高中数学公式汇总

1、高中数学公式结论大全1. 恳巨* o工“討o x毎卫.0Q丿O /h02. Cl(】q 二岛虫UClQUC4U3 二.3. '匚二 ©oqu 月二设仙叫石 的子集个数共有严 个；真子集有y,个；非空子集有甞1个；非空的真子集有2H-2个.一般式1':'_ '" "f II; 顶点式八-、：- ：- '1;当抛物线的顶点坐标时，设为此式 零点式' ''-；当抛物线与轴的交点坐标为二|:丄“；时，设为此式4切线式：" 二".。当抛物线与直线相切且切点的横坐标为时,设为此式 -'

2、1 " 二常有以下转化形式NVZMo / 一 M叮-N<Q M-y H/W>Z7宀亦SO)在靠竝内有且只有一个实根，等价于畑心宀或3护-40。8.闭区间上的二次函数的最值_ h二次函数/(QmC处衣也"在闭区间b占上的最值只能在勿处及区间的两端点处取得，具体如下：(1)当a>0时，假设；广，那么1 =皿)丿叙pg 当 a<0时，假设，那么-*.- -' 1,假设小討，那么/唤珂/处/，/y=mm如J.，； -':0的实根分布p2 艺皿1方程/W = °在区间临皿内有根的充要条件为/欄<0或I 22方程$-在区间'

3、;内有根的充要条件为p拠十左懣 <-<2 2加十用pS- CK22尹=一韧壬Q*声4孑王0/(«) >0_/帥)x 0/W/W <0或或Wp2 _4? 2.0-j3方程煮小=°在区间F熾内有根的充要条件为于旳vU或I 2.10.定区间上含参数的不等式恒成立或有解的条件依据在给定区间Eg的子区间E形如血Q，卜叫禺，広曲不同上含参数的不等式八沁1牡为参 数恒成立的充要条件是'''"：，TI " ' _ ' 0在给定区间一八' 的子区间T上含参数的不等式'H - :为参数恒成立的充

4、要条件是 /OU/"O 在给定区间：°二的子区间二上含参数的不等式为参数的有解充要条件是4在给定区间.J匚的子区间上上含参数的不等式. 1 -为参数有解的充要条件是对于参数*及函数=-':.假设恒成立，贝U心;:;假设“二''<恒成立，那么L' -<T 1 ；假设諾一'1 有解，那么丿一 TT.T. -；假设卫-有解，贝U；假设.，有解,那么"'"''.假设函数：V 八；"无最大值或最小值的情况，可以仿此推出相应结论11.真值表Pq非Pp或qp且q直/、直/、假直/、直

5、/、直/、假假直/、假假直/、直/、直/、假假假直/、假假原命题firiJFJq否否命题 假设谨命题 假设呗加te逆否命题 假设1叔山卩原结论反设词原结论反设词是不是至少有一个一个也没有都是不都是至多有一个至少有两个大于不大于至少有邛个至多有总一 1个小于不小于至多有总个至少有用+1个对所有X，成立存在某K，不成立且F对任何X,不成立存在某X，成立P或罕13.四种命题的相互关系右图:''表示条件，.表示结论1充分条件：假设；-，那么厂是.充分条件.2必要条件：假设匚一-，那么厂是必要条件.3充要条件：假设一，且4 /，那么和是丁充要条件. 注：如果甲是乙的充分条件，那么乙是甲的

6、必要条件；反之亦然设可网亡口上眄工可那么亚-呵裔>0吕石也>0»/x在上是增函数;可-叫屮叼-/凫VO0如二h 0O/在以"-乃上是减函数. 设函数在某个区间内可导，如果.'J -，那么厂Y为增函数；如果，那么为减函数.' 和都是减函数,那么在公共定义域内,和函数 WW 也是减函数；如果函数I；和!一 ："都是 增函数,那么在公共定义域内,和函数二7也是增函数；如果函数-和厂-在其对应的定 义域上都是减函数，那么复合函数-匸是增函数； 如果函数1J-和'-在其对应的定义域上都是增函数，那么复合函数丿-是增函数；如果函数1'

7、; -：|和“在其对应的定义域上一个是减函数而另一个是增函数，那么复合函数二丄 是减函数.17奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称, 那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于 y轴对称，那么这个函数是偶函数.18.常见函数的图像:在+ b- I-上 '-:恒成立，那么函数的对称轴是:'两个函数'与baz 厂i “：的图象关于直线对称. '- ，- -；,那么函数'的图象关于点一对称；假设八厂+'：',那么函数为周期为二的周期函数.21多项式函数+ 竹的奇偶性多项

8、式函数亍-匚是奇函数的偶次项即奇数项的系数全为零.多项式函数是偶函数二二匸的奇次项即偶数项的系数全为零.1" 的图象的对称性1函数 门；的图象关于直线：_匚对称L、丨工J 一- 丄._ a+6 函数卩的图象关于直线：对称，：一 ' ；1函数L" 二与函数，门 '的图象关于直线：即“轴对称._ « +Z?函数- '' ；1A ：与函数''''的图象关于直线-：'对称. 函数一 和二'的图象关于直线y=x对称. = yw的图象右移盘、上移b个单位，得到函数厂烬-十也的图象；假设将曲线兀刃二

9、°的图象 右移J上移'个单位，得到曲线点八 '的图象.正比例函数了他+必=/或+ f=匚.指数函数-'|： '. - '''.' 1.-'L -厂-'.对数函数' |： -111 ? 1 T'/|_ +,：T 1 '-1' .' ; _ ir '-r 1 .幕函数，"丨-. 余弦函数/ W= c°,正弦函数 或二別11 k , 了兀-刘=/力/0+或月,s x .26.几个函数方程的周期约定a>01；' 1 ，贝的周期T=a

10、；2一=' ''，或r ,那么的周期 丁=2迅/W = iC/刃盖 0，那么丿：的周期T=3a；_ /輛+丿花T=4a；且/二工J 可工V兀17?X加那么/E的周期27.分数指数幕 ./ =曙7 >卑E矿，且n>2当“为奇数时,当为偶数时,<029. 有理指数幕的运算性质ar =卅a > 0,尸，吕 Q了二泸心0/代0.393尸=/扩直、0> 03r e Q注：假设a>0, p是一个无理数，那么ap表示一个确定的实数.上述有理指数幕的运算性质，对于无理数 指数幕都适用30. 指数式与对数式的互化式：.匸 一丁 -曲那= '临3

11、1. 对数的换底公式:I 二-:,且"一，八:,且：丨，:-】.对数恒等式：丿厂，且“子1,几二.推论-,且32. 对数的四那么运算法那么：假设a>0, a 1, M>0, N>0,那么_.严一甘;-=二亠宀mm-；=一-记 -；-匚假设的定义域为.那么l且假设的 值域为，那么-1 ,且v。34. 对数换底不等式及其推广：设，且，二一，那么m.2.35. 平均增长率的问题负增长时-如果原来产值的根底数为 N,平均增长率为叩，那么对于时间丁的总产值J，有.- 一 - | ._ pb « = 136. 数列的通项公式与前n项的和的关系：" 転弘严之2

12、数列仏J的前n项的和为巧二阳+巾+十陽.37. 等差数列的通项公式:m；如耳=十仝亠=9 +.打M其前n项和公式为：咳二礬朴二生尸处矿38. 等比数列的通项公式：丿其前n项的和公式为 :“亠'的通项公式为b 十甸= 1叫二遽+ 坊厂H 卫芒L旷1.7其前n项和公式为:祐+科并 一 1Z? = 1 姑令甘+缶恥1+创n =40.分期付款按揭贷款：每次还款 11 -"元贷款杯元/'次还清，每期利率为一.41 常见三角不等式霞S1假设'，贝u I -,'.假设e:，那么sin42.同角三角函数的根本关系式:山?-一二丄-，L一-43.正弦、余弦的诱导公式奇变

13、偶不变，符号看象限MS竺斗口2 '(-l)ws«,(冷为偶数)J44-1£- I)丁 Sill £ 0为奇数)I I . '：-1 I i :;- ： . I；，-： I 厂 - :： r. i. I I r ；湎匕土处竺业巴£1 干tantan &节. 十''-:'TI -平方正弦公式;cos(a+ )cos(af- p) - cor3 asin2 py" "I-J,辅助角样所在象限由点的象限决定-.45. 二倍角公式及降幕公式2 tan asm 2a = sin orcas a 1

14、十 tan3 al - tan3 am:二:；乙 j.n 丄二'1 _二二二,.-、r 2 tan a tan Za 、i'.- - / '.t 1 -cos2c3f 2 1+cos 2a sin a =, cos a =2 2sin 2a 1- cos 2atan ci =:1h-cos2o:sLti246. 三角函数的周期公式T =7T函数人 ，xR及函数亠 »',x RA, co,'为常数，且AM 0的周期；函数7T2 A, o,卩为常数，且Am 0的周期三角函数的图像:0 jt/20五点法作图列表:+ ®0n /2n3n /2

15、2nX7厶=2 =厶七47. 正弦定理 ：行二“" R为一心 外接圆的半径.U 卫=2a sm 耳 口二上氐= 2K siti C* 4 b ：；二 jin / : sin g: sin C a2 二 b2 +c3 - 2bc nos j4 . b2 = c1 -t-a2 - 2ca cos B . c1 = a2 + b2 - cos C£一C -A - ccir. £'2 ； :- -J顾丽刃硕/G內切3a +d+c在 ABC中，有+£+C二兀OU=河-丄+为222 Q 2C=测-2/+旧50.简单的三角方程的通解,!.-| - -.>

16、- - '.' - ； I ： . I； -' -',-':'：. J : / - I ：-：，-：:', I一 .-. .7丨丄一Lu一一1 '丄匚 二.匚 丄i 特别地，有'f - 一 i ：-'一.-：一 ： 1 LC - - -'= cos RO=2k/r士 0上 2.丄二 L.2.:二.二:;'Z _sin 忑 A 常|© $1 O 兀亡 t2t+ arcsin a, "7T+7T air 孔口口，疋 E Z沁兀 Vq| 口 任 1 O 不亡2fcT-/T-越冏n.算

17、2izr-Farcsin«t Zcos x 二山| u |兰 1 O jt 迂2t7T-arccos a, 2+arc匚工 Jte Z cos x 弋列伍 1 Oh e 2Att 4-sire cos af 2-F 2tt arccosct, te Ztan x > E 氏二工 E 此7F+ ai'Ctartan x < aa e x - 上zr+ arctanZ.52. 实数与向量的积的运算律：设入、卩为实数，那么结合律：入卩=入卩2第一分配律：入+卩：二入：+卩7 ;第二分配律:入+=入丁 +入二.53. 向量的数量积的运算律：1； ，= 1 交换律；|=I,

18、.'.=：；：.=；.i1 匚3二 + i_ = 一1 厂 +.54. 平面向量根本定理如果、二是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数入i、入2，使得'=入1 ' + X 2 -.不共线的向量下、匚叫做表示这一平面内所有向量的一组 基底.55. 向量平行的坐标表示设 2，且 A - j，那么 I 厂二二二丁- 二 J .56. 7与L的数量积或内积:厂二=|匸| '：'57. 7 ：的几何意义:数量积匚.等于三的长度|三|与在了的方向上的投影r | -上r的乘积.a_b_向量1在向量上的投影：| | -：二=二丨.

19、设茁=%H,$=S乃，那么怎屈'=珂+勺戸+乃.设庄=心，了=吃丿，那么£ 一亏=5 吃.3设aEJi，BEjJ,那么巫二方-刃二-召宀-旳4设匚=忑J兄亡R，那么灵口 =1几不池y . 设茁=%H,$=忌乃，那么孑£ =可乃+戸乃公式茁占 _羽兀十y空肩+圧肩+丈I =】；仏=|画二倔乔二血-12十七丫Ax“X，B勺，61. 向量的平行与垂直：设川=r“J = ，且圧，那么和|，丁 '=入丄 '- - - ： .*S_LbJ _ 了=0_ - 一62. 线段的定比分公式：设谈3亍，是线段 H 的分点是实数，且,%十忑“1+兄_、丿+册手_0竝+恥乌

20、 _ _r_1.63.三角形的重心坐标公式 ABC三个顶点的坐标分别为 八i一、；-：、'二：i ,那么厶ABC的重心的坐标是亚+可+码乃+片+乃3 13:/ =万十刀 x = f 向LM=P +上 了=卩一氏O。卩二菲+函注：图形F上的任意一点Px，y在平移后图形上的对应点为? -1 ，且厂 的坐标为.65. “按向量平移的几个结论1点；，' 1 ：按向量盲二:平移后得到点八=. 函数" 的图象二按向量了二匚'平移后得到图象,那么的函数解析式为' 7 . 图象按向量。平移后得到图象匚,假设-的解析式-" -：那么厂的函数解析式为曲线:&qu

21、ot;按向量="'；平移后得到图象"，那么"的方程为'''P'. 向量二 按向量二 八八平移后得到的向量仍然为飞 八二.66. 三角形五“心向量形式的充要条件设匚为'帖厂所在平面上一点，角"J -所对边长分别为，贝U1 °为酎0C的外心O 0A三 QC2、为1"的重心 ；.' ： /' I ： 1 ':.3为的垂心:工 .：4为.I' 1 '的内心. I -:.5_为一印一的.丄的旁心 -':67. 常用不等式： 4门八丿_丄；当且仅当a=

22、 b时取“二号.2 当且仅当a= b时取“二号.3 /-'-：./-.-|- I4 - - -：! I 7" - ，- I】5bUkb十引兰讨+创6当且仅当a= b时取“二号68. 最值定理：'都是正数，那么有1假设积是定值和，那么当1时和+有最小值几;+ - “2假设和+是定值二那么当T " '时积t有最大值-.3'"，假设，一°:那么有2十丄二:十妙丄十丄=a+Z?+ + 5+ 2jab二Ja十的尸x yx ya y4：“ 一，假设二"那么有yyTr-' -:" 1 - - rL. - 1-

23、l - ' :，如果二与'J | ''同号，那么其解集在两根之外；如果;：与LJ 川一异号，那么其解集在两根之间简言之：同号两根之外，异号两根之间:一：一打:' -' r I > -.-'；?X < 工I ?或工 > 可 0X X蓝一 J：2 > DX丈可70.含有绝对值的不等式：当a> 0时，有x<a<=> co1<xr/wo7/(x) > J或x) 0 g(H)工 07/CCgW>oJW >swf/心g兀<000 < gx> o3 lyx72.指

24、数不等式与对数不等式 1当厂时,log* /to >( Jf) <=5> sM > of/w>o <g(x)呃/W 沢唱t g(x) O 4 g(x) > 0"<g(j)勺血牡W、坊 J .74.直线的五种方程1点斜式'"" '' '直线过点-Jp",且斜率为J .2斜截式丁 -1 b为直线在y轴上的截距.刀_不一码3 两点式 “:.严H、二】八两点式的推广：宀応：，门八，r：y ；一 |无任何限制条件!+ = 1 截距式：丄分别为直线的横、纵截距，工八5 一般式'&

25、#39;''其中A、B不同时为0.直线'''的法向量：，方向向量：75.两条直线的平行和垂直假设片:二百人+勾，二屯H+爲假设丄亠L1 + '.''',且Al、A、B、B2都不为零, ： 1；. 4 亠十-；心二呂工+£/+G二o d&x十*+G二。4& +坊氏工。此时直线7丄-76四种常用直线系方程及直线系与给定的线段相交：1定点直线系方程：经过定点： '爲 的直线系方程为;_ '除直线，其中'：是待定的系数；经过定点: w 的直线系方程为_一 I亠' ,其中是待

26、定的系数.共点直线系方程：经过两直线I'-，“丨：y . !的交点的直线系方程为+ ' -'1'除一，其中入是待定的系数.3平行直线系方程：直线一：中当斜率k 一定而b变动时，表示平行直线系方程与直线 平行的直线系方程是一 一亠一，入是参变量. 垂直直线系方程：与直线：+'1 A工0, BM0垂直的直线系方程是丄 ,入是参变量.5直线系 °| 与线段相交 - !。甘_ I /阳+肉心+ CI77点到直线的距离：点-r ：1 ,直线一二-T -.78. 亠 J 1八或J所表示的平面区域设直线 m，那么-一 ' 1'或：所表示的平面

27、区域是：假设-r -，当"与'，；''同号时，表示直线'的上方的区域；当与' ''异号时，表示直线的下方的区域.简言之,同号在上，异号在下.假设丄-一，当与-'同号时，表示直线.：'的右方的区域；当上与4异号时，表示直线 .'的左方的区域.简言之，同号在右，异号在左79. 一厂亠亠亠： 或所表示的平面区域亠：亠I亠."，+ . T亠I ： '或-所表示的平面区域是两直线八亠tT + - 1和-J；-；. 所 成的对顶角区域上下或左右两局部。80. 圆的四种方程1圆的标准方程2圆的一般方程

28、 厂孑I二一 一小八 > 0.3圆的参数方程4圆的直径式方程=圆的直径的端点是工、：“.81. 圆系方程过点- 'L- =的圆系方程是 匸-可匕一巧+妙-血0-乃+爲工-丙伽-乃一0一叼-可二00工-和伏-勺+0-乃3-丹+丸伽+切我=0 ,其中处+如+"0是直线A?的方程,入是待定的 系数. 过直线'：上“ = .与圆二：；丨JT厂的交点的圆系方程是入是待定的系数.f -by2 +口忑 + 型 + 厅 + 几月x+帥+U ='0过圆l：i一与圆的交点的圆系方程是H+才+D*十十広+十门去十氐叶助二0入是待定的系数特别地，当一时就是 当两圆相交时，为公共

29、弦所在的直线方程； 向两圆所引切线长相等的点的轨迹直线方程82. 点与圆的位置关系：点与圆:''J ' 1:; 的位置关系有三种假设'一那么L二点在圆外点在圆上-“点！在圆内.j4(3 + Bb + d? = /直线丄与圆' -.- '的位置关系有三种(一 ，)：f|=呂：.；.；-厂二卜 -；,了F 宁-''JJ84.两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为O, Q，半径分别为ri,2,二.| 二丨二上 I ；J 一 :|' 7 - : 二+厂二:|;J|rj-r2 <d “十內a相交0 2条公切銭；Jd二h -勺

30、| O内切U> 1条公切线；J0 < < |rj - r21»内含«无公切线(1)圆'1 1 "-.假设切点二在圆上，那么切线只有一条，其方程是昭+炖+今旦+型严当1 /圆外时,'-匕、*-+ '表示过两个切点的切点弦方程求切点弦方 程，还可以通过连心线为直径的圆与原圆的公共弦确定。 过圆外一点的切线方程可设为-'厂 -，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线. 斜率为k的切线方程可设为门，再利用相切条件求b,必有两条切线.圆'1_! _. 过圆上的口点的切线方程为 I 扎八&#

31、39;； 斜率为的圆的切线方程为.的离心率过圆外一点的切线长为I "' ；，1过焦点且垂直于长轴的弦长为:|*i| =总北 + <- =&+曲88.椭圆的的内外部2232口s-+4 = la>S>0»4+4<11点 ''在椭圆的内部 ''2在椭圆的外部7椭圆二血 >b > 0)点处的切线方程是/几巫+型二12过椭圆. 一外一点所引两条切线的切点弦方程是 汀3 椭圆：'与直线一-)- 一 L 相切的条件是 I ；' -'.= 1( >0,3 >05的离心率过

32、焦点且垂直于实轴的弦长为:|亠呼1卜十二)冃口十丘打|閃|十(巳-力冃纺|? Ja_点在双曲线1 f 在双曲线;!?(1假设双曲线方程为丁/ =1“一渐近线方程:刍十尸士纭a ba(2) 假设渐近线方程为双曲线可设为-' 假设双曲线与厂'有公共渐近线，可设为厂 !，焦点在X轴上，九V C1，焦点在y轴上.(4)焦点到渐近线的距离总是1双曲线竺九1点厂 处的切线方程是. 兰疋二1巫皿_12过双曲线./厂八外一点 丿所引两条切线的切点弦方程是 J 一3双曲线+ -.与直线丄相切的条件是 -.94.抛物线：A的焦半径公式抛物线二| ,二匸匚花 其中9为x轴的正向绕焦点按逆时针方向旋转

33、到 FC的角过焦点弦长刖=巧+壬+乜+彳二珂+也+ pCD 二血其中a为倾斜角戸=2刃上的动点可设为p儿或F即宀2輿pD，其中疋二如y=用 +站+7 = c3x + 5 +仏 占 币勿 牝 农工的图象是抛物线:壬b 4处-扩孑b 4加-护十11顶点坐标为：' 2焦点的坐标为-也3准线方程是4a97.以抛物线上的点为圆心，焦半径为半径的圆必与准线相切；以抛物线焦点弦为直径的圆，必与准线 相切；以抛物线的半径为直径径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切。抛物线： 一 '上一点-处的切线方程是.+ h'.2过抛物线1 " - ' f外一点二二；所引两条切线的切点

34、弦方程是.3抛物线-"'i/1 j 与直线-+宀+相切的条件是二j . 过曲线丿一'的交点的曲线系方程是- !为参数.2 2工I于 _3彳共焦点的有心圆锥曲线系方程：- - ；,其中i -THV '.当心二时,表示椭圆；当时，表示双曲线.100.直线与圆锥曲线相交的弦长公式期二Jg-叨+4-曲 或|j45| 二 J1 十F工？十可7 4% 再=| 呵一毛 | -Jl+tan2 a 二|片一片 | jl-co t3 ay = kx +b弦端点，由方程国务= o消去y得到亦十加仕二o，心匸0，为直线朋的倾斜角:为直线的斜率，： 厂咕二.1曲线''-

35、关于点九-丁成中心对称的曲线是X 一 .2曲线'关于直线丄 卜成轴对称的曲线是鮎北歹十Qy + C羽缶十总y+C、门心才十罗才用二°.特别地，曲线 J：关于原点匚成中心对称的曲线是门 :'.曲线'关于直线丁轴对称的曲线是.曲线- -关于直线：轴对称的曲线是"二匚 .曲线关于直线丁 7轴对称的曲线是» Yl .曲线-关于直线 i轴对称的曲线是J 一 I -.:的距离之比为常数宀，假设: -. . , M的轨迹为椭圆；假设-I , M的轨迹为抛物线；假设 -I , M的 轨迹为双曲线。103. 证明直线与直线的平行的思考途径1转化为判定共面二直

36、线无交点；2转化为二直线同与第三条直线平行；3转化为线面平行；4转化为线面垂直；5转化为面面平行.104. 证明直线与平面的平行的思考途径1转化为直线与平面无公共点；2转化为线线平行；3转化为面面平行.105. 证明平面与平面平行的思考途径1转化为判定二平面无公共点；2转化为线面平行；3转化为线面垂直.106. 证明直线与直线的垂直的思考途径1转化为相交垂直；2转化为线面垂直；3转化为线与另一线的射影垂直；4转化为线与形成射影的斜线垂直.107. 证明直线与平面垂直的思考途径1转化为该直线与平面内任一直线垂直；2转化为该直线与平面内相交二直线垂直；3转化为该直线与平面的一条垂线平行；4转化为该

37、直线垂直于另一个平行平面。108. 证明平面与平面的垂直的思考途径1转化为判断二面角是直二面角；2转化为线面垂直；(3) 转化为两平面的法向量平行。加法交换律； = +汇(2)加法结合律：(F +】)+ 丁二+ ( + ).数乘分配律：入(G+ ；)=入0 +入'.始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量对空间任意两个向量 二(匕工)，下/ '存在实数 入使亍=V .只比B三点共线u 处II朋 a = o °尸=. 1 " l . ：、一共线且 Q 二不共线- * -且-不共线.112.

38、共面向量定理向量"与两个不共线的向量丘、共面的I存在实数对,使J.推论 空间一点P位于平面MAE内的二存在有序实数对；1 ,使 f 广小匚,或对空间任一定点0,有序实数对*，使-'-rm .和不共线的三点A、B、C,满足仁 -:,那么当；_1时，对于空间任一点匚， 总有P、A、B、C四点共面；当必H1时，假设0E平面ABC那么P、A B C四点共面；假设0居平面ABC 那么P、A、B、C四点不共面.,I四点共面J与I 、共面_ 八+_亠 -平面 ABC114.空间向量根本定理如果三个向量、一不共面，那么对空间任一向量：，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使匸=推论 设O A

39、、B C是不共面的四点，那么对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数 x，y，z,使-、 - - ' ' 1 '向量=和轴，是上与''同方向的单位向量.作A点在上的射影,作B点在上的射影,那么=| AS | cos < a,e>= a-e设耳=吟勺碍& =几如也那么 F“十！、.,-；臣$ =硯勺宀-虬碍妇；入一了 =丄显七花入 R;& . b =坷对+旳坊+眄鸟.L.- :' ,，那么一二门:- I.-.1.118. 空间的线线平行或垂直设一 ，贝卩 =見兀鸟* yi =入刈FTTTFT口 |占o诡=久占色疋0 o

40、2_ 乂 ；a丄占O a i = 0吕两心+沪北+右习=0119. 夹角公式士 r©曲+口曲+0血cos <arb >= .：_ _一 _设&二®厲，£ =片爼鸟，那么J£+£+£屈厨+£推论呐+丛+哦让&+述+迖膺+闰+目，此即三维柯西不等式.洱日=蛍®120. 正棱锥的侧面与底面所成的角为F,贝U*：C>£ 3 =特别地，对于正四面体每两个面所成的角为，有_121. 异面直线所成角GO5 0 =丨也+ j空叮平？ | +才尼+%' +专其中 '： &#

41、39; ''：为异面直线所成角，I分别表示异面直线*的方向向量. AB wp = arc sin斗 _'一“止为平面宀的法向量.A： -二的平面角根据具体图形确定是锐角或是钝角门m nm-n&= arc CQ5-k7T arc cos一于丨卞门或，：为平面门，匚的法向量.124折叠角定理设AC是a内的任一条直线，AD是 a的一条斜线AB在a内的射影，且BDL AD垂足为D,设AB与a AD 所成的角为，AD与AC所成的角为Q, AB与AC所成的角为F 贝U川.125.空间两点间的距离公式假设A%儿习，Bg乃适，贝U弘丽=倔忌二厲二円冠石円百石-到直线.距离&qu

42、ot;丄J问氏訂点'在直线'上,，为直线的方向向量,127.异面直线间的距离是两异面直线，其公垂向量为 J亠厂分别是上任一点,'为间的距离.11到平面门的距离卜丨用为平面的法向量，丿巴，占是的一条斜线段.129.异面直线上两点距离公式2 2-Vm + 泪cos &十川 一 2/wi cos p- E- AA - F(两条异面直线a b所成的角为B,其公垂线段丄：的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F,AS = m,=闯，豆F = d).$+&+匚*=s+c -2a-b + 2b c -2c -a+罗 +/ + 2| |g |2| |c| cos0,7

43、+ 21131. 作截面的依据三个平面两两相交，有三条交线，那么这三条交线交于一点或互相平行132. 棱锥的平行截面的性质如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到 截面距离与棱锥高的平方比对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的 比等于对应边的比的平方；相应小棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的立方 比；相应小棱锥的的侧面积与原棱锥的的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比.V = -71“ 屛133. 球的半径是R,那么其体积 -,其外表积- :.(1)球与长方体的组合体：长方体的外接球的直

44、径是长方体的体对角线长(2)球与正方体的组合体：正方体的内切球的直径是正方体的棱长，正方体的棱切球的直径是正方 体的面对角线长，正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长.' 口_ a 球与正四面体的组合体：棱长为的正四面体的内切球的半径为匕(正四面体高- 的1-),外接球的半径为dJ (正四面体高135. 柱体、锥体的体积F 二£阳卮祚3 E是柱体的底面积、'是柱体的高.F 厂-是锥体的底面积、是锥体的高136. 分类计数原理加法原理:137. 分步计数原理乘法原理:笛二用沖一9®一朋十1=曲一巒.“，战 N，且廉兰阅.规定0= 1.:1 亠： ，_ 卜 +

45、 八；2''-一 fn3忙二曲柠；4叭之：卜&；5船严厝+啦：6 ' ' -料-料聊十D:"=二lxjx- -=牌| -总一阀I料 N*,洒E肿，且牌莖科.141.组合数的两个性质：1广厂盘一盛广fKt 广f熬J prK广rO _-二，;2-八.规定.；2、7秒+ C：+ C：二2“6 - 8：亠+ 寸- +： 宀(9)10雳尸+© +©；】 i+Q：尸二 .143. 排列数与组合数的关系：兰二闷工；.144. 单条件排列以下各条的大前提是从"个元素中取：个元素的排列1 “在位与“不在位 某特元必在某位有种；某特元

46、不在某位有-补集思想"-1着眼位置着眼元素种.2紧贴与插空即相邻与不相邻 定位紧贴： 八二认-匚个元在固定位的排列有：二种. 浮动紧贴：个元素的全排列把k个元排在一起的排法有二亠：种.注：此类问题常用捆绑法； 插空：两组元素分别有k、h个二；+丨，把它们合在一起来作全排列，k个的一组互不能挨近的所有 排列数有种.3两组元素各相同的插空个大球个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？- V 捲*当时，无解；当“宀T丨时，有：种排法.4两组相同元素的排列：两组元素有 m个和n个，各组元素分别相同的排列数为.145. 分配问题1平均分组有归属问题将相异的】；:个物件等分给个人，各得Y件，

47、其分配方法数共有2平均分组无归属问题将相异的】；：个物体等分为无记号或无顺序的 卫堆，其分配方法数共有3非平均分组有归属问题将相异的_ 7-'" 1个物体分给屮个人，物件必须被分完，分别得到，H这个数彼此不相等，那么其分配方法数共有，K 件，且"，:,4非完全平均分组有归属问题将相异的个物体分给宀个人，物件必须被分完，分别得到“，件，且"，了，J这宀个数中分别有a、b、c、个相等，那么其分配方法数有/ 'p m叩片姓！& !占2!. J5非平均分组无归属问题将相异的丄 个物体分为任意的:，,件无记号的严堆, 且，=,、这卩个数彼此不相等，那

48、么其分配方法数有-.6非完全平均分组无归属问题将相异的-J"" "-1-个物体分为任意的二，J件无记号N=的堆，且"，这二个数中分别有a、b、c、个相等，那么其分配方法数有八八.7限定分组有归属问题将相异的个物体分给甲、乙、丙，等个人，物体必须被分完，如果指定甲得“件，乙得件，丙得：件，时，贝U无论“，"，'等' 个数是否全相 异或不全相异其分配方法数恒有对一印£冷農！马!旳！ mJ146 “错位问题2封信与2个信封全部错位排列数：1;3封信与3个信封全部错位排列数：2;4封信与4个信封全部错位排列数：9;5封信与5个

49、信封全部错位排列数：44;一般记着上面的就够了推广贝努利装错笺问题：信“封信与丁个信封全部错位的组合数为推广：叮个元素与叮个位置,其中至少有住个元素错位的不同组合总数为/佩熬二创一-1!+处於_2!-详仗_耳4代理一 4!147. 不定方程x的解的个数方程 ': 一的正整数解有个. 方程-''-11 一的非负整数解有个. 方程?满足条件上：； 厂 匸一的非负整数解有；+：m 个.148. 二项式定理卄疔二说屮+%叫乂汁于+ 穴扩 Y；护;二项展开式的通项公式- < .一的展开式的系数关系：码斗如+说+叫二/.坯一阿+码十十T馮=/T . a0 = /0F(A)-1

50、49. 等可能性事件的概率：.150. 互斥事件A, B分别发生的概率的和：P(A+ B)=P(A) + P(B).151. 冒个互斥事件分别发生的概率的和：P(Ai + A2+-+ A)=P(A" + P(A2)+ + P(An).152. 独立事件 A, B同时发生的概率：P(A- B)= P(A) P(B).153. n个独立事件同时发生的概率：P(A1 A 2 An)=P(A1) P(A2) P(An)15 4.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率：i, - ：|'1，H ": '；2 I _ -156.数学期望：二二t十；f+，那么“丄2假设

51、： ；，那么丫 -假设服从几何分布，且厂- ' '： ' - ''158.方差:皿=(丙-畸a+(帀-葩血斗H斗_略丫 a+159.标准差：' = ' '.(2假设-"，那么八 假设匚服从几何分布，且-，那么"丁_-"I161.方差与期望的关系：'-r '心.162.正态分布密度函数:式中的实数卩，是参数，分别表示个体的平均数与标准差163.标准正态分布密度函数:止：，取值小于x的概率:戸(巧 <X0 < x2)=<x2 )< 巧)165.回归直线方程土佃-无0厂刃土山-亍3厂刃166.相关系数i-lLIV i-1Z|r| < 1,且|r|越接近于1,相关程度越大；|r|越接近于0,相关程度越小. 167.特殊数列的极限0I水1lrniq"二；1g 二1不存在I小1或"-1Cl(E)1 迪一；二十鸟_旳 +州不存在(上 > 耳H】&:-无穷等比数列(丿I')的和.lim f(x) = a lim /(x) = lin /