双曲线常见题型与典型方法归纳修改版附详解答案

1、双曲线常见题型与典型方法归纳考点一双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：平面内与两个定点Fi,F2距离的差的绝对值等于2a(2a<|FiF2|)的点的轨迹。(1)距离之差的绝对值.(2)当|MFi|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；当|MFi|MF2|=2a时，曲线仅表示焦点Fi所对应的一支；当2a=|FiF2|时，轨迹是同一直线上以Fi、F2为端点向外的两条射线；当2a>|FiF2|时，动点轨迹不存在【典例】到两定点Fi(3,0J.F2(3,0)的距离之差的名对值等于6的点M的轨迹()A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线第二定义：平面内与一个定点F和一条

2、定直线l的距离的比是常数(e>i)的动点的轨迹。2双曲线的标准方程及几何性质标准方程22x2_2r=i(a>0,b>0)ab22与与=i(a>0,bA0)ab图形Mj/._IK一y性质焦点Fi(-c,0),F2(c,0)Fi(0,-c),F2(O,c)焦距|FiF2|=2ca2+b2=c2范围|x户a,ywR|y户a,xwR对称关于x轴，y轴和原点对称顶点(-a,0)o(a)0)(0,-a)(0,a)轴实轴长2a,虚轴长2b离心率c,一,e=(ei)(离心率越大，开口越大)a准线2*ax=±c2*ay=±c通径2b2d-a2b2d-a渐近线,by=土

3、一Xa,ay=x-xb焦半径P在左支|PFiI="|PF2|=a_ex0p在mPF1a+)PF2|=-a+ex0pp在上支PFi|=aey0PF2|=aey°PF1|=a+ey°PF2|=+ey°注意：等轴双曲线(1)定义：实轴长与虚轴长相等的双曲线(2)方程：x2-y2=22或丫2-x2=a2(3)离心率e=J2渐近线y=±x(4)方法：若已知等轴双曲线经过一定点，则方程可设为x2-y2=K(九#0)【典例】已知等轴双曲线经过点(J5,-1),求此双曲线方程3双曲线中常用结论2a2(1)两准线间的距离：2a-c(2)焦点到渐近线的距离为2b2

4、b(3)通径的长是竺a考点二双曲线标准方程-求双曲线标准方程的方法(1)定义法，根据题目的条件，若满足定义，求出相应a、b、c即可求得方程;(2)待定系数法，其步骤是定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；定值：根据题目条件确定相关的系数。注：若双曲线过两点，可设双曲线方程为：mx2+ny2=1(mn<0)。如已知双曲线过点3.54.7上2万)与b(t,4),求双曲线的标准方程方法一：运用定义2222【典例1】已知动圆M与圆C1：(x+4)+y=2外切，与圆C2：(x-4)+y=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程。【典例2】已知Fi(-4,0),F2

5、(4,0),动点P分别满足下列条件，求点P的轨迹方程：(1)|PFi|-|PF2|=2,(2)|PFi|-|PF2|=294【典例3】动点M到定点F(4,0)的距离和直线x=的距离的比为一，则M的轨迹万程431【典例4】已知AABC中，C（-2,0）,B（2,0）,iift-=_A,求顶点A的轨迹方程2练习1已知双曲线的实轴长为8,直线MN过焦点F1交双曲线的同一分支与M,N且MN=7,则AMNF2的周长（F2为另一个焦点）为（）A.28B.30C.24D.20222.双曲线_"_丁=1的焦距是（）A.4B.2<2C.8D.与m有关m2124-m2方法二：运用待定系数法步骤定位

6、设方程定值【典例1】求下列双曲线的标准方程；（1）焦点是F1（3,0）,渐近线的方程是75x-2y=0（2）渐进线是y=±x,经过点（3,2）（2）实轴长为4,虚轴长为2（3）准线方程为x=4,离心率为2（4）焦点为（4,0）,（-4,0）,经过（2,0）（5）双曲线焦点在x轴上，渐近线方程为y=2x,焦距为4,则双曲线的标准方程为考点三双曲线的几何性质题型一几何性质简单应用22xy【典例1】双曲线一-二1,求（0）回草图（1）焦点，焦距（2）实轴的长，虚轴的长，（3）离心率，412左右准线方程，（4）渐进线的方程（5）焦点到渐近线的距离（6）焦点到准线的距离；（7）P在右支上，则P

7、到左焦点的距离的最小值是.22练习（1）双曲线L-3二1,离心率是，渐近线方程是。6622xy（2）双曲线=1（a,b>0）的左右顶点为Ai,A2,虚轴下上漏点为B,B2,左右焦点为F1,F2.右以AAzab为直径的圆内切于菱形F1BF2B2,切点分别为A,B,C,D（从第一象限按逆时针顺序）则（I）双曲线的离心率e=;（n）菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值名=S2题型二求与离心率及渐近线有关问题【典例1】离心率2222（1）双曲线一匚=1的准线经过椭圆匕+4=1（b>0）的焦点，则b=（）A.3B.我C.v'3D.亚224b222一、IxV(2

8、)设F1和F2为双曲线3=1(a>0,b>0)的两个焦点,若F,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶ab点,则双曲线的离心率为()A.-B.2C.5D,3222222(3)已知a>b>0,ei,改分别为圆锥曲线与+5=1和5一白=1的离心率，则Igei+lge2()ababA.大于0且小于1B.大于1C.小于0D,等于122练习(1)已知F,、弓分别是双曲线勺_4=1(a>0,bA0)的左、右焦点，过F/乍垂直于x轴的直线交ab双曲线于A、B两点，若AABF2为锐角三角形，则双曲线的离心率的范围是()A.(1,1+72)B.(1+夜一)C.(1-72,1+/2)

9、D.(尬，&+1)1.(2)在正二角形ABC中，DwAB,EwAC,向量DE=BC,则以B、C为焦点，且过D、E的双曲线2的离心率为(A.-B.3-1C.、,2-1D,<3+1什.x2V23x2V24-,(3)若椭圆不十三=1,(a>b>0)的离心率为，则双曲线三=1的离心率为ab2ab【典例2】渐近线22设双曲线。=1(a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为2J3,则双曲线的渐近线方程为a2b2(3)(4)3双曲线的渐进线万程y=±x，则双曲线的离心率为焦点为(0,6),且与双曲线22AxV)A.-二11224B.xF3F2是双曲线C:2a42x

10、22V122-V2=1有相同的渐近线的双曲线方程是(2=12422入Vx“C. 二1241222xV)D. -=124124=1(a,b>0)的左、右焦点，B是虚轴的上端点，直线F1B与C的两条渐b近线分另1J交于P,Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M,若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是(23A.3、6B.2C. 2D. 、322练习与双曲线二=1有共同渐近线，且经过点169jib0A(-3,2V3)的双曲线C的一个焦点到一条渐近线的距方法归纳:1渐进线方程为y=±Ex的双曲线方程可设为m22xy22=九(九.0)。mn2x2a222与双曲线与4=1共渐近线的双

11、曲线方程可设为a【典例1】椭圆b2【典例3】（渐近线夹角问题）（1）若双曲线的两条渐近线夹角是2a,求它的离心率e；（2）若双曲线的离心率是e,求它的两条渐近线夹角余弦值。题型三焦点三角形方法：解决焦点三角形时，要利用正弦定理、余弦定理、双曲线的第一定义，关键是配凑出|PF1|-|PF2|的形式，注意点P在双曲线的哪一支上.22例已知双曲线方程为x2-y2=1（a>0,b>0），左右两焦点分别为Fi,F2,在焦点PF1F2中，ab设P(x0,y。)为椭圆上一点,PFi|=r1,PF2|fNF1PF2=8一,、人一、.-.-一、222_f,、2_则结论(1)th乂：口r2=2a(2)

12、余弦定理：(2c)=r1+r22r1r2cos8=(r1r2)+2r1r22r1r2cosHV。=b27tan21(3)面积S&F1F2=3msine=c二1的公共焦点为F1、F2,P是两曲线的一个焦点，则2+匕=1和双曲线2cos/F1PF2的值为（A.C.【典例2】设F1、52为双曲线=1的两个焦点,点P在双曲线上满足NF1PF2=601则&F1P52的面积是（）A.1C.,3D.2练习中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2而，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4,离心率之比为3：7。（1）求这两曲线方程；（2）若P为这两曲线的一

13、个交点，求cos/F1PF2的值。题型四求最值22【典例1】辽宁)已知F是双曲线人L=1的左焦点定点A(1,4),P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|412的最小值为。22【典例2】P为双曲线:匕=1的右支上一点,916上的点，则|PM|PN|的最大值为M、N分别是圆（x+5）2+y2=4和（x5）2+y2=12练习已知F是双曲线927AB|=j1+k2|x1-x2=J（1+k2）W（x1+x2）2-4x1x2y1-y21二J+.N（y1+y2）24y1y2。一11一=1的右焦点，点M是双曲线右支上的动点，点A的坐标为(11,3)21.求|MA|十|MF|的最小值为及对应的点M的坐标。

14、2考点四直线与双曲线的位置关系一位置关系判断1判断直线与双曲线相交u>0;直线与双曲线相切u=0;直线与双曲线相离uA工0注意：直线与双曲线有一个公共点时，它们不一定相切，也可能相交(即直线与双曲线的渐近线平行)2【典例】已知双曲线方程为x2_匕=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则L的条数共有4()A.4条B.3条C.2条D.1条练习：已知不论m取何实数，直线y=kx+m与双曲线x2-2y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围.2.弦长问题22步骤：由双曲线方程与4=1(a>0,b>0)与直线l方程Ax+By+C=0联立建立方程组,a2b2消元后得到的一元二

15、次方程的根是直线和双曲线交点的横坐标或纵坐标，利用韦达定理写成两根之和与两根之积3.弦长公式直线y=kx+b(kW0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2,y?)两点，则(1)当直线的斜率存在时，弦长公式：当斜率k存在且不为零时AB(2)当直线斜率不存在时，则AB2【典例1】(1)求直线y=x+1被双曲线x2=1截得的弦长;4(2)等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与直线x=4交于A,B两点，若AB=4J3;则C的实轴长为()(A)T2(B)242(C)4(D)82练习过双曲线-y2=1的左焦点作直线l交双曲线于A,B两点，若|AB|=2J2,则满足条件的直线2有几条()A.1条

16、B.2条C.3条D.4二常用方法1设而不求法韦达定理【典例】已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(J7,0),直线y=x-1与其相交于M、N两点，MN中点的2横坐标为-一，求此双曲线的万程32点差法适用条件：与弦的中点及斜率有关22【典例】已知双曲线勺4=1(aA0,bA0),被方向向量为k=(6,6)的直线截得的弦的中点为(4,1),ab求该双曲线的离心率练习求过定点(0,1)的直线被双曲线x2-工=1截得的弦中点轨迹方程4综合应用【典例1不ik取值何值，直线y=k(x-2)+b与曲线x2-y2=1总有公共点，则实数b的取值范围是()(C)(-2,2)(D)-2,2(A)(-.3,.3)(B)

17、-,.3,%322【典例2直线l过双曲线'-勺=1的右焦点，斜率k=2.若l与双曲线的两个交点分别在左右两支上，则ab双曲线的离心率e的范围是(A.e>2B.1<e<3C.1<e<5D.e>-5【典例3】已知N(1,2),过N的直线交双曲线1=1于A、B两点，且ON=3(OA+OB),则AB的方程2【典例4】过点M(3,_1)且被点M平分的双曲线彳_y2=1的弦所在直线方程为【典例5已知动点P与双曲线x2y2=1的两个焦点Fi,F2的距离之和为定值，且cosZF1PF2=-13(1)求动点P的轨迹方程；(2)设M(0,1),若斜率为k(k%)的直线l

18、与P点的轨迹交于不同的两点A、B,若要使|MA|=|MB|,试求k的取值范围.22练习1设双曲线C1的方程为与=1(a>0,bA0),A、B为其左、右两个顶点，P是双曲线C1上的任ab意一点，弓IQBXPB,QAXPA,AQ与BQ交于点Q.(1)求Q点的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹为02,若Ci、C2的离心率分别为e1、e2,当e1之J2时，e2的取值范围练习2直线l:y=kx+1与双曲线C：2x2y2=1的右支交于不同的两点AB.k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线0的右焦点F?(I)求实数k的取值范围；(n)是否存在实数若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.考点五易错点一忽

19、视焦点位置产生的混淆1 .例若双曲线的渐近线万程是y=±x,焦距为10,求双曲线标准方程2二忽视判别式产生的混淆例若双曲线的方程为2x2y2=2与点P(1,1),则以P为中点的弦是否存在三忽视双曲线两支距离的最小值22例设F1,F2是双曲线立=1的左右焦点。P在双曲线上。若点P到焦点F1的距离为9,求它到F2距离1620四忽视等价条件例已知双曲线x2-y2=4与直线l:y=k(x-1)试讨论k的取值范围使l与双曲线有唯一公共点附详解答案双曲线典型题型与方法归纳答案考点一双曲线标准方程及性质1.双曲线的定义第一定义：【典例】注意：等轴双曲线考点二双曲线标准方程22求双曲线标准方程的方法

20、答案E一土二1916方法运用定义【典例1】解答：设动圆M的半径为r则由已知|MC1|=r+J2,|MC2|=rJEjIMCJ|MC2|=2j2。又G(-4,0),C2(4,0),.|CiC2|=8,272<|C1C2I。根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4,0）、C2（4,0）为焦点的双曲线的右支。:a=.2,c=4,.b22=14.点M的轨迹方程是22-上=1(x_2)14【典例2】答案（1）2y152=1(2)x2-=1(x>1)15【典例3】答案22=17【典例4】解析：由正弦定理及1.sinBsinC=sinA得，一21|AC|-|AB|=-|BC卜：|BC|由双曲线

21、的第一定义知顶点的轨迹是以C、B为焦点，长轴长为2的双曲线的右支2C=2,a=1)>-b2一.2-a=3,顶点A的轨迹万程为x2匕=13练习答案1.B2.C方法运用待定系数法【典例1】答案2(1)42-y=52X(3)-y42y2.-X=1464192=1(5)4122L=1(6)2XT516考点三双曲线的几何性质题型一几何性质简单应用【典例1】（7）答案a+c练习（1）(2)(I)答案e=51，、农田S2.5;(n)答案一=S2【解析】(I)由于以AA2为直径的圆内切于菱形FBF2B2,因此点O到直线F2B2的距离为a,又由于虚轴两端点为Bi,B2,因此OB?的长为b,那么在F2OB2

22、中，由角形的面积公式知，2a.(bc)2,又由双曲线中存在关系c2=a2+b2联立可得出(e21)2=e2,根据、.51ew(1,y)解出e=;2(n)设.F2OB2一口彳艮显然知道2NF2A2O=NAOB2=e,因此S2=2asin(28).在AFzOBz中求得sin8=/b,cos6=,c,b2c2b2c2，故S2=4a2sin日cos6=2.4abcb2c2菱形F1B1F2B2的面积Si=2bc,再根据第一问中求得的e值可以解出SiS2题型二求与离心率及渐近线有关问题【典例1】离心率(1)C(2)B(3)C解析lgei+lge2=lg<lga2=lg1=0,lgei+lge2<

23、;0.a练习(1)A(2)D(3)【典例2】渐近线、5(1)答案y=±-x2(2)答案(3)B(4)【解析】由题意知直线F1B的方程为:得点联立方程组b.y二一xb,c得点%Y=0P(acbc、a.aQ产,3),c-ac-a方程为：y2cc/一二-(x-bbb2),所以PQ的中点坐标为、a2、),令y=0,得x=c(1+)b22accr一)bb,所以PQ的垂直平分线c(1+)=3c,所以b22_2_2_2._2_2一一-.6.a=2b=2c-2a,即3a=2c，所以e=J。故选B2练习答案8【典例3】(渐近线夹角问题)(1)若双曲线的两条渐近线夹角是2a,求它的离心率e;aa.11【

24、解】：由题设知一二sina,或一=cosa.离心率e=或ccsin：cos：(2)若双曲线的离心率是e,求它的两条渐近线夹角余弦值。解设两条渐近线夹角是2口,(0<支£二)，41，右1<e<v2,则夹角2口=2arccos,e题型三焦点三角形【典例1】答案B【典例2】答案Cc一=sec：a1ed2,则夹角2口=兀-2arccos-e练习解答：(1)由已知：c=Ji3,设椭圆长、短半轴长分别为a、b,双曲线实半轴、虚半轴长分别为ma=7,m=3.-4=61=2.椭圆方程为222二十L=i,双曲线方程为x493692L1IO4(2)不妨设Fi,分别为左右焦点，P是第一象

25、限的一个交点，则|PFJ+IPFJ=14,|口|一即|=6,所以1即卜=1。，/旧|=4.又|讦2|=2而cos一F1PF2=【PEB+lPF*-|RF/22IPFJIFFJ1胪+下一(242X10X4-5-题型四求最值【典例1】解设双曲线的右焦点为E,则|PF|PE|=4,|PF|十|PA|=4+|PE|+|PA|,当A、P、E共线时，(|PE|+|PA|)min=|AE|=5,|PF|+|PA|的最小值为9。【典例2】解(PM)max=|PFi+Ri=PF42(PN)minPF2-eP%1.UPM|-PNmax=2a+3=9一11113.一一练习解|MA|+一|MF|=|MA|+一ed=|

26、MA|+d之一一一=4，此时M(2。3,3)2222考点四直线与双曲线的位置关系一位置关系判断1判断【典例】B练习：已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x2-2y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围y=kxb22解析:联立方程组J-2y=1消去y得(2k21)x2+4kbx+(2b2+1)=0,当12k2=0,即卜=±时，若b=0,则6；若b#0nx=±22b+1,不合题意.22b当1_2k200即k#土红时依题意有=(4kb)24(2k21)(2b2+1)>0,=2k2<2b2+1对所有实数b恒成立，'-2/.2k2<(2b2+1)mi

27、n：2k2<1,3.弦长公式x22X=1【典例1】(1)解析：由y=x1222得4x_(x+1)4=0得3x_2x_5=0(*)设万程(*)的解为&，x<x2;为x1，x2,则有33d=2|为_x21=2;1(x1x2)2-4x1x2=.2.°=82得，933(2)【解析】设等轴双曲线方程为x2-y2=m(m>0),抛物线的准线为x=4,由AB=4，3，则yA=2姮，把坐标(-4,2后)代入双曲线方程得22_m=x-y=1612=4,所以双曲线方程为=2,所以实轴长2a=4,选C.2y-=1,所以a2=4，a4练习答案常用方法1设而不求法韦达定理2点差法【典

28、例】答案二.方向向量k=(6,6)斜率k=1由点差法可得、.5e二2练习解方法一(设而不求法)：若该直线的斜率不存在时与双曲线无交点，则设直线的方程为y=kx1y=kx12y2ix-二122它被双曲线截得的弦为AB对应的中点为P(x,y),由、4得(4k)x2kx5=0(*)设方程.一222(*)的解为x1,",则"=4k20(4-k)>0,6k国5k<'，且2k4-k21kX=(X1'x2)=2,y=24-k-(yiy2)=(刈X2)1=22kX-2444ky:24-k,、4_k22得4x-y+y=0（y或y>0）224X1-y1=422

29、方法二（点差法）：设弦的两个端点坐标为A（X1，y1），B（X2,y2）,弦中点为P（X,y）,则4X2-y2一4得：小41XQy_4x，/、/、/、/、二?,224（X1+X2）（X1X2）=（y+y2）（y1一y2）,X1改2小灯,即xy1即4xy+y=O22（图象的一部分）即4x-y+y=0（y<-4或y>0）三综合应用【典例1】答案B【典例2】答案D【典例3】答案xy+1=0【典例4】答案3x+4y_5=0【典例5解析:(1)x2y2=1,.c=也.设|PFi|十|PF2|=2a(常数a>0),2a>2c=22,a>*由余弦定理有cos/FiPF2=|PF

30、1|2+|PF2|2-|FiF2|2(|PF1|十|PF2|)22|PFi|PF2|FiF2|22|PF1|PF2|2|PF1|PF2|2a24IPFiI+IPF2I0°二|PF111PF2|一1|PFi|PF2|FFIJPF1)2:它2,.当且仅当|pfi|=|pf2|时，|pfi|PF2|取得最大c2a242a241c值a2此时cos/F1PF2取得最小值一2-1,由题意2-1=,解得a2=3,aa3x22:b2=a2y2=3-2=1，P点的轨迹方程为W+y=1.32x2(2)设l：y=kx+m(k毛)，则由，3y将代入得：(1+3k2)x2+6kmx+3(m21)Iy=kxm=

31、0(*)设A(xi,yi),B(X2,y2),则AB中点Q(xo,y0)的坐标满足：x1+x3kmm_门3kmm、X0=2=1+3k2,Y°=kX0+m=1+3k2即Q(1+3k2,1+3k2)13?+113k2AB的中垂线上，.klkAB=k-=-1,解得m=一3km21+3k2数根，知>0,即(6km)24(1+3k2)3(m21)=12(1+3k2m2)>021+3k22121+3k2(2-)2>0,解得一1<k<1,由k为，；k的取值范围是练习1解析:(1)解法一：设P(X0，yo),Q(x,y)|MA|=|MB|,AM在又由于（*）式有两个实，将代入得kC(1,0)U(0,1).A(-a,0),B(a,0),QB_PB,QA_PA上，=一1x0+ax+ay0y=-1(2)x0-ax-a,，曰y2y2由(1)2)得：-r=1x0-ax-a22x0y°=1,2V。b222x0-aa22222422,224代入（3）得by=xa-a，即ax-by=a经检验点（y,0）,（a,0）不合，因此Q点的轨迹方程为：a2x2b2y2=a4（除点（一a,0）,（a,0）外）解法二：设P(x0,y0),Q(x,y),vPAXQAV0y，.x°-ax-a（1）连接PQ,取PQ中点R