数字电路基础

1、数数 字字 电电 路路 基基 础础第第1章数字电路基础章数字电路基础概述概述几种常用的数制和码制几种常用的数制和码制逻辑函数中三种最基本的逻辑运算逻辑函数中三种最基本的逻辑运算复合逻辑函数复合逻辑函数逻辑函数的几种表示方法及其相互转换逻辑函数的几种表示方法及其相互转换逻辑代数逻辑代数逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法关于正逻辑和负逻辑的规定及其转换关于正逻辑和负逻辑的规定及其转换数数 字字 电电 路路 基基 础础1、数制和码制，各种数制间的转换；数制和码制，各种数制间的转换；2、与、或、非逻辑和其它复合逻辑函数；、与、或、非逻辑和其它复合逻辑函数；3、逻辑代数基本定律的运用，用代数法

2、和、逻辑代数基本定律的运用，用代数法和 卡诺图法化简和变换逻辑函数；卡诺图法化简和变换逻辑函数；4、逻辑问题的描述方法：真值表、逻辑表达、逻辑问题的描述方法：真值表、逻辑表达 式、卡诺图和逻辑图。式、卡诺图和逻辑图。本章教学基本要求本章教学基本要求数数 字字 电电 路路 基基 础础（一）数字信号和数字电路（一）数字信号和数字电路 1.1概述概述1、模拟信号是指在时间上和数值上都是连续变化、模拟信号是指在时间上和数值上都是连续变化 的信号。的信号。2、数字信号是指在时间上和数值上都是断续变、数字信号是指在时间上和数值上都是断续变 化的离散信号。化的离散信号。数数 字字 电电 路路 基基 础础 （

3、二）数字电路的特点（二）数字电路的特点1 1、数字电路在稳态时，电子器件处于开关状态，即、数字电路在稳态时，电子器件处于开关状态，即工作在饱和区和截止区。和二进制信号的要求是工作在饱和区和截止区。和二进制信号的要求是对应的。分别用对应的。分别用0 0 和和1 1来表示。来表示。2 2、数字电路信号的、数字电路信号的1 1和和0 0没有任何数量的含义，而没有任何数量的含义，而 只是状态的含义，所以电路在工作时要能可靠只是状态的含义，所以电路在工作时要能可靠 地区分开地区分开1 1和和0 0两种状态。两种状态。3 3、对已有电路分析其、对已有电路分析其逻辑功能逻辑功能，叫做，叫做逻辑分析逻辑分析；

4、 按逻辑功能要求设计电路，叫做按逻辑功能要求设计电路，叫做逻辑设计逻辑设计。4 4、数字电路工作状态主要是用、数字电路工作状态主要是用逻辑代数逻辑代数和和卡诺图法卡诺图法等等 进行分析化简。进行分析化简。5 5、数字电路能够对数字信号、数字电路能够对数字信号1 1和和0 0进行各种逻辑运算进行各种逻辑运算 和算术运算。和算术运算。数数 字字 电电 路路 基基 础础数字电路的分类和应用数字电路的分类和应用1、数字电路按组成的结构可分为、数字电路按组成的结构可分为分立元件电路分立元件电路和和集成集成电路电路两大类。集成电路按集成度分为小规模、中规两大类。集成电路按集成度分为小规模、中规模、大规模和

5、超大规模集成电路。模、大规模和超大规模集成电路。2、按电路所用器件的不同。数字电路又可分为、按电路所用器件的不同。数字电路又可分为双极型双极型 和和单极型单极型电路。电路。3、根据电路逻辑功能的不同，数字电路又可分为、根据电路逻辑功能的不同，数字电路又可分为组合组合 逻辑电路逻辑电路和和时序逻辑电路时序逻辑电路两大类。两大类。数数 字字 电电 路路 基基 础础 主要要求：主要要求：1.2几种常用的数制和码制几种常用的数制和码制 掌握各种计数体制及其表示方法。掌握各种计数体制及其表示方法。 几种计数体制之间的相互转换几种计数体制之间的相互转换。 理解理解 BCDBCD 码的含义，掌握码的含义，掌

6、握 84218421BCD BCD 码，码， 了解其他常用了解其他常用 BCDBCD 码。码。数数 字字 电电 路路 基基 础础一、数制一、数制( (一一) ) 十进制十进制 (Decimal)(Decimal)十进制有如下特点：十进制有如下特点：（1 1）它的数码）它的数码K K共有十个，为共有十个，为0 0、1 1、2 2、3 3、4 4、5 5、6 6、7 7、8 8、9 9。（2）相邻位的关系，高位为低位的十倍，逢十进一，借一当十，即十进制）相邻位的关系，高位为低位的十倍，逢十进一，借一当十，即十进制 的基数的基数R等于等于10。（3 3）任何一个十进制都可以写成以）任何一个十进制都可

7、以写成以1010为底的幂之和的形式。为底的幂之和的形式。例如： ( (11.51) )10 1101 1100 510- -1 110- -2 权 权 权 权 10i 称十进制的权称十进制的权 10 称为基数称为基数 0 9 十个数码称数十个数码称数数码与权的乘积，称为加权系数数码与权的乘积，称为加权系数十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式十进制数可表示为各位加权系数之和，称为按权展开式 (246.134)10 = 2102 + 4101 + 6100 + 110-1 + 310- -2 + 410- -31 0-1 0iiiiiiNKRK数数 字字 电电 路路 基基 础础( (二

8、二) ) 二进制二进制 ( (Binary) )（XXX）2或（XXX）B例如（例如（1011.23）2或（或（101123）B数制：数制：0 0、1 1进位规律：逢二进一，借一当二进位规律：逢二进一，借一当二权：权：2i基数：基数：2 系数：系数：0、1例如例如 0 + 1 = 1 1 + 1 = 10 11 + 1 = 100 10 1 = 1按权展开式表示按权展开式表示(1011)2 = 123 + 022 + 121 + 120 将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。(1011.11)2 = 123 + 022 + 121 +

9、 120 + 12- -1 + 12- -2= 8 + 0 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 = 11.75(1011.11)2 = (11.75)10数数 字字 电电 路路 基基 础础( (三三) ) 十六进制十六进制 ( (Binary) )(XXX)16或或 (XXX)H 例如：（4E6）16或（4E6）H数码：数码：09、A F F进位规律：逢十六进一，借一当十六。进位规律：逢十六进一，借一当十六。权：权：16i 基数：基数：16 系数：系数：09、AF按权展开式表示按权展开式表示 （4E6）16=4162+E 161+6 160（4E6）16 = 4162+14 161+6

10、160 =（1254）10将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。将按权展开式按照十进制规律相加，即得对应十进制数。 =（1254）10（4E6）16 = （1254）10数数 字字 电电 路路 基基 础础几种进制的优缺点几种进制的优缺点: 以十进制和二进制作比较以十进制和二进制作比较, ,十进制在日常生活中应十进制在日常生活中应用最多用最多, ,是人们最熟悉和习惯的计数体制是人们最熟悉和习惯的计数体制, ,但其十个数但其十个数码在数字电路中难于找到十个状态与之对应数字电码在数字电路中难于找到十个状态与之对应数字电路的两个状态可用两个数码表示路的两个状态可用两个数码表示, ,故采用二

11、进制故采用二进制. .二进二进制计算规则简单制计算规则简单, ,但人们对它不习惯但人们对它不习惯, ,另外其数位较多另外其数位较多, ,不易读写不易读写. .利用二进制与十进制和十六进制的对应关利用二进制与十进制和十六进制的对应关系对十进制和十六进制以及二进制编码系对十进制和十六进制以及二进制编码, ,用起来就很用起来就很方便了。方便了。数数 字字 电电 路路 基基 础础二、几种不同数制间的转换二、几种不同数制间的转换 1. 非十进制转换成十进制非十进制转换成十进制可以将非十进制写为按权展开式可以将非十进制写为按权展开式, ,得出其相加的结果得出其相加的结果, ,就是对应的十进制数就是对应的十

12、进制数例例1(11010)2=124+123+022+121+020 =24+23+21=(26)10例例2(1001.01)2=123+022+021+120+02-1+12-2=23+20+2-2=(9.25)10例例3(174)16=1162+7161+4160=256+112+4=(372)10数数 字字 电电 路路 基基 础础2. 十进制转换为二进制十进制转换为二进制整数和小数分别转换整数和小数分别转换 整数部分：除整数部分：除 2 取余法取余法 小数部分：乘小数部分：乘 2 取整法取整法例例1 1 将十进制数将十进制数 (26)10 转换成二进制数转换成二进制数 26 余数余数13

13、 631 222220 读读数数顺顺序序0.87521.750 121.500 12 1.000 1整数整数读读数数顺顺序序一直除到商为一直除到商为 0 为止为止(26)10= (11010)201011例例2 将（将（0.875）10转换为二进制数转换为二进制数（0.875）10=（0.111）2数数 字字 电电 路路 基基 础础例例3 3 将（将（8181）1010转换为二进制、十六进制数转换为二进制、十六进制数8124012202010205201200余数余数读读数数顺顺序序可用除基取余法直接求十六进制。或利用十六进制数码与二进制数码的对应关系，由二进制数转化为十六进制数。 每一个十六

14、进制数码都可以用每一个十六进制数码都可以用4位二进制来表示。位二进制来表示。所以可将二制数从低位向高位每所以可将二制数从低位向高位每4位一组写出各位一组写出各组的值，从左到右读写，就是十六进制。在将二组的值，从左到右读写，就是十六进制。在将二进制数按进制数按4位一组划分字节时最高位一组位数不够位一组划分字节时最高位一组位数不够可用可用0补齐。补齐。（81）10=（1010001）2=（01010001）2=（51）16小数点以后的二进制数转化为十六进制数在划分字节时是从高位到低们进行的。小数点以后的二进制数转化为十六进制数在划分字节时是从高位到低们进行的。2121数数 字字 电电 路路 基基

15、础础用二进制码表示十进制码的编码方法称为二用二进制码表示十进制码的编码方法称为二-十进制码，即十进制码，即BCD码。码。常用的常用的BCD码几种编码方式如表所示码几种编码方式如表所示1111111111001110111010111101011110101100011010011011010110000100010001000011001100110010001000100001000100010000000000009876543210 十十 进进 制制 数数1100101110101001100001110110010101000011余余 3 码码2421( (B) )2421( (A)

16、 ) 5421 码码 8421 码码无权码无权码 有有 权权 码码1001100001110110010101000011001000010000权为权为 8、4、2、1比比 8421BCD 码多余码多余 3取四位自然二进制数的前取四位自然二进制数的前 10 种组合，种组合，去掉后去掉后 6 种组合种组合 1010 1111。数数 字字 电电 路路 基基 础础用用 BCD 码表示十进制数举例：码表示十进制数举例： (473)10 =（010001110011）8421 BCD (36)10 = (00110110) 8421 BCD (4.79)10 = (0100.01111001)8421

17、 BCD(50)10 = (01010000)8421 BCD 注意区别注意区别 BCD 码与数制：码与数制： (150)10 = (000101010000)8421 BCD = (10010110)2 = (226)8 = (96)16 数数 字字 电电 路路 基基 础础三、可靠性代码三、可靠性代码奇偶校验码奇偶校验码 组成组成信信 息息 码码 ： 需要传送的信息本身。需要传送的信息本身。1 1 位校验位：取值为位校验位：取值为 0 0 或或 1 1，以使整个代码，以使整个代码 中中“1”1”的个数为奇数或偶数。的个数为奇数或偶数。使使“1”的个数为奇数的称奇校验，的个数为奇数的称奇校验，

18、使使“1”的个数为偶数的称偶校验。的个数为偶数的称偶校验。 数数 字字 电电 路路 基基 础础主要要求：主要要求：1.3逻辑函数中三种最基本的逻辑运逻辑函数中三种最基本的逻辑运算算1 1、理解逻辑函数和逻辑变量、理解逻辑函数和逻辑变量2 2、掌握三种基本逻辑关系及表示方法、掌握三种基本逻辑关系及表示方法数数 字字 电电 路路 基基 础础一、逻辑函数和逻辑变量一、逻辑函数和逻辑变量 被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑结果的被概括的以某种形式表达的逻辑自变量和逻辑结果的函数关系称为逻辑函数。函数关系称为逻辑函数。 在逻辑代数中，逻辑变量也是用字母来表示的。逻辑变在逻辑代数中，逻辑变量也是用字

19、母来表示的。逻辑变量的取值只有两个：量的取值只有两个：1 1和和0 0。注意注意逻辑代数中的逻辑代数中的 1 和和 0 不表示数量大小，不表示数量大小，仅表示两种相反的状态。仅表示两种相反的状态。 例如：开关闭合为例如：开关闭合为 1 晶体管截至为晶体管截至为 1 电位高为电位高为 1 断开为断开为 0 导通为导通为 0 低为低为 0 决定事物的因素（原因）为逻辑自变量，被决定的事物决定事物的因素（原因）为逻辑自变量，被决定的事物的结果为逻辑的结果为逻辑因变量。因变量。数数 字字 电电 路路 基基 础础二、基本逻辑函数及运算二、基本逻辑函数及运算 基本逻辑函数基本逻辑函数 与逻辑与逻辑 或逻辑

20、或逻辑 非逻辑非逻辑与运算与运算( (逻辑乘逻辑乘) ) 或或运算运算( (逻辑加逻辑加) ) 非运算非运算( (逻辑非逻辑非) ) 1. 与逻辑与逻辑 决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生。灭灭断断断断亮亮合合合合灭灭断断合合灭灭合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A开关开关 A、B 都闭合时，都闭合时，灯灯 Y 才亮。才亮。 规定规定:开关闭合为逻辑开关闭合为逻辑 1断开为逻辑断开为逻辑 0 灯亮为逻辑灯亮为逻辑 1灯灭为逻辑灯灭为逻辑 0 真值表真值表11 1YA B00 000 101 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A B 或或

21、 Y = AB 与门与门 ( (AND gate) )若有若有 0 出出 0；若全；若全 1 出出 1 数数 字字 电电 路路 基基 础础 开关开关 A 或或 B 闭合或两者都闭合时，灯闭合或两者都闭合时，灯 Y 才亮。才亮。2. 或逻辑或逻辑 决定某一事件的诸条件中，只要有一个决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。或一个以上具备时，该事件就发生。灭灭断断断断亮亮合合合合亮亮断断合合亮亮合合断断灯灯 Y开关开关 B开关开关 A若有若有 1 出出 1若全若全 0 出出 0 00 011 1YA B10 111 0逻辑表达式逻辑表达式 Y = A + B 或门或门 (

22、(OR gate) ) 1 3. 非逻辑非逻辑决定某一事件的条件满足时，决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生事件不发生；反之事件发生。 开关闭合时灯灭，开关闭合时灯灭， 开关断开时灯亮。开关断开时灯亮。 AY0110Y = A 1 非非门门( (NOT gate) ) 又称又称“反相器反相器” 数数 字字 电电 路路 基基 础础1.4复合逻辑函数复合逻辑函数主要要求：主要要求：1 1、含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为、含有两种或两种以上逻辑运算的逻辑函数称为 复合逻辑函数。复合逻辑函数。2 2、掌握几种常见的复合函数例如：与非、或非、掌握几种常见的复合函数例如：与非、或非

23、、 与或非、异或、同或等。与或非、异或、同或等。数数 字字 电电 路路 基基 础础与非与非逻辑逻辑( (NAND) )先与后非先与后非若有若有 0 出出 1若全若全 1 出出 0或非逻辑或非逻辑 ( NOR )先或后非先或后非若有若有 1 出出 0若全若全 0 出出 101 110 000 1YA B01 0与或非逻辑与或非逻辑 ( (AND OR INVERT) )先与后或再非先与后或再非由基本逻辑运算组合而成10 001 1YA B11 0011可以有二个可以有二个以上的输入变量以上的输入变量数数 字字 电电 路路 基基 础础异或逻辑异或逻辑 ( (Exclusive OR) )若相异出若

24、相异出 1若相同出若相同出 0同或逻辑同或逻辑 ( (Exclusive - NOR，即异或非，即异或非) )若相同出若相同出 1若相异出若相异出 000 001 1YA B10 111 010 011 1YA B00 101 0注意注意：异或和同或互为反函数，即：异或和同或互为反函数，即=ABY只能是只能是二个二个输入输入变量变量数数 字字 电电 路路 基基 础础1.5逻辑函数的几种表示方法及其相互转换逻辑函数的几种表示方法及其相互转换主要要求：主要要求：2 2、已知逻辑函数式求真值表和逻辑图。、已知逻辑函数式求真值表和逻辑图。1 1、已知真值表求逻辑表达式和逻辑图。、已知真值表求逻辑表达式

25、和逻辑图。3 3、已知逻辑图求逻辑函数式和真值表。、已知逻辑图求逻辑函数式和真值表。数数 字字 电电 路路 基基 础础根据真值表求函数表达式的方法是：根据真值表求函数表达式的方法是： 将真值表中每一组使输出函数值为将真值表中每一组使输出函数值为1 1的输入变量都写成一的输入变量都写成一个乘积项。在这些乘积项中，取值为个乘积项。在这些乘积项中，取值为1 1的变量，则该因子写成的变量，则该因子写成原变量，取值为原变量，取值为0 0的变量，则该因子写成反变量，将这些乘积的变量，则该因子写成反变量，将这些乘积项相加，就得到了逻辑函数式。项相加，就得到了逻辑函数式。 A B C L 0 0 0 0 0

26、1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1例：例：真值表真值表数数 字字 电电 路路 基基 础础A=0 B=1 C=1A=1 B=0 C=1A=1 B=1 C=1依照取值为依照取值为1 1写成原变量，取值为写成原变量，取值为0 0写成反写成反变量因子的原则得到的函数式：变量因子的原则得到的函数式：验证是否正确可直接写出L与A、B、C的逻辑函数式：L=（A+B）CL= ABC+ABC+ABCL ABC ABC ABC ABC ABC 根据以上电路图以及真值表中查到，使函数根据以上电路图以及真值表中查到，使函数L L为为1 1的变量取

27、值的变量取值组合是：组合是：数数 字字 电电 路路 基基 础础通过简化的逻辑函数式也可以得到简化的逻辑图与前通过简化的逻辑函数式也可以得到简化的逻辑图与前面的电路图对应的逻辑图如下所示：面的电路图对应的逻辑图如下所示：数数 字字 电电 路路 基基 础础已知逻辑函数式求真值表和逻辑图已知逻辑函数式求真值表和逻辑图例题：已知逻辑函数式 ，求与它对应的真值表 和逻辑图。解：将输入变量解：将输入变量A A、B B、C C的各组取值代入函数式，算出函数的各组取值代入函数式，算出函数Z Z的值，的值，并对应地填入表中就是真值表。并对应地填入表中就是真值表。ABCZ000011001101010011011

28、000100001101101110001111001CBCAZ A BC AC 数数 字字 电电 路路 基基 础础已知逻辑图求逻辑函数式和真值表已知逻辑图求逻辑函数式和真值表例如：写出右图所示逻辑图的逻辑函数式。解：首先从输入端门电路开始，逐级给每个门标号（G1G5），然后依次写出各个门的输出端函数表达式，分别为：ACBCBACCBAACCB)(AACCBZ)(数数 字字 电电 路路 基基 础础1.6 逻辑代数逻辑代数主要内容：基本公式、定律和常用规则基本公式、定律和常用规则逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法数数 字字 电电 路路 基基 础础一、逻辑代数的一、逻辑代数的基本基本公式公式

29、1.与普通代数相似的定律与普通代数相似的定律 交换律: AB=B A A+B=B+A 结合律: (A B) C=A (B C) (A+B)+C=A+(B+C)分配律: A (B+C)=AB+AC 与对或的分配与对或的分配分配律: A+BC=(A+B)A+C)或对与的分配或对与的分配数数 字字 电电 路路 基基 础础2.变量常量关系定律变量常量关系定律01律律: A1=A A 0=0 A+1=1 A+0=A 注注: A代表代表1和和0 ；互互补补律律：0=AA; 1=A+A3.逻辑代数的特殊定律逻辑代数的特殊定律重叠律重叠律: A A=A A+A=A；反反演演律律B+A=BA:;BA=B+A否定

30、律：否定律：A = A数数 字字 电电 路路 基基 础础4.吸收律 推广公式：推广公式： 利用真值表利用真值表 逻辑等式的逻辑等式的证明方法证明方法 利用基本公式和基本定律利用基本公式和基本定律总之：总之：A + AB = A （A+B）（）（A+C）=A+BCA（A+B）=A数数 字字 电电 路路 基基 础础将 “B” 以（BC）代入(AB CABCABC二、关于等式的若干规则二、关于等式的若干规则1.1.代入规则代入规则 将等式两边出现的同一变量都以一个相同的将等式两边出现的同一变量都以一个相同的逻辑函数代之，则等式仍成立，这个规则称为逻辑函数代之，则等式仍成立，这个规则称为代代入规则入规

31、则。A BA BABA B摩根定理的两变量形式为：例如：A B CACA B C数数 字字 电电 路路 基基 础础2.2.反演规则反演规则在使用反演规则时需要注意两点：在使用反演规则时需要注意两点：(1) 必须遵守“先括号、然后乘、最后加”的运算顺序。(2) 不属于单个变量上的反号应保留不变。 对于任意一个逻辑式Z，如果把其中所有的“ ”换成“+”，“+”换成“”，0换成1，1换成0，原变量换成反变量、反变量换成原变量，那么得到的函数式就是 ，这个规则叫做反演规则反演规则。它为求一个函数的反函数提供了方便。Z数数 字字 电电 路路 基基 础础例：（1）1ZABABCCD（2）2ZAC DE 求

32、函数 和 的反函数：2z1Z解：按反演规则可直接写出 和 的反函数 和 ，2z1Z1Z2Z（1）1() () ()ZA BA B CC D （2）2ZA B C D E 数数 字字 电电 路路 基基 础础 3.3.对偶规则对偶规则 对于任何一个逻辑式对于任何一个逻辑式Z，如果将其中，如果将其中“”换成换成“+”、“+”换成换成“、0换成换成1，1换成换成0，则得到一个新的函数式，这个函，则得到一个新的函数式，这个函数数Z的对偶式，记作的对偶式，记作Z。 可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，可以证明，若两个逻辑式相等，则它们的对偶式也相等，这就是对偶规则。这就是对偶规则。对偶规则的

33、应用应用： 运用对偶规则可以使人们要证明的公式大大减少。假如要求证Z1和Z2是否相等，则只需证明其对偶式Z1、Z2 是否相等（即如已知Z1 =Z2 ，那么Z1和Z2必然相等）。 例:A（B+C）= AB+AC，求这一公式两边的对偶式，则有分配律A+BC =（A+B)(A+C)成立。数数 字字 电电 路路 基基 础础1.6.2 逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法1.1.逻辑函数表达式的标准形式和最简式含义逻辑函数表达式的标准形式和最简式含义 一个逻辑函数确定以后，其真值表是唯一的，但其函数式的表达形式却有多种。因为不管哪种表达式，对同一个逻辑函数来说所表达的逻辑功能是一致的，各种表达式是可

34、以相互转换的，例如对异或异或逻辑函数，它们有八种标准表达式，分别为：数数 字字 电电 路路 基基 础础Z = AB + AB=A B+A B=A BA B（与或式）（与或式） = A + BA + BABAB（与非（与非- -与非式）与非式）（或（或- -与非式）与非式）（或非（或非- -或非式）或非式）数数 字字 电电 路路 基基 础础根据根据 Z = AB + ABZ = AB + AB=A B A B=A + BA + BABABABAB（与或非式）（与或非式）（与非与式）（与非与式）（或与式）（或与式）（或非（或非- -或非式）或非式）数数 字字 电电 路路 基基 础础2.2.常用的代

35、数化简法常用的代数化简法 代数化简法也称公式化简法，其实质就是代数化简法也称公式化简法，其实质就是反复使用逻辑代数的基本定律和常用公式，消反复使用逻辑代数的基本定律和常用公式，消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子，以求得最简式。以求得最简式。 使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。本和提高系统可靠性。主要的意义主要的意义:数数 字字 电电 路路 基基 础础并项法并项法:运用运用 ，将两项合并为一项，并消去一个变量。将两

36、项合并为一项，并消去一个变量。 ABAAB CBACBAY )(CBACBA )()(CBCBACBBCAY 常用的公式化简方法补充例题：补充例题：BA A 数数 字字 电电 路路 基基 础础BDCADABC )(BDDACACB DACACB DCDAABC 吸收法：吸收法： AB )(FEABABY （1）BDDCDAABCY （2）补充例题：补充例题：A+AB=A 将多余的乘积项AB吸收掉数数 字字 电电 路路 基基 础础 和AABABAB A C BC AB A C消去法消去法 ：消去乘积项中的多余因子；消去多余的项BC。补充例题：补充例题：CBCAABY CBAAB)( CABAB

37、CAB CDBAABCDBABAY )(BAABCDBABA BACDBA CDBA CDBABA 数数 字字 电电 路路 基基 础础 、A+A=A 或 1AA0 A A配项法配项法 ：DCBADCABCBAB CBAB 用该式乘某一项，可使其变为两项，再与其它项合并化简。 用该式在原式中配重复乘积或互补项，再与其它项合并化简。补充例题：补充例题：数数 字字 电电 路路 基基 础础例题：例题：AB + AB = A B + A B求证：求证：证：根据摩根定理，得证：根据摩根定理，得AB + AB = AB AB=A + BA + BABABABAB即即同理同理ABABABAB数数 字字 电电

38、路路 基基 础础ZABCABCABCABCAB CCAB CC()()ABAB( () )A BB AZ = A + ABC(B + CD + E ) + BC= A + (A + BC)(B + CD + E ) + BC= (A + BC)(A + BC)(B + CD + E )= A + BC数数 字字 电电 路路 基基 础础ZBCBCABAB= BC(A + A) + BC + AB + AB(C + C )= ABC + ABC + BC + AB + ABC + ABC= ABC + ( ABC + AB ) + (BC + ABC) + ABC= AC(B + B) + AB

39、+ BC= AC + AB + BC数数 字字 电电 路路 基基 础础ZABCABCABCABC AB= (ABC + ABC) + ( ABC + ABC ) + ABC AB + AB AB= BC + AB + AB( ABC + AB)= BC + AB + AB( ABC + AB)= BC + AB + AB= BC + AB + AB= ABC数数 字字 电电 路路 基基 础础1.7 逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法主要内容:逻辑函数的最小项及最小项表达式用卡诺图法化简逻辑函数具有无关项的逻辑函数及其化简逻辑函数的卡诺图表示方法数数 字字 电电 路路 基基 础础一、逻

40、辑函数的最小项及最小项表达式一、逻辑函数的最小项及最小项表达式 对于n变量函数，如果其与或与或表达式的每个乘积项都包含n个因子，而这n个因子分别为n个变量的原变量或反变量，每个变量在乘积项中仅出现一次，这样的乘积项称为函数的最小项最小项，这样的与或与或式称为最小项表达式。 由函数的真值表可直接写出函数的最小项表达式，即将真值表中所有使函数值为所有使函数值为1 1的各组变量的取值组合以乘的各组变量的取值组合以乘积项之和的形式写出来积项之和的形式写出来，在乘积项中，变量取值为1写原变量文字符号，变量取值为0写反变量文字符号。数数 字字 电电 路路 基基 础础 例：ZABCABCABCABC的真值表

41、为：A B CZABCZ00001000001110100101110101101111数数 字字 电电 路路 基基 础础1.1.最小项的编号最小项的编号 一个一个n n变量函数，最小项的数目为变量函数，最小项的数目为2 2n n个，其中所个，其中所有使函数值为有使函数值为1 1的各最小项之和为函数本身，所有使的各最小项之和为函数本身，所有使函数值为函数值为0 0的各最小项之和为该函数的反函数。的各最小项之和为该函数的反函数。 为了表示方便，最小项常以代号的形式写为为了表示方便，最小项常以代号的形式写为 m mi i, ,m m 代表代表最小项最小项，下标下标 i i为为最小项的编号最小项的编

42、号。i i 是是 n n 变量取值组合排成二进制数所对应的十进制数。变量取值组合排成二进制数所对应的十进制数。数数 字字 电电 路路 基基 础础如何编号？如何编号？3 变量逻辑函数的最小项有变量逻辑函数的最小项有 23 = 8 个个 将输入将输入变量取值为变量取值为 1 的代以原变的代以原变量，取值为量，取值为 0 的代以反变的代以反变量，则得相量，则得相应最小项。应最小项。 简记符号简记符号例如例如 CBA1015m5m44100CBAABC1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 0最小项最小项A B CCBACBACBABCACBACBACABm7m6

43、m5m4m3m2m1m0输入组合对应输入组合对应的十进制数的十进制数76543210例例:数数 字字 电电 路路 基基 础础2. 2. 最小项的性质最小项的性质根据最小项的定义，不难证明最小项有如下性质根据最小项的定义，不难证明最小项有如下性质: : 对输入变量任何一组取值在所有最小项（对输入变量任何一组取值在所有最小项（ 2n个）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为个）中，必有一个而且仅有一个最小项的值为1。 在输入变量的任何一组取值下，任意两个最小在输入变量的任何一组取值下，任意两个最小项的乘积为项的乘积为0。全体最小项的和为全体最小项的和为1。数数 字字 电电 路路 基基 础础二、逻辑函

44、数的卡诺图表示方法二、逻辑函数的卡诺图表示方法1.卡诺图的画法规则卡诺图的画法规则 卡诺图是逻辑函数的图形表示方法，它以其发明者美卡诺图是逻辑函数的图形表示方法，它以其发明者美国贝尔实验室的工程师卡诺而命名。国贝尔实验室的工程师卡诺而命名。 将将n 变量函数填入一个矩形或正方形的二维空间即变量函数填入一个矩形或正方形的二维空间即一个平面中，把矩形或正方形等分为一个平面中，把矩形或正方形等分为2n个小方格，这些个小方格，这些小方格分别代表小方格分别代表n变量函数的变量函数的2n个最小项，每个最小项占个最小项，每个最小项占一格。在画卡诺图时，标注一格。在画卡诺图时，标注变量区域变量区域划分的方法是

45、分别划分的方法是分别以各变量将矩形或正方形的有限平面一分为二，其中一以各变量将矩形或正方形的有限平面一分为二，其中一半定为原变量区，在端线外标原变量符号并写为半定为原变量区，在端线外标原变量符号并写为1，另，另一半定为反变量区（可不标反变量符号）并写成一半定为反变量区（可不标反变量符号）并写成0。数数 字字 电电 路路 基基 础础 要求上下、左右、相对的边界、四角等相邻格只允许一要求上下、左右、相对的边界、四角等相邻格只允许一个因子发生变化（即相邻最小项只有一个因子不同）。个因子发生变化（即相邻最小项只有一个因子不同）。 左上角第一个小方格必须处于各变量的反变量区。左上角第一个小方格必须处于各

46、变量的反变量区。 变量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的序变量位置是以高位到低位因子的次序，按先行后列的序列排列。列排列。 将将 n n 变量的变量的 2 2n n 个最小项用个最小项用 2 2n n 个小方格表示，并个小方格表示，并且且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样这样排列得到的方格图称为排列得到的方格图称为 n n 变量最小项卡诺图，简称为变变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。量卡诺图。对卡诺图的三点规定对卡诺图的三点规定:数数 字字 电电 路路 基基 础础卡诺图画法规则如图所示卡诺图画法规则如图所示: :数数 字字 电电

47、路路 基基 础础2. 2. 用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数具体做法：具体做法： 如果逻辑函数式为最小项表达式，就在卡诺图如果逻辑函数式为最小项表达式，就在卡诺图上把式中各上把式中各最小项所对应的小方格内填最小项所对应的小方格内填1 1，其余的，其余的方格填入方格填入0 0，这样就得到表示该逻辑函数的卡诺图，这样就得到表示该逻辑函数的卡诺图了。了。例例1：用卡诺图表示逻辑函数：用卡诺图表示逻辑函数：ZABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCDABCD（1 1）根据逻辑函数画卡诺图）根据逻辑函数画卡诺图数数 字字 电电 路路 基基 础础解：因为函数解：因为函数Z Z为四变量

48、最小项表达式，应首先确定各最小为四变量最小项表达式，应首先确定各最小项编号，并将函数写为项编号，并将函数写为 的形式，有的形式，有iZm111032151354Zmmmmmmmm(2,3,4,5,10,11,13,15)m 然后画出四变量卡诺然后画出四变量卡诺图，将对应于函数式中各最图，将对应于函数式中各最小项的方格位置上填入小项的方格位置上填入1 1，其余方格位置上填入其余方格位置上填入0 0，就，就得到了如图所示的函数得到了如图所示的函数Z Z的的卡诺图。卡诺图。数数 字字 电电 路路 基基 础础（2 2）由卡诺图求函数式）由卡诺图求函数式例例2：已知逻辑函数：已知逻辑函数F的卡诺图如图所

49、示，试写出的卡诺图如图所示，试写出 F的函数式。的函数式。解：因为因为F等于卡诺图中填入等于卡诺图中填入1的那些最小项之和的那些最小项之和因此：因此：FABCABCABCABC数数 字字 电电 路路 基基 础础（3 3）用与或式直接填入卡诺图）用与或式直接填入卡诺图 首先将函数变换为与或表达式（不必变换为最首先将函数变换为与或表达式（不必变换为最小项之和的形式），然后在变量卡诺图中将每个乘小项之和的形式），然后在变量卡诺图中将每个乘积项中各因子所共同占有的区域的方格中都填入积项中各因子所共同占有的区域的方格中都填入1 1，其余的填其余的填0 0，就得到了函数的卡诺图。这种做的依，就得到了函数的

50、卡诺图。这种做的依据是，任何一个非最小项的乘积项得用配项的方法据是，任何一个非最小项的乘积项得用配项的方法都可以写为最小项之和的形式，这个乘积项就是那都可以写为最小项之和的形式，这个乘积项就是那些被展开的最小项的公因子。些被展开的最小项的公因子。CD 是 m3、m7、m11、m15 的公因子的公因子1 571 13C D=C D ( A +A ) ( B +B)=( A C D+A C D ) ( B +B)=A B C D+A B C D+A B C D+A B C D=m+m+m+m数数 字字 电电 路路 基基 础础例例3：试将函数：试将函数 填入卡诺图。填入卡诺图。解：首先将解：首先将

51、Z 变换为与或式变换为与或式()()()ZA B CDA BCDA B CD CD ZABCD数数 字字 电电 路路 基基 础础3 . 3 . 用卡诺图法化简逻辑函数用卡诺图法化简逻辑函数一、在逻辑函数与或表达式中，如果两乘积项仅有一个因一、在逻辑函数与或表达式中，如果两乘积项仅有一个因子不同，而这一因子又是同一变量的原变量和反变量，则子不同，而这一因子又是同一变量的原变量和反变量，则两项可合并为一项，消除其不同的因子，合并后的项为这两项可合并为一项，消除其不同的因子，合并后的项为这两项的公因子。两项的公因子。例：某四变量函数中包含例：某四变量函数中包含m6,m7,m14,m15,则用代数法化

52、简时则用代数法化简时写成：写成：671415()()()()()mmmmAB C DAB C DA B C DA B C DAB CDDA B CDDAB CA B CB CAAB C数数 字字 电电 路路 基基 础础 而在卡诺图中，这四项几何相邻，很直观，而在卡诺图中，这四项几何相邻，很直观，可以把它们圈为一个方格群，直接提取其公可以把它们圈为一个方格群，直接提取其公因子因子BC，如图所示：，如图所示：数数 字字 电电 路路 基基 础础二、用卡诺图化简逻辑函数的步骤二、用卡诺图化简逻辑函数的步骤1 . 1 . 首先将逻辑函数变换为与或表达式。首先将逻辑函数变换为与或表达式。2 . 2 . 画

53、出逻辑函数的卡诺图。画出逻辑函数的卡诺图。3 . 3 . 将将2 2n n个为个为1 1的相邻方格分别画方格群，的相邻方格分别画方格群，整理每个方格群的公因子，作为乘积项。整理每个方格群的公因子，作为乘积项。4 .4 .将整理后的乘积项加起来，就是化简后将整理后的乘积项加起来，就是化简后的与或式。的与或式。数数 字字 电电 路路 基基 础础卡诺图化简实例卡诺图化简实例数数 字字 电电 路路 基基 础础数数 字字 电电 路路 基基 础础数数 字字 电电 路路 基基 础础数数 字字 电电 路路 基基 础础数数 字字 电电 路路 基基 础础在画包围圈时必须注意：在画包围圈时必须注意： （1）包围圈越

54、大越好；）包围圈越大越好；（2）包围圈个数越少越好；）包围圈个数越少越好；（3）同一个）同一个“1”方块可以被圈多次（方块可以被圈多次（A+A=A）；）；（4）每个包围圈要有新成分；）每个包围圈要有新成分；（5）画包围圈时，先圈大，后圈小；）画包围圈时，先圈大，后圈小；（6）不要遗漏任何）不要遗漏任何“1”方块。方块。数数 字字 电电 路路 基基 础础例例1 1：利用图形法化简函数：利用图形法化简函数3,4,6,7,10,13,14,15mZ解：解：1 .先把函数先把函数Z 填入四变量卡诺图，如图。填入四变量卡诺图，如图。2.画包围圈。从图中看出，画包围圈。从图中看出，m(6,7,14,15)不必再圈了，尽管这个不必再圈了，尽管这个包围最大，但它不是独立的，这四个最小项已被其它四个方格群包围最大，但它不是独立的，这四个最小项已被其它四个方格群全圈过了。全圈过了。3.提取每个包圈圈中最小项的公因子构成乘积项，然后将这些乘提取每个包圈圈中最小项的公因子构成乘积项，然后将这些乘积相加得到简化的