第一章 函数与极限(正式1)

1、刘国良刘国良：1897078642018970786420本门学科所任课教师介绍本门学科所任课教师介绍考核方式介绍考核方式介绍(1)(1)理论考核占理论考核占70%70%，平时考核占，平时考核占30%30%。(2)(2)理论考核采取理论考核采取期末考试期末考试的方式。的方式。(3)(3)考勤考勤旷课：旷课：首次扣首次扣5 5分分，第，第2 2次扣次扣1010分分，依此类推；，依此类推；迟到：迟到：首次扣首次扣3 3分分，第，第2 2次扣次扣6 6分分，依此类推，依此类推。授课进度安排授课进度安排授课内容授课内容授课学时授课学时第一章第一章 函数与极限函数与极限8第二章第二章 导数与微分导数与微

2、分10第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用8第四章第四章 不定积分不定积分8第五章第五章 定积分定积分8第六章第六章 定积分的应用定积分的应用6考试考试2引引 言言一、什么是高等数学？一、什么是高等数学？初等数学初等数学 研究对象为研究对象为常量常量, 以静止观点研究问题以静止观点研究问题.高等数学高等数学 研究对象为研究对象为变量变量, 运动运动和和辩证法辩证法进入了数学进入了数学.数学中的数学中的转折点转折点是是笛卡儿笛卡儿的的变数变数。有了变数有了变数 , 运动运动进入了数学进入了数学,有了变数，有了变数，辩证法辩证法进入了数学进入了数学 ,有了变数有了变数 ,

3、 微分和积分微分和积分也就立刻成也就立刻成为必要的了为必要的了,而它们也就立刻产生。而它们也就立刻产生。恩格斯恩格斯1. 分析基础：函数分析基础：函数 , 极限极限 , 连续连续 2. 微积分学：一元函数微积分微积分学：一元函数微积分(上册上册)(下册下册)3. 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何4. 无穷级数无穷级数5. 常微分方程常微分方程主要内容主要内容多元函数微积分多元函数微积分二、如何学习高等数学？二、如何学习高等数学？1. 认识高等数学的重要性认识高等数学的重要性, 培养浓厚的学习兴趣。培养浓厚的学习兴趣。2. 学数学最好的方式是做数学。学数学最好的方式是做数学。聪明在于

4、学习，天才在于积累。聪明在于学习，天才在于积累。学而优则用，学而优则创。学而优则用，学而优则创。由薄到厚，由厚到薄。由薄到厚，由厚到薄。马克思马克思 恩格斯恩格斯要辨证而又唯物地了解自然，要辨证而又唯物地了解自然，就必须熟悉数学。就必须熟悉数学。一门科学一门科学, , 只有当它成功地运用数学时只有当它成功地运用数学时, ,才能达到真正完善的地步。才能达到真正完善的地步。华罗庚华罗庚给出了几何问题的统一笛卡儿笛卡儿 (15961650)法国哲学家, 数学家, 物理学家, 他 是解析几何奠基人之一 . 1637年他发表的几何学论文分析了几何学与 代数学的优缺点, 进而提出了 “ 另外 一种包含这两

5、门科学的优点而避免其缺点的方法”, 从而提出了解析几何学的主要思想和方法, 恩格斯把它称为数学中的转折点.把几何问题化成代数问题 ,作图法,华罗庚华罗庚(19101985)我国在国际上享有盛誉的数学家.他在解析数论,自守函数论,高维数值积分等广泛的数学领域中,程,都作出了卓越的贡献 ,发表专著与学术论文近 300 篇.偏微分方多复变函数论,矩阵几何学, 典型群,他对青年学生的成长非常关心, 他提出治学之道是 “ 宽宽, 专专, 漫漫 ”, 即基础要宽, 专业要专, 要使自己的专业知识漫到其它领域. 1984年来中国矿业大学视察时给给师生题词: “ 学而优则用学而优则用, 学而优则创学而优则创

6、”.第一章第一章 函数与极限函数与极限分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象 研究方法 研究桥梁一、教学目的与要求一、教学目的与要求1.理解函数的概念；理解函数的概念；2.了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念。理解复合函数及分段函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。掌握基本初等函数的性质及其图形。5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运

7、算法则。掌握极限的性质及四则运算法则。7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的

8、性质并会应用这些性质数的性质并会应用这些性质 教学重点：教学重点：1复合函数及分段函数的概念；复合函数及分段函数的概念；2基本初等函数的性质及其图形；基本初等函数的性质及其图形；3极限的概念极限的性质及四则运算法则；极限的概念极限的性质及四则运算法则；4两个重要极限；两个重要极限；5无穷小及无穷小的比较；无穷小及无穷小的比较；6函数连续性及初等函数的连续性；函数连续性及初等函数的连续性；7区间上连续函数的性质。区间上连续函数的性质。教学难点：教学难点：1分段函数的建立与性质；分段函数的建立与性质；2左极限与右极限概念及应用；左极限与右极限概念及应用；3极限存在的两个准则的应用；极限存在的两个准

9、则的应用；4间断点及其分类；间断点及其分类；5闭区间上连续函数性质的应用。闭区间上连续函数性质的应用。二、教学重点、难点二、教学重点、难点课外作业课外作业习题习题1-1 10；11；14(2)(4)；15(1)(3)习题习题1-2 1 (2)(4)(6)(8)习题习题1-3 3；4；7；9 习题习题1-4 3；4 (1)；6习题习题1-5 1 (1)(5)(7)(10)(11)(14)；2(1)(3)；3(1)；5习题习题1-6 1(2)(5)(6)；2(2)(3)(4)；4(1)(2)习题习题1-7 2；4 (1)(3) (4)习题习题1-8 3(2)(4)；5 习题习题1-9 3(5)(6

10、)(7)；4(2)(4)(6)；6习题习题1-10 2；3；5 第一章 二、映射二、映射 三、函数三、函数 一、集合一、集合第一节第一节 映射与函数映射与函数元素元素 a 属于集合属于集合 M , 记作记作元素元素 a 不属于集合不属于集合 M , 记作记作一、集合一、集合1.1.定义及表示法定义及表示法定义定义 1 具有具有某种特定性质某种特定性质的事物的总体称为的事物的总体称为集合集合。组成集合的事物称为组成集合的事物称为元素元素。不含任何元素不含任何元素的集合称为的集合称为空集空集 , 记作记作 。Ma( 或Ma) .Ma注注: M 为数集为数集 *M表示表示 M 中排除中排除 0 的集

11、的集;M表示表示 M 中排除中排除 0 与与负数负数的集的集.表示法表示法(1) 列举法列举法：按某种方式列出集合中的全体元素按某种方式列出集合中的全体元素 .例例:自然数集自然数集,2,1,0Nnn(2) 描述法：描述法： xM x 所具有的特征所具有的特征例例: 整数集合整数集合 ZxNx或Nx有理数集有理数集qpQ,N,Zqp p 与与 q 互质互质实数集合实数集合 Rx x 为有理数或无理数为有理数或无理数开区间开区间 ),(xbabxa闭区间闭区间 ,xbabxa ),xbabxa ,(xbabxa无限区间无限区间 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx半开区间半开区间区间区间o

12、axobx ),(Uxa点的点的 邻域邻域 ),(xaaxa xaxax0其中其中, a 称为称为邻域中心邻域中心 , 称为称为邻域半径邻域半径 .去心 邻域邻域左左 邻域邻域 :, ),(aa右右 邻域邻域 :. ),(aa邻域邻域xa a a 是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2.2.集合之间的关系及运算集合之间的关系及运算定义2 则称 A.BA若BA,AB 且则称 A 与 B 相等,.BA 例如例如 ,ZNQZRQ显然有下列关系显然有下列关系 :;) 1 (AA;AA BA)2(CB 且CA , ,A若Ax,Bx设有集合,BA记作记作必有AcABB定义定义 3 给定两个集合给定两

13、个集合 A, B, 并集并集 xBAAx交集交集 xBAAxBx且且差集差集 xBAAxBx且且定义下列定义下列运算运算:ABBA余集余集)(ABBABcA其中直积直积 ),(yxBA,AxBy特例特例:RR记记2R为平面上的全体点集为平面上的全体点集ABABBABABx或或定义定义4 设设 X , Y 是两个非空集合是两个非空集合, 若存在一个对应规若存在一个对应规则则 f , 使得,Xx有唯一确定的Yy与之对应 , 则则称称 f 为从为从 X 到到 Y 的的映射映射,记作记作.:YXf元素y称为元素x在映射 f 下的像像 ,记作).(xfy 元素x称为元素y在映射 f 下的原像原像 .XY

14、fxy二、映射二、映射常见的三种映射：常见的三种映射：满射、单射、一一映射满射、单射、一一映射两类特殊的映射：两类特殊的映射：逆映射逆映射和和复合映射复合映射X (数集 或点集 ) 说明说明:在不同数学分支中有不同的惯用 X ( ) Y (数集)f f 称为X上的泛函X ( ) X f f 称为X上的变换 R f f 称为定义在 X 上的为函数映射映射又称为算子算子. 名称。例如, 定义域三、函数三、函数1.1.函数的概念函数的概念 定义定义4. 设数集设数集,RD则称映射则称映射R:Df为定义在为定义在D上的函数上的函数 , 记为记为Dxxfy, )( f (D) 称为值域称为值域 函数图形

15、函数图形: ),(yxC Dx, )(xfy xy) ,(baDabxy)(DfD自变量因变量2.2.函数的几种特性函数的几种特性设函数, )(Dxxfy且有区间.DI (1)(1)有界性有界性,Dx,0M使,)(Mxf称 )(xf, Ix,0M使,)(Mxf称 )(xf说明说明: 还可定义有上界、有下界、无界 为有界函数.在 I 上有界. ,Dx使若对任意正数 M , 均存在 ,)(Mxf则称 f (x) 无界无界.称 为有上界有上界称 为有下界有下界,)(,Mxf),(,xfM 当(2)(2)单调性单调性,21Ixx21xx 时时, )()(21xfxf若称称 )(xf为为 I 上的上的,

16、 )()(21xfxf若称称 )(xf为为 I 上的上的单调增函数；单调增函数；单调减函数。单调减函数。xy1x2xxyoxx(3)(3)奇偶性奇偶性,Dx且有且有,Dx若若, )()(xfxf则称则称 f (x)为为偶函数偶函数;若若, )()(xfxf则称则称 f (x)为为奇函数奇函数. 说明说明: 若若)(xf在在x = 0有定义有定义 ,. 0)0(f)(xf为奇函数时为奇函数时,则当必有必有例如,2)(xxeexfyxch 偶函数偶函数xyoxexexych双曲余弦 记l奇函数和偶函数的性质奇函数和偶函数的性质1.1.两偶两偶( (奇奇) )函数的和为偶函数的和为偶( (奇奇) )

17、函数函数( (和为同性和为同性) )2.2.两偶两偶( (奇奇) )函数的积为函数的积为偶函数偶函数。3.3.偶函数与奇函数之积为奇函数偶函数与奇函数之积为奇函数( (同积为偶同积为偶, ,异积为奇异积为奇) )4.4.奇奇函数的图形关于函数的图形关于坐标原点坐标原点对称，对称，偶偶函数的图形关于函数的图形关于y轴轴对称对称。说明说明：若若f(x)在在x=0有定义有定义,则当则当f(x)为奇函数时，必为奇函数时，必有有f(0)=0例例2 2 指出下列函数在其定义域内哪些是奇函数指出下列函数在其定义域内哪些是奇函数, , 哪哪些是偶函数。些是偶函数。1) y = sinx2) y = cosx3

18、) y = x4) y = x + x45) y = | x |6) y = 5)1ln( )72xx 1)、3)、7)为奇函数为奇函数, , 解解: :4)为非奇非偶函数为非奇非偶函数。2)、5)、6)为偶函数为偶函数, , (4)周期性周期性,0,lDx且且,Dlx)()(xflxf则称则称)(xf为为周期函数周期函数 ,to)(tf22xo2y2若若称称 l 为为周期周期 ( 一般指一般指最小正周期最小正周期 ).周期为周期为 周期为周期为2注注: 周期函数不一定存在周期函数不一定存在最小正周期最小正周期。例如例如, 常量函数常量函数Cxf)(狄里克雷函数狄里克雷函数)(xfx 为有理数

19、为有理数x 为无理数为无理数, 1,0例例3 3 哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期。(1) y=cos(x- -2) (2) y=cos4x (3) y=1+sin x(4) y=xcosx (5) y=sin2x解：解：(1)(1)周期为周期为2；(2)(2)周期为周期为/2；(3)(3)周期为周期为2；(4)(4)非周期函数；非周期函数；(5)(5)周期为周期为, , 因为因为 )2cos1 (21sin2xx1),(Duufy,),(Dxxgu1)(DDg且则Dxxgfy, )(设有函数链设有函数链称为由, 确定的复合函数 , u称为中间变

20、量. 注意: 构成复合函数的条件 1)(DDg不可少. 3.3.复合函数复合函数理解：理解：1.1.两个函数复合要满足复合条件；两个函数复合要满足复合条件；2.2.中间变量可以多个；中间变量可以多个；3.3.复合函数分解不唯一。复合函数分解不唯一。注意注意：并不是所有的两个函数均可组成复合函数，并不是所有的两个函数均可组成复合函数，如函数如函数 y=arcsinu，u=2+x2 不能构成复合函数。不能构成复合函数。4.4.初等函数初等函数(1)(1)基本初等函数基本初等函数幂函数、幂函数、 指数函数、指数函数、 对数函数、对数函数、 三角函数、三角函数、 反三角函数反三角函数.1)1)幂函数幂

21、函数)( 是常数xy 2xy xy oxyxy xy1 11)1 , 1(2)2)指数函数指数函数),(),1, 0(aaayxy0a1xo3)3)对数函数对数函数), 0(),1, 0(log aaxyaxoa10a 0,1当 x = 0,0当 x N 时时, 总有总有记作记作此时也称数列此时也称数列收敛收敛, 否则称数列否则称数列发散发散。几何解释几何解释 :aaa)(axan)(Nn 即),(axn)(Nn axnnlim或)(naxn1Nx2Nxaxn则称该数列则称该数列nx的极限为的极限为 a ,例如例如,1,43,32,21nn1nnxn)(1n,) 1(,43,34,21,21n

22、nnnnxnn1) 1()(1 n,2,8,4,2nnnx2)(n,) 1( ,1,1,11n1) 1(nnx趋势不定收收 敛敛发 散nxn1)1( 212)2(nxn nnx)21()3( 5)4(nx例例4 4 观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：观察下列数列的变化趋势，写出它们的极限：解：解：计算出数列的前几项，考察当计算出数列的前几项，考察当n时数列的时数列的变化趋势，可看出它们的极限分别是：变化趋势，可看出它们的极限分别是：01limlim) 1 ( nxnnn2)12(limlim)2(2 nxnnn0)21(limlim) 3( nnnnx55limlim) 4( nnnx一

23、般有，有下述结论：一般有，有下述结论：)0(01lim)1( nn)1|(|0lim)2( qqnnCCn lim)3(例例5 已知,) 1(nnxnn证明数列nx的极限为1. 证证: 1nx1) 1(nnnn1,0欲使,1nx即,1n只要1n因此 , 取, 1N则当Nn 时, 就有1) 1(nnn故1) 1(limlimnnxnnnn二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质1.1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一定理定理1 1（唯一性）（唯一性） 若数列若数列xn收敛，则数列收敛，则数列xn的极限是唯一的。的极限是唯一的。 2.2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界说明说明: 此性质反过来此性

24、质反过来不一定不一定成立。成立。例如例如,1)1(n虽有界但不收敛。虽有界但不收敛。数列数列定理定理2 2（有界性）（有界性）若数列若数列xn收敛，则数列收敛，则数列xn一一定有界。定有界。 3.3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性若,limaxnn且0a,NN则Nn 当时, 有0nx, )0(. )0(推论推论: 若数列从某项起若数列从某项起0nx,limaxnn且0a则)0(. )0(用反证法证明用反证法证明)定理定理34.4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限. .由此性质可知由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于若数列有两个子数列收敛于不同的极不同

25、的极限限 ,例如，例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散发散 !则原数列一定发散则原数列一定发散 .说明说明: 定理定理4（有界性）（有界性）若数列若数列xn收敛于收敛于a，则它的任一则它的任一子数列也收敛，且极限也是子数列也收敛，且极限也是a。 内容小结内容小结1. 数列极限的数列极限的 “ N ” 定义及应定义及应用用2. 收敛数列的性质收敛数列的性质:唯一性唯一性 ; 有界性有界性 ; 保号性保号性;任一子数列收敛于同一极限任一子数列收敛于同一极限思考题思考题1. 如何判断极限不存在如何判断极限不存在?方法方法1. 找一个趋于找一个趋于的子数列

26、的子数列;方法方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列找两个收敛于不同极限的子数列.2. 已知已知),2, 1(21,111nxxxnn, 求求nnxlim时时, 下述作法是否正确下述作法是否正确? 说明理由说明理由.设设,limaxnn由递推式两边取极限得由递推式两边取极限得aa211a不对不对!此处此处nnxlim作作 业业习题习题1-21-2 1 (2)(4)(6)(8) 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节第三节 函数的极限函数的极限 0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(对对 y=f(x) 自变量变化过程的自变量变化过程

27、的六种六种形式形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积测量正方形面积.面积为A )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 , 要求 Ax2确定直接观测值精度 :0 xx0 xAx定义定义1 . 设函数设函数)(xf在点在点0 x的某的某去心邻域去心邻域内有定义内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 Axf)(则称常数A为函数)(xf当0 xx 时的极限极限,Axfxx)(lim0或)(

28、)(0 xxAxf当即,0,0当),(0 xx时, 有若记作 Axf)(Axfxx)(lim0几何解释几何解释:0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 极限存在函数局部有界(P36定理2)这表明: 例例1 证明1)12(lim1xx证明证明:Axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时 , 必有1) 12()(xAxf因此,)( Axf只要,21x1)12(lim1xx2.2.保号性定理保号性定理定理定理1 . 若,)(lim0Axfxx且 A 0 ,),(0时使当xx. 0)(xf)0)(xf则存在( A 0 ,000 xx一切满足不等式的 x , 总有则称函数)(xf当0 x

29、x 时为无穷大, 使对.)(lim0 xfxx若在定义中将 式改为Mxf)(则记作)(lim)(0 xfxxx)(lim()(0 xfxxx)(Xx )(x)(lim(xfx(正数正数 X ) ,记作, )(Mxf总存在注意注意:例如例如, 函数),(,cos)(xxxxf)2(nf)(n当n2但0)(2nf所以 x时,f(x)不是无穷大 !oxyxxycos1.1.无穷大是变量，不能与很大的数混淆无穷大是变量，不能与很大的数混淆; ;3. 3. 无穷大是一种特殊的无界变量，但是无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界无界变量未必是无穷大变量未必是无穷大。 )(lim0 xfxx2.勿将认为极限存

30、在认为极限存在4.4.变量是无穷大必须指明其变量是无穷大必须指明其变化趋势变化趋势。三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系若若)(xf为无穷大为无穷大,)(1xf为无穷小为无穷小 ;若若)(xf为无穷小为无穷小, 且且,0)(xf则则)(1xf为无穷大为无穷大.则则据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.定理定理2. 在自变量的同一变化过程中在自变量的同一变化过程中,说明说明:内容小结内容小结1. 无穷小与无穷大的定义2. 无穷小与函数极限的关系3. 无穷小与无穷大的关系思考与练习思考与练习两个无穷小的商一定是无穷小吗？作业作业习题习题1-41-4 3；4 (1)；6

31、 第一章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第五节第五节 极限运算法则极限运算法则一、无穷小运算法则一、无穷小运算法则定理定理1 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .注意：注意：无穷多个无穷小的代数和无穷多个无穷小的代数和未必未必是无穷小是无穷小。)21(lim222nnnnn 例如定理定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论3 有限个无穷小的乘积是无穷小有

32、限个无穷小的乘积是无穷小 .推论推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小。乘积是无穷小。注意：注意：无穷多个无穷小的乘积无穷多个无穷小的乘积未必未必是无穷小是无穷小。二、极限的四则运算法则二、极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA定理定理 3 . 若)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA若 B0 , 则)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA(1)(2)(3)推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数 )推论推论 2 .

33、nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数 )定理定理4 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf则.BA( P45 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保号性定理证明 .说明说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示提示: 令定理定理5 若,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因为数列是一种特殊的函数 , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .例例5 求求.4532lim21xxxx解解: x =1 时3245lim

34、21xxxx031241512 4532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因解解例例4 4 求求521lim xxx5)00(型型(消去零因子法消去零因子法)521lim5 xxx)21)(5(5lim5x xxx21lim5x x141先分母有理化，消掉先分母有理化，消掉x- - 5，即可得，即可得x5时，分子、分母的极限都是零时，分子、分母的极限都是零例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x时,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x则54分母“ 抓大头抓大头”原式原式一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数

35、)nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当三、复合函数的极限运算法则三、复合函数的极限运算法则定理定理6 设函数设函数y=f g(x)是由函数是由函数u=g(x)与函数与函数y=f(u)复合而成，复合而成，f g(x)在点在点x0的某的某去心邻域去心邻域内有定义，若内有定义，若,)(lim,)(lim000Aufuxguuxx 且存在000 xx时,有,)(0uxg 则 )(lim0 xgfxxAufau)(lim, 00 当 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xgxx则类似可得 )(lim0 xgfxxAufu)

36、(lim例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2内容小结内容小结1. 极限运算法则(1) 无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5T

37、h7思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 为什么 ?答答: 不存在 . 否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知)(limxg存在 , 与已知条件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问3. 求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t4. 试确定常数试确定常数 a 使使.0)1

38、(lim33xaxx解解 : 令,1xt 则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此作业作业习题习题1-51-5 1 (1)(5)(7)(10)(11)(14)；2(1)(3)；3(1)；5备用题备用题 设)(xf解解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式 , 得xxfx)(lim30可见0,3ba是多项式 , 且,22)(lim23xxxfx,3)(lim0 xxfx求. )(xf)(lim0 xbax故xxxxf322)(23二、二、 两个重要极限两个重要极限 一、极限存在准则一、极限存在准则第六节第六节 极限存在准则及

39、两个重要极限极限存在准则及两个重要极限 第一章 一、极限存在准则一、极限存在准则夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则; 柯西审敛准则柯西审敛准则 .azynnnnlimlim)2(1.1.夹逼准则夹逼准则 ( (准则准则) )nnnzxy axnnlim若数列若数列xn , yn及及 zn 满足下列条件：满足下列条件：(1)从某项起，即从某项起，即,0Nn 当nn0时，有那么数列那么数列xn的极限存在，且的极限存在，且Axhxgxxxxxx )(lim)(lim)2()()(00)()()(xgxfxg 如果如果(1)当当),(0rxUx (或|x|M)时，那么那么准则准则存在，且等于

40、存在，且等于A。)(lim)(0 xfxxx 例例1 证明11211lim222nnnnnn证证: 利用夹逼准则利用夹逼准则 .nnnnn2221211nnn2222nn且nnnn22limnn11lim122limnnn211limnn1nnlimnnnn22212111由例例2 求求).12111(lim222nnnnn 解解,11112222 nnnnnnnnnnnn2lim又, 1 1lim2nnn, 1 由由夹逼准则夹逼准则得得. 1)12111(lim222 nnnnnnn111lim2111limnnnnnn1)321(lim 33)33()321()3(1111 nnnnnnn

41、n33lim)3(lim1 nnnn3)321(lim1 nnnn故由夹逼准则，得故由夹逼准则，得解：解：因为因为备用例备用例：求：求, 33lim333lim)33(lim111 nnnnnnn而2.2.单调有界准则单调有界准则Mxxxxnn121mxxxxnn121)(limMaxnn)(limmbxnnnx1nxM1x2xxmnx1nx1x2xxab准则准则 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限,222,22,2321 xxxnnx lim, 22222, 2221 xx证明：证明：显然该数列为单调递增数列。显然该数列为单调递增数列。现在来证明数列xn有上界。故数列故数列xn有上界。

42、有上界。, 2222223 x), 3 , 2 , 1(2222221 nxxnn用数学归纳法得用数学归纳法得因为试证明试证明存在，并求极限值。存在，并求极限值。,222221 nnxx设设例例3设极限为设极限为B，即，即Bxnnlim12 nnxxBxBxnnnnn122lim,lim,则令2lim nnx于是得 B2=2+B,解出B=2，- -1由于xn0，故B=2，B=-1(舍去）.所以将两端平方，得122 nnxx*3. 柯西极限存在准则柯西极限存在准则(柯西审敛原理柯西审敛原理) (P55)数列nx极限存在的充要条件是:,0存在正整数 N ,使当NnNm,时,mnxx有1sincos

43、xxx圆扇形圆扇形AOB的面积的面积二、两个重要极限二、两个重要极限 1sinlim. 10 xxx证证: 当即xsin21x21xtan21亦即)0(tansin2xxxx),0(2x时，)0(2 x, 1coslim0 xx1sinlim0 xxx显然有AOB 的面积AOD的面积DCBAx1oxxxcos1sin1故有注注当20 x时xxcos1cos102sin22x222x22x0)cos1(lim0 xx注注例例2. 求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例例3. 求.cos1lim20 x

44、xx解解: 原式 =2220sin2limxxx21212120sinlimx2x2x21例例4 求求xx1sinlimx 解：解：令令xt1,当当x时，时，t0，所以，所以xx1sinlimxxx11sinlimxttsinlim0t1nnnRcossinlim2Rn例例5. 已知圆内接正已知圆内接正 n 边形面积为边形面积为证明: .lim2RAnn证证: nnAlimnnnnRnAcossin22R说明说明: 计算中注意利用1)()(sinlim0)(xxx2.exxx)1(lim1证证: 当0 x时, 设, 1nxn则xx)1 (111)1 (nnnn)1 (11nnn)1 (lim1

45、1 limn111)1 (nn111ne11)1 (limnnn1)1(lim11）（nnnneexxx)1(lim1当x, ) 1( tx则,t从而有xxx)1 (lim1) 1(11)1 (limttt) 1(1)(limtttt11)1 (limttt)1 ()1(lim11tttte故exxx)1 (lim1说明说明: 此极限也可写为ezzz1)1 (lim0时, 令例例6. 求.)1 (lim1xxx解解: 令,xt则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用,)1 (lim)()(1)(exxx则 原式111)1 (limexxx

46、limx例例7. 求求.)1cos1(sinlimxxxx 解解: 原式 =2)1cos1(sinlim2xxxx 2)2sin1(limxxx )sin1(2xexx22sinx2sin1axeeaxax lim:求求思思考考题题axeeaxaxlim:解axeeaxaxa1limteeaxttta1lim0令) 1ln(lim10uueeuuat令) 1ln(11lim0uueuauuaue10) 1ln(1limuuaue10) 1ln(lim1ae内容小结内容小结1.极限存在定理(1) 夹逼准则夹逼准则(2) 单调有界准则单调有界准则(3)柯西极限存在准则柯西极限存在准则2.两个重要极

47、限1sinlim) 1 (0e)11(lim)2(或e1)1(lim0注注: 代表相同的表达式思考与练习思考与练习填空题填空题 ( 14 );_sinlim. 1xxx;_1sinlim. 2xxx;_1sinlim. 30 xxx;_)11 (lim. 4nnn0101e作业作业 习题习题1-61-6 1(2)(5)(6)；2(2)(3)(4)；4(1)(2) 第一章 ,0时xxxxsin,32都是无穷小,第七节第七节 无穷小的比较无穷小的比较引例引例 .xxx3lim20,020sinlimxxx,xxx3sinlim0,31但 可见无穷小趋于 0 的速度是多样的 . ,0limCk定义定

48、义.,0lim若则称 是比 高阶高阶的无穷小,)(o,lim若若若, 1lim若,0limC或,设是自变量同一变化过程中的无穷小,记作则称 是比 低阶低阶的无穷小;则称 是 的同阶同阶无穷小;则称 是关于 的 k 阶阶无穷小;则称 是 的等价等价无穷小, 记作例如例如 , 当)(o0 x时3x26xxsin;xxtan;xxarcsinx20cos1limxxx220sin2limxx又如又如 ，22)(4x21故0 x时xcos1是关于 x 的二阶无穷小,xcos1221x且例例1. 证明: 当0 x时,11nxxn1证证: lim0 x11nxxn10limx11nnxxn111nnx21

49、nnx11,0时当 x11nxxn1nnba)(ba1(naban 2)1nb定理定理1 与与是是等价无穷小等价无穷小的充分必要条件为的充分必要条件为)(o例如例如,0 时x,sinxx,tanxx故,0 时x, )(sinxoxx)(tanxoxx常用等价无穷小常用等价无穷小: :,0时时当当 x.21cos1,1,)1ln(,arctan,tan,arcsin,sin2xxxexxxxxxxxxxx 用等价无穷小可给出函数的近似表达式用等价无穷小可给出函数的近似表达式: :定理定理2 . 设,且lim存在 , 则lim lim定理定理( (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理) )设对同一

50、变化过程 , , 为无穷小 ,说明说明:无穷小的性质, 由等价可得简化某些极限运算的下述规则. (1)和差取大规则和差取大规则: 若 = o() , (2)和差代替规则和差代替规则: ,不等价与且若,则例如例如,xxxx3sinlim30 xxx3lim031则,limlim且.时此结论未必成立但例如例如,11sin2tanlim0 xxxxxxxx2102lim2.sintanlim30 xxxx30limxxxx原式30)cos1 (tanlimxxxx2132210limxxxx例例1. 求解解: 原式 (3)(3)因式代替规则因式代替规则: :极限存在或有且若)(,x界界, 则则)(l

51、imx)(limx例如,01sinlim1sinarcsinlim00 xxxxxx231x221x例例2. 求.1cos1)1 (lim3120 xxx解解:,0时当x1)1 (312 x231x1cosx221x0limx原式32内容小结内容小结0lim,0, )0(C,1,0lim Ck1. 无穷小的比较设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 是 的 k 阶无穷小2. 等价无穷小替换定理,0时当 xxsinxtanxarcsin,x,x,xxcos1,221x11nxxn1思考与练习思考与练习Th 2P59 题

52、1 , 2 作业作业 习题习题1-71-7 2；4 (1)(3) (4)常用等价无穷小常用等价无穷小 :二、二、 函数的间断点函数的间断点 一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义 第八节 函数的连续性与间断点 第一章 一、函数连续性的定义一、函数连续性的定义1.函数的增量函数的增量定义定义1 若函数若函数y=f(x)在点在点x0的某一邻域内有定义，当的某一邻域内有定义，当自变量由自变量由x0变到变到x时，函数对应的值由时，函数对应的值由f(x0)变到变到f(x)，则，则差差x - - x0叫作自变量的增量，记作叫作自变量的增量，记作x，即，即x= x- - x0差差f(x)- - f(x0

53、)叫作函数叫作函数y=f(x)在在x0处的处的增量增量，记作，记作y 即即 y= f(x)- - f(x0)定义定义2 设函数设函数y=f(x)在点在点x0的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，若当自变量若当自变量x在点在点x0处的增量处的增量x趋于趋于0时，函数时，函数y=f(x)相应的增量相应的增量y= f(x0+x)- -f(x0)也趋于也趋于0，即，即 ，则称函数，则称函数y=f(x)在点在点x0处连续处连续,并称点并称点x0为函数为函数f(x)的连续点。的连续点。0)()(limlim0000 xfxxfyxx2 2、函数连续性的定义、函数连续性的定义可见 , 函数)(xf在点0

54、x定义定义:)(xfy 在0 x的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点0 x即)(0 xf(2) 极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数连续必须具备下列条件:存在 ;若有定义 ,存在 ;f(x)在在x0连续的几何特征连续的几何特征曲线曲线 y = f (x) 在在 x0 点不断裂。点不断裂。0)(lim0)(0 xfxfxx)()(lim00 xfxfxx连续在点0)(xxf0)()(lim000 xfxxfx例例1 试证试证 , 0, 0, 0,1sin)(xxxxxf证明：证明：xxx1

55、sinlim00.0)(处处连连续续在在 xxf)(lim0 xfx),0(f 证毕证毕在在x=0处连续。处连续。定理定理连续在0)(xxf连续性是函数的连续性是函数的局部性质局部性质。;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf .)(),()0(,),)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf .)(0既左连续又右连续在 xxf例例2 讨论函数讨论函数 , 0, 2, 0, 2)(xxxxxf解解)(lim0 xfx2 ),0(f )(lim0 xfx

56、2 ),0(f f (x)右连续但不左连续右连续但不左连续, ,)2(lim0 xx)2(lim0 xx在在x=0处的连续性。处的连续性。故函数故函数f(x)在点在点x=0处不连续。处不连续。连续函数与连续区间连续函数与连续区间 若若 f(x)在区间在区间 (a,b)内内每一点每一点处都连续，则称处都连续，则称f(x)在区间在区间(a,b)内连续，区间内连续，区间 (a,b)称为称为f(x)的连续区间。的连续区间。 若函数若函数f(x)在区间在区间(a,b)内连续，且在内连续，且在点点a右连续右连续，在在点点b左连续左连续，则称，则称f(x)在闭区间在闭区间a,b上连续。上连续。连续函数的图形

57、在连续区间连续函数的图形在连续区间上上是一条连续而不是一条连续而不间断的曲线间断的曲线。几何特征几何特征例例3 证明函数证明函数 y=sinx 在在 ),(内连续。内连续。证证: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx这说明xysin在),(内连续 .同样可证: 函数xycos在),(内连续。0二、函数的间断点二、函数的间断点(1) 函数函数 f(x) 在在 x0 无定义无定义(2) 函数f(x)在x0虽有定义，但)(lim0 xfxx不存在;(3)函数慢函数慢f(x)在在x0虽有定义，且虽有定义，且)(li

58、m0 xfxx存在 , 但)()(lim00 xfxfxx设设f(x)在点在点x0的某去心邻域内有定义 , 则下列情形这样的点0 x之一函数 f (x) 在点 x0 不连续：称为间断点间断点 . 间断点分类间断点分类: :第一类间断点第一类间断点:)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若称0 x, )()(00 xfxf若称0 x第二类间断点第二类间断点:)(0 xf及)(0 xf中至少一个不存在 ,称0 x若其中有一个为振荡 ,称0 x若其中有一个为,为可去间断点 .为跳跃间断点 .为无穷间断点无穷间断点 .为振荡间断点振荡间断点 .xytan) 1 (2x为其无穷间断

59、点 .0 x为其振荡间断点 .xy1sin) 2(1x为可去间断点 .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin01) 1 (1)(lim1fxfx显然1x为其可去间断点 .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x为其跳跃间断点 .注意：注意：不要以为函数的间断点只能是不要以为函数的间断点只能是个别的几个点。个别的几个点。 , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断，且都是第二类间断点。

60、内每一点处都间断，且都是第二类间断点。 , 1, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxf在定义域在定义域 R内每一点处都间断内每一点处都间断, ,但其绝对值处处连续。但其绝对值处处连续。o1x2x3xyx xfy 判断下列各间断点类型判断下列各间断点类型: :思考题思考题x1为跳跃间断点，为跳跃间断点，x2 2为无穷间断点，为无穷间断点，x3为可去间断点。为可去间断点。x1、x3为第一类间断点，为第一类间断点，x2为第二类间断点。为第二类间断点。例例8 8 当当a取何值时取何值时， , 0, 0,cos)(xxaxxxf解解)(lim0 xfx1)(lim0 xfxa,