机器人的微分运动与速度

1、第八讲第八讲 机器人的雅可比矩阵机器人的雅可比矩阵与速度分析与速度分析（一）雅可比矩阵的定义（二）雅可比矩阵的构造法（三）逆雅可比矩阵（四）力雅可比（五）加速度关系例一：两自由度平面机构)cos(cos12211llxB)sin(sin12211llyB)()cos(cos12122111llyB)()sin(sin12122111llxB211221221112212211)cos()cos(cos)sin()sin(sinllllllyxVVVBByxB雅可比矩阵雅可比矩阵J J写成矩阵形式：末端速度向量末端速度向量关节速度向量关节速度向量例二、三自由度平面机械手由图可知：)cos(5 .

2、 0)cos(4 . 0cos8 . 0123121Ax)sin(5 . 0)sin(4 . 0sin8 . 0123121Ay)()cos(5 . 0)()cos(4 . 0cos8 . 0123123121211Ay)()sin(5 . 0)()sin(4 . 0sin8 . 0123123121211Ax321321写成矩阵形式：321321321111cos5 . 0cos4 . 0cos8 . 0sin5 . 0sin4 . 0sin8 . 0AAzyxAyxVVV雅可比矩阵雅可比矩阵J J手爪速度向量手爪速度向量关节速度向量关节速度向量结论 雅可比（Jacobian）矩阵反映了机械

3、臂末端速度和各关节速度之间的关系； 雅可比（Jacobian）矩阵不是一个常数矩阵，它与关节变量有关，机械臂工作时，各关节协调运动，关节变量是变化的，雅可比（Jacobian）矩阵也是变矩阵； 雅可比（Jacobian）矩阵的求法与求导有关； 雅可比（Jacobian）矩阵具有重要的研究意义；（一）雅可比矩阵的定义 把机器人关节速度向量 定义为： 式中， 为连杆 相对于 的角速度或线速度。 手爪在基坐标系中的广义速度向量为： 与 之间的线性映射关系称为 雅可比矩阵J，即：iq Tnqqqq21), 2 , 1 (nqii1iTzyxzyxvVq VnzyxqqqJzyx21（一）雅可比矩阵的定

4、义 在数学上，机器人终端手爪的广义位姿向量 可写成： 对左式求导，有：),(),(),(),(),(),(212121212121nznynxnnnqqqqqqqqqqqqzqqqyqqqxPV（一）雅可比矩阵的定义 在机器人学中，雅可比矩阵是一个把关节速度向量变换为手爪相对于基座标的广义速度向量的变换矩阵。 在三维空间运行的机器人，J的行数恒为6；在二维平面运行的机器人， J的行数恒为3；列数则为机械手含有的关节数目。（一）雅可比矩阵的定义 对于平面运动的机器人来说，手的广义位置向量 容易确定，且方位 与角运动的形成顺序无关，可采用直接微分法求 ，非常方便。TyxJ（一）雅可比矩阵的定义 直

5、接微分法对于三维空间运行的机器人则不完全适用。从机器人运动学方程，可以获得直角坐标位置向量 的显式方程，但找不到方位向量 的一般表达式。不能用直接微分法求雅可比矩阵，应采用构造法。TzyxTzyx（二）雅可比矩阵的构造法 矢量积法和微分构造法： 对于有n个关节的机器人，其雅可比矩阵是6n矩阵，其前三行称为位置雅可比矩阵，代表对手爪线速度 的传递比；后三行称为方位矩阵，代表相应的关节速度 对手爪角速度 的传递比，因此将 分块为： qqJV dqqJDJnaaainiiqqqJJJJJJV2122121Viq 矢量积法构造雅可比矩阵 对于移动关节0,0iiiizJqzwv ioniiiiionii

6、zpzJqzpzwv, nioionipRp i 对于转动关节i微分变换法构造雅可比矩阵微分变换法构造雅可比矩阵微分变换的等价变换，是联体坐标系下的微分变换与基微分变换的等价变换，是联体坐标系下的微分变换与基坐标系下的微分变换之间的关系，也就是从在基坐标系坐标系下的微分变换之间的关系，也就是从在基坐标系下的微分运动到在联体坐标系下的微分运动的转换。下的微分运动到在联体坐标系下的微分运动的转换。由于微分变换的等价变换是针对机器人末端的相同位姿变化，由于微分变换的等价变换是针对机器人末端的相同位姿变化，所以：所以：根据矢量相乘的性质根据矢量相乘的性质: :因此，转动关节的微分平移和微分旋转矢量，可

7、表示为：因此，转动关节的微分平移和微分旋转矢量，可表示为：转动关节的微分平移和微分旋转矢量：转动关节的微分平移和微分旋转矢量：（三）逆雅可比矩阵及奇异性逆雅可比矩阵 若给定机器人手爪的广义速度向量 ，由式 可解出相应的关节速度： 称为逆雅可比矩阵， 为加给对应关节进给伺服系统的速度输入变量。 当 不是方阵时， 是不存在的，可以用广义逆雅可比矩阵来确定关节速度向量。 当 是方阵时，可对 直接求逆，得到 ，但比较困难。 通常直接对机器人的逆解进行微分来求 。 qqJV VqJq1V qJ1q qJ1 qJ1 qJ1JJJ（三）逆雅可比矩阵及奇异性例题：图中所示二自由度机械手，手部沿固定坐标系X正向

8、以1.0m/s的速度移动，杆长均为0.5m。设在某瞬时130，260，求相应瞬时的关节速度。 （三）逆雅可比矩阵及奇异性 雅可比矩阵的奇异性由此可见，当雅可比矩阵的行列式为0时，既使手爪的速度为一个定值，关节速度也将趋于无穷大，最终结果会导致关节及该关节的驱动装置损坏。 qJqJqJ*1 0qJ qJ1 VqJq1则则若若雅可比矩阵的奇异性 如前所述，雅可比矩阵不是一个常数矩阵，它的行列式值随着机械手的运动在变化； 因此，当机械手运动到某个形位时，恰好使此时的雅可比行列式值为0，就会造成奇异，此时机械手的形位成为奇异形位； 机械手在工作时，应避开奇异形位附近，以免发生危险，这导致了机械手的工作

9、空间进一步缩小。奇异性的例子显然，连杆的长度是不可能为显然，连杆的长度是不可能为0 0的；因此，若的；因此，若 ，则则 。机构出现奇异。该机构的奇异形位就是两连。机构出现奇异。该机构的奇异形位就是两连杆完全伸展或完全折叠，即机构工作空间的边界处。杆完全伸展或完全折叠，即机构工作空间的边界处。（每个人都拿胳膊试试每个人都拿胳膊试试）)cos()cos(cos)sin()sin(sin1221221112212211llllllJ2211221221112212211sin)cos()cos(cos)sin()sin(sinllllllllJ0Jk2四、力雅可比 机器人在与外界环境相互作用时，在接触处要产生力 和力矩 ，统称为末端广义力矢量，记做： 在静止状态下，广义力矢量 应与各关节的驱动力或力矩平衡。 个关节的驱动力矩组成 维矢量： ，称为关节力矢量。TnT21nfFFfnnn FqJT四、力雅可比例：2自由度机械手如图所示。取10（rad），2/2（rad）的姿态时，分别求解