第五章图形变换ppt课件

1、第五章第五章 图形变换图形变换数学根底：矢量、 矩阵及运算图形二维变换图形三维变换光栅变换5.1变换的数学根底 矢量 矢量和 zyxuuuUzyxvvvVzzyyxxvuvuvuVU5.1变换的数学根底矢量的数乘 矢量的点积性质zyxkukukuUkzzyyxxvuvuvuVUUVVUVUVU000UUU5.1变换的数学根底矢量的长度 单位矢量 矢量的夹角222zyxuuuUUUVUVUcosUVUV即即U在在V上的投影乘以上的投影乘以V的模的模5.1变换的数学根底矢量的叉积 kjikji321bbbvvvuuuVUzyxzyxyxyxzxzxxyzyuvvubvuuvbuvvub321 ,

2、,图4.4 UV的模UVVhU叉乘的图形如图4.4,性质如下:(1).(2).矢量 UV垂直于矢量U 和V,三矢量的方向服从右手系。 sin2UVU VS oUV矩阵的含义矩阵：由mn个数按一定位置陈列的一个整体，简称mn矩阵。mnmmnnaaaaaaaaa . . . . . . 21222211 1211A=其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素5.1变换的数学根底矩阵运算加法设A，B为两个具有一样行和列元素的矩阵A+B = 数乘kA = k*aij|i=1.m, j=1,. n . b . . . . b m22111112121111mnmnmmmnnbaababaaba5.1变换的

3、数学根底 乘法 矩阵A的列数和矩阵B的行数一样时可以相乘. C = A B = C=Cmp = Am n Bnp cij = aik*bkj 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其他皆为0的矩阵称为单位矩阵。n阶单位矩阵通常记作In 。 Am n = Am n In babab abababababababababa322322221221312321221121321322121211311321121111 k=1,n5.1变换的数学根底 逆矩阵 假设矩阵A存在AA-1=A-1A=I，那么称A-1为A的逆矩阵 矩阵的转置 把矩阵A=(aij)mn的行和列互换而得到的nm矩阵称

4、为A的转置矩阵,记作AT 。 (AT)T = A (A+B)T = AT + BT (aA)T = aAT (AB)T = BT AT 当A为n阶矩阵，且A=AT ，那么A是对称矩阵。5.1变换的数学根底矩阵运算的根本性质交换律与结合律师 A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C数乘的分配律及结合律 a(A+B) = aA+aB; a(A B) = (aA) B=A (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A5.1变换的数学根底 矩阵乘法的结合律及分配律 A(B C) = (A B)C (A+B) C = A C+ B C C (A+B) = C A + C

5、 B 矩阵的乘法不适宜交换律5.1变换的数学根底 所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个n维向量。如n维向量(P1,P2, ,Pn)表示为hP1,hP2,hPn,h，其中h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不是独一的。如普通坐标系下的点2,3变换为齐次坐标可以是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多由普通坐标h齐次坐标由齐次坐标h普通坐标 3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐标，由于前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐标。齐次坐标齐次坐标齐次坐标齐次坐标(x,y)点对应的齐次坐标为 (x,y)点对应的齐

6、次坐标为三维空间的一条直线 (, )xyhhh0,hhyyhxxhhhzhyyhxxhhh1. 将各种变换用阶数一致的矩阵来表示。提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。2. 便于表示无穷远点。例如：x h, y h, h)，令h等于03. 齐次坐标变换矩阵方式把直线变换成直线段，平面变换成平面，多边形变换成多边形，多面体变换成多面体。(图形拓扑关系坚持不变4. 变换具有一致表示方式的优点便于变换合成便于硬件实现齐次坐标的作用齐次坐标的作用图形的几何变换图形的几何变换 图形变换：对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形。 图形变换的两种方式：

7、 1.图形不变，坐标系改动； 2.图形改动，坐标系不变。1.二维平面上点的表示法二维平面上点的表示法 改动顶点坐标改动顶点坐标, 也就是对向量的变换也就是对向量的变换,向量运算必需用矩阵运算来实现。向量运算必需用矩阵运算来实现。2. 图形变换的矩阵表示图形变换的矩阵表示 一对坐标一对坐标(x,y)一个向量一个向量x y设设: 点点P(x,y)点点P (x, y)其数学表达方法cyaxx ; dybxy矩阵表达方法yxyxdcbadybxcyax变换后的位置矢量矩阵变换后的位置矢量矩阵变换矩阵变换矩阵位置矢量矩阵位置矢量矩阵5.2二维图形变换TPPyxPyxttTyxPyxtyytxxxO(x,

8、y)(x,y)y5.2.1平移变换以坐标原点为放缩参照点以坐标原点为放缩参照点不仅改动了物体的大小和外形，也改动了不仅改动了物体的大小和外形，也改动了它离原点的间隔它离原点的间隔 PSPyxssS005.2.2放缩变换就是将图形放大或减少的变换方法。变换式为：x=Sx* xy=Sy* y讨论： 1. Sx Sy1，点的位置、图形外形不变，又称恒等变换2. Sx Sy1，点的位置变了、图形放大了Sy倍。3. Sx Sy14. Sx Sy，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均，图形产生了畸形图形沿两个坐标轴方向作非均匀比例变换。匀比例变换。5.2.2放缩变换)cos( OPx)sinsinco

9、s(cos OPsincosyx)sin( OPy)sincoscos(sin OPcossinyxyxyxcossinsincoscossinsincosyxyx其矩阵表示法：5.2.3绕坐标原点的旋转变换2.关于关于y轴轴 yxyxyx10013.关于关于45度平分线度平分线4.关于关于-45度平分线度平分线5.关于坐标原点关于坐标原点 xyyxyx0110 xyyxyx0110 yxyxyx10011.关于关于x轴轴 yxyxyx10015.2.4对称变换xOy(x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,-y)xOyy=x(x,y)(x,y)xOy=-x(x,y)(x,y)y5.2.4对称

10、变换1.沿沿X轴方向的错切变换轴方向的错切变换5.2.5错切变换ycyxcyxyx101(1)变换过程中变换过程中,点的点的y坐标坚持不变坐标坚持不变,而而x坐标值发生线性变化坐标值发生线性变化; (2)平行于平行于X轴的线段变换后仍平行于轴的线段变换后仍平行于X轴轴;(3)平行于平行于Y轴的线段变换后错切成与轴的线段变换后错切成与Y轴成角的直线段轴成角的直线段(4)X轴上的点在变换过程中坚持不变轴上的点在变换过程中坚持不变,其他点在变换后都平移了一段间隔。其他点在变换后都平移了一段间隔。2沿沿Y轴方向错切轴方向错切1沿沿X轴方向错切轴方向错切(x,y)(x,y)(x,y)(x,y)(1)变换

11、过程中变换过程中,点的点的x坐标坚持不变坐标坚持不变,而而y坐标值发生线性变化坐标值发生线性变化;(2)平行于平行于Y轴的线段变换后仍平行于轴的线段变换后仍平行于Y轴轴;(3)平行于平行于X轴的线段变换后错切成与轴的线段变换后错切成与X轴成角的直线段轴成角的直线段(4)Y轴上的点在变换过程中坚持不变轴上的点在变换过程中坚持不变,其他点在变换后都平其他点在变换后都平移了一段间隔。移了一段间隔。2. 沿沿Y轴方向的错切变换轴方向的错切变换ybxxbyxyx101snmqdcpbaT比例、反射、旋转、错切比例、反射、旋转、错切投影变换投影变换平移平移总体比例变换总体比例变换snmqdcpbayxHy

12、x 1sqypxndybxysqypxmcyaxx齐次化坐标5.2.6变换通式二维图形变换矩二维图形变换矩阵的通式阵的通式T:sqypxHndybxymcyaxx 体放大。则总体缩小；否则，总若变换。：对整体图形进行伸缩处产生一个灭点。：在处产生一个灭点。：在：对图形做投影变换。：对图形进行平移变换。转、对称、错切等变换：对图形进行缩放、旋, 10001000111*11ssyxyxsqyqpxpqpnmdcbasnmqdcpbaT5.2.6变换通式(1)复合平移复合平移T21*TT101000111nm101000122nm10100012121nnmm(2)复合比例复合比例T21*TT10

13、0000011da100000022da0100*000*1121ddaa组合变换组合变换: :由多个根本变换的延续实施而成的复杂变换由多个根本变换的延续实施而成的复杂变换, ,又称根本变换的级连又称根本变换的级连. .5.2.7二维组合变换(3)复合旋转复合旋转T21*TT1000cossin0sincos11111000cossin0sincos22221000)cos()sin(0)sin()cos(21212121 1cossinsincos0cossin0sincos1000cossin0sincos10100011 nmnmnmT* 先平移,再旋转* 先旋转,再平移 10cossi

14、n0sincos10100011000cossin0sincos1nmnmT 级联的顺序不同级联的顺序不同,最终的图形不同最终的图形不同ABBA 由于矩阵乘法不满足交换率由于矩阵乘法不满足交换率,(4)级联顺序对组合变换的影响级联顺序对组合变换的影响10100011nmT1000cossin0sincos2T3. 将图形从原点平移到将图形从原点平移到p(m,n)10100013nmT1.将图形从点将图形从点p(m,n)平移到原点平移到原点O2.绕原点旋转绕原点旋转P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0P(m,n)0123(5)绕平面上恣意点绕平面上恣意点P(m,n)的二维旋转变换的二维旋转

15、变换T1*T2*T31010001nm1000cossin0sincos1010001nm1cossinsincos0cossin0sincosnmnnmmT=绕平面上恣意点绕平面上恣意点p(m,n)的二维旋转变换的总变换矩阵的二维旋转变换的总变换矩阵设直线方程设直线方程 Ax+By+C =0Ax+By+C =0Ax+By+C =0-C/B-C/B-C/A-C/AE EF FF FE EG GG G那么：那么：x轴上的截距为轴上的截距为 -C/Ay轴上的截距为轴上的截距为 -C/B斜率为斜率为 -A/B 10/0100011ACT2.让直线绕原点顺时针旋转让直线绕原点顺时针旋转角，角， 使之与

16、使之与X 轴重合轴重合 1000)cos()sin(0)sin()cos(2 T1.将直线沿将直线沿X轴平移轴平移C/A， 使之过原点使之过原点对恣意直线的对称变换可分解为以下五步对恣意直线的对称变换可分解为以下五步: :(6)对恣意直线的对称变换对恣意直线的对称变换3.图形对直线的对称变换图形对直线的对称变换变成对变成对x轴的对称变换轴的对称变换 1000100013T4.让直线绕原点逆时针旋转让直线绕原点逆时针旋转角，角， 恢复到原来的倾斜位置恢复到原来的倾斜位置 1000cossin0sincos4 T 10/0100015ACT5.将直线平移回原来的位置将直线平移回原来的位置T5432

17、1TTTTT12sin/) 12(cos/02cos2sin02sin2cosACAC组合变换矩阵 关于恣意轴的对称变换关于恣意轴的对称变换 三维图形变换矩阵通式为三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵方阵比例、反射、旋转、错切比例、反射、旋转、错切平移平移投影变换投影变换总体比例变换总体比例变换空间点空间点x y z 的四维齐次坐标的四维齐次坐标 X Y Z H表示表示三维空间点的变换为三维空间点的变换为x y z 1 T = x y z 1变换前点的坐标变换前点的坐标变换后点的坐标变换后点的坐标三维图形的变换矩阵三维图形的变换矩阵33xjihfedcbal m n 1 x 3 p q rT

18、s1x1srqpnjfcmieblhdaT5.3三维图形变换三维图形根本变换三维图形根本变换5.3.2轴向比例变换轴向比例变换变换矩阵主对角线上变换矩阵主对角线上的元素的元素a、e、j、s的作用是的作用是是图形产生比例变换。是图形产生比例变换。sT0000100001000011000000000000jeaT0S1，为图形整体减少，为图形整体减少S0，为对称变换，为对称变换比例变换比例变换S1，为恒等变换，为恒等变换x y z 1 T = x y z s=x/s y/s z/s 1x y z 1 T = ax ey jz 1=x y z 1假设假设a=e=j,，那么图形三方向的缩放比例一样，

19、那么图形三方向的缩放比例一样假设假设aej,，那么图形将产生类似变形，那么图形将产生类似变形5.3.1全比例变换 比例变换比例变换1.对对OXY平面的反射平面的反射特点：特点：x y 值不变，值不变，z坐标符号改动坐标符号改动1000010000100001Tx y z 1 T = x y -z 12.对对YOZ平面的反射平面的反射特点：特点：z y 值不变，值不变，x坐标符号改动坐标符号改动 1000010000100001Tx y z 1 T = -x y z 13.对对XOZ平面的反射平面的反射特点：特点：x z值不变，值不变，y坐标符号改动坐标符号改动1000010000100001T

20、x y z 1 T = x -y z 15.3.3对称变换指空间的立体从一个位置挪动到另一位置时，其外形、大小都不指空间的立体从一个位置挪动到另一位置时，其外形、大小都不发生变换的变换。发生变换的变换。1000100010001nmlTx y z 1 T = xl y+m z+n 15.3.4平移变换例：一单位立方体，现将它沿例：一单位立方体，现将它沿x方向挪动方向挪动3单位，单位，y方向挪动方向挪动2单位，单位，z方向方向挪动挪动3.5单位单位10005.310020103001T0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1

21、S*T=10005.310020103001=3 2 3.5 1 3 2 4.5 13 3 3.5 13 3 4.5 14 2 3.5 14 2 4.5 14 3 3.5 14 3 4.5 1三维旋转变换指空间立体绕一轴旋转三维旋转变换指空间立体绕一轴旋转角，且角，且角的正负按右手定那么角的正负按右手定那么决议。决议。1.绕绕X轴旋转轴旋转 角角X坐标不变坐标不变Y、Z坐标发生变化坐标发生变化10000cossin00sincos00001T2.绕绕Y轴旋转轴旋转 角角Y坐标不变坐标不变X、Z坐标发生变化坐标发生变化10000cos0sin00100sin0cosT3.绕绕Z轴旋转轴旋转 角角

22、Z坐标不变坐标不变X、Y坐标发生变化坐标发生变化1000010000cossin00sincosTXYZXYZXYZ5.3.5旋转变换 绕y轴旋转905.3.5旋转变换例：例： 设三维空间中有一条恣意直线，它由直线上一设三维空间中有一条恣意直线，它由直线上一点点Q和沿直线方向的单位方向向量和沿直线方向的单位方向向量n确定。确定。Q点坐标点坐标为为 , 直线向量直线向量 求绕这条直线旋转求绕这条直线旋转 角的旋转变换矩阵。角的旋转变换矩阵。),(000zyx321nnnn1232221nnnn绕恣意轴的旋转变换绕恣意轴的旋转变换 根本思想：因恣意轴不是坐标轴，应设法根本思想：因恣意轴不是坐标轴，

23、应设法旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后旋转该轴，使之与某一坐标轴重合，然后进展旋转进展旋转角的变换，最后按逆过程，恢复角的变换，最后按逆过程，恢复该轴的原始位置。该轴的原始位置。过坐标原点的恣意直线为旋转轴的旋转变换可分过坐标原点的恣意直线为旋转轴的旋转变换可分为五步实现：为五步实现： (1)(1)做绕做绕X X轴旋转轴旋转 角的变换，使旋转轴落在角的变换，使旋转轴落在Y=0Y=0上。上。(2)(2) 做绕做绕Y Y轴旋转轴旋转 角的变换，使旋转轴与角的变换，使旋转轴与Z Z轴轴重合。重合。(3)(3) 做绕做绕Z Z轴旋转轴旋转 角的旋转变换。角的旋转变换。(4)(4) 做第做第2 2步

24、的逆变换，即做绕步的逆变换，即做绕Y Y轴轴- - 旋转变旋转变换换(5)(5) 做第做第1 1步的逆变换，即做绕步的逆变换，即做绕X X轴轴- - 旋转变旋转变换换)0,0,0()()0,0,0(zyxTRzyxT2322nnvvnvn23sin,cos100000000001)(3223vnvnvnvnxR10)(11321vnRnnnNx11sincosndnvdv1232221nnnd100000001000)(11vnnvRy1100)(101yRvnN1000010000cossin00sincos)(zR100000001000)(11vnnvRy100000000001)(32

25、23vnvnvnvnRx10000cos)1 (sin)cos1 (sin)cos1 (0sin)cos1 (cos)1 (sin)cos1 (0sin)cos1 (sin)cos1 (cos)1 ()()()()()()(232313223113222223212313212121nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnRRRRRRxyzyx方式一：(1)绕x轴旋转到xz平面，然后绕y轴旋转到z轴10000000100000001000100000000001111111111111111uzvyuvzxuyvzuvyxuxuvuvuxuxuvvzvyvyvz) 1 , 0 , 0

26、() 1 , 0 ,() 1 ,(/sin,/cos,/sin,/cos,11111112121212121uvxzyxuxuvvyvzzyxuzyv方式二：(2)绕y轴旋转到yz平面，然后绕x轴旋转到z轴10000000100000000001100000001000111111111111111uzuvzyvxuyuvuxuvyxvzuvuyuyuvvzvxvxvz) 1 , 0 , 0() 1 , 0() 1 ,(/sin,/cos,/sin,/cos,11111112121212121uvyzyxuyuvvxvzzyxuzxv方式三：(3)绕z轴旋转到xz平面，然后绕y轴旋转到z轴10

27、000000100000001000100001000000111111111111111uzuvuyvxuvzyuxvyuvzxuzuvuvuzvxvyvyvx) 1 , 0 , 0() 1 , 0 ,() 1 ,(/sin,/cos,/sin,/cos,11111112121212121uzvzyxuvuzvyvxzyxuyxv 变换的固定坐标系方式变换的固定坐标系方式 相对于同一个固定坐标系相对于同一个固定坐标系 先调用的变换先执行，后调用的变换后先调用的变换先执行，后调用的变换后执行执行 图形几何变换的方式图形几何变换的方式 人的思想方式人的思想方式 每次变换产生一个新的坐标系每次变换

28、产生一个新的坐标系 变换的活动坐标系方式变换的活动坐标系方式 先调用的变换后执行，后调用的变换先先调用的变换后执行，后调用的变换先执行图形系统普通用堆栈实现执行图形系统普通用堆栈实现 图形几何变换的方式图形几何变换的方式某些图形软件包提供两种图形变换方式，可方便地控制变某些图形软件包提供两种图形变换方式，可方便地控制变换的次序。换的次序。 图形方式：矩阵合并时，先调用的矩阵放在右边，后调用图形方式：矩阵合并时，先调用的矩阵放在右边，后调用的矩阵放在左边的矩阵放在左边. .也称为固定坐标系方式。这种方式的特点是也称为固定坐标系方式。这种方式的特点是每一次变换均可看成相对于原始坐标系执行的。每一次

29、变换均可看成相对于原始坐标系执行的。空间方式：又称活动坐标系方式。先调用的矩阵放在左边，空间方式：又称活动坐标系方式。先调用的矩阵放在左边，后调用的矩阵放在右边后调用的矩阵放在右边, ,延续执行几次变换时，每一次变换均延续执行几次变换时，每一次变换均可看成是在上一次变换构成的新坐标系中进展的。可看成是在上一次变换构成的新坐标系中进展的。 1 1、先把图形绕、先把图形绕z z轴旋转轴旋转3030，然后再沿，然后再沿x x轴平移间隔轴平移间隔7 . 7 . 1100001000003cos03sin0003sin03cos10000100001070011zyxzyx1100001000003cos03sin7003sin03coszyxaxyoxyoybcxxyyo先旋转后平移先旋转后平移图形方式图形方式- -例如例如abyxxyco先平移后旋转先平移后旋转1 0 0 7cos30sin300 00 1 0 0sin30cos300 00 0 1 0001 010 0 0 1 1000 1xxyyzz 11000010003sin7003cos03