第一章 静电场 恒定电流场

1、电磁学电磁学多媒体教学课件多媒体教学课件西安电子科技大学理学院西安电子科技大学理学院第一章 静电场 恒定电流场2第一章第一章 静电场静电场1 静电的基本现象和基本规律静电的基本现象和基本规律2 电场电场 电场强度电场强度3 高斯定理高斯定理4 电势及其梯度电势及其梯度5 静电场中的导体静电场中的导体6 静电能静电能7 电容和电容器电容和电容器8 静电场边值问题的唯一性定理静电场边值问题的唯一性定理9 恒定电流场恒定电流场第一章 静电场 恒定电流场3一、两种电荷一、两种电荷1 静电的基本现象和基本规律静电的基本现象和基本规律1、定义：带电的物体叫电荷。、定义：带电的物体叫电荷。 （或能够参与电磁

2、相互作用的物体）（或能够参与电磁相互作用的物体）2、电荷的种类：正电荷和负电荷；、电荷的种类：正电荷和负电荷；3、电量：电荷带电的多少或参与电磁相互作用的强弱。、电量：电荷带电的多少或参与电磁相互作用的强弱。4、电量的单位：、电量的单位：C（库仑）（库仑）111库仑安培秒钟 5、电荷的基元性（量子性）：任何电荷的电量总是电子、电荷的基元性（量子性）：任何电荷的电量总是电子电量的正负整数倍。电量的正负整数倍。CeNeq1910602. 1第一章 静电场 恒定电流场4二、静电感应二、静电感应 电荷守恒定律电荷守恒定律1. 静电感应现象静电感应现象+感应电荷感应电荷1 静电的基本现象和基本规律静电的

3、基本现象和基本规律第一章 静电场 恒定电流场5 例如，电流的连续性，基尔霍夫定律，微观粒子例如，电流的连续性，基尔霍夫定律，微观粒子的衰变等都证明了电荷的守恒。的衰变等都证明了电荷的守恒。 电荷守恒定律的表述：电荷守恒定律的表述： 电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物电荷既不能被创造，也不能被消灭，它们只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒分，也就是说，在任何物理过程中，电荷的代数和是守恒的。的。 电荷守恒定律是物理学中普遍的基本定律电荷守恒定律是物理学中普遍

4、的基本定律1 静电的基本现象和基本规律静电的基本现象和基本规律2. 电荷守恒定律电荷守恒定律Qci第一章 静电场 恒定电流场61 静电的基本现象和基本规律静电的基本现象和基本规律三、导体、绝缘体和半导体三、导体、绝缘体和半导体n导体导体 导电性能很好的材料。电荷能够从产生的地导电性能很好的材料。电荷能够从产生的地方迅速转移或传导到其它部分的物体。方迅速转移或传导到其它部分的物体。n电介质（绝缘体电介质（绝缘体 ） 导电性能很差的材料。电荷只导电性能很差的材料。电荷只能停留在产生的地方的物体。能停留在产生的地方的物体。n半导体半导体 导电性能介于导体和绝缘体之间的材料。导电性能介于导体和绝缘体之

5、间的材料。对温度、光照、压力、电磁场等外界条件极为敏感。对温度、光照、压力、电磁场等外界条件极为敏感。（各种金属、电解质溶液）（各种金属、电解质溶液）（云母、胶木等）（云母、胶木等）第一章 静电场 恒定电流场71 静电的基本现象和基本规律静电的基本现象和基本规律四、库仑定律四、库仑定律 ( Coulomb Law) 1785年，库仑通过扭称实验得到。年，库仑通过扭称实验得到。 1. 表述：表述： 在真空中，在真空中， 两个静止点电荷两个静止点电荷q1及及q2之间的相互作之间的相互作用力的大小和用力的大小和q1与与q2的乘积成正比，和它们之间距离的乘积成正比，和它们之间距离r的的平方成反比；作用

6、力的方向沿着它们的联线，同号电荷相平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。斥，异号电荷相吸。2、库仑定律的数学表达式：、库仑定律的数学表达式：rrqqkF221q1q2rF第一章 静电场 恒定电流场81 静电的基本现象和基本规律静电的基本现象和基本规律 点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。点电荷：只带电荷而没有形状和大小的物体。3、讨论：、讨论： 库仑定律只适合于真空中的点电荷相互作用。库仑定律只适合于真空中的点电荷相互作用。 比例系数比例系数k可以表示为：可以表示为：212020118 85 1044ckkm N.即： 这里这里0称为真空中的介电常数。称为真空

7、中的介电常数。 实验发现：在实验发现：在10-15米至米至103米范围内库仑定律都成立。这米范围内库仑定律都成立。这表明库仑力是长程力。表明库仑力是长程力。 库仑力遵守牛顿第三定律。库仑力遵守牛顿第三定律。 1221FF 第一章 静电场 恒定电流场91 静电的基本现象和基本规律静电的基本现象和基本规律4、静电力的叠加原理：、静电力的叠加原理：离散状态离散状态 NiiFF10204iiiirrqqF 连续分布连续分布 FdF0204rrqdqFd 1q2q1Fq10r20r2FF 作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作作用于某电荷上的总静电力等于其他点电荷单独存在时作用于该电荷的静电

8、力的矢量和。用于该电荷的静电力的矢量和。第一章 静电场 恒定电流场102 电场电场 电场强度电场强度 实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，实验证实了两静止电荷间存在相互作用的静电力，但其相互作用是怎样实现的？但其相互作用是怎样实现的？电电 荷荷电电 场场电电 荷荷场是一种特殊形态的物质，具有能量、质量、动量。场是一种特殊形态的物质，具有能量、质量、动量。实物实物物物 质质 场场一、电场一、电场静电场静电场相对于观察者静止且电量不随时间变化的电荷相对于观察者静止且电量不随时间变化的电荷 产生的电场。产生的电场。电场对场中电荷施以电场力作用。电场对场中电荷施以电场力作用。电场可以脱离电荷而

9、独立存在，在空间具可叠加性。电场可以脱离电荷而独立存在，在空间具可叠加性。第一章 静电场 恒定电流场112 电场电场 电场强度电场强度二、电场强度二、电场强度 (electric field strength)电场强度电场强度0qFE 场源场源电荷电荷试验试验电荷电荷q0qF 描述电场的物理量之一，反映力的作用。描述电场的物理量之一，反映力的作用。 引入引入试验电荷试验电荷 点电荷（电量足够小，不影响原点电荷（电量足够小，不影响原电场分布电场分布;线度足够小。）线度足够小。）0q1. 定义：定义： 电场中某点的电场强度，其大小等于单位电荷放在电场中某点的电场强度，其大小等于单位电荷放在该处所受

10、的电场力的大小，其方向与正电荷在该处所受该处所受的电场力的大小，其方向与正电荷在该处所受电场力的方向一致。电场力的方向一致。 单位：牛顿单位：牛顿/库仑库仑 或伏特或伏特/米米第一章 静电场 恒定电流场122 电场电场 电场强度电场强度1.由由 是否能说，是否能说， 与与 成正比，与成正比，与 成反比？成反比？ 0qFE EF0qQ qP Q0E P 0EqF 讨论讨论2.一总电量为一总电量为Q0的金属球，在它附近的金属球，在它附近P点产生的场强为点产生的场强为 。将一点电荷将一点电荷q0引入引入P点，测得点，测得q实际受力实际受力 与与 q之比为之比为 ，是大于、小于、还是等于，是大于、小于

11、、还是等于P点的点的 ?0E0EFqF第一章 静电场 恒定电流场132 电场电场 电场强度电场强度2. 点电荷电场：点电荷电场：根据库仑定律，有根据库仑定律，有02003004141rrqqrrqqFrqP式中 为 指向场点 的单位矢径。得的定义根据,E020041rrqqFE（呈球对称分布）反向。与时当同向；与时当rEqrEq,0,0E+qPr0q-qPrE0q第一章 静电场 恒定电流场142 电场电场 电场强度电场强度三、电场强度叠加原理三、电场强度叠加原理1q2q3q0q1r1F2r3r2F3F0q由力的叠加原理得由力的叠加原理得 所受合力所受合力 iiFF点电荷点电荷 对对 的作用力的

12、作用力 iiiirrqqF300 410qiq故故 处总电场强度处总电场强度 iiqFqFE000qiiEE电场强度的叠加原理电场强度的叠加原理点电荷系在某点产生的场强，点电荷系在某点产生的场强，等于各点电荷单独存在时在该等于各点电荷单独存在时在该点分别产生的场强的矢量和。点分别产生的场强的矢量和。场强叠加原理场强叠加原理第一章 静电场 恒定电流场152 电场电场 电场强度电场强度qrerqE20d 41d 电荷连续分布情况电荷连续分布情况qreEErd 41d20电荷电荷体体密度密度VqddqdEdrPVreErVd 4120点点 处电场强度处电场强度P第一章 静电场 恒定电流场162 电场

13、电场 电场强度电场强度qPsd电荷电荷面面密度密度sqddsreErSd 4120ql d电荷电荷线线密度密度lqddlreErld 4120EdrEdrP第一章 静电场 恒定电流场172 电场电场 电场强度电场强度例例1 1 求求电偶极子连线上一点电偶极子连线上一点A A和中垂线上一点和中垂线上一点B B 的场强。的场强。解：解：两个相距为两个相距为 l l 的等量异号点电荷的等量异号点电荷 + +q q 和和 - -q q 组成的点电组成的点电荷系，当讨论的场点到两点电荷荷系，当讨论的场点到两点电荷连线中点的距离远大于连线中点的距离远大于 l l 时，时，称这一带电系统为称这一带电系统为电

14、偶极子电偶极子。，则矢量的矢径为指向若取lqql qP称为该称为该电偶极子的电偶极子的电偶电偶极矩（电矩）极矩（电矩）。qql第一章 静电场 恒定电流场182 电场电场 电场强度电场强度 分别为和的场强点产生在和坐标系。建立求EEAqqXOYEA:1ilrqE2024ilrqE2024 lryx BAlr E E E EBEAE220224011422241122AqEEEillrrqrlillrrr 第一章 静电场 恒定电流场192 电场电场 电场强度电场强度所以得且因为,iqll qPrl3030241241rPirqlEA 分别为和点产生的场强在和求EEBqqEB:2 lryx BAlr

15、 E E E EBEAE202202142142qElrqElr （方向如图）（方向如图）第一章 静电场 恒定电流场202 电场电场 电场强度电场强度得由于lr303044rPirqlEB 32;1rEPEilrqlilrllrqiEEEB2322022220442241coscos第一章 静电场 恒定电流场212 电场电场 电场强度电场强度lopdqdxdEdqr402 dxlax402电荷线密度为电荷线密度为p求：如图所示求：如图所示 点的电场强度点的电场强度a解：在坐标解：在坐标 x 处取一个电荷元处取一个电荷元dqxdxrdE该点电荷在该点电荷在 p 点的场强方向如图所示点的场强方向如

16、图所示大小为大小为 各电荷元在各电荷元在 p 点的场强方向一致点的场强方向一致 场强大小直接相加场强大小直接相加例例2 长为长为 均匀带电直线均匀带电直线lEdEdxlaxl 4020laa1140第一章 静电场 恒定电流场223 高斯定理高斯定理 1 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向曲线上每一点切线方向为该点电场方向, , 2 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为通过垂直于电场方向单位面积电场线数为该点电场强度的大小该点电场强度的大小. .SNEEd/d1.1.规定规定一、电场线一、电场线2.电力线的性质电力线的性质 1)电力线起始于正电荷电力线起始于正电荷(或无穷远处或无穷远

17、处)，终止于负电荷，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；不会在没有电荷处中断； 2)两条电力线不会相交；两条电力线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。电力线不会形成闭合曲线。 4)电力线密集处电场强，电力线稀疏处电场弱。电力线密集处电场强，电力线稀疏处电场弱。 第一章 静电场 恒定电流场233 高斯定理高斯定理+-+-几种电荷分布的电力线图几种电荷分布的电力线图第一章 静电场 恒定电流场243 高斯定理高斯定理带电平行板电容器的电场带电平行板电容器的电场+第一章 静电场 恒定电流场25二、电通量二、电通量1、定义：穿过某一有向曲面的电场线条数，用、定义：穿过某一有向曲面的电场线条数，用e表

18、示。表示。2、电场强度通量的计算公式：、电场强度通量的计算公式： Sn ESEESe cos均匀电场，均匀电场，S 法线方向法线方向与电场强度方向成与电场强度方向成 角角 SdSE cos Seed SSdSnESdE电场不均匀，电场不均匀，S为任意曲面为任意曲面3 高斯定理高斯定理第一章 静电场 恒定电流场26 通量有正负之分！通量有正负之分！小于小于90度，即电场线顺着法向穿过曲面，通量为正；度，即电场线顺着法向穿过曲面，通量为正；等于等于90度，即电场线顺着平面，通量为零；度，即电场线顺着平面，通量为零；大于大于90度，即电场线逆着法向穿过曲面，通量为负；度，即电场线逆着法向穿过曲面，通

19、量为负；SSSESEdcosde 闭合曲面的电场强度通量闭合曲面的电场强度通量SEddeESdES规定规定：法线的正方向为指向：法线的正方向为指向 闭合曲面的外侧。闭合曲面的外侧。3 高斯定理高斯定理第一章 静电场 恒定电流场27niiSqSE10e1d 在真空中在真空中,通过任一通过任一闭合闭合曲面的电场强度通量曲面的电场强度通量,等等 于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 .0（与（与面外面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）电荷无关，闭合曲面称为高斯面）请思考：请思考：1）高斯面上的高斯面上的 与那些电荷有关与那些电荷有关 ？ Es2）哪些电荷对闭合曲面哪

20、些电荷对闭合曲面 的的 有贡献有贡献 ？e三、高斯定理三、高斯定理3 高斯定理高斯定理1. 1. 内容：内容：第一章 静电场 恒定电流场283 高斯定理高斯定理2. 2. 推证：推证：+Sd 点电荷位于球面中心点电荷位于球面中心20 4rqESSSrqSEd 4d20e0eq r高斯定理的导出高斯定理的导出高斯高斯定理定理库仑定律库仑定律电场强度叠加原理电场强度叠加原理第一章 静电场 恒定电流场293 高斯定理高斯定理+ 点电荷在任意封闭曲面内点电荷在任意封闭曲面内cosd 4d20eSrq 20d 4rSq00ed 4qqSdSdSdrSdrSdd2其中立体角其中立体角第一章 静电场 恒定电

21、流场303 高斯定理高斯定理q 点电荷在封闭曲面之外点电荷在封闭曲面之外2dS2E0dd111SE222dd0ES 0dd210dSSE1dS1E第一章 静电场 恒定电流场313 高斯定理高斯定理 由多个点电荷产生的电场由多个点电荷产生的电场21EEE SiiSSESEdde （外）内）iSiiSiSESEdd( 内）（内）(0e1diiiSiqSE0d （外）iSiSE1qiq2qsSdE第一章 静电场 恒定电流场323 高斯定理高斯定理niiSqSE10e1d高斯定理高斯定理1）高斯面上的电场强度为高斯面上的电场强度为所有所有内外电荷的总电场强度内外电荷的总电场强度.4）仅高斯面仅高斯面内

22、内的电荷对高斯面的电场强度的电荷对高斯面的电场强度通量通量有贡献有贡献.2）高斯面为封闭曲面高斯面为封闭曲面.5）静电场是静电场是有源场有源场.3）穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负穿进高斯面的电场强度通量为正，穿出为负.总总 结结第一章 静电场 恒定电流场333 高斯定理高斯定理1S2S3Sqq01e1dqSES02e03eq 在点电荷在点电荷 和和 的静电场中，的静电场中，做如下的三个闭合面做如下的三个闭合面 求求通过通过各闭合面的电通量各闭合面的电通量 .,321SSSqq讨论讨论 将将 从从 移到移到2qABePs 点点 电场强度是否变化电场强度是否变化？穿过高斯面穿过高斯面 的的

23、 有否变化有否变化？2q2qABs1qP*第一章 静电场 恒定电流场343 高斯定理高斯定理四、高斯定理的应用四、高斯定理的应用 其步骤为其步骤为 对称性分析；对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面；根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算应用高斯定理计算. .利用高斯定理解利用高斯定理解E较为方便较为方便Q的分布具有某种对称性的情况下的分布具有某种对称性的情况下对对常见的对称性：常见的对称性： 球对称球对称 柱对称柱对称 面对称面对称第一章 静电场 恒定电流场353 高斯定理高斯定理例例1 均匀带电球面均匀带电球面Q根据电荷分布的对称性，根据电荷分布的对称性，选取合适的高斯面选取合适

24、的高斯面(闭合面闭合面)解解:取取过场点的过场点的 以球心以球心 o 为心的球面为心的球面ESSdESEdSSdSE Er42Q总电量为总电量为半径为半径为R求：电场强度分布求：电场强度分布RoPrSdS 先从高斯定理等式的左方入手先从高斯定理等式的左方入手 先计算高斯面的电通量先计算高斯面的电通量第一章 静电场 恒定电流场363 高斯定理高斯定理SSdEEr42再根据高斯定理解方程再根据高斯定理解方程014iiErq2014iiEqr过场点的高斯面内电量代数和过场点的高斯面内电量代数和? ?204QrREr0iirRqiirRqQ0rREQERoPrSdS第一章 静电场 恒定电流场373 高

25、斯定理高斯定理+ + + + + +oxyz例例2 2 无限长均匀带电直线的电场强度无限长均匀带电直线的电场强度(d ddsssE SE SE S柱 面 ）上 底 ）下 底 ）选取闭合的柱形高斯面选取闭合的柱形高斯面 无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即电荷线密度为度为 ，求距直线为，求距直线为 处的电场强度处的电场强度. .r对称性分析：对称性分析：轴对称轴对称解解hSSEd柱面）(dsSEneneneE+ +r02 hrhErE0 2第一章 静电场 恒定电流场383 高斯定理高斯定理例例3 3 求均匀带电无限大薄板的场强分布，设电荷密度为

26、求均匀带电无限大薄板的场强分布，设电荷密度为。SSSEEPrr解：解：无限大均匀带电薄平板可看无限大均匀带电薄平板可看成无限多根无限长均匀带电直线成无限多根无限长均匀带电直线排列而成，由对称性分析，平板排列而成，由对称性分析，平板两侧离该板等距离处场强大小相两侧离该板等距离处场强大小相等，方向均垂直平板。等，方向均垂直平板。 取一轴垂直带电平面，高为取一轴垂直带电平面，高为 2 2 r r 的圆柱面为高斯面，通过它的的圆柱面为高斯面，通过它的电通量为电通量为SESdESdESdESSSe2两底侧面第一章 静电场 恒定电流场393 高斯定理高斯定理Sq内由高斯定理由高斯定理02SSE所以得所以得

27、02E板。的方向垂直平板指向平时，当；的方向垂直平板指向外时，当EE00S 内包围的电荷为内包围的电荷为SSSEEPrr第一章 静电场 恒定电流场404 电势及其梯度电势及其梯度q0qrlEqWdd0lrrqqd 4300cosddlrlrrrd020d4 qqrrBArrrrqqW200d 41. 1. 点电荷的电场点电荷的电场ldr dArABrBE)11( 400BArrqq结果结果: : 仅与仅与 的的始末始末位置位置有关有关， 与路径无关与路径无关. .0qW一、静电场力做功特点一、静电场力做功特点2. 2. 任何带电体的电场任何带电体的电场iiEEllEqWd0liilEqd0第一

28、章 静电场 恒定电流场414 电势及其梯度电势及其梯度结论：结论：试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功，试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所做的功，只与这试探电荷电量的大小及其起点、终点的位置有关，与只与这试探电荷电量的大小及其起点、终点的位置有关，与路径无关路径无关. .二、静电场环路定理二、静电场环路定理 单位正试验电荷沿闭合路径单位正试验电荷沿闭合路径a cbf a 移移动回到出发点时，电场力所作的功为动回到出发点时，电场力所作的功为qabcfarbrEl dr0bfaacbacbfal dEl dEl dE即即0LldE即在静电场中，场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零。即在静

29、电场中，场强沿任意闭合路径的线积分恒等于零。 静电场是保守场。静电场是保守场。第一章 静电场 恒定电流场424 电势及其梯度电势及其梯度三、电势三、电势 静电场是保守场，静电场力是保守力静电场是保守场，静电场力是保守力. .静电场力所做的功静电场力所做的功就等于电荷电势能增量的负值就等于电荷电势能增量的负值. .ppp0)(dEEElEqWABABBAABEEpp, 0ABEEpp, 0注：电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的注：电势能的大小是相对的，电势能的差是绝对的. .令令0pBEABAlEqEd0p定义定义P P1 1对对P P2 2的的电势差：电势差：21()12()dPPUEl

30、 1212为移动单位正电荷由为移动单位正电荷由P P1 1P P2 2电场力作的功。电场力作的功。第一章 静电场 恒定电流场434 电势及其梯度电势及其梯度P1处电势为：处电势为：01()110()dPPUUEl设设P0为电势参考点，即为电势参考点，即U0 = 0，21()12()dPPElU这说明这说明 P0点的不同选择，不影响电势差。点的不同选择，不影响电势差。0012()()12()()ddPPPPUUElEl P0选择有任意性，选择有任意性，习惯上习惯上如下选取电势零点。如下选取电势零点。理论中：理论中：对有限电荷分布，选对有限电荷分布，选 = 0 。 U对无限大电荷分布，选有限区域中

31、对无限大电荷分布，选有限区域中的某的某适当点适当点为电势零点。为电势零点。 实际中：实际中：选大地或机壳、公共线为电势零点。选大地或机壳、公共线为电势零点。第一章 静电场 恒定电流场444 电势及其梯度电势及其梯度1）点电荷）点电荷01 04qUUrr，利用电势定义可以求得如下结果：利用电势定义可以求得如下结果：Ur0q 02）均匀带电球壳）均匀带电球壳00 4 4qRUqr（壳内）（壳外） 3）无限长均匀带电直线）无限长均匀带电直线00ln 2rUr，0Rrq 0UqRUrr00 0r0 0U00rU第一章 静电场 恒定电流场454 电势及其梯度电势及其梯度四、电势叠加原理四、电势叠加原理0

32、()()d PiPiUElEE及，由由 得：得：0()()() dPiPiUEl注意：电势零点注意：电势零点P0必须是共同的。必须是共同的。 对点电荷系：对点电荷系：0 04iiqUUr， 对连续电荷分布：对连续电荷分布：0d 04qqUUr，lEiPPid)()(0 iiU第一章 静电场 恒定电流场464 电势及其梯度电势及其梯度例例 计算电量为计算电量为 Q 的带电球面球心的电势的带电球面球心的电势Rq04dd QQRq04ddRQ04RQo解：在球面上任取一电荷元解：在球面上任取一电荷元qdqd则电荷元在球心的电势为则电荷元在球心的电势为由电势叠加原理由电势叠加原理球面上电荷在球心的总电

33、势球面上电荷在球心的总电势 思考：思考： 电量分布电量分布 均匀？均匀？圆环？圆环？ 圆弧？圆弧？第一章 静电场 恒定电流场474 电势及其梯度电势及其梯度五、等势面五、等势面n等势面等势面在电场中电势相等的点所连成的曲面。在电场中电势相等的点所连成的曲面。 相邻等势面之间电势差相等。相邻等势面之间电势差相等。n等势面用来形象表示电场中电势的分布。等势面用来形象表示电场中电势的分布。n等势面密的地方场强大，等势面稀疏的地方场强小。等势面密的地方场强大，等势面稀疏的地方场强小。n等势面与电力线的关系：等势面与电力线的关系：+第一章 静电场 恒定电流场484 电势及其梯度电势及其梯度六、电势的梯度

34、六、电势的梯度场强与电势的微分关系：场强与电势的微分关系：ddElU ddlElU U的的方向导数方向导数lEl nUEn nneEE U +dUEl UE El l dl等等势势面面UU +dUne（指向（指向U 方向）方向）EnUen 第一章 静电场 恒定电流场494 电势及其梯度电势及其梯度电势梯度：电势梯度：nen grad gradE在直角坐标中：在直角坐标中： gradzkyjxi zkyjxi 数学上，若某一标量函数对某一方向有最大数学上，若某一标量函数对某一方向有最大变化率变化率（方向（方向导数最大），导数为该标量函数的导数最大），导数为该标量函数的梯度梯度（ gradient

35、）。）。第一章 静电场 恒定电流场504 电势及其梯度电势及其梯度例例 利用场强与电势梯度的关系，利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电细圆环轴线计算均匀带电细圆环轴线上一点的场强。上一点的场强。22041)(xRqxuu 解解 :)41(220 xRqxxuEx 23220)(41xRqx 0 zyEEiEEx ixRqx23220)(41 第一章 静电场 恒定电流场51一、导体的静电平衡条件一、导体的静电平衡条件5 静电场中的导体静电场中的导体1.静电平衡静电平衡 导体内部和表面无自由电荷导体内部和表面无自由电荷的定向移动时，称导体处于静电平衡状态。的定向移动时，称导体处于静电平衡状态。

36、2.导体静电平衡的条件导体静电平衡的条件 导体内部任何一点处的电场强度为零；导体内部任何一点处的电场强度为零； 导体表面处的电场强度的方向导体表面处的电场强度的方向,都与导体表面垂直都与导体表面垂直.0E+E0E0E导体是等势体导体是等势体 导体表面是等势面导体表面是等势面0d lEU 导体内部电势相等导体内部电势相等0d ABABlEUlEd第一章 静电场 恒定电流场52+（ 导体内部无电荷）导体内部无电荷）00dqSES00diSqSE，0E1实心导体实心导体2有空腔导体有空腔导体0 qS 空腔内无电荷空腔内无电荷S电荷分布在表面上电荷分布在表面上（内表面上有电荷吗？）（内表面上有电荷吗？

37、）二、静电平衡时导体上的电荷分布二、静电平衡时导体上的电荷分布5 静电场中的导体静电场中的导体第一章 静电场 恒定电流场535 静电场中的导体静电场中的导体0d lEUABAB若内表面带电若内表面带电S+-AB 结论：电荷分布在外表面上（内表面无电荷）结论：电荷分布在外表面上（内表面无电荷）+矛盾矛盾导体是等势体导体是等势体0d lEUABAB 空腔内有电荷空腔内有电荷00d1iSqSE，qq内qq2SqQ 1S电荷分布在表面上电荷分布在表面上 （内表面？）（内表面？）00d2iSqSE，结论：当空腔内有电荷结论：当空腔内有电荷 时时,内表面因静电感应出现等值内表面因静电感应出现等值异号的电荷

38、异号的电荷 ，外表面有感应电荷外表面有感应电荷 （电荷守恒）（电荷守恒）qqq第一章 静电场 恒定电流场545 静电场中的导体静电场中的导体 为表面电荷面密度为表面电荷面密度 0dSSES0SSE0E表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比表面电场强度的大小与该表面电荷面密度成正比+E作钱币形高斯面作钱币形高斯面 S S0E3导体表面电场强度与电荷面密度的关系导体表面电场强度与电荷面密度的关系第一章 静电场 恒定电流场555 静电场中的导体静电场中的导体注意注意 导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关导体表面电荷分布与导体形状以及周围环境有关.4导体表面电荷分布导体表面电荷分布EE;,

39、带电导体尖端附近的电场特别大，带电导体尖端附近的电场特别大，可使尖端附近的空气发生电离而成为可使尖端附近的空气发生电离而成为导体产生放电现象，即导体产生放电现象，即尖端放电尖端放电 . 尖端放电会损耗电能尖端放电会损耗电能, 还会干扰精密还会干扰精密测量和对通讯产生测量和对通讯产生危害危害 . 然而尖端放电也有很广泛的然而尖端放电也有很广泛的应用应用 . 尖端放电现象尖端放电现象尖端放电现象的尖端放电现象的利利与与弊弊第一章 静电场 恒定电流场565 静电场中的导体静电场中的导体二、导体壳二、导体壳结论结论：内表面处处没有电荷，：内表面处处没有电荷， 腔内无电场。腔内无电场。0腔内E即即（或说

40、（或说 腔内电势处处相等）腔内电势处处相等）证明证明:0SsEd在导体壳内紧贴内表面作高斯面在导体壳内紧贴内表面作高斯面S因为导体体内场强处处为零因为导体体内场强处处为零 所以所以 S1. 腔内无带电体时场的特征腔内无带电体时场的特征0iiq由高斯定理得高斯面内电量代数和为由高斯定理得高斯面内电量代数和为零零 即即0内表面Q由于空腔内无带电体由于空腔内无带电体 所以所以第一章 静电场 恒定电流场575 静电场中的导体静电场中的导体1）处处不带电）处处不带电 即处处无净电荷即处处无净电荷2）一部分带正电荷）一部分带正电荷 一部分带等一部分带等 量负电荷量负电荷0内表面Q还需排除第还需排除第2种情

41、况种情况 用反证法用反证法证明证明则与导体是等势体矛盾则与导体是等势体矛盾 故说明故说明假设假设不成立不成立?假设：假设：内表面有一部分带正电荷一部分带等量的负电荷，内表面有一部分带正电荷一部分带等量的负电荷，则会从正电荷向负电荷发电力线则会从正电荷向负电荷发电力线证明了：腔内无带电体时证明了：腔内无带电体时 内表面内表面处处没有电荷处处没有电荷 腔内腔内无电场无电场第一章 静电场 恒定电流场582. 腔内有带电体时场的特征腔内有带电体时场的特征电量分布电量分布腔内的电场腔内的电场1)壳是否带电壳是否带电? 2)腔外是否有带电体腔外是否有带电体?腔内的场只与腔内带电体及腔内的几何因素、介质腔内

42、的场只与腔内带电体及腔内的几何因素、介质有关有关qQ表表面面腔腔内内q用高斯定理可证用高斯定理可证未提及未提及的问题的问题结论结论或说或说0带电体壳外电量壳外表面EE在腔内在腔内1)与电量与电量q 有关有关2)与几何因素介质有关与几何因素介质有关5 静电场中的导体静电场中的导体第一章 静电场 恒定电流场595 静电场中的导体静电场中的导体静电屏蔽：腔内、腔外的场静电屏蔽：腔内、腔外的场互互不影响不影响腔内场腔内场只与内部带电量及内部几何条件只与内部带电量及内部几何条件及介质有关及介质有关腔外场腔外场只由外部带电量和外部几何条件只由外部带电量和外部几何条件及介质决定及介质决定思考：不接地行吗？思

43、考：不接地行吗？三、静电屏蔽三、静电屏蔽第一章 静电场 恒定电流场601、两个点电荷：、两个点电荷：21(2)Wq E dl互221q同理：同理：112Wq互写成对称形式：写成对称形式：11222112Wqq互（） q1q212 21 12（注意，这里必（注意，这里必须规定须规定 = 0）21:为 在 形成的电场中的电势能2q1q210 124q qr210 124q qr6 静电能静电能一、点电荷系的相互作用能（电势能）一、点电荷系的相互作用能（电势能）第一章 静电场 恒定电流场612、三个点电荷：、三个点电荷：q1q2q3 先先作功作功 q q2 2( ( 2121+ + 2323) )

44、后后作功作功 q q3 3 313122123331()Wqq互2211 121()2qq2233321 () 2qq3311131 ()2qq112131()2q331321 ()2q1 122331()2qqq221231 ()2q3、推广至一般点电荷系：、推广至一般点电荷系：12iiiWq互 i 除除 qi 外，其余点电荷在外，其余点电荷在 qi 所在处的电势所在处的电势第一章 静电场 恒定电流场62二、连续带电体的静电能二、连续带电体的静电能 静电能静电能(electrostatic energy)：把把带电体的带电体的电荷无电荷无限分割并分散到彼此相距无穷远时，电场力作的限分割并分散

45、到彼此相距无穷远时，电场力作的功。功。 对一连续带电体，可设想把带电体分成无限对一连续带电体，可设想把带电体分成无限多个电荷元，它的静电能是指把所有电多个电荷元，它的静电能是指把所有电荷元从现荷元从现有的聚集状态彼此分散到无穷远时，电场力作的有的聚集状态彼此分散到无穷远时，电场力作的功。功。 QU qi1.体电荷分布体电荷分布(体电荷密度体电荷密度 ) 把带电体分为许多小体积元把带电体分为许多小体积元 i，每个体积元带电量为每个体积元带电量为 qi = i 把它们看作点电荷。把它们看作点电荷。第一章 静电场 恒定电流场63由点电荷组相互作用能公式有由点电荷组相互作用能公式有 令体积元令体积元

46、i 0 ，得，得11=22iiiiWqUUv相1=2WUdv相由于令由于令 i0 ，已将电荷无限分小，这样得出的，已将电荷无限分小，这样得出的无限分小电荷间的相互作用能即是体系的静电能。无限分小电荷间的相互作用能即是体系的静电能。 2.线电荷分布线电荷分布(线电荷密度线电荷密度 )1=2WUdl相3.面电荷分布面电荷分布(面电荷密度面电荷密度 )1=2WUds相第一章 静电场 恒定电流场64例例求半径为求半径为R带电量为带电量为Q的均匀带电球体的静电能。的均匀带电球体的静电能。Q43 R3 =QV=其中其中W =14 0( )3Q25R将将U、 代入有代入有由连续带电体静电能公式，球体的静电能

47、由连续带电体静电能公式，球体的静电能 为为 1=2WUdv相 Q R dr rdq第一章 静电场 恒定电流场65点电荷的电势能：点电荷的电势能： Wq电偶极子的电势能：电偶极子的电势能：Wp E pE 时电时电势能最低。势能最低。三、点电荷在外电场中的能量三、点电荷在外电场中的能量相互作用能相互作用能W：把各点电荷由当前的位置分散至：把各点电荷由当前的位置分散至相距无穷远的过程中，电场力作的功。相距无穷远的过程中，电场力作的功。pE第一章 静电场 恒定电流场667 电容和电容器电容和电容器一、孤立导体的电容一、孤立导体的电容VQC 例如例如 孤立的导体球的电容孤立的导体球的电容RRQQVQC0

48、044RQF107m,104 . 64E6ECR 地球地球单位单位 C/V1F1F10pF112F10F16第一章 静电场 恒定电流场677 电容和电容器电容和电容器二、电容器及其电容二、电容器及其电容1、电容器：两块带电时始终带等量异号电荷的导体叫电容器。、电容器：两块带电时始终带等量异号电荷的导体叫电容器。-Q+QU正极板正极板负极板负极板2、电容器的电容：、电容器的电容：UQC （单位电压下电容器所充的电量）（单位电压下电容器所充的电量） 电容器两个极板间的电压（电势电容器两个极板间的电压（电势差）与差）与Q成正比。因此，电压与成正比。因此，电压与Q的比值与的比值与Q无关，只与电容器两极

49、无关，只与电容器两极板的形状、大小、相对位置以及绝缘电介质性质有关。叫做板的形状、大小、相对位置以及绝缘电介质性质有关。叫做电容器的电容。即电容器的电容。即第一章 静电场 恒定电流场687 电容和电容器电容和电容器1）平行平板电容器）平行平板电容器dS+-E设电容器带电，则在两个极板设电容器带电，则在两个极板之间的场强为：之间的场强为：)22(000E0dEdU电势差为：00,:SQSCdUd根 据 电 容 的 定 义 式 则 有3、常见电容器的电容：、常见电容器的电容：第一章 静电场 恒定电流场697 电容和电容器电容和电容器2）圆柱形电容器）圆柱形电容器R1R2设带电，则有：设带电，则有：

50、+-rE021200ln2221RRdrrrdEURRl)/ln(2)ln2/(120120RRLRRLUQC第一章 静电场 恒定电流场707 电容和电容器电容和电容器3）球形电容器）球形电容器R1R2R3设带电，则有设带电，则有-q+q204rqE)11(442102021RRqdrrqrdEURRl122102104)11(4/RRRRRRqqUQC孤立导体球的电容：孤立导体球的电容：1024RCR第一章 静电场 恒定电流场717 电容和电容器电容和电容器三、电容器的并联、串联三、电容器的并联、串联电容器的并联电容器的并联21CCC电容器的串联电容器的串联21111CCC1C2C1C2C第

51、一章 静电场 恒定电流场72四四 电容器储能（电能）电容器储能（电能）1 1、充电电容器储存有能量的实验验证：、充电电容器储存有能量的实验验证：照相机闪光灯工作电路图照相机闪光灯工作电路图KKCR2 2、充电电容器的储能公式：、充电电容器的储能公式：+Q-Q+-EC 根据功能原理充电后电容器所储存根据功能原理充电后电容器所储存的能量应等于搬运过程中所做的功。的能量应等于搬运过程中所做的功。qdq-qUdqCqUdqdWCQdqqCWQ2120一、充电电容器的储能一、充电电容器的储能2221212CUQUCQWWe第一章 静电场 恒定电流场731 1、讨论：充电电容器所储存的能量谁是其携带者？、

52、讨论：充电电容器所储存的能量谁是其携带者？+Q-Q+-EC221CUWe22221111()()2222eSWCUEdESdE Vd设此电容器是一个平行平板电容器则有：设此电容器是一个平行平板电容器则有：二、静电场的能量二、静电场的能量上述分析表明：电场具有能量。它是静电场本身所具有的上述分析表明：电场具有能量。它是静电场本身所具有的能量，而不是相互作用的势能。静电场能量的存在还进一能量，而不是相互作用的势能。静电场能量的存在还进一步说明了静电场的物质特性。步说明了静电场的物质特性。四四 电容器储能（电能）电容器储能（电能）第一章 静电场 恒定电流场742 2、能量密度公式：、能量密度公式：2

53、2212121DDEEwe3 3、静电场能量的计算方法：、静电场能量的计算方法：等效电容器法等效电容器法 功能原理功能原理 通过能量密度积分通过能量密度积分dVwWee 例例 半径为半径为R R1 1的导体球外有一个内外的导体球外有一个内外半径分半径分 别别R R2 2、 R R3 3为的同心导体球壳。导体为的同心导体球壳。导体球和导体球壳带电分别为球和导体球壳带电分别为q q1 1、 q q1 1 。试求。试求总电场能量。总电场能量。R1R2R3q2q1+- -q1+q1rdr四四 电容器储能（电能）电容器储能（电能）第一章 静电场 恒定电流场75213222211200220011() 4

54、() 42244ReRRqqqWr drr drrr解：考虑静电感应后的电荷分布。可得解：考虑静电感应后的电荷分布。可得场强分布为：场强分布为：3202132212011,4, 0,4, 0RrrqqRrRRrRrqRrE方法一、通过电场能量密度积分方法一、通过电场能量密度积分221:Ewe根据R1R2R3q2q1+- -q1+q1rdr30221210218)()11(81RqqRRqWe四四 电容器储能（电能）电容器储能（电能）第一章 静电场 恒定电流场76R1R2R3q2q1+- -q1+q1方法二：使用等效电容器法。我们方法二：使用等效电容器法。我们可以将带电系统等效成一个球形电可以将

55、带电系统等效成一个球形电容器和一个孤立球形电容器，则有：容器和一个孤立球形电容器，则有：302212221022118)(2)11(821RqqCQWRRqCQWee122104RRRRC球304RC孤立21eeeWWW四四 电容器储能（电能）电容器储能（电能）第一章 静电场 恒定电流场77一一. .边界条件边界条件每个导体的电势每个导体的电势每个导体的总电量每个导体的总电量一些导体的总电量和另一些导体的电势一些导体的总电量和另一些导体的电势二二. .唯一性定理唯一性定理边界条件可将空间电场分布唯一地确定下来边界条件可将空间电场分布唯一地确定下来8静电场边值问题的唯一性定理静电场边值问题的唯一

56、性定理第一章 静电场 恒定电流场78假设假设p p点是点是u u* *的极值点，则包围的极值点，则包围p p所作的高斯面的通所作的高斯面的通量不为零，而面内无电荷。和高斯定理矛盾。所以量不为零，而面内无电荷。和高斯定理矛盾。所以u u* *没有极值，只能处处为零。没有极值，只能处处为零。即，即，12uu证明：给定各导体的电势证明：给定各导体的电势边界条件边界条件后，电势分布唯后，电势分布唯 一确定一确定假设假设u1(x,y,z)u1(x,y,z)和和u2(x,y,z)u2(x,y,z)是满足给定边界条件的是满足给定边界条件的两个不同的电势分布。两个不同的电势分布。u u* *两个电势的叠加，两

57、个电势的叠加， u u* *在边在边界各处都等于零。界各处都等于零。*12uuu得证得证第一章 静电场 恒定电流场79利用唯一性定理解释静电屏蔽利用唯一性定理解释静电屏蔽+q-+q闭合导体空腔的电位给定（如接地），空腔内的导体带闭合导体空腔的电位给定（如接地），空腔内的导体带电量给定，则空腔内空间的边界条件确定。根据唯一性电量给定，则空腔内空间的边界条件确定。根据唯一性定理腔内电场和腔内导体的电荷分布也就唯一确定，与定理腔内电场和腔内导体的电荷分布也就唯一确定，与腔外带电体无关。腔外带电体无关。电像法电像法第一章 静电场 恒定电流场80一、电流密度一、电流密度 电流密度矢量电流密度矢量9 恒定

58、电流场恒定电流场1 1、电流：电流就是电荷的定向运动。、电流：电流就是电荷的定向运动。运流电流：裸露电荷的定向运动；运流电流：裸露电荷的定向运动；传导电流：导线中的电流。传导电流：导线中的电流。+- 运流电流附近既有电场也有磁场，运流电流附近既有电场也有磁场，而传导电流周围只有磁场。而传导电流周围只有磁场。电流的方向：规定电流的方向：规定正电荷的运动方向为电流的方向正电荷的运动方向为电流的方向。 电流强度：单位时间内通过截面电流强度：单位时间内通过截面S S的电量。的电量。dtdqI 注意：在导体中注意：在导体中q q包含两个部分。一部分是通过截面包含两个部分。一部分是通过截面的正电荷，另一部

59、分是反向通过的负电荷。的正电荷，另一部分是反向通过的负电荷。第一章 静电场 恒定电流场812 2、电流密度、电流密度 单位横截面积上通过的电流强度。单位横截面积上通过的电流强度。 其方向就是电流的方向。其方向就是电流的方向。ndsdIjn3 3、电流密度与电流强度的关系、电流密度与电流强度的关系SdSjncosndIj dsj dSj dSSSdjI9 恒定电流场恒定电流场第一章 静电场 恒定电流场82二、欧姆定律二、欧姆定律 电阻电阻 电阻率电阻率1. 欧姆定律的积分形式欧姆定律的积分形式baUIRU对一段均匀金属导体：对一段均匀金属导体：电阻率电阻率 m 单位：单位：SLR电阻电阻SRUL

60、abI a bRG1电导电导：1电导率电导率 单位：单位：m1 LS9 恒定电流场恒定电流场第一章 静电场 恒定电流场83将欧姆定律用于大块导体中的一小段，将欧姆定律用于大块导体中的一小段，SlSJddddlJdd1E EJEJ 欧姆定律微分形式欧姆定律微分形式上式对非均匀导体上式对非均匀导体 非稳恒电流也成立非稳恒电流也成立有：有：ddd)(U又又I I d dI Id dS电流电流线线 +d+d d dUJ得得2. 欧姆定律的微分形式欧姆定律的微分形式9 恒定电流场恒定电流场第一章 静电场 恒定电流场84由电荷守恒定律，对电路中任由电荷守恒定律，对电路中任意闭合曲面意闭合曲面 S S 均有