真实应力应变关系曲线与平面问题

1、真实应力应变关系曲线与平面问题本节主要内容本节主要内容10.1 等效应力和等效应变等效应力和等效应变10.2 真应力真应力-（教材第三章第六节）（教材第三章第六节）10.3 平面变形和轴对称变形平面变形和轴对称变形（教材第三章第三节）（教材第三章第三节）2022-5-10210.1.1 等效应力等效应力o 把把s ss看成经过某一变形程度下看成经过某一变形程度下的单向应力状态的屈服极限的单向应力状态的屈服极限,则则可称可称s ss为变形抗力。为变形抗力。ABCDe es so 如图所示，拉伸变形到如图所示，拉伸变形到C点，然后卸载到点，然后卸载到D点，如果再在点，如果再在同方向上拉伸，便近似认

2、为在原来开始卸载时所对应的应同方向上拉伸，便近似认为在原来开始卸载时所对应的应力附近（即点力附近（即点C处）发生屈服。这一屈服应力比退火状处）发生屈服。这一屈服应力比退火状态的初始屈服应力提高，是由于金属加工硬化的结果。态的初始屈服应力提高，是由于金属加工硬化的结果。所以在单向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变所以在单向拉伸的情况下，不论对初始屈服应力还是变形过程中的继续屈服极限，统称为金属变形抗力。形过程中的继续屈服极限，统称为金属变形抗力。 2022-5-103o 若令若令则金属屈服时有则金属屈服时有则为等效应力，等效于单向拉伸时的应力状态。则为等效应力，等效于单向拉伸时的应力状态。2

3、022-5-104o 对于单向拉伸对于单向拉伸时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态时，金属进入塑性状态时，金属进入塑性状态同样同样，复杂应力状态时，复杂应力状态时，时，金属处于弹性状态时，金属处于弹性状态sss时，金属进入塑性状态时，金属进入塑性状态2022-5-105o 在一般应力状态下，等效应力为在一般应力状态下，等效应力为 当材料屈服时有当材料屈服时有 其中其中s ss，为单向应力状态下获得的屈服极限，为单向应力状态下获得的屈服极限 2022-5-10610.1.2 等效应变等效应变o 在简单应力状态下，我们可以得到一条应在简单应力状态下，我们可以得到一条应力力应变关系曲线，若知道了

4、变形程度，则应变关系曲线，若知道了变形程度，则其所对应的应力，从该曲线上也可以得到。其所对应的应力，从该曲线上也可以得到。o 那么可以说，对同一金属在同样的变形温那么可以说，对同一金属在同样的变形温度度变形速度条件下，等效应力取决于变形变形速度条件下，等效应力取决于变形程度。如果这样的话，一般应力状态是否存程度。如果这样的话，一般应力状态是否存在这一应力在这一应力应变关系曲线？应变关系曲线？ 2022-5-107 此式表示的应变增量此式表示的应变增量 就是等效应变增量就是等效应变增量比例加载时，即比例加载时，即 为等效应变为等效应变 2022-5-10822212233129dddddddee

5、eeeee等式两边分别除以变形时间等式两边分别除以变形时间dt，则得到，则得到为等效应变速率为等效应变速率 2022-5-10910.1.3 等效应变与等效应力的关系等效应变与等效应力的关系o 由由LevyMises流动法则，流动法则， 22212233129dddddddeeeeeee代入代入2022-5-1010o 得到得到或或此式即为等效应变增量此式即为等效应变增量与等效应力的关系与等效应力的关系 则则LevyMises流动法则可以写成流动法则可以写成 2022-5-1011o 这样，由于引入等效应变增量这样，由于引入等效应变增量 与等效应与等效应力力 ，则本构方程中的比例系数，则本构方

6、程中的比例系数 便可以便可以确定，从而也就可以求出应变增量的具体数确定，从而也就可以求出应变增量的具体数值。值。 des2022-5-101210.2 曲线曲线变形抗力曲线变形抗力曲线o 不论是一般应力状态还是简单应力状态作出不论是一般应力状态还是简单应力状态作出的应力应变曲线，就是的应力应变曲线，就是 曲线，此曲线曲线，此曲线也叫变形抗力曲线或加工硬化曲线，或真应也叫变形抗力曲线或加工硬化曲线，或真应力曲线。目前常用以下四种简单应力状态的力曲线。目前常用以下四种简单应力状态的试验来做金属变形抗力曲线。试验来做金属变形抗力曲线。 es2022-5-1013真实应力-应变曲线o 延伸率延伸率o

7、断面收缩率断面收缩率o 对数应变对数应变 o 真实应力：真实应力：2022-5-1014真实应力-应变曲线的确定o单向拉伸试验单向拉伸试验 最大应变量受塑性失稳限制最大应变量受塑性失稳限制 1.01.0，精确段，精确段0.30.3 需校正形状硬化效应的影响需校正形状硬化效应的影响o单向压缩试验：单向压缩试验： 最大应变量可达最大应变量可达2.02.0或更高或更高 由于摩擦的存在圆柱试样出现鼓形由于摩擦的存在圆柱试样出现鼓形o轧制压缩试验：轧制压缩试验： 适于板料适于板料 试验结果需处理（平面应变压缩试验结果需处理（平面应变压缩单向压缩）单向压缩）2022-5-1015o 单向拉伸单向拉伸 20

8、22-5-1016o 单向压缩单向压缩 可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力；等效应变可见单向应力状态等效应力等于金属变形抗力；等效应变等于绝对值最大主应变。等于绝对值最大主应变。 2022-5-1017o 平面变形压缩平面变形压缩 其中其中为平面变形抗力为平面变形抗力2022-5-1018o 薄壁管扭转薄壁管扭转 2022-5-1019真实应力-应变曲线的简化o 幂指数硬化曲线幂指数硬化曲线 o 刚塑性硬化曲线刚塑性硬化曲线 o 刚塑性硬化直线刚塑性硬化直线 o 理想塑性直线理想塑性直线 2022-5-10202022-5-1021变形温度对真实应力-应变曲线的影响流动应力随变形温度升高

9、而下降流动应力随变形温度升高而下降硬化程度随温度升高而减小（斜率减小）硬化程度随温度升高而减小（斜率减小）变形速度对真实应力-应变曲线的影响冷变形时：冷变形时： 温度效应显著，影响较小温度效应显著，影响较小热变形时：热变形时： 温度效应小，影响较大温度效应小，影响较大温变形时：温变形时： 影响处于冷变形和热变形中间影响处于冷变形和热变形中间 a) a)冷变形冷变形 b)b)温变形温变形 c)c)热变形热变形10.3 平面变形和轴对称变形平面变形和轴对称变形o 塑性力学问题共有九个未知数，即六个应力分量和三个位移塑性力学问题共有九个未知数，即六个应力分量和三个位移分量。与此对应，则有三个力平衡方

10、程和六个应力应变关系分量。与此对应，则有三个力平衡方程和六个应力应变关系方程。虽然可解，但在解析上要求出能满足这些方程和给定方程。虽然可解，但在解析上要求出能满足这些方程和给定边界条件的严密解是十分困难的。然而，如果应力边界条件边界条件的严密解是十分困难的。然而，如果应力边界条件给定，对于平面变形问题，静力学可以求出应力分布，而成给定，对于平面变形问题，静力学可以求出应力分布，而成为静定问题。对于轴对称问题，引入适当假设，也可以静定为静定问题。对于轴对称问题，引入适当假设，也可以静定化。塑性加工问题许多是平面变形问题和轴对称问题，也有化。塑性加工问题许多是平面变形问题和轴对称问题，也有许多可以

11、分区简化为平面变形问题来处理。许多可以分区简化为平面变形问题来处理。 2022-5-102410.3.1 平面应力平面应力o 变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存变形体内与某方向轴垂直的平面上无应力存在，并且所有的应力分量与该轴无关，这种在，并且所有的应力分量与该轴无关，这种应力状态即为平面应力状态应力状态即为平面应力状态 o 工程实际中，薄壁管扭转、工程实际中，薄壁管扭转、薄壁容器承受内压、板料成薄壁容器承受内压、板料成形中的一些工序，厚度方向形中的一些工序，厚度方向的应力很小，可简化为平面的应力很小，可简化为平面应力状态应力状态2022-5-1025例题一两端封闭的薄壁圆筒，半径为r，壁

12、厚为t，受内压力p的作用，试求此圆筒产屈服时的内压力p。（设材料单向拉伸时的屈服应力为 ） （在内表面）（在外表面）P2rtzspszsPss2022-5-1026o 应力特点应力特点 假设与假设与z z轴垂直的平面上没有应力作用：轴垂直的平面上没有应力作用： 平面应力状态：平面应力状态：而而2022-5-1027o 主应力o 主切应力2022-5-1028o 力平衡微分方程力平衡微分方程 2022-5-10292022-5-1030o 主切应力平面上的正应力为零主切应力平面上的正应力为零o 主切应力在数值上等于正应力主切应力在数值上等于正应力2022-5-103110.3.2 平面应变平面应

13、变o 变形体内所有质点只在同一个坐标平面之内变形体内所有质点只在同一个坐标平面之内变形，在该平面的法线方向上没有变形，这变形，在该平面的法线方向上没有变形，这种变形称为平面变形或平面应变种变形称为平面变形或平面应变 2022-5-1032o 应力特点应力特点 平面应变状态：平面应变状态：而而 平面应力状态：平面应力状态：而而)(21312sss3s2022-5-1033平面应变状态的应力偏张量是纯剪切应力状态平面应变状态的应力偏张量是纯剪切应力状态2022-5-1034)(21312sss3s2022-5-1035平面应变状态的应力张量是纯切应力张量叠加球应力张量平面应变状态的应力张量是纯切应

14、力张量叠加球应力张量2022-5-1036o 应变特点应变特点 31ee02e3e2022-5-1037o 几何方程几何方程 xuxxexuyuyxxy21eyuyyeyuzuzyyz21ezuzzezuxuxzzx21eiujujiij21e或或2022-5-1038o 力平衡微分方程力平衡微分方程 2022-5-1039o 屈服条件屈服条件o 本构方程本构方程 2022-5-104010.3.3 轴对称变形轴对称变形o 变形体为旋转体，旋转体承受的外力对称于变形体为旋转体，旋转体承受的外力对称于旋转轴分布，变形体内质点的应力状态即为旋转轴分布，变形体内质点的应力状态即为轴对称应力状态轴对称

15、应力状态 2022-5-1041o 应力特点应力特点o 应变特点应变特点 变形均匀时有变形均匀时有2022-5-1042o 几何方程几何方程 2022-5-1043o 力平衡微分方程力平衡微分方程 2022-5-1044o 屈服条件屈服条件o 本构方程本构方程 变形均匀时变形均匀时 2022-5-1045金属塑性成形原理金属塑性成形原理力学部分主要内容力学部分主要内容o 应力状态分析应力状态分析o 应变状态分析应变状态分析o 变形力学方程变形力学方程o 滑移线场理论滑移线场理论o 主应力法主应力法o 上界法上界法o 有限元法有限元法塑性加工力学基塑性加工力学基础部分础部分塑性加工力学问题求塑性

16、加工力学问题求解方法部分解方法部分2022-5-1046一点应力张量一点应力张量x面面y面面z面面x方向方向y方向方向z方向方向2022-5-1047切应力互等定理切应力互等定理2022-5-1048o通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标通过变形体内任意点垂直坐标轴截取三个相互垂直的截面和与坐标轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素轴成任意角度的倾斜截面，这四个截面构成一个四面体素 2022-5-1049斜面上任一点应力状态斜面上任一点应力状态zxyos sxs s ys szt txyt tyzt tyxt txzt tzyt tzxSnnSnxSnySnz

17、s snt t nBACds2022-5-1050全应力在各坐标轴上的分量全应力在各坐标轴上的分量o 全应力分量方程全应力分量方程o 用矩阵表示为用矩阵表示为（）2022-5-1051斜微分面上的正应力、切应力o把微分斜面上的合应力把微分斜面上的合应力Sn，向法线，向法线n方向投影，便可求出微分斜方向投影，便可求出微分斜面上的正应力，或将面上的正应力，或将Snx、Sny、Snz分别投影到法线分别投影到法线n上，也同样上，也同样得到微分斜面上的正应力，即得到微分斜面上的正应力，即 o 将将Snx、Sny、Snz带入上式得带入上式得o微分面上的剪应力为微分面上的剪应力为2022-5-1052o 若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应若坐标轴为主轴，则与坐标轴垂直的截面上的切应力为零，则由力为零，则由可得可得而而所以所以2022-5-1053应力边界条件方程o如果该四面体素的斜面恰好如果该四面体素的斜面恰好为变形体的外表面上的微面为变形体的外表面上的微面素，并假定此面素单位面积素，并假定此面素单位面积上的作用力在坐标轴方向的上的作用力在坐标轴方向的分力分别为分力分别为px、py、pz，则，则2022-5-1054o 应力边界条件方程的物理意义：应力边界条件方程的物理意义：o 建立了过外表面上任意点，单位表面力与过建立了