第l六节差分与差分方程的概念

1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 第六节差分与差分方程的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束 当变量被认为是离散或间断地变化而不是连续或瞬时地变化时，差分方程就适合表示这些变化之间的关系，而微分方程就不适合。 在企业管理和经济分析中，差分方程常常是有用的。 下面介绍差分与差分方程的一些概念并介绍简单的差分方程的解法。这对我们研究和解决一些实际问题是颇有益处的。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一差分的概念一差分的概念设函数 ,式中y只对x在非负整数值上有定义，在自变量x依次取遍非负整数时，即 ( )yf x0,1,2,3,.x 相应的函数值为(0) ,(1) ,( ) ,(1) ,ff

2、f xf x或简记为011,xxyyyy机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义在自变量从x变到x+1时，函数 的改变量 ( )yy x(1)( )(0,1,2,)xyy xy xx称为函数 在x点步长为1的一阶差分，简称为函数 的一阶差分。通常记作( )y x( )y x1(0,1,2,)xxxyyyx (7-1) 其中表示差分算子或差分符号。（ 读作“德尔塔” ）。 xyxy注意： 也是x的函数， 是算子，为从序列 中得到 提供运算法则。 xy012,yy y xy机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似地，通过算子也可定义二阶差分及以上的高阶差分。当自变量由x变到x+1时，一阶差分的

3、改变量121121()()()2xxxxxxxxxxyyyyyyyyyy 称为函数 的二阶差分，记作 ，即 ( )yy x2xy2212xxxxyyyy(7-2) 实际上二阶差分是一阶差分的差分。机动 目录 上页 下页 返回 结束 同样，二阶差分 的改变量3xy222132121321()(2)(2)33xxxxxxxxxxxxxyyyyyyyyyyyyy 称为函数 的三阶差分 ，记作，即 ( )yy x3xy332133xxxxxyyyyy(7-3) 依次类推，可得函数的n 阶差分为1111()nnnnxxxxyyyy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1211121( 1)( 1)nnn

4、x nnx nnx nnxxyC yC yCyy 0( 1)nkknx n kkC y (7-4) 其中 !knnCknk这里规定 ，当n取0，1，2，时，上式给出了 的各阶差分。 0( )xxyyy x( )yy x(7-4)还告诉我们： 的n阶差分就是函数 ， ， 的线性组合，其系数依次取二项式 展开式对应项的系数，其中 的系数为 ( )yy x()y xn(1)y x( )y xnaby xnk1,0,1,kknCkn机动 目录 上页 下页 返回 结束 由定义可知，函数 的差分仍是x的函数，因此函数 的各函数值也可表示为 及其各阶差分的线性组合。( )yy xxy( )yy x事实上(7

5、-1), (7-2) ,(7-3), (7-4)可改写为 1xxxyyy (7-5) 211222xxxxxxxxxxyyyyyyyyyy (7-6) 3222333xxxxxxxyyyyyyy (7-7) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 122110nnnx nxnxnxnxxnkknxkyyCyCyCyyCy(7-8) 根据差分的定义，容易得到下述差分运算法则：（1） ( )0C（C为常数） （2） ()xxCyC y（C为常数） （3） ()xxxxaybza yb z (a, b为常数） （4） 1()xxxxxxyzyzzy1xxxxyzzy（5） 1()(其 中 z0)xxxx

6、xxxxxyzyyzzzz机动 目录 上页 下页 返回 结束 111zxxxxxxyyzzz这里我们试证运算法则（5）：111111111111111()()()()xxxxxxxxxxzzxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxyyyyzy zzzzzzyzy zy zy zzzyzy zy zy zzzyyzyzzzzzyyzzz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 设 2xyx， 求xy解解 221(1)21xxxyyyxxx例例2 设 xyx（ 为常数）， 0,x求.xy解解 11(1)(1)1xxxyyyxxxx在例2中，若 n（n为正整数）， 当

7、 1,n xyx，则 1xy；当 2,n 2xyx则 21.xyx一般地，若 nyx，则 1(1)nnnkn kxnkyxxC x机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 已知 22342 ,求和.xxyxyy解解 24 ()(2)4(21)084xyxxx 2212xxxxyyyy2224(2)22 412428xxx或者 2848xxyyx 32()(8)0 xxyy 由例3可知，对于k次多项式的k阶差分为常数，而(k+1)阶以上的差分均为零。机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 设 xxya(0a1),求.xy解解 11(1)xxxxxxyyyaaaa由例4可以看出，指数函数的差

8、分还是指数函数这一性质。 如 37 ,xxxy 2 36 7 ,xxxy 24 336 7 .xxxy例例5 求函数 的一阶差分。 23( )223xf xxx解解 设 ，由差分的运算法则，有 ( )xyf x2323212221222(223)(2 )2 ()(3)(2 )2()2(331)0(2 1)22(21)662(42)2662xxxxxxxxyxxxxxxxxxxxxxxxx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6求函数 的一阶差分。 51xxyx解解 由运算法则（5） 5(1)5(1)(1)(2)xxxxxyxx则 24 5(1)5 1435(1)(2)32xxxxxxyxx

9、xx机动 目录 上页 下页 返回 结束 二差分方程的概念二差分方程的概念1差分方程的定义定义定义 表示自变量、未知函数及未知函数差分之间关系的方程，称为差分方程，其一般形式为2( ,)0nxxxxx yyyy (7-9) 或12( ,)0 xxxx nx yyyy(7-10) 或 12( ,)0 xxxx nx yyyy(7-11) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由差分的定义及性质可知，差分方程的不同形式之间可以互相转换，故上述(7-9) ,(7-10), (7-11)三种不同的表达形式是等价的。例如，差分方程 2473xxxxyyy21243xxxxyyy1212439xxxxyyy为

10、同一方程的三种不同表达式.2差分方程的阶定义定义 差分方程中所含未知函数的差分的实际最高阶数，称为该差分方程的阶。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应该注意：由于差分方程的不同形式可互相转化，因此差分方程的阶数就不能简单地从形式上出现的最高阶差分的阶数来确定，这与确定微分方程的阶数是不同的。通常对于用未知函数下标表示的差分方程，其阶数等于方程中含未知函数下标的最大值和最小值之差。例如，差分方程 5324320 xxxyyy就是 阶的，而不是5阶。事实上，作 变换，便可得未知函数 的差分方程 (5)(2)3xx2xxxy314320 xxxyyy机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如，差分

11、方程 ，虽然形式上显含三阶差分 ，但实际上它只是二阶差分方程。这是因为 310 xxyy 3xy33213211(33)1331xxxxxxxxxxyyyyyyyyyy 作变换 ，原方程可等价与下面的二阶差分方程1xx213310 xxxyyy 3线性差分方程定义定义 如果差分方程的因变量出现在一次式中，则称该方程为线性差分方程。机动 目录 上页 下页 返回 结束 一个n阶线性差分方程可写成01111( )( )( )( )( )x nx nnxnxa x ya x yax yax yf x (7-12) 其中 为已知函数。011( ),( ),( ),( ),( )nna x a xax a

12、xf x4差分方程的解、通解、初始条件、特解。定义定义 满足差分方程的函数，称为该方程的解。 定义定义 若差分方程的解中，所含相互独立的任意常数的个数与该差分方程的阶数相等，则这样的解称为差分方程的通解。 为了完全准确地反映某一事物在变化过程中的客观规律性，可根据该事物在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件。机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义定义 这种用于确定通解中任意常数的附加条件称为初始条件。 定义定义 通解中的任意常数被确定后所得的解，称为差分方程满足初始条件的特解。 一般地，n阶差分方程通解中含有n个相互独立的任意常数，要确定这些常数，就必须n有个初始条件：0000,xx

13、 xxxx xxyyyy 0022xx xxyy 0011nnxx xxyy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 证明 是一阶差分方程 的解，并求当时 的特解。 xyxC11xxyy01y 证明证明 设 xyxC则 1(1)()1xxyyxCxC 因此 xyxC是方程的解。用 0,1xy代入得 1C 所以 1xyx是满足 01y 的特解。 例例2 证明 12( 1)xxyCC是二阶差分方程 20 xxyy的解，并求当 012,5yy时的特解。 证明证明 设 12( 1)xxyCC，则 22121222( 1)( 1)( 1)( 1)0 xxxxxxyyCCCCC 机动 目录 上页 下页

14、 返回 结束 因此 12( 1)xxyCC是解 用 0,2,1,5xyxy代入 121225CCCC解得 1273,22CC 所以73( 1)22xxy 是满足 012,5yy的特解。 三常系数线性差分方程的解的结构三常系数线性差分方程的解的结构 为了求解差分方程，以后出现的差分方程均以未知函数含有下标的形式出现。由(7-12)可知一个n阶线性差分方程可写成 01111( )( )( )( )( )x nx nnxnxa x ya x yax yax yf x 机动 目录 上页 下页 返回 结束 其中 011( ),( ),( ),( ),( )nna x a xax axf x为已知函数。

15、若 ( )0f x ，则此方程(7-12)称为n阶线性齐次差分方程 .若 ( )0f x ，则此方程(7-12)称为n阶线性非齐次差分方程。 非齐次方程： 01111( )x nx nnxnxa ya yaya yf x (7-13) 式中 (0,1,2, )iain为常数 0,0na a 若差分方程(7-12)中各项 ( ) (0,1,2, )ia xin 均为常数，则该方程称为常系数线性差分方程。n阶常系数线性差分方程的一般形式为齐次方程： 0(,0)na a 011110 x nx nnxnxa ya yaya y (7-14) 称为方程(7-13)所对应的n阶常系数线性齐次差分方程。

16、机动 目录 上页 下页 返回 结束 n阶常系数线性差分方程的解与n阶常系数线性微分方程的解类似，也有如下基本性质： 定理定理8.5 若函数 均是线性齐次方程 (7-14)的解，则这k个函数的线性组合 (1)(2)( ),kxxxyyy(1)(2)( )12kxxxkxyC yC yC y也是该方程(7-14)的解，其中 为任意常数。 12,kC CC定理定理8.6 若函数 是齐次方程(7-14)的n个线性无关的特解，则 (1)(2)( ),nxxxyyy(1)(2)( )12nxxxnxYC yC yC y就是齐次方程(7-14)的通解，其中 为任意常数。12,nC CC机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理8.7 若 是非齐次方程(7-13)的一个特解， 是方程(7-13)所对应的齐次方程(7-14)的通解，则非齐次方程(7-13) 的通解为 *xyxY*xxxyYy(7-15) 定理定理8.8 若函数 和 分别是线性非齐次差分方程 (1)*xy(2)*xy011111( )x nx nnxnxa ya yaya yf x 011112( )x nx nnxnxa ya yaya yfx 的特解，则函数 (1)*(2)*xxx