用初等变换求矩阵的秩

1、复习1、2、用初等变换求矩阵的秩设12212480,24233606A=12.34b 求R(A)和R(Ab).初等变换l一、线性方程组解的存在性 定理定理2 n元齐次线性方程组 Amnx = 0有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩 R(A) n. 证明证明：先证必要条件设方程组x有非零解.（用反证法）假设（）n，则在中应有一个 n 阶非零子式n，从而n所对应的 n个方程只有零解（根据ramer法则）.这与方程组有非零解相矛盾.因此（）n不能成立.故有（）n 再证充分性.设（）rn，则的行阶梯形矩阵只含有r个非零行，从而知其有nr个自由未知量.任取一个自由未知量为 1 ，其余的未知量都为零，即可

2、得到方程组的一个非零解. 定理定理n元非齐次方程组x有非零解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵（，）的秩. 证明证明 必要性.设方程组x有解，要证R(A) = R(B).（反证法）设R(A) R(B), 则 B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程 0 = 1，这与方程组有解矛盾.因此R(A) = R(B). 充分性.证明方程组有解.设R(A) = R(B) = r (rn) ,把B化为行阶梯形矩阵，则 B 的行阶梯形矩阵中含 r 个非零行. 把这 r个非零行的第 一个非零元素所对应的未知量作为非自由的未知量，其余 n r 个作为自由未知量，并令 n r 个自由未知量全取零.即可得方

3、程组的一个解. 注意注意：1）当 R(A) = R(B) = n 时，方程组没有自由未知量，故只有唯一解. 2）当 R(A) = R(B) = r n时，方程组有 n r 个自由未知量，故有无穷多解.l 1) Ax = 0l 只要把它的系数矩阵化为行的最简形矩阵，把以行l最简形矩阵中非零行的第一个非零元 1为系数的未知数留在等号左端，其余的移到等号的右端，再表示成通解. 2）Ax = b 只要把它的增广矩阵化成行阶梯形矩阵，由定理 3，判断它是否有解；若有解，则对增广矩阵进一步化成行最简形矩阵.把行最简形矩阵中非零行第一个非零元素 1为系数的未知数留在等号左端，其余均移到等号右端.再表示成通解

4、.二、二、线性方程组的解法0340222022432143214321xxxxxxxxxxxx 解解 对系数矩阵A施以初等行变换为行最简形矩阵：341122121221A463046301221000034210122100003421035201即得到与原方程组的同解方程组03420352432431xxxxxx即432431342352xxxxxxx3 ,x4 可以任意取值.令x3 = k1 , x4 = k2 , 把它写成参数形式1122123142523423x kkxkkx kx k 其中 k1 , k2 , 为任意实数.其解亦可表为向量形式2121214321342352kkkkk

5、kxxxx103435012221kk32222353132432143214321xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵B实施行的初等变换322122351311321B200001045011321可见，R(A) = 2 , R(B) =3.故方程组无解.12311 0540105401 0895443313432143214321xxxxxxxxxxxx解解 对增广矩阵B实施行的初等变换089514431311311B1764017640113110000017640113110000017640441244000001764053604000004147231045432301 显然

6、， R(A) = R(B) = 24，所以原方程组有无穷多解，且具有下列同解方程组：414723454323432431xxxxxx即414723454323432431xxxxxx故 k1 , k2 为任意常数.1122123142335244371244xkkxkkx kx k 1212123142335244371244kkxxkkxkxk 00414510474301232321kkk1 ,k2 为任意常数.写成向量形式例例4 设有线性方程组 问 取何值时，此方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷多个解？并在有无穷多解时，求其通解.321321321)1 (3)1 (0)1 (xxxxxxxxx 解解 对增广矩阵B =（A | b）实施行的初等变换:11131110111B0111311111101113111111)1 ()2(030111)1)(3()3(0030111 1）当 0 , 且 3时，(A) = R(B) = 3 , 方程组有唯一解; 2) 当 = 0 时 , R(A) = 1 , R(B) = 2 , 方程组无解； 3)当 =3 时, R(A) = R(B)