材料力学_弯曲变形

1、xy第五章第五章 弯曲变形弯曲变形5.1挠度和转角挠度和转角 梁变形基本方程梁变形基本方程 EIxMx)()(1弯曲变形基本公式弯曲变形基本公式F挠度挠度：横截面的形心在垂直于轴线横截面的形心在垂直于轴线（x轴）方向的线位移，用轴）方向的线位移，用 y 表示表示 xy转角转角：横截面在横截面在 xy 平面内的角位移平面内的角位移,用用表示表示 梁变形后的轴线，称为梁变形后的轴线，称为挠曲线挠曲线 )(xyy 挠曲线方程挠曲线方程在小变形下：在小变形下：ytanyyyx 232)1 ()(1xy00 Myxy00 MyEIxMxyy)(dd22 梁变形基本方程梁变形基本方程（微分方程）（微分方程

2、）5.1挠度和转角挠度和转角 梁变形基本方程梁变形基本方程EIxMxyy)(dd22 qxyEIxxyEIxM222222dddddd)(qyEI)4(由基本方程两次积分由基本方程两次积分:1d)(CxEIxMy21dd)(CxCxEIxMy 式中积分常数式中积分常数 C1 、C2 可由梁约束处的已知可由梁约束处的已知位移确定，这些已知位移条件称为位移确定，这些已知位移条件称为约束条件约束条件铰支座处挠度为零铰支座处挠度为零 ( y =0 )固定端处挠度和转角均为零固定端处挠度和转角均为零( y = 0 = 0 )()(xyxyy挠度方程和转角方程挠度方程和转角方程分段描述的挠曲线在交接处应满

3、足的位移条件称为分段描述的挠曲线在交接处应满足的位移条件称为连续条件连续条件yyyy约束条件和连续条件统称为约束条件和连续条件统称为边界条件边界条件利用微分方程和边界条件，直接积分求得挠曲线方程而计算梁位移的方法称利用微分方程和边界条件，直接积分求得挠曲线方程而计算梁位移的方法称为为积分法积分法，积分法可得到完整的位移分布，但有时较麻烦。，积分法可得到完整的位移分布，但有时较麻烦。例例:求图示悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端的挠度和转角。求图示悬臂梁的挠曲线方程及转角方程，并求自由端的挠度和转角。ABqlyx解：列出梁的弯矩方程解：列出梁的弯矩方程2222121)(21)(qlqlxq

4、xxlqxM由基本方程由基本方程222121)(qlqlxqxxyEI 1223212161)(CxqlqlxqxxyEI2122344161241)(CxCxqlqlxqxxEIy0)0()0(0)0(yy约束条件：约束条件：可求得：可求得：0021CC代入上式，整理得：代入上式，整理得：)33(6)()(22llxxEIqxxyx)64(24)(222llxxEIqxxy)(6)()(8)(34EIqllEIqllyyBBx例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程。求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程。解：求弯矩方程较麻烦，可直接用四阶微分方程积分求解：求弯矩方程较麻烦，可直接用四阶微分方程

5、积分求解解lxkxqxyEIsin)()()4(连续积分四次连续积分四次1)3(cos)(ClxlkxEIylxkqsin0)()0(lyy位移边界条件：位移边界条件：可求得：可求得：00003412CCCCyxABl212sin)(CxClxlkxyEI 43223142161sin)(CxCxCxClxlkxyEI3221321cos)(CxCxClxlkxyEI力边界条件：力边界条件：0)()0( lyylxEIklxyxcos)()(33则有：则有：lxEIklxysin)(4444max)2()(EIkllyxy33max)()0()(EIkllx例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角

6、方程，并求最大挠度求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| | y | |max、最大转角、最大转角| | |max和跨中挠度和跨中挠度y (l /2)。设。设 a b 。解：分段列出梁的弯矩方程解：分段列出梁的弯矩方程)()()()0()(21lxaaxFxlFbxMaxxlFbxM分段对基本方程积分分段对基本方程积分)()()()(2121ayayayay由连续条件：由连续条件：xlFbxyEI )(11212)(CxlFbxyEI21316)(CxCxlFbxEIy)0(ax 可求得：可求得：2211DCDC)(lxa)()(2axFxlFbxyEI 1222)(22)(Dax

7、FxlFbxyEI21332)(66)(DxDaxFxlFbxEIy由约束条件：由约束条件：000)0(221DCy)(60)(22112bllFbDClyyxCABlFba例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| | y | |max、最大转角、最大转角| | |max和跨中挠度和跨中挠度y (l /2)。设。设 a b 。yx)()3()(36)()()(6)()0()3(6)()(6)(222222223222212221lxaxblaxblEIlFbxxxblaxblEIlFbxyaxxblEIlFbxxblEIlFbxx

8、y转角为单调函数，最大值在两端转角为单调函数，最大值在两端将积分常数代入，整理得：将积分常数代入，整理得：)0(0)()()(lxEIxMxyx CABlFba当当 a b 时，有时，有EIlalFabB6)(max)(6)()()(6)()0(21EIlalFablEIlblFabBA例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| | y | |max、最大转角、最大转角| | |max和跨中挠度和跨中挠度y (l /2)。设。设 a b 。yx相差不到相差不到 3%974. 01639)2/(maxyly20lx 0)()(11xx

9、y令令EIFllyy48)2(31max0)2(6)3(6)()(2222221laabbEIlFblabEIlFbaaCABlFba可求得：可求得：3220blx则：则：EIlblFbxyy39)()(32201max)()43(48)43(48)2()2(222221lbEIFblblEIFblyly2lab当当0b当当当简支梁挠曲线无拐点时，可用跨中挠度代替最大挠度。当简支梁挠曲线无拐点时，可用跨中挠度代替最大挠度。例例:求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度求图示简支梁的挠曲线方程及转角方程，并求最大挠度| | y | |max、最大转角、最大转角| | |max和跨中挠度和

10、跨中挠度y (l /2)。设。设 a b 。yx用奇异函数描述的弯矩方程用奇异函数描述的弯矩方程则：则：12222)(CaxFxlFbxEI)()()(0dd11axaxnaxaxnxaxnnnCABlFba)0(0)(11lxaxFxlFbxM0)(0)0(lyy由由由奇异函数的定义，有由奇异函数的定义，有)()(11)(011d11axCaxnaxCaxnxaxnnn213366)(CxCaxFxlFbxyEI得得)(602212bllFbCC挠曲线方程挠曲线方程)0()(666)(2233lxxblEIlFbaxEIFxEIlFbxy5.2叠加法求梁的变形叠加法求梁的变形对于小变形条件下

11、的线弹性梁，可应用叠加法求变形，常用于指定位移的计算对于小变形条件下的线弹性梁，可应用叠加法求变形，常用于指定位移的计算)d)()d)(d)(d)(1111kkkllliiiCxEIxMCxEIxMCxEIxMCxEIxMy)dd)()dd)(dd)(212121kkkkkllllliiiCxCxEIxMCxCxEIxMCxCxEIxMy ABqlFABlABlMBFABqlMB)()()()(xyxyxyxyFMqyxABl例例:求图示简支梁的挠曲线方程。求图示简支梁的挠曲线方程。qad解：利用集中力挠曲线方程，采用叠加法求解解：利用集中力挠曲线方程，采用叠加法求解laxllEIllqxEI

12、qxEIllqxyxy)(6)(d6d6)(d)(d)(2233xblEIlbFaxEIFxEIlbFxy)(666)(d2233adqF lblallxllxlxllxEIq422423)(4)(241)(26bdqF 442232)2(224axlxbblxbEIlq当当 a = 0 ，有：，有：)2(24)(323llxxEIqxxylb例例:图示简支梁的转角图示简支梁的转角A 、B 和跨中挠度和跨中挠度 yC 。l /4l /4l /4l /4CABF2 = F/2F1 = F/2解：所求位移等于两个力单独作用时相应位移的叠加解：所求位移等于两个力单独作用时相应位移的叠加查表查表21A

13、AA21BBB21CCCyyy)(2565)4(64432)(6222222EIFlllEIlllFblEIlbaFA)(2567)43(64342)(6211111EIFlllEIlllFblEIlbaFA)(6432EIFlA例例:图示简支梁的转角图示简支梁的转角A 、B 和跨中挠度和跨中挠度 yC 。l /4l /4l /4l /4CABF2 = F/2F1 = F/2)(2567)43(64432)(6222222EIFlllEIlllFalEIlbaFB)(2565)4(64342)(6211111EIFlllEIlllFalEIlbaFB)(6432EIFlA)(6432EIFlB

14、例例:图示简支梁的转角图示简支梁的转角A 、B 和跨中挠度和跨中挠度 yC 。l /4l /4l /4l /4CABF2 = F/2F1 = F/2)(4832114434842)43(48322212111EIFlllEIlFalEIaFyC)(6432EIFlA)(6432EIFlB)(4832114434842)43(48322222222EIFlllEIlFblEIbFyC)(4816113EIFlyCF记跨中作用集中力记跨中作用集中力 F 时，跨中挠度时，跨中挠度(最大挠度最大挠度)为为 yC0 ：688. 016110CCyyEIFlyC4830例例:求图示变截面悬臂梁自由端的挠度

15、求图示变截面悬臂梁自由端的挠度 yC 。ABl/2yxl/2C2EIEIFF)(163)2(2)2(22222EIFlEIlMEIlFoBFMo=Fl /2yC1yB2yC2B2/ lB解：先不考虑解：先不考虑 AB 段变形段变形(刚化刚化)，计算，计算 C 对对 B 的的相对挠度相对挠度解除解除 AB 段刚化，并令段刚化，并令 BC 段刚化，计算段刚化，计算 C 由由于于 AB 段变形而产生的牵连位移段变形而产生的牵连位移)(2432331EIFlEIlFyC)(965)3248()2(22)2(32333232EIFlEIFlEIFlEIlMEIlFyoB例例:求图示变截面悬臂梁自由端的挠

16、度求图示变截面悬臂梁自由端的挠度 yC 。ABl/2yxl/2C2EIEIFF)(16322EIFlBFMo=Fl /2yC1yB2yC2B2/ lB)(2431EIFlyC)(96532EIFlyB)(48723222EIFllyyBBC)(163321EIFlyyyCCC类似，若要求自由端转角，有：类似，若要求自由端转角，有：)(165)1638(222222221EIFlEIFlEIFlEIlFBCCC这种分析方法称为梁的逐段刚化法这种分析方法称为梁的逐段刚化法5.3简单超静定简单超静定梁梁ABql例：作图示梁的内力图例：作图示梁的内力图解：一次超静定解：一次超静定qX ( FBy )A

17、BFSq：ql+ +MX：Xl+ +- -+ +Mq：ql2 /2- -FSX：X- -0By多余约束处的位移条件多余约束处的位移条件BXqBByyyEIXlEIql383408343EIqlEIXl)(83qlXFBy基本方程基本方程(补充方程补充方程)XqSXSqSMMMFFF3ql/85ql/8+ +- -FS：M：9ql2/128ql2/8yxABqlAqAXAX (mA)q0A02433EIqlEIXlqyEIxq)4()()(82qlXmA)(85qlFAy)(83qlFBy1)3()(CqxyEIxFS21221)(CxCqxyEIxM 322132161CxCxCqxyEI43

18、223142161241CxCxCxCqxyEI0)(0)(0)0(0)0(lMlyyy0034CC021212ClCql0216124122314lClCql2218185qlCqlCyxABqlmAqlqxxFS85)(22818521)(qlqlxqxxM)6158(48)()(22llxxEIqxxyx)352(48)(222llxxEIqxxyqlFFSAy85)0(qllFFSBy83)(8)0(2qlMmAFAyFBy令令lxxFxMS850)(dd01289)85(2maxqllMMlxxxy578. 00)(dd0令令EIqllyy4max0054. 0)578. 0(EIq

19、lEIqly44max013. 03845简支梁简支梁:EIqlEIqly44max125. 08悬臂梁悬臂梁:128168)0(22maxqlqlMM例：求图示组合结构中杆例：求图示组合结构中杆1(EC 杆杆)和杆和杆2(FD 杆杆)的内力的内力ADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)解：一次超静定，取静定基解：一次超静定，取静定基2lyD位移协调条件：位移协调条件：2222222AEXaAElFlN其中：其中：用叠加法求用叠加法求AB 梁上梁上 D 处的挠度处的挠度 yDFXEIlFlEIlXFyD2)3)(3(3)3)(231EIXlEIFl81

20、162533Fl/3FXADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)2lyD位移协调条件：位移协调条件：2222222AEXaAElFlN其中：其中：EIXlEIFlyD811625331FX2Fl/3-Xl/3FXFX)3(3)3)(3132()3(2lEIlXlFllyCDEIXlEIFl8181233ADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)2lyD位移协调条件：位移协调条件：2222222AEXaAElFlN其中：其中：EIXlEIFlyD811625331FXFXEIXlEIFlyD81812332FX11

21、111111134622AEXaAEFaAElFlyNDXFllXlFFN233/3/21ADCBEFFl / 3l / 3l / 3aE1A1E2A2EIFX (FN2)2lyD位移协调条件：位移协调条件：2222222AEXaAElFlN其中：其中：EIXlEIFlyD811625331FXFXEIXlEIFlyD818123321111346AEXaAEFayD321DDDDyyyy113221122113618)4(812AEFaEIFlXAEAEaAEAEEIl221122113113)4(812618AEAEaAEAEEIlAEaEIlFXFXADCBEFFl / 3l / 3l

22、/ 3aE1A1E2A2EIFEIAEAElAEAEaEIAEAElAaEAEAEaAEAEEIlEIlAEaFXFN/2)4(81)18/6(81)4(81218622113221122113222211221133112FEIAEAElAEAEaEIAEAElAaEAEAEaAEAEEIlEIlAEaFXFFN/2)4(81)27/3(81)4(8122732322113221122113112211221133221求杆求杆1和杆和杆2的内力的内力当当 EI E1A1E2A2 ，AB视为刚性梁视为刚性梁FAEAEAEFFAEAEAEFNN221122222111114643当当E1A10

23、 ，为静定结构，为静定结构FFFFNN5 . 12/3021同理，当同理，当E2A20 ，为静定结构，为静定结构0321NNFFF当当 E1A1 和和 E2A2 趋于无穷，为连续梁趋于无穷，为连续梁FFFFNN492321例：已知长度为例：已知长度为 l 的等直单跨梁的挠度方程为的等直单跨梁的挠度方程为)2(120)(42240lxlxEIlxqxy(1)求梁内绝对值最大的剪力和弯矩求梁内绝对值最大的剪力和弯矩(2)分析梁的支承和受载情况分析梁的支承和受载情况解：由梁的近似微分方程及梁的微分关系，可知梁内无集中载荷，且有解：由梁的近似微分方程及梁的微分关系，可知梁内无集中载荷，且有)65(12

24、0)()(42240lxlxEIlqxyxxlqxlqxyEIxM106)()(030 102)()(020lqxlqxMxFSxlqxFxqS0)()(1)令令0)()(xFxMSlx55得得有极值弯矩有极值弯矩755)55(20lqlM边界处，有边界处，有15)(0)0(20lqlMM剪力方程在梁内为单调函数剪力方程在梁内为单调函数0)()(xqxFS边界处，有边界处，有lqlFlqFSS0052)(10)0(52)(15)(0max20maxlqlFFlqlMMSS经比较，梁内绝对值最大经比较，梁内绝对值最大的剪力和弯矩分别为的剪力和弯矩分别为例：已知长度为例：已知长度为 l 的等直单跨

25、梁的挠度方程为的等直单跨梁的挠度方程为)2(120)(42240lxlxEIlxqxy(1)求梁内绝对值最大的剪力和弯矩求梁内绝对值最大的剪力和弯矩(2)分析梁的支承和受载情况分析梁的支承和受载情况)65(120)()(42240lxlxEIlqxyxxlqxlqxyEIxM106)()(030 102)()(020lqxlqxMxFSxlqxFxqS0)()(0)(120)0(30lEIlq15)(0)0(20lqlMM梁内有线性分布的载荷梁内有线性分布的载荷边界处，有边界处，有0)(0)0(qlqqx = 0 处，可能为铰支或集中力作用处处，可能为铰支或集中力作用处lqlFlqFSS0052)(10)0(2)边界处，有边界处，有解：解：0)(0)0(lyyx = l 处，可能为铰支或固定处，可能为铰支或固定例：已知长度为例：已知长度为 l 的等直单跨梁的挠度方程为的等直单跨梁的挠度方程为)2(120)(42240lxlxEIlxqxy(1)求梁内绝对值最大的剪力和弯矩求梁内绝对值最大的剪力和弯矩(2)分析梁的支承和受载情况分析梁的支承和受载情况0)(120)0(30