(新)高数求极限的方法小结

1、你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。高等数学中求极限的方法小结2. 求极限的常用方法2.1 利用等价无穷小求极限#这种方法的理论基础主要包括： (1) 有限个无穷小的和、 差、 积仍是无穷小 .(2) 有界函 数与无穷小的乘积是无穷小 .(3) 非零无穷小与无穷大互为倒数 .(4) 等价无穷小代换 ( 当求两 个无穷小之比的极限时，分子与分母都可用等价无穷小代替 ). 3且 limlim ；则：与 是等价无穷小的充分必要条件为：看人生峰高处，唯有磨难多正果。210( ) 常用等价无穷小：当变量 x 0 时，sin x x, tan x x,arcsin x

2、 x,arctan x x,e1 x,ln(1 x)x,1 cosx 1x2,21x1 x x,(1 x) 1 x求 limx1 cosx 0 x arctan x120时,1 cosx x ,arctan x x ，2例2故，原式求 limx12 x lim 2 2 x 0 x212)3 1(1 x0 cosx 10时,(11x2)312 13x2,112cosx x ,因此:212x原式limx30 1 2 x例3求 lim 3 1 3 1 x 0 tanx1x3x0例431x 0时, 31 x 1 x,tanx x，故: 原式= lim 3x2 e1 求 lim解x0时,ex1 x,ln

3、(1 x) x , 故 :x 0 2 x ln(1 x)原式试确定常数a与 n，使得当 x0 时，axn 与 ln(13x)3x3 为等价无穷小lim ln(1 x3) x3x0n ax1 而左边n 1 5即n 63 lim x 0 6a3x23 3x2 lim 1 x3 n x 0 naxn3 116a3x5lxim0 naxn 112 x lim 2 x 0 2x22.2 利用洛必达法则求极限#利用这一法则的前提是：函数的导数要存在；为0比 0 型或者 型等未定式类型 .洛必达法则分为 3种情况：(1)0比 0，无穷比无穷的时候直接用 . (2)0 乘以无穷， 无穷减去无穷(无穷大与无穷小

4、成倒数关系时)通常无穷大都写成无穷小的倒数形式 , 通项 之后，就能变成( 1)中形式了 .(3)0的 0次方， 1的无穷次方，无穷的 0次方，对于(指 数, 幂函数)形式的方法主要是取指数的方法， 这样就能把幂函数指数位置的函数移下来了， 就是写成 0 与无穷的形式了 .洛必达法则中还有一个定理： 当 x a时，函数 f(x)及 F(x)都趋于 0；在点 a的某去心邻域内， f (x)F(x)的导数都存在且 F ( x)的导数不等于 0；lim f (x) 存在，那么 x aF (x)limxaf(x)F(x)limxaf (x) F (x)1法.求极限有很多种方法如洛必达法则，夹逼定理求极

5、限的秘诀是： 强行代入， 先定型后定3例61求 lim(2x 0 sin 2 x2cos x)2 ) .x分析秘诀强行代入，先定型后定法221 02 02240 04(0 0)(0 0)040 30 0 0 (此为强行代入以定型)03 00 可能是比 00 高阶的无穷小， 倘若不这样， 或(0 0)(0 0)042202 02(0 0)(0 0)0 00040031 lxim0( sin12 x2cos x2)xlxim0x2 sin2 xcos2 x22x sin x(x sin x cos x)(x sin x cos x) lim x0xlimx0sin x cos x lim x由洛必

6、达法则的2,有：例7x 求lxim0 xe2x sin xcosx2limx0x sin xcosx上式=2limxcos2 x3x2sin2 x4sin2 x 4lim 23 x 0 x2xx 解 lxim0 (xe2 1x) lxim0 2xe 1lim 2x 0 x2例8求lxim1x3 3x 2x3x2 x 1解 原式3x2 3 lim 2 x 1 3x2 2x 16x 3lim . (二次使用洛必达法则)x 1 6x 2 2例9求lxim0xxe e 2xx sin x你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。2看人生峰高处，唯有磨难多正果。23xx原

7、式 lim e e 2 x0 1 cosxxx ee lim x 0 sin xxx ee lim x0 cosx2.10 求 lxim1x2 4x 3 x2 2x原式 lxim12x 42x 2tanxlxim111 求 limx 0 xsin xarcsin x原式 lim tanx x012 求 limx0xxx cotxln x原式 limx02sin x13 求 lim(x0sin 2 xx 2 xx 12 lxim1 xxlxim012cos x3x22 cos x 2x sin x2cos x)2 ).x22x sin 原式 lim 2x 0sin2xcos2 x2 xx原式=l

8、imx0lxim0x sin x cos xlimx0x sin型：14limxx(2arctan x) .原式 limxarctanx”型：15求 limxsecx tanx .lxim02 cos x 22 3x cos x2sin xcosx(x sin xcosx)(x lim x0xcosx2limxlimx11 x21x2(1 cos)1 x2lim 2 22x 0 3x cos xsin x cos x)x sin xcosx2lixm01 cos2x3x2limxx12 1x1.sin 2 x 43你想是怎样的人，你就是怎样的人；你想成为怎样的人，你离这个目标就不会太远。1 s

9、inxcosx1 sin x 解 secx tanxcosx cosx看人生峰高处，唯有磨难多正果。43故原式 lim 1 sinxx 2 cosxcosx lim x sinx 20.00”型：例 16 求 lim xx . x0解 原式 limx0ln xelimx0xln xelimex 0ex ln1.1 ”型：例 17 求 limx解 原式 limxee.0 ”型：例 18 求 limx0解 原式1 tanx ()x1ln( )lim e xx0tanlimx0tan xln x eexlim0tan xln x e而 lim( tanxln x)x0tanxxlim( xln x)

10、x00 ，因此：原式 =1.2.3 泰勒公式含有 e的 x 次方的时候，尤其是含有正、余弦的加减的时候要特别注意)泰勒中值定理定理：如果函数f (x)在含有 n 的某个开区间 ( a, b)内具有直到 (n 1)阶的导数，则对任x (a,b) ，有f (x0)( x- x0) 2+ 2!(n)f(x) f(x0)+ f (x0)( x-x0)+ f n(!x0)( x- x0)n+Rn( x) n!(n 1)其中 Rn(x)n1x x0 ，这里 是 x 与 x0 之间的某个值 . 1例 19 利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式，求极限 lim x0sinx xcosxsin3 x解 由于公式的

11、分母 sin3 x x(x0) ，我们只需将分子中的sin x x0(x3),xcosx3!于是 sinx xcosx x3!2!0(x3)3时，把两个 x3 高阶的无穷小的代数和还是记作3x3 x2 4例 20lxim x32x2limx1limxn2 1(n1)2limxlimx2)n3n( 2)n 3n 12.4 无穷小与有界函数的处理方法面对复杂函数，尤其是正、法. 3例 21 求 limxx sinx解 原式 lim(1xxsin x)x2.5 夹逼定理12limx30( x3 )代入计算，2! 0(x3)0(x3).3xx1x23，1，n2n313x3余弦的复杂函数与其它函数相乘的

12、时候，lim(1x1sin x) 1.x主要介绍的是如何用之求数列极限，之放缩或扩大 . 10(x3) ，对上式做运算定要注意这个方这个主要是看见极限中的通项是方式和的形式， 对例 22求 limnsinnn12sinn12sin1解i1isinn1sinii1isinn1i1limni1nnolimnsininilimni1limn根据夹逼定理limx2.6 等比等差数列公式例 23 设 |任取 0nlnnlnln,nlnlnln由定义知limisinno1n1isinn1 ni1sin0i1的绝对值要小于| 1 ，证等比数列1，为使 xn1，lnln因此 ,很显然有 :当nN 时，即 xn

13、1)1xndx 2 ，1sin x dx 20，的极限为0.，即limnlnln1.lnln0.99. lim 0.99. 1.nn2.7 各项以拆分相加 3, 可以使用将待求的和式子的各项拆分相加来消除中间的大多数，主要应用于数列极限待定系数来拆分简化函数例 24 求 limn2*33*4解 原式 limn1133n1limnlimnn12.8 求左右极限的方式1, x例 25 求函数f (x),x1, x求x0 时， f x 的极限 .解 lim fx0lim0x1lim fx0lim xx0因为limx0limx0所以，当 x0时，f (x) 的极限不存在例 26 limx00.解 xl

14、im0x ( x)limx0(x， lim x xx 0 xlxim0 x0，因为 limx0x ( x)limx0xx0，所以 ,原式 =0.2.9 应用两个重要极限lim sin xx01 ， lim 1x例 27求 lxim0解 记 x ln 1 t原式=ltim0 1t tex 1 t ，则1因为 lim 1 x x ex例 28 求 limn1n1解 原式 =limn1n11=e.例 29 求 limnn-1解 原式 =limn1n-1=e.2.10 根据增长速度ln x(x30 求 limxnxx x n 为正整数， e0.原式 =limxn1nxxenn =lim x12xen2

15、xlimxn!nxe0.0nxnnm lix 求31例nnmlixm lixn1mlix同函数趋近于无穷的速度是不一样的，x 的 x次方快于 x!（ x 的阶乘）快于指数函数，快于幂函数，快于对数函数所以增长速度： ln x xn e x (x ) . 故以后上述结论可直接在极限计算中运用 .2.11 换元法1例 32 lim (1 )x .xx解 令 x t ，3)如果 lim f (x) 存在，而 n为正整数，则lim f (x)nlim f (x)1tt1t1 t 1 1 e则原式 = lim 1limlim 11= etttttt1 t 12.12 利用极限的运算法则 1利用如下的极限

16、运算法则来求极限：(1) 如果 lim fx A,lim gxB,那么 lim f (x)g(x) limf (x)lim g(x)ABlim f xg x limfxlimgxAB若又有 B 0 ，则 lim f (x)limf(x)Ag(x)lim g(x)B2)如果 lim f (x)存在，而 c为常数，则 lim cf(x) clim f(x)4)如果 (x)(x)，而 lim (x) a,lim (x) b，则 a b5)设有数列 xn 和 yn ，如果 lim xn ynA B;n那么， lim xn ynA B; lim xn yn A BxA当yn 0 n 1,2,. 且b 0

17、时， lnim yn B2.13 求数列极限的时候可以将其转化为定积分1例 33 已知 f xn, 在区间 0,1 上求 lim0 i 1i xi其中将 0,1 分为 n个小区间 xi 1,xi , xi 1xi ，xi 中的最大值）解 由已知得 : lim0xii11f x dx00 1 x2 dx注释：由已知可以清楚的知道，该极限的求解可以转化为定积分, 求函数 f x 在区间 0,1 上的面积） .在有的极限的计算中，需要利用到如下的一些结论、概念和方法：1）定积分中值定理：如果函数f x 在积分区间 a,b 上连续，则在a,b 上至少有一个点，使下列公式成立：bfxdx x b a a

18、2）设函数 f x 在区间 a,上连续，取 t a ，如果极限limttf x dx 存在，a则称此极限为函数 f x 在无穷区间a, 上的反常积分，记作f (x)dx ，即f(x)dx limattf (x)dx；a设 f x 在区间a,b 上连续且 f x 0 ，求以曲线 y f x 为曲线，底为a,b 的曲边梯形的面积 A ，把这个面积bA 表示为定积分： A= f x dx 的步骤是：a首先，用任意一组的点把区间a,b 分成长度为 xi （i 1,2,.n） 的 n 个小区间，相应地把曲线梯形分成 n 个窄曲边梯形，第 i 个窄曲边梯形的面积设为Ai ，于是有 AnAi ；i1其次，计

19、算 Ai 的近似值Aiixi xi 1 ixi ；n然后，求和，得 A的近似值 A f i xi ；i1bf (x) dx.an最后，求极限，得 A lim f ( i ) xi0i1例 34 设函数 f x 连续，且 f 0mli= lxim0xtf t dt0xx t f t dt 解 lim 0 xx 0 xx f x t dt0xxf t dt0xx f u du0x由洛必达得：f t dt+xf x xf x lim 0 x x 0 xf u du xf0其中 f x tdx,令u x t, 得 0u du ,再由积分中值定理得xf lim x 0 xfxf x在0到x之间limx0

20、f0例 35fx计算反常积分 :dx .1 x2 .dx2 = arctanx = lim arctanx lim arctan x=( )1 x x x - 2 22.14 利用函数有界原理证明极限的存在性，利用数列的逆推求极限31）单调有界数列必有极限； 2）单调递增且有上界的数列必有极限，单调递减且有下界的数列必有极限例 36 数列 x : 2 ， 2 xn 1 ，极限存在吗？解 由已知可得 xn 单调递增且有界，由单调有界原理，知lim xn 存在n又 xn2 xn 1 ， lim xn lim 2 xn 1nn记lim xn=t,则t2 t ，n即可证 xn 2 ，得到 t 2.2.

21、15 直接使用求导的定义求极限当题目中告诉你 F（0） 0时， F （x）的导数等于 0 的时候，就是暗示你一定要用导数定义：（1）设函数 y f x 在点 x0的某个领域内有定义，当自变量x在 x0处取得增量 x（点 x x0 仍在该领域内）时，相应的函数取得增量y f x x0 f x0 ；如果 y与 x 之比 x 0 时的极限存在，则称函数 y f x 在点 x0 处可导，并称这个极限为函数 y f x 在点x0处可导，并称这个极限为函数 y f x 在点 x0处的导数，记作 f x0 ，即 f x0lixm0lixm0x x0f x0 ； x2）在某点处可导的充分必要条件是左右导数都存在且相等例 36 f x x 1 x e x ，求