第七章方差分析

1、主要内容主要内容: : 方差分析的概念；方差分析的概念； 单因素方差分析；单因素方差分析； 无交互作用的双因素方差分析。无交互作用的双因素方差分析。第七章第七章 方差分析方差分析第一节第一节 方差分析引论方差分析引论一、问题的提出一、问题的提出例例1 1、某饮料在五家超市的销售情况。、某饮料在五家超市的销售情况。（6 6） （9 9）某饮料在五家超市的销售情况表某饮料在五家超市的销售情况表相同总体的情况相同总体的情况1234不同总体的情况不同总体的情况 方差分析是对多个总体均值是否相等方差分析是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验。这一假设进行检验。 方差分析中的常用术语：方差分析中的常用术

2、语：（2 2） 因素：一个独立的变量，是方差分析研因素：一个独立的变量，是方差分析研究的对象。究的对象。 水平：因素在方差分析中的不同表现。水平：因素在方差分析中的不同表现。 单因素方差分析：只针对一个因素进行单因素方差分析：只针对一个因素进行的方差分析。的方差分析。 多因素方差分析：针对多个因素进行的多因素方差分析：针对多个因素进行的方差分析。方差分析。二、方差分析的基本假设二、方差分析的基本假设 1 1、每个总体都应服从正态分布。、每个总体都应服从正态分布。 对于因素的每一个水平，其观测值是来对于因素的每一个水平，其观测值是来自正态分布总体的简单随机样本。自正态分布总体的简单随机样本。 2

3、 2、各个总体的方差、各个总体的方差2 2必须相同必须相同( (方差方差齐性齐性) )。 各因素水平的观察数据组是从具有相同各因素水平的观察数据组是从具有相同方差的正态总体中抽取的。方差的正态总体中抽取的。 3 3、各样本是相互独立的随机样本各样本是相互独立的随机样本。 方差分析就是要在上述假定成立的前提方差分析就是要在上述假定成立的前提下，分析自变量对因变量的影响是否显著，下，分析自变量对因变量的影响是否显著，实际上也就是要检验自变量的各个水平实际上也就是要检验自变量的各个水平( (总总体体) )的均值是否相等。的均值是否相等。 方差分析的目的：检验各个水平的均方差分析的目的：检验各个水平的

4、均值是否相等。值是否相等。 实现方差分析的目的的手段：方差的实现方差分析的目的的手段：方差的比较。比较。三、方差分析的基本思想三、方差分析的基本思想（2 2）观测值的差异来自于两个方面：观测值的差异来自于两个方面： 1 1、系统差异：由因素中的不同水平引起，、系统差异：由因素中的不同水平引起，用组间方差度量；用组间方差度量； 2 2、随机差异：由样本抽区的随机性引起，、随机差异：由样本抽区的随机性引起，用组内方差度量。用组内方差度量。 方差分析：将一组样本数据发生的总变差方差分析：将一组样本数据发生的总变差根据可能引起变差的来源分割为几个部分，使根据可能引起变差的来源分割为几个部分，使总变差的

5、每一部分都可归因于某种原因，通过总变差的每一部分都可归因于某种原因，通过测度这些不同来源的变差之间是否有显著差异，测度这些不同来源的变差之间是否有显著差异，来判断总体均值之间是否存在显著差异。来判断总体均值之间是否存在显著差异。试验批号试验批号因因观观11x12x11nx21x22x22nx1kx2kxkknx察察值值素素水水平平第二节第二节 单因素方差分析单因素方差分析一、样本数据结构一、样本数据结构（2828）kiH210：）不完全相等，（：kiHi211二、单因素方差分析的步骤二、单因素方差分析的步骤（一）提出假设（一）提出假设EAMSMSF ), 1(knkF（二）构造检验统计量（二）

6、构造检验统计量方差分析所用统计量为：方差分析所用统计量为： 1 1、计算因素各水平（总体）的均值及总均值，、计算因素各水平（总体）的均值及总均值，分别用分别用 和和 表示地表示地i i个总体的均值与所有样本个总体的均值与所有样本观测值的总均值。计算公式如下：观测值的总均值。计算公式如下：），（kinxxiniijii,2,11ixx），（kkiiikinjijnnnnnxnnxxi21111 2 2、在方差分析中，需要计算三个误差平方、在方差分析中，需要计算三个误差平方和，即总误差平方和（和，即总误差平方和（ ）、组间误差平方）、组间误差平方和（和（ ）及组内误差平方和（）及组内误差平方和（

7、） 。TSSASSESSAEkinjikinjiijkinjijkinjijTSSSSxxxxxnxxxSSiiii1121122112112)()()(其中：其中： （1 1）组间误差，其自由度为）组间误差，其自由度为k-1:k-1: （2 2）组内误差）组内误差, ,其自由度为其自由度为n-k:n-k:212211212112)()(xnxnxnxxxnxxSSkiiikinjikiiikinjiAiiATkinjiijESSSSxxSSi112)(1kSSMSAAknSSMSEEEAMSMSF ), 1(knkF3 3、构造统计量、构造统计量；确定显著水平的值；计量根据样本观测值计算统T

8、AMSMSF ；，相应的临界值分布表得到，查根据给定的显著水平)1(knkFF得出结论。进行比较后，的值与临界值将统计量FF；，则拒绝原假设若0HFF。，则不能拒绝原假设若0HFF（三）统计检验（三）统计检验1 1、2 2、3 3、4 4、 （四）方差分析表（四）方差分析表 前述（二）之前述（二）之1 1的计算，一般在方差分的计算，一般在方差分析计算表中进行，（二）之析计算表中进行，（二）之2 2、3 3在方差分在方差分析表中进行。方差分析计算表与方差分析析表中进行。方差分析计算表与方差分析表的一般形式分别如后一页：表的一般形式分别如后一页：试验批号试验批号11x11nx21x22nx1kxk

9、knx111njjx12x22x2kx212njjxknjkjx11121njjx2122njjxknjkjx121x2xkx观观察察值值因因素素水水平平值FEAMSMS），（knkF1ASSESSTSS1kkn1nAMSEMS 对前述例对前述例1 1，试以，试以0.050.05的显著水平的显著水平检验饮料颜色对其销售量是否有显著影检验饮料颜色对其销售量是否有显著影响。列表计算如下：响。列表计算如下：2iixn值F售量有显著影响。既饮料包装的颜色对销受备择假设，所以拒绝原假设，接由于FF 例例2 2、某课程结束后，学生对该授课教师的教学质量、某课程结束后，学生对该授课教师的教学质量进行评估，评

10、估结果分为优、良、中、差四等。教进行评估，评估结果分为优、良、中、差四等。教师对学生考试成绩的评判和学生对教师的评估是分师对学生考试成绩的评判和学生对教师的评估是分开进行的，他们互相都不知道对方给自己的打分。开进行的，他们互相都不知道对方给自己的打分。有一种说法，认为给教师评为优秀的这组学生的考有一种说法，认为给教师评为优秀的这组学生的考试分数，可能会显著地高于那些认为教师工作仅是试分数，可能会显著地高于那些认为教师工作仅是良、中或差的学生的分数。同时认为，对教师工作良、中或差的学生的分数。同时认为，对教师工作评差的学生，其考试的平均分数可能最低。为对这评差的学生，其考试的平均分数可能最低。为

11、对这种说法进行检验，从对评估的每一个级组中，随机种说法进行检验，从对评估的每一个级组中，随机抽取出共抽取出共2626名学生。试以名学生。试以0.050.05的显著水平检验各组的显著水平检验各组学生的分数是否有显著差别。学生的分数是否有显著差别。2626名学生的考试成绩名学生的考试成绩如下表。如下表。i 解：若各组学生的平均成绩之间没有显著差异，解：若各组学生的平均成绩之间没有显著差异，则表明学生对教师的评估结果与他们的成绩之间则表明学生对教师的评估结果与他们的成绩之间没有必然的联系。没有必然的联系。 利用利用SPSSSPSS软件进行计算。软件进行计算。等。：各组平均分数不全相：各组平均分数相等

12、；10HHTASSSSR 2三、关系强度的度量三、关系强度的度量)11()(2jiEnnMSkntLSDknSSMSEE其中jiH：0jiH：1jixx 四、单因素方差分析中的多重比较四、单因素方差分析中的多重比较 多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进多重比较是通过对总体均值之间的配对比较来进一步检验到底哪些均值之间存在差异。一步检验到底哪些均值之间存在差异。（1111） 多重比较方法有多种，这里介绍多重比较方法有多种，这里介绍FisherFisher提出的最提出的最小显著差异方法，简写为小显著差异方法，简写为LSDLSD。LSDLSD多重比较步骤：多重比较步骤：1 1、提出假设：、提出

13、假设：2 2、计算检验统计量：、计算检验统计量：3 3、计算、计算LSDLSD，其计算公式为：，其计算公式为：4 4、判断、判断 （2222）。；反之，则接受则拒绝若00,HHLSDxxji著差别？颜色的饮料的销量有显下，哪两种包装，在显著水平对于例05. 0124. 226.2932.2721 xx24. 2)5151(8 . 2)16(025. 0tLSD没有显著差异。与由于2121LSDxx是否有显著差异。与、与、与、与、与同理可判断4342324131第三节第三节 双因素方差分析双因素方差分析一、双因素方差分析及其类型一、双因素方差分析及其类型 双因素方差分析：双因素方差分析： 无交互

14、作用的双因素方差分析：无交互作用的双因素方差分析： 有交互作用的双因素方差分析：有交互作用的双因素方差分析：例例3 3、某商品有五种不同包装方式（因素、某商品有五种不同包装方式（因素A A），在五个不同地区销），在五个不同地区销售（因素售（因素B B），现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，），现从每个地区随机抽取一个规模相同的超级市场，得到该商品不同包装的销售资料如下表。现欲检验包装方式和得到该商品不同包装的销售资料如下表。现欲检验包装方式和销售地区对该商品销售是否显著影响（销售地区对该商品销售是否显著影响（ ）？）？销售地区销售地区（B B）05. 0二、无交互作用的双因素方差分析二

15、、无交互作用的双因素方差分析（4141）（一）样本数据结构（一）样本数据结构B水平水平A水平水平观察值观察值jx列均值ix1x2xrx1x2xkxx), 2 , 1(11rjxkxkiijj), 2 , 1(11kixrxrjijikirjijxkrx111其中：其中： kirjjkirjikirjjiijkirjijTxxxxxxxxxxSS112112112112EBATSSSSSSSS（二）误差平方和的分解（二）误差平方和的分解（3232）kirjjiijExxxxSS112kirjjBxxSS112kirjiAxxSS1121111rkSSMSrSSMSkSSMSEEBBAA，其中：其

16、中：EAAMSMSF EBBMSMSF 111rkkF，111rkrF，。的自由度为，为的自由度，的自由度为其中1111rkMSrMSkMSEBA构造统计量：构造统计量：kiH2110：）不完全相等（：kiHi, 2 , 111rjH2120：不完全相等：),2, 1(21rjHj。个水平（总体）的均值的第为因素，个水平（总体）的均值的第为因素其中：jBiAji（三）分析步骤（三）分析步骤1 1、提出假设设：、提出假设设：值F的组间误差因素A的组间误差因素BASSBSSESSTSS1k1r11rk1nAMSBMSEMSAFBF2 2、在方差分析表中计算相应的统计量、在方差分析表中计算相应的统计

17、量分布表得到临界值：下，查在给定的显著水平F111111rkrFrkkF，和，将计算所得的统计量的值与临界值进行比较：将计算所得的统计量的值与临界值进行比较：。则接受；反之，则拒绝，若1010111HHrkkFFA。则接受；反之，则拒绝，若2020111HHrkrFFB3 3、统计检验、统计检验TBASSSSSSR2（四）关系强度的度量（四）关系强度的度量（3131）对于例对于例3 3，我们进行求解可得：，我们进行求解可得： 建立假设：建立假设：不全相等、：不全相等、：54321211543212054321115432110HHHH销售地区销售地区（B B）jx列均值ix96.88004.15104 .152022