成运动的理论，推导出平面运动刚体上一点的速度和加速

2、度的计推导出平面运动刚体上一点的速度和加速度的计算公式算公式7-1 7-1 刚体的平面运动方程刚体的平面运动方程一平面运动的定义一平面运动的定义 在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始在运动过程中，刚体上任一点到某一固定平面的距离始终保持不变也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平终保持不变也就是说，刚体上任一点都在与该固定平面平行的某一平面内运动具有这种特点的运动称为刚体的平面行的某一平面内运动具有这种特点的运动称为刚体的平面运动运动例如例如: : 曲柄连杆机构中连杆曲柄连杆机构中连杆ABAB的运动，的运动， A A点作圆周运动，点作圆周运动，B B点作直线运动点作直线运动，因此，

3、因此，AB AB 杆的运动既不是平动也不是定轴转动，杆的运动既不是平动也不是定轴转动，而是平面运动而是平面运动 根据平面运动的定义可知，在刚体运根据平面运动的定义可知，在刚体运动过程中，此平面图形必在平面动过程中，此平面图形必在平面IIII内运动。内运动。在刚体内任取一条垂直于平面图形在刚体内任取一条垂直于平面图形S S的直的直线线A A1 1A A2 2做平动。点做平动。点A A的运动代表了的运动代表了A A1 1A A2 2上所上所有各点的运动。过平面图形有各点的运动。过平面图形S S作无数条垂作无数条垂线，这无数条垂线与平面图形有无数个交线，这无数条垂线与平面图形有无数个交点，这无数个交

4、点的运动代表了无数条直点，这无数个交点的运动代表了无数条直线的运动。线的运动。刚体的平面运动刚体的平面运动, ,可简化为平可简化为平面图形在其自身平面内的运动。面图形在其自身平面内的运动。二二. 刚体平面运动的简化刚体平面运动的简化 三平面运动方程三平面运动方程为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们为了确定代表平面运动刚体的平面图形的位置，我们只需确定平面图形内任意一条线段的位置只需确定平面图形内任意一条线段的位置 任意线段任意线段ABAB的位置可的位置可用用A A点的坐标和点的坐标和ABAB与与x x轴夹轴夹角表示因此图形角表示因此图形S S 的位的位置决定于三个置决定于三个独立的参

5、变量所以独立的参变量所以AAx , y , 四四平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动 当图形当图形上上点不动时，则刚体作定轴转动点不动时，则刚体作定轴转动 当图形当图形上上 角不变时，则刚体作平动角不变时，则刚体作平动故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动故刚体平面运动可以看成是平动和转动的合成运动平面运动方程平面运动方程1( )Axft2(Ayft）3( )ft 对于每一瞬时对于每一瞬时 t t ，都可以求出对应的，都可以求出对应的 ， 图图形形S S在该瞬时的位置也就确定了。在该瞬时的位置也就确定了。,AAyx例如车轮的运动例如车轮的运动 车轮的平面运动可以看成车轮的平面

6、运动可以看成是车轮随同车厢的平动和相是车轮随同车厢的平动和相对车厢的转动的合成对车厢的转动的合成 车轮对于静系的平面运动车轮对于静系的平面运动 （绝对运动）（绝对运动） 车厢（动系车厢（动系AxAx y y ) ) 相对静系的平动相对静系的平动 （牵连运动）（牵连运动） 车轮相对车厢（动系车轮相对车厢（动系AxAx y y ）的转动）的转动 （相对运动）（相对运动） 我们称动系上的原点我们称动系上的原点为基点，于是为基点，于是车轮的平面运动车轮的平面运动随基点随基点A A的平动的平动绕基点绕基点AA的转动的转动刚体的平面运动可以刚体的平面运动可以分解为随基点的平动分解为随基点的平动和绕基点的转

7、动和绕基点的转动再例如再例如: 平面图形平面图形在在 时间内从位置时间内从位置I I运动到位置运动到位置IIII以以A为基点为基点: 随基点随基点A平动到平动到AB后后, 绕基点转绕基点转 角到角到AB以以B为基点为基点: 随基点随基点B平动到平动到AB后后, 绕基点转绕基点转 角到角到AB图中看出：图中看出：AB AB AB ，于是有，于是有12121212121200limlim , ; ,ttddttdtdt 所以，所以，平面运动随基点平动的运动规律平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点选取无关基点选取无关(即在同一瞬

8、间，图形绕任一即在同一瞬间，图形绕任一基点转动的基点转动的 , 都是相同的）都是相同的）基点的选取是任基点的选取是任意的意的。(通常选取运动情况已知的点作为基点通常选取运动情况已知的点作为基点)曲柄连杆机构曲柄连杆机构ABAB杆作平面运动杆作平面运动平面运动的分解平面运动的分解一、基点法动点：动点：M绝对运动绝对运动 ：待求：待求牵连运动牵连运动 ： 平移平移MerOvvvvO M 动系动系 ： ( (平移坐标系平移坐标系) )O x y 相对运动相对运动 ：绕：绕 点的圆周运动点的圆周运动 O7-27-2 平面图形内各点的速度关系平面图形内各点的速度关系任意任意A，B两点两点BABAvvv其

9、中其中BABAvABv AB 大大小小方方向向垂垂直直于于，指指向向同同 平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。式中三种速度，一随图形绕基点转动速度的矢量和。式中三种速度，一共有六个量，只要知道其中任意四个量，可以求出另共有六个量，只要知道其中任意四个量，可以求出另外两个量。外两个量。 【例【例7-1】 如图所示，杆如图所示，杆AB长为长为l，其，其A端沿水平轨道运动，端沿水平轨道运动，B端沿铅直轨道运动。在图示瞬时，杆端沿铅直轨道运动。在图示瞬时，杆AB与铅直线成夹与铅直线成夹角角 ，A端具有向右的速度端具有向右的速

10、度vA，求此瞬时，求此瞬时B端的速度及杆端的速度及杆AB的角速度。的角速度。 Av B A BAv Bv Av BA 解：杆解：杆AB做平面运动，以做平面运动，以A为基点分析点为基点分析点B的速度，画的速度，画出点出点B的速度合成图如图所示。的速度合成图如图所示。tanBAvv / cosBAAvv cosBAABABAlvv 由速度合成图可知由速度合成图可知故杆故杆ABAB的角速度为的角速度为 例例7-2 椭圆规尺的椭圆规尺的A端以速度端以速度vA沿沿x 轴的负向运轴的负向运动，如图所示，动，如图所示，AB=l。求：求：B端的速度以及尺端的速度以及尺AB的角速度。的角速度。解：解：1、 AB

11、作平面运动作平面运动 基点：基点： AABABvAB lv ，已已知知： ，。 求求：。sinABAvv sinBAAABvvll 2?BABAAvvvv、大大小小 ？方方向向cotBAvv 例例7-3如图所示平面机构中，如图所示平面机构中，AB=BD= DE= l=300mm。在图示位置时，。在图示位置时，BDAE，杆，杆AB的角速度为的角速度为=5rad/s。求：此瞬时杆求：此瞬时杆DE的角速度和杆的角速度和杆BD中点中点C的速度。的速度。解：解：1 、 BD作平面运动作平面运动 基点：基点：Bmm5rad s300,/ /,ABDECABBDDElBDAEv 。已已知知：。求求：，lvv

12、vBDBD5rad sDBDEvvDEl5rad sDBBBDvvBDl2?DBDBvvvl 、大大小小 ？方方向向221 299m s.CBCBvvvBD方方向向沿沿杆杆向向右右32?CBCBBDvvvll、大大小小 ？方方向向mm5rad s300,/ /,ABDECABBDDElBDAEv 。已已知知：。求求：， 例例7-4曲柄连杆机构如图所示，曲柄连杆机构如图所示，OA =r, AB= 。如曲柄如曲柄OA以匀角速度以匀角速度转动。转动。r306090B 求求：当当，时时点点 的的速速度度。解：解：1、 AB作平面运动作平面运动 基点：基点：A3,OABOAABrrv 已已知知：求求：。

13、90 0,BABAvvrv 0Bv060 302 33cosBAvvr 2?BABAvvvr 、大大小小 ？方方向向例例7-5 如图所示的行星轮系中，大齿轮如图所示的行星轮系中，大齿轮固定，半固定，半径为径为r1 ，行星齿轮，行星齿轮沿轮沿轮只滚而不滑动，半径为只滚而不滑动，半径为r2。系杆系杆OA角速度为。角速度为。O求：轮求：轮的角速度的角速度及其上及其上B，C 两点的速度。两点的速度。解解: 1、轮、轮作平面运动作平面运动 基点：基点：A 12DAAOvvrr 1221DAAOvvrDArr20DADAvvv、12,OAOrr 已已知知：。,BCvv求： 22122BABAOvvvrr

14、122BABAOvvvrrr ？大小方方向向、 122CACAOvvvrr 4CACAvvv、12,OAOrr 已已知知：。,BCvv求：二、速度投影定理 同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。的投影相等。沿沿AB连线方向上投影连线方向上投影 BAABABvv BABAvvv由由 这个定理不但适用于刚体的平面运动，而且能适用于刚这个定理不但适用于刚体的平面运动，而且能适用于刚体的任何运动，它反映了刚体上任意两点间距离保持不变体的任何运动，它反映了刚体上任意两点间距离保持不变的特征。的特征。 例例7-6 如图所示的平面机构中，曲柄如图所示

15、的平面机构中，曲柄OA长长100mm，以角速度，以角速度=2rad/s转动。连杆转动。连杆AB带动摇杆带动摇杆CD，并拖动轮，并拖动轮E沿水平面纯滚动。已知：沿水平面纯滚动。已知：CD=3CB，图示位置时图示位置时A，B，E三点恰在一水平线上，且三点恰在一水平线上，且CDED。求：此瞬时点求：此瞬时点E的速度。的速度。解：解： 1、 AB作平面运动作平面运动BA ABABvv（ ）30cosBvOA 0 230930.m scosBOAv 100mm2rad s3,OAEOACDCB CDEDv已已知知：。求求：。2 2、CD作定轴转动，转动轴：作定轴转动，转动轴：C30 6928m s.BD

16、BvvCDvCB3 3、DE作平面运动作平面运动100mm,2rad s,3,OAEOACDCB CDEDv已知：。求： 。300 830EDEDDEEDDEvvvvvv )cos. m scos（ 三、瞬时速度中心法（速度瞬心法）三、瞬时速度中心法（速度瞬心法）1 1、问题的提出、问题的提出 若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题若选取速度为零的点作为基点，求解速度问题的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬的计算会大大简化于是，自然会提出，在某一瞬时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该时图形是否有一点速度等于零？如果存在的话，该点如何确定？点如何确定？ 、速度瞬心的概念、速度瞬心

17、的概念 平面图形平面图形S，某瞬时其上一点，某瞬时其上一点A速度速度 , 图形角速度图形角速度 ，沿，沿 方向取半直线方向取半直线AL, 然后然后顺顺 的转向转的转向转90o至至AL的位置的位置,在在AL上取长上取长度度 则：则：/AAPv PAPAvvv , , . PAAAvAPvPAv 方方向向恰恰与与反反向向 所所以以0Pv Av Av 即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平即在某一瞬时必唯一存在一点速度等于零，该点称为平面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心面图形在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心、几种确定速度瞬心位置的方法、几种确定速度瞬心位置的方法已知图形上一点的

18、速度已知图形上一点的速度 和图形角速度和图形角速度 ， 可以确定速度瞬心的位置可以确定速度瞬心的位置（P点）点）且且在在 顺顺 转向绕转向绕A点点 转转90的的方向一侧方向一侧 , ,AAvAPAPv AvAv 已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚已知一平面图形在固定面上作无滑动的滚 动动, 则图形与固定面的接触点则图形与固定面的接触点P为速度瞬为速度瞬心心 ( ) , ABABvvavvAB 与与同同向向( ) , ABABvvbvvAB 与与反反向向 已知某瞬时图形上已知某瞬时图形上A ,B两点速度两点速度 大小大小,且且,ABvv, ABvABvAB (b)(a) 已知某瞬间平面图形上已

19、知某瞬间平面图形上A,B两点速度两点速度 的方向，且的方向，且 过过A , B两点分别作速度两点分别作速度 的垂线的垂线,交点交点 P即为该瞬间的速度瞬心即为该瞬间的速度瞬心.,ABvv ABvv不不平平行行,ABvv另：对另：对种种(a)的情况，若的情况，若vAvB， 则是瞬时平动则是瞬时平动 已知某瞬时图形上已知某瞬时图形上A,B两点的速度方向相同，且不与两点的速度方向相同，且不与AB连连线垂直线垂直 此时此时, 图形的瞬心在无穷远处图形的瞬心在无穷远处,图形的角速度图形的角速度 =0, 图形上图形上各点速度相等各点速度相等, 这种情况称为这种情况称为瞬时平动瞬时平动. (此时各点的加速度

20、不此时各点的加速度不相等相等) 例如例如: 曲柄连杆机构在图示位置时，连杆曲柄连杆机构在图示位置时，连杆BC作瞬时平动作瞬时平动此时连杆此时连杆BC的图形角速度的图形角速度 ，BC杆上各点的速度都相等杆上各点的速度都相等. 但各点的加速度并不相等但各点的加速度并不相等设匀设匀 ，则，则2( )nBBaaAB 而的方向沿而的方向沿AC的，的，瞬时平动与平动不同瞬时平动与平动不同caBcaa 0BC 、 速度瞬心法速度瞬心法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法利用速度瞬心求解平面图形上点的速度的方法,称为速度瞬心法称为速度瞬心法. 平面图形在任一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转平面图形在任

21、一瞬时的运动可以视为绕速度瞬心的瞬时转动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。动，速度瞬心又称为平面图形的瞬时转动中心。 若若C点为速度瞬心，则任意一点点为速度瞬心，则任意一点A的速度的速度 方向方向 AC，指向与，指向与 一致。一致。 AvAC 、 注意的问题注意的问题 速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不速度瞬心在平面图形上的位置不是固定的，而是随时间不 断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。断变化的。在任一瞬时是唯一存在的。 速度瞬心处的速度为零速度瞬心处的速度为零, 加速度不一定为零。不同于定轴转动加速度不一定为零。不同于定轴转动 刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各

22、点的加速刚体作瞬时平动时，虽然各点的速度相同，但各点的加速 度是不一定相同的。不同于刚体作平动。度是不一定相同的。不同于刚体作平动。解：机构中解：机构中,OA作定轴转动作定轴转动,AB作作平面运动平面运动,滑块滑块B作平动。作平动。 基点法（合成法）基点法（合成法） 研究研究 AB，以，以 A为基点，且方向如图示。为基点，且方向如图示。, lvA例例7-7 已知：曲柄连杆机构已知：曲柄连杆机构OA=AB=l，曲柄曲柄OA以匀以匀 转动。转动。 求：当求：当 =45时时, 滑块滑块B的速度及的速度及AB杆的角速度杆的角速度45245/ cos / cos()tgtg/BABAAABBAvvllv

23、vllvABll （）根据根据,BABAvvv 在在点做点做 速度平行四边形，如图示。速度平行四边形，如图示。BAABABvv 根据速度投影定理根据速度投影定理cosABvv )(245cos/ cos/llvvAB不能求出不能求出AB 速度投影法速度投影法 研究研究AB, ,方向方向 OA, 方向沿方向沿BO直线直线lvABv2,/()AABABABvlAPlvAPllvBPl （）试比较上述三种方法的特点。试比较上述三种方法的特点。 速度瞬心法速度瞬心法研究研究AB，已知的方向，因此，已知的方向，因此可确定出可确定出P点为速度瞬心点为速度瞬心,ABvv 例例7-8 椭圆规尺的椭圆规尺的A端

24、以速度端以速度vA沿沿x 轴的负向轴的负向运动，如图所示，运动，如图所示，AB=l。 求：用瞬心法求求：用瞬心法求B端的速度。端的速度。解：解：AB作平面运动，速度瞬作平面运动，速度瞬心为点心为点C。sinAAABvvACl cotBABAvBCvABvAB lv 已已知知： ，。 求求：。 P Bv Ov Av A B O 例例7-9 7-9 如图所示的圆轮转动的角速度为如图所示的圆轮转动的角速度为 ，半径为半径为0.75m0.75m，试用速度瞬心法求圆轮中心，试用速度瞬心法求圆轮中心O和轮缘上两点和轮缘上两点A、B的速度。的速度。2 rad s/ 解：圆轮做平面运动，轮与地面的接触点解：圆

25、轮做平面运动，轮与地面的接触点P为轮的速度瞬心。因此，三点为轮的速度瞬心。因此，三点O、A、B的速的速度可分别表示为度可分别表示为 P Bv Ov Av A B O 2075471m sOvPO./ 22 075666m sBvPB./ 215 942m sAvPA./ 其方向分别垂直于三点其方向分别垂直于三点O、A、B和点和点P连线，并且与连线，并且与轮子转动的方向一致。方向如图所示。轮子转动的方向一致。方向如图所示。 7-3 平面图形内各点的加速度关系平面图形内各点的加速度关系一、基点法一、基点法 ( (合成法合成法) ) 已知：图形已知：图形S 内一点内一点A 的加速度的加速度 和图形和

26、图形 的的 , （某一瞬时）。（某一瞬时）。求：求： 该瞬时图形上任一点该瞬时图形上任一点B的加速度。的加速度。Aa 取取A为基点，将平动坐标系固结于为基点，将平动坐标系固结于A点，取点，取B动点，则动点，则B点点的运动分解为圆周运动（相对运动）和平动（牵连运动）。的运动分解为圆周运动（相对运动）和平动（牵连运动）。 ; ; aBeAnrBABABAaaaaaaaa 于是于是,由牵连运动为平动时加速度合成定理由牵连运动为平动时加速度合成定理aeraaa nBABABAaaaa 可得如下公式可得如下公式其中：，方向其中：，方向 AB，指向与，指向与 一致；一致；，方向沿，方向沿AB，指向，指向A

27、点。点。BAaAB 2nBAaAB 即即平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和形绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。这种求解加。这种求解加速度的方法称为速度的方法称为基点法基点法，也称为，也称为合成法合成法。是求解平面图形内一点。是求解平面图形内一点加速度的基本方法。加速度的基本方法。上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求上述公式是一平面矢量方程。需知其中六个要素，方能求出其余两个。由于出其余两个。由于 方位总是已知，所以在使用该公式方位总是已知，所以在使用该公式中，只

28、要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。中，只要再知道四个要素，即可解出问题的待求量。,nBABAaa 二、加速度瞬心二、加速度瞬心由于由于 的大小和方向随的大小和方向随B点的不同而不同点的不同而不同,所以所以总可以在图形内找到一点总可以在图形内找到一点Q，在此瞬时，相对加速度，在此瞬时，相对加速度 大小恰与基点大小恰与基点A的加速度等值反向，其绝对加速的加速度等值反向，其绝对加速度。度。Q点就称为图形在该瞬时的点就称为图形在该瞬时的加速度瞬心加速度瞬心, nBABAaa QAaAa0Qa 注注 一般情况下一般情况下,加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点加速度瞬心与速度瞬心不是同一个点 一般情况下

29、，对于加速度没有类似于速度投影定理的关一般情况下，对于加速度没有类似于速度投影定理的关 系式系式. 即一般情况下即一般情况下,图形上任意两点图形上任意两点A, B的加速度的加速度ABABABaa 若某瞬时图形若某瞬时图形 =0, 即瞬时平动即瞬时平动, 则有则有 ABABABaa 即即若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，若平面图形在运动过程中某瞬时的角速度等于零，则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投则该瞬时图形上任意两点的加速度在这两点连线上的投影相等影相等. 由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一由于加速度瞬心的位置不象速度瞬心那样容易确定，且一般情况下又不存

30、在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点般情况下又不存在类似于速度投影定理的关系式，故常采用基点法求图形上各点的加速度或图形角加速度法求图形上各点的加速度或图形角加速度分析：分析：大小大小 ？ 2 方向方向 ？ 故应先求出故应先求出 nPOPOPOaaaa RvO/ （） 例例7-10 半径为半径为R的车轮沿直线作纯滚动的车轮沿直线作纯滚动, 已知轮心已知轮心O点的速度点的速度及加速度及加速度 ,求车轮与轨道接触点求车轮与轨道接触点P的加速度的加速度OvOa解：轮解：轮O作平面运动，作平面运动，P为速度瞬心，为速度瞬心， 由于此式在任何瞬时都成立，且由于此式在任何瞬时都成立，且O点作直线运动

31、，故而点作直线运动，故而RadtdvRdtdOO1（）以以O为基点，有为基点，有 nPOPOPOaaaa 222 , ()POOnOOPOaRavvaRRRR 其中：其中： 由此看出，速度瞬心由此看出，速度瞬心P的加速度并不等于零，即它的加速度并不等于零，即它不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动不是加速度瞬心当车轮沿固定的直线轨道作纯滚动时，其速度瞬心时，其速度瞬心P的加速度指向轮心的加速度指向轮心 做出加速度矢量图，由图中看出：做出加速度矢量图，由图中看出：nPPOaa （ 与与 等值反向）等值反向） OaPOa 2/( )POavR Av B A BAv Bv Av BA Av B

32、 A Aa BA 【例【例7-117-11】 如图所示杆如图所示杆AB长为长为l，A端具有向右的速度端具有向右的速度vA和向右的加速度和向右的加速度aA，求此瞬时，求此瞬时B端的速度和加速度及杆端的速度和加速度及杆AB的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。 Av B A B Av Bv Av B A Av B A Aa B A 解：杆解：杆AB做平面运动，做平面运动，先进行速度分析，以先进行速度分析，以A为基点分析点为基点分析点B的速度。的速度。tanBAvvcos/BAAvv故杆故杆ABAB的角速度为的角速度为 cosBAAABBAvvl 然后再进行加速度分析和然后再进行加速度分析和计算，

33、以计算，以A为基点分析点为基点分析点B的加的加速度。速度。列列 方向的投影方程方向的投影方程 nBAancoscos(90)BABAaaa解得解得 23tancosABAvaal Aa B A BAa Ba Aa BA nBAa 列列 方向的投影方程方向的投影方程 BAasincosBABAaaa 解之得解之得23sincossincoscos BABAAAaaaavl所以，所以，AB杆的角加速度为杆的角加速度为223sincoscosBAAAABaavlll Aa B A BAa Ba Aa BA nBAa B Av BAv BCv Cv x y 30 0 O A C B D 30 0 【例

34、【例7-127-12】如图所示为一平面铰链机构。已知】如图所示为一平面铰链机构。已知OA=3r， AB=BC=r，角速度为角速度为0。CD=2 2r，角速度为，角速度为0，转向如图所，转向如图所示。在图示位置时杆示。在图示位置时杆OA与杆与杆AB垂直，试求图示瞬时点垂直，试求图示瞬时点B的的速度和加速度以及杆速度和加速度以及杆AB、杆、杆BC的角速度和角加速度。的角速度和角加速度。 B Av B Av B Cv Cv x y 3 0 0 O A C B D 3 0 0 解：本机构中杆解：本机构中杆AB和杆和杆BC均做均做平面运动，分别取杆平面运动，分别取杆AB的点的点A和和杆杆BC的点的点C为

35、基点为基点, ,作出点作出点B的速的速度合成图如图所示。由速度合成度合成图如图所示。由速度合成图可知：图可知：cos30sin30BxABCByBABCCvvvvvvv 0033BxByvrvr ，0032ABBC ，nnnnnsin30cos30cos30sin30BxBACBCBCByBAABCBCaaaaaaaaaa 再由加速度合成图可知：再由加速度合成图可知： 209Bxar 2019 33Byar2022 33AB2026 33BCr， y B x 3 0 3 0 nCa nB Ca B Ca nB Aa B Aa nAa 0 O A C B D 3 0 0 解得解得解：解：(a)

36、AB作平动，作平动，nnABABABABvv , aa (aa , aa) 1122112212ABABv/ O A, v/ O B; a/ O A, a/ O B; O AO B 又又而而1212;.例例7-13 已知已知O1A=O2B, 图示瞬时图示瞬时 O1A /O2B 试问试问(a),(b)两种情况下两种情况下 1和和 2， 1和和 2是否相等？是否相等？(a)(b)(b) AB作平面运动作平面运动, 图示瞬时图示瞬时作瞬时平动作瞬时平动, 此时此时0ABAB,vv 12112212ABO AO B, v/ O A, v/ O B, nnABAABBABABABABABABaa , a

37、aaa 即即2211112222O AsinO AcosO BsinO Bcos 2211122ABctg ,ABaa 即即并并由由此此看看出出作作瞬瞬时时平平动动时时例例7-14 曲柄滚轮机构曲柄滚轮机构 滚子半径滚子半径R=15cm, n=60 rpm,求：当求：当 =60时时 (OA AB),滚轮的滚轮的 ， 翻页请看动画翻页请看动画解解：OA定轴转动定轴转动,AB杆和轮杆和轮B作平面运动作平面运动研究研究AB：12303 153ABAv/ AP/ rad/s（）cm/s 30215rad/s 230/6030/OAvnAP为其速度瞬心为其速度瞬心122 3 1520 33BABvBP

38、cm/s() 分析分析: 要想求出滚轮的要想求出滚轮的 , 先要求出先要求出vB, aBP2P1vBP2为轮速度瞬心为轮速度瞬心取取A为基点，为基点，222152602AaOA()cm/s 指向指向O点点nBABABAaaaa 22223 15320 33nBAAB(aAB(),BA) 沿沿大小大小 ？ ？ 方向方向 作加速度矢量图，将上式向作加速度矢量图，将上式向BA线上投影线上投影3000nBBAa cosa223020 333240131 53nBBA2aa/ cos/. cm/s () 220 3157 25BBv/ BP/.rad/s2131 5 158 772BBa/ BP. /.

39、rad/s ）(）(研究轮研究轮B：P2为其速度瞬心为其速度瞬心1、运动学综合应用 ： 机构运动学分析机构运动学分析。2、已知运动机构 未知运动机构 连连接接点点运运动动学学分分析析3 3、连接点运动学分析、连接点运动学分析接接触触滑滑动动合合成成运运动动铰铰链链连连接接平平面面运运动动三、三、运动学综合应用举例运动学综合应用举例 ev B r OC Ov Oa rv A av 60 O 60 【例【例7-14】如图所示的圆轮在水平地面上做纯滚动，圆轮的】如图所示的圆轮在水平地面上做纯滚动，圆轮的半径半径r=0.5m，杆，杆O1A与轮相切，套筒在圆轮的边缘用铰链和与轮相切，套筒在圆轮的边缘用铰

40、链和圆轮相连。已知圆轮圆轮相连。已知圆轮的中心点的中心点O的速度的速度vO=20m/s，加速度，加速度aO=10m/s2，求此瞬，求此瞬时杆时杆O1A的角速度的角速度和角加速度。和角加速度。 ev B r OC Ov Oa rv A av 60 O 60 解：首先进行速度分析和解：首先进行速度分析和计算。圆轮与地面的接触点计算。圆轮与地面的接触点C为其速度瞬心，同时选择为其速度瞬心，同时选择B为为动点，动点，O1A为动系，作点为动系，作点B的的速度合成图如图所示。速度合成图如图所示。eacos6010 3m svv/rasin6030m svv/杆杆O1A的角速度为的角速度为 1ee120ra

41、d s3O Avv/O Br 然后再进行加速度分析。首先用基点法求轮缘点然后再进行加速度分析。首先用基点法求轮缘点B的加速的加速度。取度。取O为基点，分析点为基点，分析点B的加速度。作点的加速度。作点B的加速度图。的加速度图。 再以套筒点再以套筒点B为动点，为动点，O1A为动系分析套筒为动系分析套筒B的加速度。的加速度。作点作点B的加速度合成图的加速度合成图 O Oa BOa C O1 A 60 Oa nBOa B 30 A ea ra ka nea C O1 60 B O nneerkOBOBOaaaaaaa O Oa BOa C O1 A 60 Oa nBOa B 30 A ea ra k

42、a nea C O1 60 B O 向向 方向投影，得方向投影，得 eantk30OOBea cosaaa-ntk30OOBea cosaaa-其中：其中：n22800msBOaOB/ 2ker21200msav/ ， n2ekcos30391msOBOaaaa/杆杆O1A的角加速度为的角加速度为 12e1452rad/sO AaO B代入上式，有代入上式，有 第七章刚体平面运动习题课第七章刚体平面运动习题课一、概念与内容一、概念与内容1. 刚体平面运动的定义刚体平面运动的定义刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变2. 刚体平面运动的简

43、化刚体平面运动的简化可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形S在自身平在自身平 面内的运动代替刚体的整体运动面内的运动代替刚体的整体运动 3. 刚体平面运动的分解刚体平面运动的分解 分解为分解为 4. 基点基点可以选择平面图形内任意一点可以选择平面图形内任意一点,通常是运动状态已知的点通常是运动状态已知的点 随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）随基点的平动（平动规律与基点的选择有关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）绕基点的转动（转动规律与基点的选择无关）5. 瞬心（速度瞬心）瞬心（速度瞬心） 任一瞬时任一瞬时,平面图形或扩大部分都唯一存在一个

44、速度为零的点平面图形或扩大部分都唯一存在一个速度为零的点 瞬心位置随时间改变瞬心位置随时间改变 每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动这每一瞬时平面图形的运动可视为绕该瞬时瞬心的转动这 种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同种瞬时绕瞬心的转动与定轴转动不同 =0, 瞬心位于无穷远处瞬心位于无穷远处, 各点速度相同各点速度相同, 刚体作瞬时平动刚体作瞬时平动, 瞬时平动与平动不同瞬时平动与平动不同6. 刚体定轴转动和平动是刚体平面运动的特例刚体定轴转动和平动是刚体平面运动的特例7. 求平面图形上任一点速度的方法求平面图形上任一点速度的方法 基点法：基点法： 速度投影法：速度投影法： 速度瞬心法

45、：速度瞬心法：其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例其中，基点法是最基本的公式，瞬心法是基点法的特例BABAvvv , A为为基基点点BAABABvvBBvBP , vBP , . P 与与一一致致为为瞬瞬心心 8. 求平面图形上一点加速度的方法求平面图形上一点加速度的方法基点法：基点法： ，A为基点为基点, 是最常用的方法是最常用的方法此外，当此外，当 =0,瞬时平动时也可采用方法瞬时平动时也可采用方法它是基点法在它是基点法在 =0时的特例。时的特例。nBABABAaaaa BAABABaa9. 平面运动方法与合成运动方法的应用条件平面运动方法与合成运动方法的应用条件平面运动方法用

46、于研究平面运动方法用于研究一个平面运动刚体一个平面运动刚体上任意两点的速上任意两点的速 度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形度、加速度之间的关系及任意一点的速度、加速度与图形 角速度、角加速度之间的关系角速度、角加速度之间的关系合成运动方法常用来确定合成运动方法常用来确定两个相接触的物体两个相接触的物体在接触点处有在接触点处有 相对滑动时的运动关系的传递相对滑动时的运动关系的传递二、解题步骤和要点二、解题步骤和要点 1. 根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动根据题意和刚体各种运动的定义，判断机构中各刚体的运动 形式注意每一次的研究对象只是一个刚体形式注意每一次的研

47、究对象只是一个刚体 2. 对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速对作平面运动的刚体，根据已知条件和待求量，选择求解速 度度(图形角速度图形角速度)问题的方法问题的方法, 用基点法求加速度用基点法求加速度(图形角加速图形角加速 度度) 3. 作速度分析和加速度分析，求出待求量作速度分析和加速度分析，求出待求量 (基点法基点法: 恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图；恰当选取基点，作速度平行四边形，加速度矢量图； 速度投影法速度投影法: 不能求出图形不能求出图形 ; 速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键）速度瞬心法：确定瞬心的位置是关键）例例1 曲柄肘杆压床机构曲柄肘杆压床机构已

48、知：已知：OA=0.15m , n=300 rpm ,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 图示位置时图示位置时, AB水平水平求该位置时的、求该位置时的、 及及BDAB Dv解：解：OA,BC作定轴转动作定轴转动, AB,BD均作平面运动均作平面运动 根据题意：根据题意： 300103030nrad/s 0 15 101 5AvOA. m/s （ ）11 51 527 16600 763AABv. rad/sAPAB sin. 研究研究AB, P为其速度瞬心为其速度瞬心1607 160 76 0 5 7 162 72BABvBPABcos. m/s 研究研究BD, P2为其速度瞬心为

49、其速度瞬心, BDP2为等边三角形为等边三角形DP2=BP2=BD22 735 130 53BBDv. rad/sBP. 20 53 5 132 72DBDvDP. m/s() （）解：解：OA定轴转动定轴转动; 轮轮A作平面运动作平面运动, 瞬心瞬心P点点1122MooRrvPMr(Rr ),r AooRrv( Rr )r r ）(2222MooRrvPMr( Rr ),r 方方向向均均如如图图示示例例2 行星齿轮机构行星齿轮机构已知已知: R, r , o 轮轮A作纯滚动，求作纯滚动，求12MMv,v例例3 平面机构中平面机构中, 楔块楔块M: =30, v=12cm/s ; 盘盘: r

50、= 4cm , 与与 楔楔 块间无滑动求圆盘的块间无滑动求圆盘的 及轴及轴O的速度和的速度和B点速度点速度解解：轴轴O, 杆杆OC, 楔块楔块M均作平动均作平动, 圆盘作平面运动，圆盘作平面运动，P为速度瞬心为速度瞬心12Avv cm/s ,12124302 3Av/ PA/ rcos/cos rad/s4302 34 3ovPOr sinsin m/s() 22222120124224272PBPOO BPOO B cosm 2 72 34 2118 3BvPB. m/s ( PB ) ）( 比较比较例例2和和例例3可以看出可以看出, 不能认为圆轮只滚不滑时不能认为圆轮只滚不滑时,接接 触点

51、就是瞬心触点就是瞬心, 只有在接触面是固定面时只有在接触面是固定面时, 圆轮上接触点圆轮上接触点 才是速度瞬心才是速度瞬心 每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和每个作平面运动的刚体在每一瞬时都有自己的速度瞬心和 角速度角速度, 并且瞬心在刚体或其扩大部分上并且瞬心在刚体或其扩大部分上, 不能认为瞬心在不能认为瞬心在 其他刚体上其他刚体上. 例如例如, 例例1 中中AB的瞬心在的瞬心在P1点点,BD的瞬心在的瞬心在P2 点点, 而且而且P1也不是也不是CB杆上的点杆上的点例例4 导槽滑块机构导槽滑块机构已知已知： 曲柄曲柄OA= r , 匀角速度匀角速度 转动转动, 连杆连杆AB的

52、中点的中点C处连接一处连接一 滑块滑块C可沿导槽可沿导槽O1D滑动滑动, AB=l,图示瞬时图示瞬时O,A,O1三点三点 在同一水平线上在同一水平线上, OA AB, AO1C= =30。 求：该瞬时求：该瞬时O1D的角速度的角速度解：解：OA, O1D均作定轴转动均作定轴转动, AB作平面运动作平面运动 研究研究AB: , 图示位置图示位置, 作作瞬时平动瞬时平动, 所以所以BcAvr;vvr Avr 用合成运动方法用合成运动方法求求O1D杆上与滑块杆上与滑块C 接触的点的速度接触的点的速度 动点动点: AB杆上杆上C (或滑块或滑块C ), 动系动系: O1D杆杆, 静系静系: 机架机架绝

53、对运动绝对运动：曲线运动，方向曲线运动，方向相对运动相对运动：直线运动，方向：直线运动，方向/ O1D牵连运动牵连运动：定轴转动，方向：定轴转动，方向 O1Dacvvr rv?ev?根据，作速度平行四边形作速度平行四边形aervvv 3302eCvvcosrcosr 11113 22eO DeO DvO C vr3r lO C2l/ sin 又又 ）( 这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论这是一个需要联合应用点的合成运动和刚体平面运动理论求解的综合性问题求解的综合性问题例例5 平面机构平面机构例例5 平面机构平面机构 图示瞬时图示瞬时, O点在点在AB中点中点, =60,BC AB, 已知已知O,C在同一在同一水平线上水平线上,AB=20cm,vA=16cm/s , 试求该瞬时试求该瞬时AB杆杆, BC杆的角速度及滑块杆的角速度及滑块C的速度的速度解解: 轮轮A, 杆杆AB, 杆杆BC均作均作平面运动平面运动, 套筒套筒O作定轴转作定轴转动动, 滑块滑块C平动平动. 取套筒上取套筒上O点为点为动点动点,