第三章点、线、面

1、平面平面直直线线点的投影点的投影面B BC CD DA A线点面B BC CD DA A线点点、直线、平面是构成形体的基本几何元素点、直线、平面是构成形体的基本几何元素第一节第一节 点的投影点的投影一一 点在两投影面体系中的投影点在两投影面体系中的投影HB B2 2B B1 1A Aba 过空间点过空间点A A的投射线与投的投射线与投影面影面P P的交点即为点的交点即为点A A在在P P面上面上的投影。的投影。点的单面投影：点的单面投影： 不能唯一确定空间点不能唯一确定空间点 一一 两面投影体系两面投影体系OXH HV VH与与V 相交相交OX投影投影轴轴水平投影面水平投影面 H 正立投影面正

2、立投影面 V垂垂直直相相交交二二 点的两面投影点的两面投影VHO OAaaX正面投影正面投影水平投影水平投影aX aoxax a点的投影特性点的投影特性：1. a a 的连线的连线 OX OX 轴轴 2.2. a aX =Aa (A到到H面的距离面的距离) a aX =Aa (A到到V面的距离面的距离)点的两面投影规律：点的两面投影规律：（1）点的两投影连线垂直于投影轴，即 aaox；（2）点的投影到投影轴的距离，等于该 点到相邻投影面的距离，即： aax=Aa aax=Aa用两面投影是否均能用两面投影是否均能唯一确定唯一确定空间形体？空间形体？ 不能不能OXHVXOVHOAa,aX正面投影正

3、面投影水平投影水平投影一一 三面投影体系三面投影体系WYZa侧面投影侧面投影二 点的三面投影点的三面投影水平投影面水平投影面 H 正立投影面正立投影面 V侧立投影面侧立投影面W垂垂直直相相交交H与V 相交OX投影轴H与W相交OY投影轴V与W相交OZ投影轴 aaa二二 点的三面投影点的三面投影oxzy Hy W45 垂直关系垂直关系,a aOXa,a,OZ 相等关系相等关系axaz aaxa,azayay投影特性：投影特性：1. aaz = aay = x aaz = aax = y aax =aay = z 三投影面体系中点的投影规律三投影面体系中点的投影规律2. aa ox aa ozHVX

4、ZYWOayaxazxyzaaaHa aa VWXOZYWYHaxayazay例题例题1 1 已知点已知点 A的正面投影和侧面投影的正面投影和侧面投影, 求其水平投影。求其水平投影。注注: 这是这是二求三二求三问题的基础。问题的基础。axzOy Wy HaaOAaaXYZa三 点的投影与直角坐标的关系点的投影与直角坐标的关系投影面投影面 坐标面坐标面投影轴投影轴 坐标轴坐标轴轴的交点轴的交点OO坐标原点坐标原点xzy Aa =Xa Aa =Ya Aa =Za距离的关系：距离的关系：投影投影坐标坐标立体图立体图y Wy Hzxoa 例题例题3 3 已知已知 A（35，10，25），）， 作出其三

5、面投作出其三面投 影图。影图。10mm351025aa注注:一个投影点反映两个坐标。一个投影点反映两个坐标。两个投影点确定一个空间点。两个投影点确定一个空间点。XYZaCc例题例题4 4 已知已知A A、C C 两点的投影图，作出其两点的投影图，作出其 立体图，并判别各点的空间位置。立体图，并判别各点的空间位置。 aaccAX轴Y轴aac cyWyHzxaA位于位于C位于位于c特殊点的投影特殊点的投影HVOXb bc cHVOXCcca bBb Aaa aXOaaaYHYW已知点已知点A的正面与侧面投影，求点的正面与侧面投影，求点A的水平投影的水平投影YZOX四四 两两 点点 的的 投投 影影

6、VWHA左左右右上上下下前前后后一一 两点的相对位置关系两点的相对位置关系XOZY 两点的相对位置两点中两点中X 值大值大的点的点 在左在左两点中两点中Y 值大值大的点的点 在前在前 两点中两点中Z 值大值大的点的点 在上在上a a ab b bXZYWYHOaa ab bb BA二二 重影点的概念重影点的概念A与与B 对对H面重影面重影由由V投影投影判断高低判断高低不可见投影点不可见投影点的标记加括号的标记加括号HAB a(b)baXO a(b)XOababa(b)c(d)dcacbd重影点的可见性判断重影点的可见性判断左遮右左遮右3 3、若两点的侧面投影重合，、若两点的侧面投影重合，可从正

7、投影或水平投影判别，可从正投影或水平投影判别，x x坐标值大的点为可见（同坐标值大的点为可见（同学自己分析）。学自己分析）。 将不可见点的投影加上括号将不可见点的投影加上括号来表示，如（来表示，如（b b）（）（dd）。）。前遮后前遮后2 2、若两点的正面投影重合，可、若两点的正面投影重合，可从水平投影判别其可见性，从水平投影判别其可见性，y y坐坐标值大的点为可见（点标值大的点为可见（点C C在前）。在前）。上遮下上遮下1 1、若两点的水平投影重合，可从、若两点的水平投影重合，可从正面投影判别其可见性，正面投影判别其可见性，z z坐标值坐标值大的点为可见（点大的点为可见（点A A在上）。在上

8、）。bbc cxyHywoaaz例题例题5 5 已知各点的两面投影，求作其第三投已知各点的两面投影，求作其第三投 影，并判断点对投影面的相对位置。影，并判断点对投影面的相对位置。 点A的三个坐标值均不为0，A为一般位置。点B的Z坐标为0，故点B为H面上的点。点C的x、y坐标为0，故点C为z轴上的点。abc例题例题6 6 已知点已知点D D 的三面投影，点的三面投影，点C C在点在点D D的正前的正前 方方15mm,15mm,求作点求作点C C的三面投影，并判别其的三面投影，并判别其 投影的可见性。投影的可见性。解：由已知条件知：由已知条件知：X XC C=X=XD DZ ZC C=Z=ZD D

9、 Y YC C-Y-YD D=15mm=15mm因为点因为点C C、D D在在V V面面上的投影重影。上的投影重影。c cc又因为又因为Y YC C Y YD D所以所以C C的的V V面投影面投影为可见点，则为可见点，则D D的的V V面投影为不可见面投影为不可见点。点。 dYWYHOXZdd( )例题例题7 已知已知A点在点在B点之前点之前5毫米，之上毫米，之上9毫米，之毫米，之 右右8毫米，求毫米，求A点的投影。点的投影。a a aXZYWYHOb bb 985ZYXObcaBAC例题例题8 已知已知A、B、C 三点的投影图，作出三点的投影图，作出 其立体图，并判别各点的空间位置。其立体

10、图，并判别各点的空间位置。空间空间H面面V面面cababcyWyHzxA位于位于B位于位于C位于位于acbacbbac直线的投影直线的投影直线上的点直线上的点各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性线段的实长及倾角线段的实长及倾角第二节第二节 直线的投影直线的投影 一 直线的投影直线的投影直线的投影特性直线的投影特性显实显实积聚积聚类似类似1.1.直线平行于投影面，其投影反映实长。2.2.直线垂直于投影面，其投影积聚成点。3.3.直线倾斜于投影面，其投影长度缩短。 直线的投影图直线的投影图b,a,abb,a,xzOyWyH作图：作图：1. 1. 作出直线上两作出直线上两点的投影点的投影2.

11、 2. 用直线分别连用直线分别连接其各同面投影。接其各同面投影。直线上的点具有两个特性直线上的点具有两个特性：1 从属性从属性 若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。2 定比性定比性 属于线段上的点分割线段之比等于其投影之比。利用这一特性，在不作侧面投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。 二二 直线上的点直线上的点ABbbaaXOccCcb,aefbf,e,a,E点点在在AB直线上直线上F点不点不在在AB直线上直线上例例1 1 判断判断 E E、F F点是不是在直线点是不是在直线ABAB上。上。试判断试判断K点是否在直线点是否在直线EF上?f eefkkXO

12、YZVfef eefEFKkkkXO直接判断直接判断a,k,b,a,akbb,k,k1例例2 2 判断判断K K点是否在直线上。点是否在直线上。OX作图步骤：作图步骤：应用应用简单比定理简单比定理1 1）在）在H H 投影上，过投影上，过a a（或（或b b） 任作一条直线任作一条直线aAaA1 1; ;2) 2) 在在aAaA1 1上取上取k k a a ; ; k k b b ; ;3) 3) 连接连接bbbb，过，过k k 作直线作直线 平行于平行于bbbb，与与abab交于交于k k1 1；A1k k与与k k1 1不重合，不重合， K K点不点不在直线上在直线上例题例题3 3 已知点

13、已知点C C在线段在线段ABAB上，求点上，求点C C的正面投影的正面投影。obXabaccaccbXOABbbaacCcHVb a abcc 例题4 试将AB分成2 ：1两段，求分点C 的投影。分析分析：分点：分点C的的投影，必在投影，必在 AB 线段的同面投影上，线段的同面投影上， 且且ac cbac cb1 2 可用可用比例作图法比例作图法作图。作图。 作图步骤作图步骤：1.1. 过过a a( (或或b b) )任作一直线任作一直线aBaB1 1（或（或bBbB1 1) ) ；2.2. 在在aBaB1 1上取上取C C1 1，使，使 aCaC1 1CC1 1B B1 12121；3.3.

14、 连接连接B B1 1、b b；4.4. 过过C C1 1作作C C1 1cBcB1 1b b，与与abab交于交于c c；5.5. 过过c c作作X X轴的垂线与轴的垂线与abab交于交于c,c,则则c c、cc即所求分点即所求分点C C 的投影。的投影。B1C1投影面平行线投影面平行线平行于某一投影面而平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜与其余两投影面倾斜投影面垂直线投影面垂直线正平线（平行于面）正平线（平行于面）侧平线（平行于面）侧平线（平行于面）水平线（平行于面水平线（平行于面）正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）

15、一般位置直线一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线统称特殊位置直线垂直于某一投影面垂直于某一投影面三三 直线与投影面的相对位置直线与投影面的相对位置 水平线水平线 （ / / 面、倾斜和面）面、倾斜和面）XZYOaababb Xa b ab baOzYHYWAB反映实长反映实长AB反映实长反映实长ABXZYO正平线（ / 面、倾斜和面）aababbXabab baOZYHYWAB 实长实长ABXZYO侧平线（侧平线（ / / 面、倾斜和）面、倾斜和）XZa b bbaOYHYWaaa b a bbAB反映实长反映实长AB投影面平行线的投影特性：投影面平行线

16、的投影特性：1 1 在所平行的投影面上的投影倾斜于投影轴，在所平行的投影面上的投影倾斜于投影轴，并反映线段的实长和对另外两投影面的倾角并反映线段的实长和对另外两投影面的倾角2 2 另两个投影平行于相应的投影轴另两个投影平行于相应的投影轴OXZYb a(b)a abZb Xa ba(b)OYH YWa铅垂线（铅垂线（ 面、面、/面、面、/面）面）ABABAB实长实长实长实长 90 0 0正垂线（正垂线（ 面、面、/ / 面、面、/ / 面）面）OXZYb(a)babaABzXab baOYHYWab实长实长ABAB实长实长 0 90 0实长实长实长实长AB实长实长实长实长ABABAB实长实长AB

17、AB侧垂线（侧垂线（ 面、面、/ 面、面、/ 面）面）OXZYABbaa(b)abZXabbaOYHYWab实长实长实长实长ABAB 0 0 90投影面垂直线的投影特性：投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在所垂直的投影面上的投影积聚为一点另两个投影垂直于相应的投影轴，并反映另两个投影垂直于相应的投影轴，并反映线段的实长线段的实长属于属于V 投影面的铅垂线投影面的铅垂线OXZYABba(b)aabZYWbXaba(b)OYHa从属于从属于V 面的直线面的直线ZXabaOYHYWabbOXZYABbbabaa 从属于从属于OX OX 轴的直线轴的直线ZXabaOYHYWa(

18、b)bOOXZYABbba(b)aa 一般位置直线一般位置直线 倾斜于三个投倾斜于三个投影面的直线。影面的直线。 直线与它的水直线与它的水平投影、正面投影、平投影、正面投影、侧面投影的夹角，侧面投影的夹角，分别称为该直线对分别称为该直线对投影面投影面、的倾角，用的倾角，用 、 、 表示。表示。OXZY一般位置直线的投影特性ABbbabaa与三个投影面与三个投影面都倾斜的直线都倾斜的直线称为一般位置称为一般位置直线。直线。ZXabaOYYabb投影特性：投影特性：三个投影均倾斜于投影轴三个投影均倾斜于投影轴均不反映实长和倾角均不反映实长和倾角 直角三角形法求解实长、倾角。1 求直线的实长及对水平

19、投影面的夹角 角2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角四 一般位置线段的实长及其与投影面的夹角ZabABYa b ABa b b XAB倾倾 角角投影长投影长aba b a b 坐标差坐标差ZYX实实 长长ABABABABaba b A1axbxYVHZ直角三角形法：直角三角形法：距距离离差差实长实长投影长投影长倾角倾角|zB-zA |ABABbbaaboXO1 求直线的实长及对水平投影面的夹角求直线的实长及对水平投影面的夹角 角角XaabbABab|zB-zA|AB|zB-zA|ab| ZABbbaaCXO2 求直线的实长及对正面投影面的夹角 角|Y

20、A-YB|aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|XZYO3 求直线的实长及对侧面投影面的夹角 角ABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB|XA-XB|例题例题5 5 试用直角三角形法确定直线试用直角三角形法确定直线ABAB的实长及的实长及 对投影面对投影面V V的倾角的倾角 。ababXO AB倾倾 角角投影长投影长aba b a b 坐标差坐标差ZYX实实 长长ABABAB例题例题6 6 已知线段已知线段ABAB3030毫米及其投影毫米及其投影abab和和a a，试，试 求出求出a ab b 。baab倾倾 角角投影长投影长aba b a b 坐

21、标差坐标差ZYX实实 长长ABABAB例题例题7 7 已知线段的实长已知线段的实长ABAB，求它的水平投影。，求它的水平投影。a abABb Xa ABabab倾倾 角角投影长投影长aba b a b 坐标差坐标差ZYX实实 长长ABABABa ab bc d cdABADBDADBCZZ例例8 8 求平行四边形求平行四边形ABCDABCD的实形的实形HV例例2-15已知等边三角形已知等边三角形ABC , 点点C在在H面上面上 , 求此三角形的两面投影求此三角形的两面投影。abcABCbabaXbabaabcc1. 求边求边AB的实长的实长2. 求边求边AC的水平投影的水平投影3. 求边求边B

22、C的水平投影的水平投影4. 求求c , c并连线并连线第第3 3节节 两直线的相对位置两直线的相对位置一、两直线平行一、两直线平行二、两直线相交二、两直线相交三、两直线交叉三、两直线交叉四、两直线垂直四、两直线垂直 两直线的相对位置Vabdcaabbdcce(f)AAABBBDCCCDEF平行平行两直线两直线相交相交两直线两直线交叉交叉两直线两直线XOV一一 两直线平行两直线平行 规则：若空间两直线平行，则它们的各同名投影平行。规则：若空间两直线平行，则它们的各同名投影平行。abcdb b a a c c d d ABDCb b a a d d c c bacda a b b c c d d

23、同向、同比例同向、同比例不平行不平行判断空间两直线是否平行。判断空间两直线是否平行。b b a a d d c c bacdXO平行平行c c d d c cd dg g h h h hg gXOXOYZVfef eefCDdccddcEFbXaabkcddckVXBDACKbbaaccddkk二二 相交两直线相交两直线交点K的三面投影符合点的投影规律。V交点是两直交点是两直线的共有点线的共有点利用投影判两断直线是否相交？利用投影判两断直线是否相交？ 例例1 1 作一条与作一条与V面相距面相距20mm并与已知直线并与已知直线 CD相交的相交的直线直线AB。先作CD的H面投影例例2 2：已知：直

24、线已知：直线EFEF平行平行CDCD并与直线并与直线ABAB相交，相交，F F点点 在在H H面上。求所缺的投影面上。求所缺的投影。aabbccddOXeeffKK 三三 交叉两直线交叉两直线定义：空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线定义：空间既不平行又不相交的二直线为交叉直线。 b b X Xa a a ab bc c d d d dc c1 11 1 (2(2 ) )2 2VX XO OB BD DA AC Cb bb b a aa a c c c cd dd d 2 21 11 1 (2(2 ) )2 21 1投影特征：交叉两直线的同面投影可能相交，但不符投影特征：交叉两直线的同面投影

25、可能相交，但不符合空间点的投影规律。合空间点的投影规律。Vaabbccdd 注意：注意： 交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正交叉两直线投影的交点并不是空间两直线真正 的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。的交点，而是两直线上相应点投影的重影点。11223344( )( )判断交叉两直线重影点的可见性判断交叉两直线重影点的可见性 X XO OB BD DA AC Cb bb b a aa a c c c cd dd d (3(3 )4)4 1(2)1(2)4 43 33 34 41 1 2 2 1 12 2 判断重影点的判断重影点的可见性时，需要看可见性时，需要看重影点在另一投影重影点在

26、另一投影面上的投影，坐标面上的投影，坐标值大的点投影可见，值大的点投影可见，反之不可见，不可反之不可见，不可见点的投影加括号见点的投影加括号表示。表示。 前遮后、上遮前遮后、上遮下、左遮右下、左遮右上遮下前遮后前遮后例例3 3 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置 （解法一）（解法一）dacboYWYHzXaacddcbb例例3 3 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置 （解法二）（解法二）baacddcbX11d1c1例：判断两直线的相对位置。例：判断两直线的相对位置。交点的连线垂直于交点的连线垂直于OXOX，且两直线为一般位置且两直线为一般位置直线，由两面投影可直线，由两面投影可判

27、断为相交两线。判断为相交两线。abab与与cdcd在一直在一直线上，而线上，而abcd abcd ，两直线平行两直线平行。CDCD为侧平线，利为侧平线，利用点分割线段成比用点分割线段成比例进行判断。为交例进行判断。为交叉两直线。叉两直线。OXaabbccddOXaabbccddOXaabbccddEmk例例4 4：试作一直线试作一直线MNCDMNCD并与直线并与直线ABAB相交于相交于N N点点。nnm作图：过m作mncd，并与ab交于n；由n求出n； 过n作作nmcd，求得m。aabbccddmOX 四四 直角投影定理直角投影定理定理一：垂直相交定理一：垂直相交( (交叉交叉) )的两直线，

28、其中有一条的两直线，其中有一条 直线平行于投影面时，则两直线在该投影面直线平行于投影面时，则两直线在该投影面 上的投影仍反映直角。上的投影仍反映直角。定理二：定理二： 相交相交( (交叉交叉)两直线在同一投影面上的投两直线在同一投影面上的投 影反映直角，且有一条直线平行于该投影影反映直角，且有一条直线平行于该投影 面，则空间两直线的夹角必是直角。面，则空间两直线的夹角必是直角。垂直相交的两直线的投影垂直相交的两直线的投影AHBCacbcXbacbaAB AB 垂直于垂直于AC,AC,且且AB AB 平行于平行于H H 面面, ,则有则有abab ac ac交叉垂直的两直线的投影交叉垂直的两直线

29、的投影BHACcbaMNnmXbabamnnmAB 垂直于AC,且AB 平行于H 面,则有ab ac例例 判断下列几组直线是否垂直：判断下列几组直线是否垂直：aaccbbbaabccbacabcaabbddccaa(bbcdc)d( a )( e )( d )( c )( b )f例例5 5 过点过点E E 作线段作线段ABAB、CD CD 的公垂线的公垂线EFEF。fOcbaabXcddee直角投影定理的直角投影定理的应用应用1.求作点到直线的距离。求作点到直线的距离。 2. 2.两平行直线的距离两平行直线的距离 投影面垂直线投影面垂直线b b a a d d c c a(b)c(d)e e

30、 f f efabcda (b )c (d )ef2. 两平行直线的距离两平行直线的距离 投影面平行线投影面平行线实距实距AB ab|yA-yB|bc=BCb例6 作三角形作三角形ABCABC， ABCABC为直角，使为直角，使BCBC在在MNMN上，上，且且BCBC AB = 2AB = 2 3 3 。bcnmaaXmnc 掌握点与直线的投影特性，掌握点与直线的投影特性，尤其是尤其是特殊位置直线的投影特性。特殊位置直线的投影特性。 点与直线及两直线相对位置的判断点与直线及两直线相对位置的判断方法及投影特性。方法及投影特性。 点分割直线成定比点分割直线成定比定比定理定比定理。 小结：小结：第四

31、节第四节 平面的投影平面的投影 平面的表示法平面的表示法 各种位置平面的投影特性各种位置平面的投影特性 属于平面的点和直线属于平面的点和直线 平面的投影平面的投影一一 平面的表示法平面的表示法 不在同一直线上的三点一直线和线外一点相交两直线平行两直线任意平面形abca b c abca b c abca b c dd abca b c abca b c 用几何元素表示平面用几何元素表示平面平面的迹线表示法平面的迹线表示法VHPPVPHPVPHVHQHQVQQW二二 平面的投影特性平面的投影特性显实显实积聚积聚类似类似1.1.平面平行于投影面，其投影反映实形。2.2.平面垂直于投影面，其投影积聚

32、成直线。3.3.平面倾斜于投影面，其投影为其类似形。 平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 H ：水平面：水平面 V ：正平面：正平面 W：侧平面：侧平面H: 铅垂面铅垂面V: 正垂面正垂面W: 侧垂面侧垂面投影面垂直面投影面垂直面 垂直于一个投影面，与另两个投影面倾斜的平垂直于一个投影面，

33、与另两个投影面倾斜的平面。投影面垂直面可分为三种：面。投影面垂直面可分为三种： 垂直于垂直于面的平面叫面的平面叫正垂面正垂面 垂直于垂直于面的平面叫面的平面叫铅垂面铅垂面 垂直于垂直于面的平面叫面的平面叫侧垂面侧垂面VWHPPHABCacbababbaccc铅垂面（铅垂面（面，倾斜、面）面，倾斜、面）投影特性投影特性 1 1 水平投影积聚成直线，并反映倾角水平投影积聚成直线，并反映倾角和和 2 2 正面投影和侧面投影不反映实形正面投影和侧面投影不反映实形, ,缩小的类似形缩小的类似形. .PHVWHQQVababbacccAcCabB正垂面（正垂面（面，倾斜、面）面，倾斜、面）投影特性投影特性

34、: : 正面投影积聚成直线，并反映倾角正面投影积聚成直线，并反映倾角和和 水平和侧面投影不反映实形，是缩小了的类似形。水平和侧面投影不反映实形，是缩小了的类似形。QVVWHSWS侧垂面（侧垂面（面，倾斜、面）面，倾斜、面）CabABcabbbaaccc投影特性投影特性 1 1 侧面透影积聚成直线，并反映倾角侧面透影积聚成直线，并反映倾角和和 2 2 水平和正面投影不反映实形，是类似形。水平和正面投影不反映实形，是类似形。投影面垂直面的投影特性： 平面在所垂直的投影面上的投影积聚为斜直线；其余两投影面的投影为原形的类似形，但比实形小； 平面具有积聚性的投影与投影轴的夹角，分别反映平面与相应投影面

35、的倾角。投影面的平行面投影面的平行面 平行于一个投影面，与另两个投影面垂直的平平行于一个投影面，与另两个投影面垂直的平面。投影面平行面可分为三种：面。投影面平行面可分为三种： 平行于平行于面的平面叫面的平面叫正平面正平面 平行于平行于面的平面叫面的平面叫水平面水平面平行于平行于面的平面叫面的平面叫侧平面侧平面VWHCABabcbacabccabbbaacc水平面（水平面（/ / 面面 V WV W面面 ）投影特性投影特性 1 1 水平投影反映实形水平投影反映实形 2 2 正面投影积聚为直线，且正面投影积聚为直线，且/轴；侧轴；侧面投影积聚为直线，且面投影积聚为直线，且/OYw/OYw轴。轴。正

36、平面（/ 面 H W面）VWH. cabbacbcabacabcbcaCBA投影特性投影特性 1 1 正面投影反映真形。正面投影反映真形。 2 2 水平投影水平投影/OX/OX，侧面投影，侧面投影/OZOZ，分别，分别 聚成直线。聚成直线。侧平面（侧平面（/ / 面面 V H V H 面面 ）VWHabbbacccabcbacabcCABa1 1 侧平面投影反映真形。侧平面投影反映真形。 2 2 正面投影正面投影/OZ/OZ，水平投影，水平投影/OYH/OYH，分别积聚成直线。，分别积聚成直线。投影面平行面的投影特性： 平面在所平行的投影面上的投影反映实形； 其余两投影积聚为直线，并分别平 行

37、于相应的投影轴。H HXV Va ab bc cY Yb ba ac cA AB BC CO OW Wa ac cb bZ直观图直观图a aa aX Xc cHYb bb bc cOabZYwc投影图投影图一般位置平面投影特性：平面在三个投影面上的投影均为类似形。投影特性：平面在三个投影面上的投影均为类似形。a aa aX Xc cb bb bc cOwbacbcaabbaccabbbaaccc一框两线平行面，直线竖或横。一框两线平行面，直线竖或横。两框一线垂直面，斜线积聚成。两框一线垂直面，斜线积聚成。三框无线一般面，位置最分明。三框无线一般面，位置最分明。特点记忆MNPABPM直线在平面上

38、的几何条件是：直线在平面上的几何条件是： 平面上的直线平面上的直线2. 2. 平面上的点平面上的点点在平面上的几何条件是：点在平面上的几何条件是：L LPM三三 平面上的点和直线平面上的点和直线平面上的点和直线若点在平面的一若点在平面的一直线上，则此点直线上，则此点必在该平面上。必在该平面上。若直线通过平面若直线通过平面上两个已知点，上两个已知点，则此直线必在该则此直线必在该平面上；平面上；或者直线通过平或者直线通过平面上一个已知点，面上一个已知点，且平行于平面上且平行于平面上的一直线，则此的一直线，则此直线也必在该平直线也必在该平面上。面上。 取属于平面的点取属于平面的点 取属于平面的点，要

39、取自属于该平面的已知直线ABCDEabcabcddee 取属于平面的直线取属于平面的直线 直线通过平面上两个已知点，则此直线必在该平面上直线通过平面上两个已知点，则此直线必在该平面上；ABCEDabcabcddeeFff例题例题 已知已知 ABC给定一平面，试判断点给定一平面，试判断点D是否属于该平面。是否属于该平面。ddabcabceed例题例题 已知点已知点E在在 ABC上，试求点上，试求点E的正面投影的正面投影 。edabcabce例题例题 已知四边形已知四边形ABCDABCD的的V V面投影及面投影及ABAB、BCBC的的H H面投影，面投影，完成完成H H面投影。面投影。解1OXaabbccddeeO