第三章：电阻电路的一般分析

1、电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析第第 三三 章章 重重 点：点：难难 点：点： 电路的独立方程电路的独立方程数数 支路电流法支路电流法 结点电压法结点电压法 回路回路电流法电流法 结点电压法结点电压法 回路电流法回路电流法 含受控源电路的分析含受控源电路的分析3-13-1 电路的图电路的图一般分析方法：一般分析方法： 依据两类约束（依据两类约束（KCL、KVL）和元件的和元件的VCR列列写电路方程组来求解电路，一般不需要改变电路写电路方程组来求解电路，一般不需要改变电路的结构。的结构。 图图a a、b b分别为一个电路和它对应的图分别为一个电路和它对应的图G G；每一条支路每一条支路代表一

2、个元件；共有代表一个元件；共有 5 5 个个点、点、8 8 条支路。条支路。 图图G G是是点和支路的一个集合，每条支路的两端点和支路的一个集合，每条支路的两端都联到都联到 相应的相应的点上。点上。点和支路各是一个整体，孤立点和支路各是一个整体，孤立点可独立存在。点可独立存在。 注注意：意：2 任一任一条支路的两端必须始终都联到相应条支路的两端必须始终都联到相应上。上。3 若移去一条支路，可将与它相连的若移去一条支路，可将与它相连的点保留；而把点保留；而把一个一个点移去，则应将它所联接的全部支路同时去。点移去，则应将它所联接的全部支路同时去。可以将电压源和电阻的串联组合、电流源和电阻的可以将电

3、压源和电阻的串联组合、电流源和电阻的并联组合作为一条支路；则图并联组合作为一条支路；则图a a电路对应的图如电路对应的图如c c图。图。只有只有 4 4 个个点和点和 6 6 条支路。条支路。1234123456(c)对图中的每一支路指定一个方向，对图中的每一支路指定一个方向，( (一般为该支路电一般为该支路电流和支路电压的关联参考方向）称为流和支路电压的关联参考方向）称为“有向图有向图”。如图如图d d。支路未赋方向的图称为无向图。支路未赋方向的图称为无向图。如图如图c c 。 n n个结点的电路，其独立个结点的电路，其独立KCLKCL方程数为方程数为( (n-1n-1）个。）个。与这些独立

4、方程对应的与这些独立方程对应的点称点称为独立结点。为独立结点。3-23-2 KCLKCL和和KVLKVL的独立方程数的独立方程数 1、回路与独立回路、回路与独立回路路径路径：结点和支路的集合（一条支路也是一条路径）。：结点和支路的集合（一条支路也是一条路径）。特点：除两端的结点外，其余结点都与两条支路相连。特点：除两端的结点外，其余结点都与两条支路相连。(e)12345678连通图连通图：图：图G G的任意两个的任意两个点之间至少存在一条路径时，点之间至少存在一条路径时，G G称为连通图；如图称为连通图；如图e e。回路回路：起点和终点重合且经过的：起点和终点重合且经过的其他结点都相异的闭合路

5、径其他结点都相异的闭合路径 。图的两个回路组合起来可构成另一回图的两个回路组合起来可构成另一回路。当两个回路组合构成另一回路时，路。当两个回路组合构成另一回路时，它们的共有支路相互抵消不出现在新它们的共有支路相互抵消不出现在新回路中。回路中。平面图：平面图：一个图画在平面上，除各条支路联接一个图画在平面上，除各条支路联接的的点外，其它不再交叉，称为平面图点外，其它不再交叉，称为平面图。网孔：网孔：平面图中，若一个回路所限定的面积上不包含其平面图中，若一个回路所限定的面积上不包含其它支路，则称回路为网孔。它支路，则称回路为网孔。可以证明：可以证明：平面图的全部网孔是一组独立回路；平面图的全部网孔

6、是一组独立回路；图图 e 有有 4 个网孔个网孔 (一组独立回路）一组独立回路）。2 2 树树 连通图连通图G G的一个树的一个树T T是图是图G G的一个连通子的一个连通子图，图， 它包含它包含G G的全部结点但不包含回路。的全部结点但不包含回路。图图( (4)(4)(包含回路包含回路) )图图( (5)(5)(不连通不连通) )不是图不是图G G的树。的树。(1)(2)(3)123456781234567812345678(4)(5)1234567812345678树支：树支：树树T中包含的的支路。中包含的的支路。 如如(1)5、6、7、8； (2)1、3、5、6； (3)2、4、5、7。

7、连支：连支：不属于树不属于树T的支路。的支路。如如(1)1、2、3、4； (2)2、4、7、8； (3)1、3、6、8。树支数树支数 = (n - 1) ；连支数连支数 = b - (n - 1) = b n+1 。图图e：n = 5、b = 8；树支数树支数 = (5 - 1) = 4连支数连支数 = 8 5 + 1= 412345678(e)对任一个树，每加进一连支便形成一个只包含该连支对任一个树，每加进一连支便形成一个只包含该连支的回路。回路的其余支路均为树支；称为单连支回路的回路。回路的其余支路均为树支；称为单连支回路或基本回路。或基本回路。 树树(2)(2)：回路：回路(2(2、5

8、5、6)6)，(1(1、5 5、6 6、3 3、4)4)，(3(3、6 6、7) 7) ，(1(1、5 5、8) 8) 都是单连支回路。都是单连支回路。基本回路组：基本回路组：一组单连支回路一组单连支回路 可以证明可以证明: : 连通图的独立回路数等于连支数。连通图的独立回路数等于连支数。(2)12345678KVLKVL独立方程数等于电路独立回路数。独立方程数等于电路独立回路数。 n n 个结点个结点b b 条支路的电路，条支路的电路，独立方程数独立方程数 l = b n+1 以支路电流为电路变量以支路电流为电路变量, ,依据依据KCLKCL和和KVLKVL列出一组独立方程，列出一组独立方程

9、，然后求解出支路电流的方法。然后求解出支路电流的方法。3-33-3 支路电流法支路电流法在集总电路中，任何时刻，沿任一回路各电阻压降的在集总电路中，任何时刻，沿任一回路各电阻压降的KVLKVL的另一种表达形式，叙述为：的另一种表达形式，叙述为：代数和恒等于各电压源电位升的代数和，即代数和恒等于各电压源电位升的代数和，即k kskR iu先设定回路的绕行方向，凡支路电流参考方向与绕向一致时，先设定回路的绕行方向，凡支路电流参考方向与绕向一致时，k kR i项前面取正号，反之取负号；电压源项前面取正号，反之取负号；电压源sku（极性）与绕向一致时，（极性）与绕向一致时，sku前面取负号，反之取正号

10、。前面取负号，反之取正号。的参考方向的参考方向(3-1)(1)(1)标定各支路电流的参考方向；标定各支路电流的参考方向；支路电流法的一般步骤支路电流法的一般步骤：(2) (2) 选定选定(n1)个个独立结独立结点点，列写其，列写其KCL方程方程；对对 n 个结点和个结点和 b 条支路的电路条支路的电路(3) (3) 选定选定bn+1个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程方程；(4) (4) 求解上述方程，可求得求解上述方程，可求得b b个支路电流个支路电流 。k kskR iu例例3-1:图示电路：图示电路： 各支路电流参考方向如各支路电流参考方向如图图； 选选1-31-3结点结点列列

11、KCLKCL方程方程：126456234iii0iii0iii0(3-2) 平面电路，选网孔为独立回路；绕行方向如图，平面电路，选网孔为独立回路；绕行方向如图，列列KVLKVL方程：方程： 6 6个方程，联立求解可得个方程，联立求解可得6 6个支路电流个支路电流。1 12 23 3s13 34 45 5s22 24 46 6R iR iR iuR iR iR iuR iR iR i0 (3-3) 1) 1) 电路中存在电流源与电阻的并联支路时，电路中存在电流源与电阻的并联支路时，可将其等效变换为电压源与电阻的串联支路。可将其等效变换为电压源与电阻的串联支路。 2) 2) 电路中存在无伴电流源时

12、，将电流源的端电路中存在无伴电流源时，将电流源的端电压设为未知量，计入电压设为未知量，计入KVLKVL方程中；虽增加了一个方程中；虽增加了一个未知量未知量, ,但由于该支路的电流为已知值，故方程个但由于该支路的电流为已知值，故方程个数仍与未知数个数相等。数仍与未知数个数相等。 说明：说明： 3) 3)电路中存在受控源时，先将其作为独立电源对待，电路中存在受控源时，先将其作为独立电源对待，列写支路电流方程，然后用支路电流表示受控源的控制列写支路电流方程，然后用支路电流表示受控源的控制量，使方程中的未知量只是支路电流量，使方程中的未知量只是支路电流. .例例3.2 用支路电流法求各支路电流。用支路

13、电流法求各支路电流。解：解：1234sR9R3R1R31 5 i =5A = =， = =， = = =，= = . . ，12s235145iii =0iii =0-i -i +i =0设电流源端电压为设电流源端电压为u ，列列KVL方程：方程：1 12 233 34432 23 33 3 3 R i -R i - u = 0-R i -R i + u = 0R i +R i -u = 0u = R i 12345i = 2A i = 3A i = 6A i = 1A i = 3A u =15V联立求解得联立求解得: :以假想的网孔电流作为电路的独立变量以假想的网孔电流作为电路的独立变量,

14、,列写列写KVLKVL方程方程求解电路的方法，只适用于平面电路。求解电路的方法，只适用于平面电路。3-53-5 网孔电流法网孔电流法1. 1. 实例实例1m12m1m23m2i = i i = i- i i = i 图示电路的支路电流方程：图示电路的支路电流方程： 1231 12 2S1S23 32 2S2S3-i + i + i = 0R i + R i =U- U R i - R i =U- U式式(3-4)(3-4)代入代入(3-3)(3-3)1m12m1m23m2i = i i = i- i i = i 设网孔电流设网孔电流im1 im2如图如图, ,有有(3-4)(3-3)1231

15、12 2S1S23 32 2S2S3-i + i + i = 0R i + R i =U- U R i - R i =U- U式式(3-4)(3-4)代入代入(3-3)(3-3)可得可得 ：设网孔电流设网孔电流im1 im2如图如图, ,有有32212232121211)()(ssmmmssmmmUUiiRiRUUiiRiR写成规范化形式为：写成规范化形式为：上式称电路的网孔电流方程上式称电路的网孔电流方程. .12m12m2S1S22 m123m2S2S3( R + R ) i - R i = U-U -R i+( R + R )i=U-U11 m112 m2S1121 m122 m2S22

16、R i+ R i= uR i+ R i= u(3-5)(3-6)其中：其中： 2211,RR分别为网孔分别为网孔1 1、2 2的所有支路电阻之和，的所有支路电阻之和，称为网孔称为网孔1 1、网孔、网孔2 2的自电阻。本例中：的自电阻。本例中：2111RRR3222RRR12R称为网孔称为网孔1 1和网孔和网孔2 2间的互电阻，是网孔间的互电阻，是网孔1 1和网孔和网孔2 2公共支路上的电阻。电路不含受控源时公共支路上的电阻。电路不含受控源时, , 本例中，本例中，22112RRR自电阻恒为正值自电阻恒为正值, ,互电阻可正可负。互电阻可正可负。当流过网孔当流过网孔1 1和和2 2公共电阻的两个

17、网孔电流的参考方向公共电阻的两个网孔电流的参考方向相同时，互电阻相同时，互电阻2112RR 和取正号，反之取负号。取正号，反之取负号。式（式（3-63-6）方程的右方项，）方程的右方项，2211ssuu和中各电压源电压的代数和。当电压源的参考方向与网孔中各电压源电压的代数和。当电压源的参考方向与网孔电流方向一致时，该电压源前取负号；反之取正号。电流方向一致时，该电压源前取负号；反之取正号。分别为网孔分别为网孔1 1和和网孔网孔2 2kjjkRRm个网孔的平面电路，方程的形式如下：个网孔的平面电路，方程的形式如下：11 m112 m213 m31m mmS1121 m122 m223 m32m

18、m mS2231 m132 m233 m33m m mS33m1 m1m2 m2m3 m3mm mR i +R i+R i +R i= uR i +R i+R i +R i= uR i +R i+R i +R i= u. R i +R i+R i +R imSmm=u 332211,RRR等具有相同下标的电阻为各网孔的自阻，具等具有相同下标的电阻为各网孔的自阻，具231312,RRR总是正的，互阻可正可负，当相关的两个网孔电流通过总是正的，互阻可正可负，当相关的两个网孔电流通过公共电阻参考方向相同时，互阻取正，相反时取负。公共电阻参考方向相同时，互阻取正，相反时取负。在不含受控源的电阻电路中，

19、在不含受控源的电阻电路中， 式中式中有不同下标的电阻有不同下标的电阻等是网孔间的互阻，自阻等是网孔间的互阻，自阻kjjkRR（3-7）(1)(1)设定各网孔电流，标明参考方向。设定各网孔电流，标明参考方向。 (2) 以网孔电流为未知量，列写规范化的网孔电流方程以网孔电流为未知量，列写规范化的网孔电流方程.(3) (3) 解上述方程，求出各网孔电流解上述方程，求出各网孔电流。(4) (4) 进一步求支路电流等其它待求量。进一步求支路电流等其它待求量。网孔电流法的一般步骤：网孔电流法的一般步骤：例例3-2 若电路中含有电流源和电阻的并联组合，将其等效变换为电压源与电阻的串联组合。 特殊情况，与回路

20、电流法相同处理3-5 3-5 回路回路电流法电流法 以假想的回路电流以假想的回路电流 作为电路的独立变量作为电路的独立变量,列写列写KVLKVL方程求解电路的方法。适用于平面或非平面电路。方程求解电路的方法。适用于平面或非平面电路。对于一个具有对于一个具有n n个结点，个结点，b b条支路的电路，条支路的电路， sllllllllllllslllllslllllslllllUiRiRiRiRUiRiRiRiRUiRiRiRiRUiRiRiRiR3322113333333232131222232322212111113132121111（3-8）其中其中: : 自阻、互阻的概念及正负号的规定和回

21、路中各自阻、互阻的概念及正负号的规定和回路中各电压源电压的正、负号取号规定与网孔法中相同。电压源电压的正、负号取号规定与网孔法中相同。除回路不一定是网孔外，其它与网孔法类似除回路不一定是网孔外，其它与网孔法类似( (网孔为网孔为回路的特例回路的特例) ) _+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+Il 3il 1il 2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+im3im1im2为使为使KVLKVL方程为独立方程，通常选基本回路作为独立回方程为独立方程，通常选基本回路作为独立回路。这样回路电流就是相应的连支电流。路。这样回路电流就是相应的连支电流。 1 1 电路中含电流源并

22、联电阻时，等效变换为电压电路中含电流源并联电阻时，等效变换为电压源与电阻串联，再列回路源与电阻串联，再列回路( (网孔网孔) )电流方程。电流方程。注意：注意： 电路中含有受控源时，先将受控源作为独立电源电路中含有受控源时，先将受控源作为独立电源对待，列写回路对待，列写回路( (网孔网孔) )电流方程，再将受控源的控制电流方程，再将受控源的控制量用回路量用回路( (网孔网孔) )电流表示。代入回路电流表示。代入回路( (网孔网孔) )电流方程，电流方程，使方程只含回路使方程只含回路( (网孔网孔) )电流未知量。电流未知量。3、回路中有无伴电流源支路时，可两种方法处理：、回路中有无伴电流源支路

23、时，可两种方法处理： 选取只让一个回路选取只让一个回路( (网孔网孔) )电流通过电流源，该电流通过电流源，该回路回路( (网孔网孔) )电流就等于此电流源的电流；不须再电流就等于此电流源的电流；不须再列写该回路的列写该回路的KVLKVL方程。方程。将无伴电流源的电压设为未知量将无伴电流源的电压设为未知量u，计入所在回，计入所在回路的路的KVL方程。每增加一个未知量，需增补一个该方程。每增加一个未知量，需增补一个该电流源电流与相关回流电流源电流与相关回流 电流关系的方程。电流关系的方程。 例例3.3用网孔电流法求图示电路的各支路电流。用网孔电流法求图示电路的各支路电流。+2A3 U2+3U21

24、 2 1 2 I1I2I3I4im1im2im312V解：各网孔电流如图解：各网孔电流如图m1m1m2m32m2m322m2m1i= 2-3i+ 6i- i= -3U-i+ 3i= 3U- 12U= 3(i- i)整理可整理可得得m2m3m2m315i-i= 24-10i+ 3i= -24m2m3i= 1.2 Ai= 6 A1m1m22m23m2m34m3i = i- i= 0.8 Ai = i= 1.2 Ai = i- i= 7.2 Ai = i= -6 A解得解得: :例例3.4 :列列写下图写下图a)a)电路的回路电流方程，求电路的回路电流方程，求UX和和iy 。解：选图解：选图b)b)

25、所示的树；基本回路为独立回路，所示的树；基本回路为独立回路，连支电流即回路电流。连支电流即回路电流。l1l2Xl2l3l4l1l2l3l4yyl2l3l4Xl1l4i= 9 i= 2U -2i+ 3i- 2i= -2 2i+ 2i- 2i+ 5i= 2 + 3i i= -i+ i- i U= 2(i+ i) 整理得：整理得：XyXy5U+6i = 143U-10i = 22 XyU= 4V i= - 1A 解得解得: :3-63-6 结结点电压点电压法法一一 结点电压结点电压 在电路中任选一参考结点在电路中任选一参考结点, ,其它各独立结点相对其它各独立结点相对于参考结点的电压，称为该结点的结

26、点电压。于参考结点的电压，称为该结点的结点电压。二二 实例实例146245356i +i +i = 0i -i +i = 0i -i -i = 0(1) 以结点电压为电路变量，依以结点电压为电路变量，依KCLKCL列出结点电压方程列出结点电压方程求解电路的方法，称为结点电压法。求解电路的方法，称为结点电压法。1n11S12n223n3S334n1n245n2n356n1n36S6i = u G -ii = u Gi = (u-u )G i = (u -u )Gi = (u-u )Gi = (u -u )G +i各支路电流可表示为：各支路电流可表示为：式中：式中：K K1G = ( k=1-6)

27、R将式将式(2)代入式（代入式（1），得），得(2)1114126136224125233335236136()()()0()()0()()()0nsnnnnsnnnnnnsnnnnsGuiG uuG uuiG uG uuG uuG uuG uuG uui整理后得整理后得: :14614263164124525361523563336()()0()nnnssnnnnnnnsGGG uG uG uiiG uGGG uG uG uG uGGG uG ui式（式（3-9）即结点电压方程组，此方程组可凭观察直接）即结点电压方程组，此方程组可凭观察直接写出来。写出来。 (3-9)上式写成规范化方程组：上

28、式写成规范化方程组：11n112n213n3S1121n122n223n3S2231n132n233n3S33G u +G u +G u = iG u +G u +G u = iG u +G u +G u = i其中：其中： 11146GGGG为连到结点为连到结点1 1的全部支路电导的全部支路电导之和，称为结点之和，称为结点1 1的自（电）导；的自（电）导； 具有不同下标的电导如具有不同下标的电导如1213,GG互导，是连接在两相关结点间公共支路上的电导互导，是连接在两相关结点间公共支路上的电导. . 等为各相关两结点间的等为各相关两结点间的自电导总是正的自电导总是正的, ,互电导总是负的。互

29、电导总是负的。 （3-10）( (n-1)n-1)个独立结点电路的结点电压方程如下：个独立结点电路的结点电压方程如下：11n112n213n31(n-1)n(n-1)S1121n122n223n32(n-1)n(n-1)S2231n132n233n33(n-1)n (n-1)S33G u +G u +G u +. .+Gu= iG u +G u +G u +. .+Gu= iG u +G u +G u +. .+Gu= i .(n-1)1n1(n-1)2n2(n-1)(n-1)n(n-1)S(n-1)(n-1) . Gu +Gu +. .+Gu= i式（式（3 3）方程右边的）方程右边的112

30、233,sssiii分别表示注入结点分别表示注入结点1 1，2 2，3 3的电流源电流的代数和。注入取正，反之取负。的电流源电流的代数和。注入取正，反之取负。 （3-11）结点电压法的一般步骤结点电压法的一般步骤：(1)(1)选定参考结点选定参考结点 (2)(2) 对对n-1个独立结点，列写结点电压个独立结点，列写结点电压方程方程(3)(3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到n-1个结点电压个结点电压(4) (4) 进一步求支路电流等其它待求量进一步求支路电流等其它待求量 适用于结点少，回路较多的电路；且不论是平面适用于结点少，回路较多的电路；且不论是平面电路还是非平面电路结点电压容易确定，方程规格化，电路还是非平面电路结点电压容易确定，方程规格化，易于编制程序。故它在计算机辅助电路分析中得到广易于编制程序。故它在计算机辅助电路分析中得到广泛的应用。泛的应用。特点：特点：1 1、电路中含无伴电压源支路时，可按两种方法处理：、电路中含无伴电压源支路时，可按两种方法处理： 1 1）选无伴电压源支路的一端作参考结点，另一端的）选无伴电压源支路的一端作参考结点，另一端的结点电压即该电压源的电压；不必再列该结点的结点电结点电压即该电压源的电压；不必再列该结点的结点电压方程。压方程。 注意：注意：