高中数学三角函数专题复习(内附类型题以及历年高考真题...

1、三角函数知识点与常见习题类型解法1.任意角的三角函数:(1) 弧长公式：I aRR为圆弧的半径，a为圆心角弧度数，I为弧长。1R为圆弧的半径，I为弧长。(2) 扇形的面积公式： S 丄IR2(3) 同角三角函数关系式：倒数关系：tan acota 1商数关系:, sin a tan acosa, cosa cot asin a平方关系：sin2 a cos2a 1(4)诱导公式：奇变偶不变，符号看象限k /2+ a所谓奇偶指的是整数 k的奇偶性x函数sin xcosxtanxcotxasi nacosatanacot a2 asi nacosatanacotaa2cosasi nacot at

2、an a2两角和与差的三角函数:1两角和与差公式：cos( ) cos a cos sin a sinsin(a ) sin a cos cosasintan a(atan a tan1 tan a tan注：公式的逆用或者变形2二倍角公式：sin 2a 2sin a cosacos2a cos2 a sin2 a 1 2sin2a 2cos2 a 1tan 2 a2从二倍角的余弦公式里面可得出1 tan2 a降幕公式：cos2 a 1 cos2a ,23半角公式可由降幕公式推导出：sin2 a1 cos2a2sin旦1 cosaa,cos22cosa2，吨cosacosasin a 1 co

3、sa1 cosa sin a3.三角函数的图像和性质：其中k z三角函数y sin xy cosxy tanx定义域-X,+x-OO,+Xx k2值域-1,1-1,1-O, +0最小正周期T 2T 2T奇偶性奇偶奇单调性2k_,2k-单调递增32k -,2k 分单调递减(2k 1) ,2k 单调递增(2k ,(2k 1)单调递减(k 尹 2)单调递增对称性xk2x k,0)(k,0)(k -,0)2零值点xkx k2xkxk2x 2k ，最值点ymax1ymax1 ；无x k2x (2k 1)，ymin1ymin14.函数y Asin( x )的图像与性质:本节知识考察一般能化成形如y Asi

4、n( x )图像及性质(1)函数 y Asin( x)和 y Acos( x)的周期都是T(2)函数yAtan( x)和 y Acot( x)的周期都是Tn(3)五点法作y Asin(x)的简图，设tx，取 0、2及对应的y值再描点作图。2来求相应x的值以(4)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母x而言，即图像变换要看“变量起多大变化，而不是“角变化多少。附上函数平移伸缩变换：函数的平移变换：yf(x)yf(x a)(a0)将yf (x)图像沿x轴向左右平移 a个单位左加右减yf(x)yf (x) b(b0)将yf (x)图像沿y轴向上下平移b

5、个单位上加下减函数的伸缩变换：yf(x)yf (wx)( w0)将yf (x)图像纵坐标不变,横坐标缩到原来的1倍w 1缩w短，0 w1伸长yf(x)yAf (x)(A0)将yf (x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A 倍A 1伸长，0 A 1缩短 函数的对称变换：f (x) y f( x)将 yf(x)图像绕y轴翻折180°整体翻折对三角函数来说：图像关于x轴对称f (x) y f(x)将 yf (x)图像绕x轴翻折180°整体翻折对三角函数来说：图像关于y轴对称f (x) y f (x)将 yf (x)图像在y轴右侧保存，并把右侧图像绕 y轴翻折到左侧偶函数局部翻折

6、 y f (x)y f (x)保存yf (x)在x轴上方图像，x轴下方图像绕x轴翻折上去局部翻动5、方法技巧一一 三角函数恒等变形的根本策略。1常值代换：特别是用"1的代换，如 仁cos2 0 +sin 2 0 =tanx cotx=tan45 °等。2 2 2 2 2 22项的分拆与角的配凑。如分拆项：sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角：a =a+ B一 3,3 =等。2 23降次与升次。4化弦切法。 n24引入辅助角。asin 0 +bcos 0 = a b sin( 0 + )，这里辅助角所在象限由a、b的符号确定

7、， 角的值由tan =b确定。a类题：1. tanx=2,求 sinx,cosx的值.解：因为tan xsin x2，又 sin2x+ cos2x=1 ,cosxsinx 2 cosx联立得 sin2x cos2x 12屁.2屁sinxsin x解这个方程组得55J5'V5cosxcosx55tan( 120 ) cos(210 ) sin( 480 ) “2.求的值.tan( 690 ) sin( 150 ) cos(330 )解：原式tan( 120180 )cos(18030 )sin( 360120 )tan( 72030o)sin( 150 )cos(360 30 )tan

8、60 ( cos30 )( sin 120 )tan30 ( sin 150 )cos30sin x cosx+ .砧/古3. 假设 2,，求 sinxcosx 的值.sin x cosx '解：法一：因为 slnx cosx 2,si nx cosx所以 sinx cosx=2(sinx+ cosx),得到sinx- 3cosx,又sin2x+ cos2x=1，联立方程组，解得3后3、10sinxsinx1010皿cosxcos x.10，10103所以 sin xcosx一10法二：因为 sin x cosx 2,sin x cosx所以 sinx cosx=2(sinx+ cos

9、x), 所以(sinx cosx)2=4(sinx+ cosx)2, 所以 1 2sin xcosx=4 + 8sin xcosx,3所以有sinxcosx 104.求证：证明:法二:tan2x sin2x=tan2x sin2x.法一：右边= tan2x sinYhan2x (tan2x cos2x)=tan2x(1 cos2x)=tan sin2x, 问题得证. 左边 =ta n2x sin 2x=ta n2x(1 cos2x)=ta n2x ta n2x cos2 x=ta n2x si n2x,问题得证.5.求函数x ny 2sin( )在区间0, 2 上的值域.2 6解:因为0<

10、; x< 2 n,所以n牛由正弦函数的图象,si n(x n)2 6y 1, 2.6.求以下函数的值域.(1)y= sin2x cosx+2;得到所以(2)y= 2sin xcosx (sinx+ cosx).解：(1)y=sin 2x cosx+ 2 = 1 cos2x cosx+ 2= (cos2x+ cosx) + 3,令 t=cosx，那么 t 1,1, y (t2 t) 3(t A213(t1)213利用二次函数的图象得到y 1,13.'- 2 , sin(x 町，那么4'4(2)y= 2sinxcosx (sinx+ cosx)=(sin x+ cosx)2

11、1 (sinx+ cosx)，令 t=sinx+ cosxt 2, .2那么，y t2 t 1,利用二次函数的图象得到y ,12.47. 假设函数y=Asin(妨(3>0, $>0)的图象的一个最高点为(2八2)，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6, 0)，求这个函数的一个解析式.解：由最高点为(2八2),得到A .2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是 -44 , T=16，所以个周期，这样求得4 8又由逅 V2sin(n 2)，得到可以取n yJ2sin(-x -).84848. 函数 f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x.冗(i)求f

12、(x)的最小正周期；(n)假设x 0,求f(x)的最大值、最小值.21 sin x数y的值域.3 cosx解：(I )因为 f(x)=cos4x 2sinxcosx sin4x = (cos2x sin2x)(cos2x+ sin2x) sin2x.2 sin(2x n)4(cos2 x sin2x) sin 2x cos2x sin 2x . 2 sin(n 2x)4所以最小正周期为 n(n)假设x o，n '那么(2x n，所以当x=0时，f(x)取最大值为.2sin( -n)1;当 x E 时,1.tan2，求1cos cossinsin2sin21sin解:1cossin1co

13、s1 tan1 . 2cossin1sin1 tan1 21cosf(x)取最小值为2sin . cos3 2 2 ;2cos22 sinsin cos2sinsin22cos2 2 22 sinsin cos2 cos22 sin2 cos2coscos2422sin/2 12 13cos48说明：利用齐次式的结构特点如果不具备，通过构造的方法得到，进行弦、切互化，就会使解题过2.求函数y1sin xcosx (sin解:设tsinxcosx.2 si n(xyt2 t1(t3,因为t24当t2i时，Ym；ax32，当t所以:，函数的値【域为 y-,3 刁程简化。O2x cosx)的值域。n

14、). 2 2，那么原函数可化为42，所以3.函数f (x)24sin x 2sin 2x2时,2, x3y min41求f (x)的最小正周期、f (x)的最大值及此时x的集合;2证明：函数f (x)的图像关于直线x丄对称。8解：f(x) 4s in2x2sin 2x2 2sinx 2(1 2sin2x)2sin 2x2cos2x2、2 sin(2x -)4(1)所以f(x)的最小正周期冗，因为x R,n所以，当2x n 2kn4n，即 x kn2 83 n时，f(x)最大值为2 2 ；欲证明函数f(x)的图像关于直线xn对称，只要证明对任意x R ,有8f(7Cx)f(f x) 成立,因为f

15、(7t所以f(x)2、. 2 si n2(7tf(x)2、, 2 si n2(x)2 2 sin(-22x)2, 2cos2x ,x)x)nn22sin( f2x)2、2 cos2x ,f(x)成立，从而函数f (x)的图像关于直线n对称。81 23 .彳y= cos x+ sinx cosx+12 21当函数y取得最大值时，求自变量2该函数的图像可由y=sinx(x R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?1 2. 3 .解：1 y= cos x+ sinx2 21 _. 3=cos2x+4=1 sin( 2x+24.函数x R ,x的集合;sin 2x+4-)+ -641 2 1-cosx

16、+1= (2cos x 1)+4451= (cos2x sin +sin2x4262sinx cosx+14cos )+§64所以 y 取最大值时，只需 2x+ =+2k n , k Z，即 x= +k n , k Z。6 2 6所以当函数y取最大值时，自变量 x的集合为x|x= +kn ,k Z62将函数y=sinx依次进行如下变换:i把函数y=sinx的图像向左平移 一，得到函数y=sin(x+ )的图像;6图像;ii把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的iii 把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的1倍纵坐标不变，得到函数y=sin(2x+ )的图像;2-倍261横坐标不变，得到函

17、数y= sin(2x+ )的2 65iv丨把得到的图像向上平移-个单位长度，得到函数1 5y= si n(2x+ )+ 的图像。2 64综上得到 y= 1 cos2x+ 一3 sinxcosx+1 的图像。2 2历年高考综合题 ，选择题1. 08 全国一 6y (sin XA.最小正周期为2 n的偶函数2cosx)1 是B.最小正周期为2 n的奇函数4.08 全国二 10.函数 f(x) sinxcosx的最大值为A.5. 08安徽卷8函数yA.x -6B. xC.x D.x 12612s2x 3)图像的对称轴方程可能是个单位后，得到函数26. 08福建卷7函数y=cosx(x R)的图象向左

18、平移y=g(x)的图象，那么g(x)的解析式为A.-sin xB.sinC.-cosD.cos7. 08广东卷5函数f (x)(1cos2x)sin 2 x, xR，那么f (x)是2.08全国一 9为得到函数y cosx上 的图象，只需将函数 y sinx的图像3A.向左平移n个长度单位B.向右平移丄个长度单位66C.向左平移乂个长度单位D.向右平移2个长度单位663.(08全国二-1)假设sin0 且 tan0是，那么 是C.最小正周期为n的偶函数D.最小正周期为 n的奇函数A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角F'，假设F的一条对A、最小正周期为的奇函数B、最小

19、正周期为一的奇函数2C最小正周期为的偶函数D、最小正周期为的偶函数28. 08海南卷11函数f (x)cos2x2sin x的最小值和最大值分别为A. - 3， 1B.2, 2C. 3，-D.-2,色229. 08湖北卷7将函数y sin(x)的图象F向右平移一个单位长度得到图象3称轴是直线x ,那么 的一个可能取值是1A.551111B.C.D.1212121210.08江西卷6函数sin xf (x)是sin x 2sin2A.以4为周期的偶函数B.以2为周期的奇函数C.以2为周期的偶函数D.以4为周期的奇函数11.假设动直线x a与函数f(x)cosx的图像分别交于为A.1B.2C.3D

20、. 212.08山东卷10 cosn sin4J3 ,那么sin7 n的值是656A.2,32、.3C .44B.D555513.08陕西卷1sin330等于A.B.1C1D222214.08四川卷4tanxcotx cos2x()A .tanxB .sin xC . cosxD . cotx15. 08天津卷R)的图象上所有的点向左平行移动 一个单位长度，再把所得图象3M , N两点，贝U MN的最大值sin x 和 g(x)6把函数y sin x(x上所有点的横坐标缩短到原来纵坐标不变，得到的图象所表示的函数是siny sin 2x 3C.y sin 2x3，xRD .ysin2x3,x

21、R16.08天津卷9设a.5 sin,b cos2-,ctan ,那么777A.a b cB. ac bC. bcaD. ba c17.08浙江卷2函数y(sin xcosx)21的最小正周期是AB.C.3D.22218. 08浙江卷7在同一平面直角坐标系中，函数y cos(-231亍xO,2 )的图象和直线y J交点个数是A.0B.1C.2D.4二，填空题19.08北京卷9假设角的终边经过点P(1, 2)，那么tan2的值为20.08江苏卷1COS的最小正周期为，其中50,那么21.08辽宁卷16设 x，那么函数y2sin x 1 厶的最小值为sin 2x22.08浙江卷12假设s"

22、;(i3，贝U cos2523.08上海卷6函数 f (x) = 3sinx +sin( 2+x)的最大值是三，解答题24.08四川卷17求函数y 7 4sin xcosx 4cos2 x 4cos4 x的最大值与最小值。25.08北京卷15函数f(x)sin2x .3 sin xsinnn0丨的最小正周期为 n.l2的值；n求函数f (x)在区间0,上的取值范围.26.08天津卷17函数f(x)2cos2x 2si n xcos1 x R, 0丨的最小值正周期是I求的值;n求函数f(x)的最大值，并且求使 f (x)取得最大值的x的集合.27.08安徽卷17函数f (x) cos(2x )

23、2sin( x)sin(x)344I求函数f (x)的最小正周期和图象的对称轴方程5求函数f(x)在区间齐上的值域2&08陕西卷仃函数f(x)诙矜：2亦2：3.I求函数f (x)的最小正周期及最值;5令 g(x)x n，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由.31.D 2.C 3.C 4.B 5.B6.A 7.D 8.C 9.A 10.A25.解：I f (x)1 cos2 x219. 420. 1021.3、322. 2523.224.解：y7 4sinxcosx 4cos2 x 4cos4 x72sin 2x4cos2 x 12 cos x72sin 2x4cos2 xsin2x72sin 2xsin2 2x12sin 2x6由于函数z2u 16 在1,1中的最大值为zmax21 16 10最小值为Zmin21 1 66故当sin2x1时y取得最大值10，当sin 2x 1时y取得最小值11.B 12.C 13.B 14.D15.C 16.D 17.B 18.C【点评】：此题重点考察三角函数根本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；【突破】：禾U