计算机图形学-自由曲线及曲面

1、第七章我们需要曲线曲面我们需要曲线曲面? ?GeriGeriGeriGeris models modelGeriGeris games game3D艺术的神话艺术的神话 PIXAR经典动画短片回顾经典动画短片回顾o Bezier曲线和曲线和B样条曲线样条曲线o Bezier曲面和曲面和B样条曲面样条曲面第第7 7章章 曲线和曲面曲线和曲面 o7.1 基本概念基本概念o7.2 三次样条曲线三次样条曲线/曲面曲面 o7.3 Bezier曲线曲线/曲面曲面 o7.4 B样条曲线样条曲线/曲面曲面 基本概念基本概念o 曲线曲线u 规则曲线规则曲线可用曲线方程式表示的曲线。可用曲线方程式表示的曲线。u

2、不规则曲线不规则曲线不能确切给出描述整个曲线不能确切给出描述整个曲线的方程，而是由从实际测量中得到的一系列的方程，而是由从实际测量中得到的一系列离散数据点采用曲线拟合的方法来逼近的。离散数据点采用曲线拟合的方法来逼近的。这类曲线也称之为这类曲线也称之为自由曲线自由曲线。o 工业产品的几何形状大致可分为两类：工业产品的几何形状大致可分为两类：o 一类由一类由初等解析曲面初等解析曲面，如平面、圆柱面、圆锥，如平面、圆柱面、圆锥面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函面、球面、圆环面等组成，可以用初等解析函数完全清楚地表达全部形状。数完全清楚地表达全部形状。o 另一类由另一类由自由曲面自由曲面组成，

3、如汽车车身、飞机机组成，如汽车车身、飞机机翼和轮船船体等的曲线和曲面，不能用初等解翼和轮船船体等的曲线和曲面，不能用初等解析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新析函数完全清楚地表达全部形状，需要构造新的函数来进行研究，这些研究成果形成了计算的函数来进行研究，这些研究成果形成了计算机辅助几何设计机辅助几何设计(Computer Aided Geometric Design，CAGD)学科。学科。图图7-1 7-1 汽车的曲面汽车的曲面7.1 7.1 基本概念基本概念 o 7.1.1 样条曲线曲面样条曲线曲面o 7.1.2 曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式 o 7.1.3 拟合和逼近拟合和逼

4、近 o 7.1.4 连续性条件连续性条件 7.1.1 7.1.1 样条曲线曲面样条曲线曲面o 在汽车制造厂里，传统上采用在汽车制造厂里，传统上采用样条样条绘制曲线的绘制曲线的形状。采用模线样板法表示和传递自由曲线曲形状。采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为面的形状称为样条样条。o 绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各绘图员弯曲样条（如弹性细木条）通过各型值型值点点，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，其它地方自然过渡，然后沿样条画下曲线，即得到，即得到样条曲线样条曲线（Spline Curve)。o 在计算机图形学中，样条曲线是指由在计算机图形学中，样条曲线是指由多项式曲多项式曲线

5、段连接而成的曲线线段连接而成的曲线，在每段的边界处满足特，在每段的边界处满足特定的连续性条件，而样条曲面则可用定的连续性条件，而样条曲面则可用两组正交两组正交样条曲线样条曲线来描述。来描述。.2 2 插值和逼近插值和逼近o 离散点近似决定曲线曲面离散点近似决定曲线曲面o 交互控制的方法生成曲线曲面交互控制的方法生成曲线曲面:u 画控制点；画控制点；u 看看曲线的生成结果；看看曲线的生成结果；u 调整控制点直到最佳。调整控制点直到最佳。o 型值点型值点指通过测量或计算得到的曲线或曲指通过测量或计算得到的曲线或曲面上少量描述其几何形状的数据点。面上少量描述其几何形状的数据点。o 控制

6、点控制点指用来控制或调整曲线曲面形状的指用来控制或调整曲线曲面形状的特殊点，曲线曲面本身不一定通过控制点。特殊点，曲线曲面本身不一定通过控制点。插值与逼近插值与逼近o 曲线曲面的曲线曲面的拟合拟合：当用一组型值点来指定曲线：当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列曲面的形状时，形状完全通过给定的型值点列16曲线的拟合插值与逼近插值与逼近o 曲线曲面的曲线曲面的逼近逼近：用一组控制点来指定曲线曲：用一组控制点来指定曲线曲面的形状时，求出的形状不必通过控制点列面的形状时，求出的形状不必通过控制点列17曲线的逼近插值与逼近插值与逼近o 求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的求给

7、定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值插值。o 将连接有一定次序控制点的直线序列称为将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制控制多边形多边形或特征多边形。或特征多边形。18控制多边形.3 3曲线曲面的表示要求曲线曲面的表示要求o 在计算机内表示曲线在计算机内表示曲线曲面，其形状的数学曲面，其形状的数学描述应保留产品形状描述应保留产品形状的尽可能多的性质。的尽可能多的性质。o 满足要求：满足要求：u 惟一性惟一性u 几何不变性几何不变性u 易于定界易于定界u 统一性统一性u 易于光滑连接易于光滑连接u 几何直观几何直观惟一性惟一性o 形状定义形状定义o 由已给定的有限信息，决定形状是

8、惟一的。由已给定的有限信息，决定形状是惟一的。几何不变性几何不变性o 当用有限的信息决定图形时，（如当用有限的信息决定图形时，（如4点决定一条点决定一条3次曲线）当这些点的相对位置固定后，形状也次曲线）当这些点的相对位置固定后，形状也就固定，不应该随坐标系更改而改变就固定，不应该随坐标系更改而改变o 如果采用的数学方法不具有几何不变性，则不如果采用的数学方法不具有几何不变性，则不同测量坐标系测得的同一组数据点，会得到不同测量坐标系测得的同一组数据点，会得到不同的拟合曲线同的拟合曲线几何不变性易于定界易于定界o 工程中，曲线曲面的形状总是有界的，形状的工程中，曲线曲面的形状总是有界的，形状的数学

9、描述应该易于定界数学描述应该易于定界o 可用参数方程表示可用参数方程表示统一性统一性o 能统一表示各种形状及处理各种情况（包括特能统一表示各种形状及处理各种情况（包括特殊情况）。如曲线描述，用统一的形式表示平殊情况）。如曲线描述，用统一的形式表示平面曲线、空间曲线。面曲线、空间曲线。o 统一性的高要求是，用统一的数学形式既能表统一性的高要求是，用统一的数学形式既能表示自由型曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲示自由型曲线曲面，也能表示初等解析曲线曲面，建立统一数据库，便于形状信息的传递和面，建立统一数据库，便于形状信息的传递和产品数据交换。产品数据交换。易于光滑连接易于光滑连接o 单一的曲线段或曲

10、面片难以表达复杂的形状，单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，需要将若干线段连接成为光滑曲线（曲面片连需要将若干线段连接成为光滑曲线（曲面片连接为组合曲面），其连接必须是光滑的。接为组合曲面），其连接必须是光滑的。几何直观几何直观o 几何意义明显：参数的几何意义明显几何意义明显：参数的几何意义明显7.1.4 7.1.4 曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式o 曲线曲面可以采用曲线曲面可以采用显式方程、隐函数方程和参显式方程、隐函数方程和参数方程数方程表示表示o 显式方程显式方程表示表示u 不能表示封闭的多值曲线不能表示封闭的多值曲线o 隐函数方程表示隐函数方程表示u 易于表示点与线的关系易于

11、表示点与线的关系( )yf x( , )0f x y 非参数表示方法的缺点非参数表示方法的缺点o 与坐标轴相关与坐标轴相关o 斜率无穷大问题，作为参数不可以斜率无穷大问题，作为参数不可以o 难以表示非平面曲线曲面难以表示非平面曲线曲面o 不便于计算和编程序不便于计算和编程序28曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式o 参数方程参数方程表示表示u 矢量表示矢量表示u 参数曲线的切矢量或导函数参数曲线的切矢量或导函数u 参数变量规格化参数变量规格化29( )( )xx tyy t( ) ( )( )p tx ty t( ) ( )( )p tx ty t01t曲线曲面的表示形式曲线曲面的表示形式直线

12、直线的表示形式：的表示形式：o 已知直线的起点坐标已知直线的起点坐标P1（x1，y1）和终点坐标）和终点坐标P2（x2，y2）o 直线的显式方程表示为：直线的显式方程表示为： )(112121xxxxyyyyo 直线的隐函数方程表示为：直线的隐函数方程表示为：o 直线的参数方程表示为：直线的参数方程表示为： 0)()(112121xxxxyyyyxftyyyytxxxx)()(121121参数方程参数方程o 三次曲线参数方程表示：三次曲线参数方程表示：0,1 t)()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbtatzdtctbtatydtctbtatx参数方程的矢量和矩阵表示参数方程

13、的矢量和矩阵表示o 矢量表示：矢量表示： o 矩阵表示：矩阵表示： 0,1t )(23dctbtattp1 , 01)(23tdcbattttp参数表示的优点参数表示的优点1)点动成线（点动成线（t可看为时间，曲线是点随时间而动可看为时间，曲线是点随时间而动的轨迹）；的轨迹）；有更大的自由度控制曲线曲面的形有更大的自由度控制曲线曲面的形状；状； 2)可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换，而可对参数曲线曲面的方程直接进行几何变换，而不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变换不需要对曲线曲面的每个数据点进行几何变换3)可以处理斜率无穷大的情况；可以处理斜率无穷大的情况；4)代数、几何相关和无关的变

14、量是完全分离的，对代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，对变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面变量个数不限，便于将低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间中；扩展到高维空间中； 5)便于采用规格化的参数变量便于采用规格化的参数变量 u 如：区间如：区间 a,b （如区间如区间5, 8）可由区间）可由区间 0,1通过仿射变换得到：通过仿射变换得到：u 直线上的插值点可以下两式表示直线上的插值点可以下两式表示6)易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算；易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化计算； 1,0t1 ,0t,bau )()(abautbabauaabubuxtbattx)()1()(7.1.5

15、 7.1.5 连续性条件连续性条件 o 通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形通常单一的曲线段或曲面片难以表达复杂的形状，必须将一些曲线段连接成状，必须将一些曲线段连接成组合曲线组合曲线，或将，或将一些曲面片连接成一些曲面片连接成组合曲面组合曲面，才能描述复杂的，才能描述复杂的形状。形状。o 多条曲线首尾相连形成一条曲线，要求：连接多条曲线首尾相连形成一条曲线，要求：连接处处具有合乎要求的连续性具有合乎要求的连续性u 参数连续性参数连续性 用用 C阶数阶数表示表示u 几何连续性几何连续性 用用 G阶数阶数表示表示参数连续性参数连续性o 零阶参数连续性零阶参数连续性，记作，记作C0，指相邻两个

16、曲线段，指相邻两个曲线段在交点处具有相同的坐标。在交点处具有相同的坐标。图图7-4 7-4 零阶连续性零阶连续性参数连续性参数连续性o 一阶参数连续性一阶参数连续性，记作，记作C1o 指相邻两个曲线段在交点处具有相同的指相邻两个曲线段在交点处具有相同的一阶导一阶导数数。图图7-5 7-5 一阶连续性一阶连续性参数连续性参数连续性o 二阶参数连续性二阶参数连续性，记作，记作C2，指相邻两个曲线段，指相邻两个曲线段在交点处具有在交点处具有相同的一阶和二阶导数相同的一阶和二阶导数。图图7-6 7-6 二阶连续性二阶连续性几何连续性几何连续性 o G G0 0连续（连续（0阶几何连续）阶几何连续）u

17、与与C0连续相同。连续相同。o G G1 1连续（一阶几何连续）连续（一阶几何连续）u 一阶导数在相邻段的交点处成比例，（切向一阶导数在相邻段的交点处成比例，（切向量不一定相等）。量不一定相等）。u 注意：注意：C1连续，则连续，则G1连续，反之不然连续，反之不然o G G2 2连续（二阶几何连续）连续（二阶几何连续）u 两相邻曲线段的连接点处一阶导数和二阶导两相邻曲线段的连接点处一阶导数和二阶导数均成比例（此时，两曲线段在交点处的曲数均成比例（此时，两曲线段在交点处的曲率相等）率相等）参数连续性与几何连续性的区别参数连续性与几何连续性的区别o 参数连续性参数连续性u 传统意义上的、严格的连续

18、传统意义上的、严格的连续o 几何连续性几何连续性u 只需限定两个曲线段在交点处的参数导数成只需限定两个曲线段在交点处的参数导数成比例，不必完全相等，是一种更直观、易于比例，不必完全相等，是一种更直观、易于交互控制的连续性。交互控制的连续性。7.2 7.2 三次样条曲线三次样条曲线o 曲线的参数空间：曲线的参数空间：u 笛卡儿坐标笛卡儿坐标x,y,z定义的三维空间，其参数空定义的三维空间，其参数空间为间为(x,t)、(y,t)、(z,t)，能把任意一条参数曲能把任意一条参数曲线分解成参数空间的三个分量线分解成参数空间的三个分量0,1 t)()()(232323zzzzyyyyxxxxdtctbt

19、atzdtctbtatydtctbtatx三次样条曲线三次样条曲线几何形式推导几何形式推导简化为：简化为：np(t)=At3+Bt2+Ct+D （式式1）np(t)= 3At2+2Bt+C ， 设：设： up0= p(0), p1= p(1) , up 0= p(0), p1 = p(1) 。（。（式式2）o将式将式2代入式代入式1，解得：，解得：uD = p0 uC= p0 uB=-3p0 +3p1 -2p0 - p1 uA= 2p0 -2p1 +p0 +p1 o将将A、B、C、 D分别代入分别代入式式1中中, 整理得整理得:op(t)=(2t3-3t2+1)p0+(-2t3+3t2)p1+

20、(t3-2t2+t)p0+(t3-t2)p1 F1(t) F2(t) F3(t) F4(t) (t 0，1 )调和函数调和函数从代数形式到几何形式从代数形式到几何形式o 调和函数（基函数）调和函数（基函数）:F1(t) = 2t3-3t2+1 F2(t) = -2t3+3t2 F3(t) = t3-2t2+t F4(t) = t3-t2o 参数三次样条曲线几何形式可以简化表示为：参数三次样条曲线几何形式可以简化表示为： p(t)=F1(t) p0+ F2(t) p1+ F3(t) p0+ F4(t) p1表示该曲线：两点的表示该曲线：两点的坐标坐标及其及其一阶导数一阶导数+调和函数调和函数，t

21、 的取值范围：的取值范围：0，1通常，用通常，用基函数基函数和和控制点控制点信信息来决定一条曲线息来决定一条曲线7.3 7.3 三次三次HermiteHermite样条样条o 定义：假定型值点定义：假定型值点Pk和和Pk+1之间的曲线段为之间的曲线段为p(t),t0,1，给定矢量给定矢量Pk、Pk+1、Rk和和Rk+1，则则满足下列条件的三次参数曲线为三次满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样样条曲线：条曲线：4511)1 ()0()1 ()0(kkkkRpRpPpPpo 推导推导46CTdcbatttdddcccbbbaaattttpzyxzyxzyxzyx 1 1)(232347

22、dcbaRRPPkkkk01230100111110001132( )1xyzxyzxyzxyzaaabbbp ttttcccddd11)1 ()0()1 ()0(kkkkRpRpPpPpo Mh是是Hermite矩阵。矩阵。Gh是是Hermite几何矢量几何矢量48hhkkkkkkkkGMRRPPRRPPdcbaC1111100010100123311220123010011111000三次三次HermiteHermite样条样条o 三次三次Hermite样条曲线的方程为：样条曲线的方程为：490,1 t )(hhGMTtp0001010012331122123tttMTh三次三次Hermi

23、teHermite样条样条o TMk称为称为Hermite基函数（或称混合函数，调基函数（或称混合函数，调和函数）：和函数）：50 )(2)(32)(132)(233232231230tttHttttHtttHtttH)()()()()(312110tHRtHRtHPtHPtpkkkk三次三次HermiteHermite样条样条51Hermite基函数三次三次HermiteHermite样条样条o 特点特点u 可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端可以局部调整，因为每个曲线段仅依赖于端点约束点约束u 基于基于Hermite样条的变化形式：样条的变化形式：Cardinal样样条和条和Kochan

24、ek-Bartels样条样条u Hermite曲线具有几何不变性曲线具有几何不变性52例：已知两个端点的坐标值及其一阶例：已知两个端点的坐标值及其一阶导数，求其导数，求其HermiteHermite三次曲线方程。三次曲线方程。11) 1 ()0() 1 ()0(kkkkRpRpPpPpzyxzyxzyxzyxdddcccbbbaaattttp 1)(237.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线 o 法国雷诺汽车公司的工程师法国雷诺汽车公司的工程师Bezier和法国雪铁和法国雪铁龙汽车公司的龙汽车公司的de Casteljiau分别提出了一种新的分别提出了一种新的参数曲线表示方法，称为参

25、数曲线表示方法，称为Bezier曲线曲线o Bezier的想法面向几何而不是面向代数的想法面向几何而不是面向代数o Bezier曲线由曲线由控制多边形控制多边形惟一定义惟一定义u Bezier曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控曲线只有第一个顶点和最后一个顶点落在控制多边形上，制多边形上，u 多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和多边形的第一条和最后一条边表示了曲线在起点和终点的切矢量方向，其它顶点则用于定义曲线的导终点的切矢量方向，其它顶点则用于定义曲线的导数、阶次和形状数、阶次和形状u 曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多曲线的形状趋近于控制多边形的形状，改变控制多边形的顶

26、点位置就会改变曲线的形状边形的顶点位置就会改变曲线的形状o 绘制绘制Bezier曲线的直观交互性使得对设计对象曲线的直观交互性使得对设计对象的控制达到了直接的几何化程度，使用方便的控制达到了直接的几何化程度，使用方便几种典型的三次几种典型的三次BezierBezier曲线曲线7.4 Bezier7.4 Bezier曲线曲线o 7.4.1 Bezier曲线的定义曲线的定义o 7.4.2 Bezier曲线的性质曲线的性质o 7.4.3 Bezier曲线的可分割性曲线的可分割性 7.4.1 Bezier7.4.1 Bezier曲线的定义曲线的定义o 给定给定n+1个控制点个控制点Pi（i0，1，2n

27、），），n次次Bezier曲线为：曲线为： o Pi （i0，1，2n）是控制多边形的）是控制多边形的n+1个个控制点，控制多边形是控制点，控制多边形是n条边构成的多边形条边构成的多边形o Bi,n是是Bernstein基函数，其表达式为：基函数，其表达式为：o 注意：当注意：当i=0，t=0时，时，ti=1，i!=1。 0,1t )()(,0tBPtpniniiininittinintB)1 ()!( !)(,BernsteinBernstein基函数的性质基函数的性质1） 非负性：非负性： 对于所有的对于所有的i,n以及以及 均有均有2） 规范性规范性(权性权性)：3) 对称性对称性 01

28、t 0,niB,0( )1,01ni nittB ,( )(1),0,1,.,i nn i nttinBBininittinintB)1 ()!( !)(,4)递推性递推性 5)端点性端点性 ,11,1( )(1)( )( ),0,1,.,i ni ninuuuuuinBBBelseiBni, 00, 1)0(,elseniBni, 0, 1)1(,6)最大性最大性 在在 处达到最大值；处达到最大值；7)可导性可导性 )(,uBniniu/niuBuBnuBninini,.,1 , 0),()()(1,1, 1,常用常用BezierBezier曲线的矩阵表示曲线的矩阵表示o 由由Bezier曲

29、线曲线C(u)的定义，可推出常用的一次的定义，可推出常用的一次、二次、三次、二次、三次Bezier曲线矩阵表示曲线矩阵表示 10)()(0,uuBPuCniniio 一次一次Bezier 曲线曲线o 矩阵表示为矩阵表示为o 这是一条从这是一条从 P0 到到P1的直线段的直线段 1001111)(PPuuC10)1()(uPPuuCo 二次二次Bezier曲线曲线 o 矩阵表示为矩阵表示为 22102)1(2)1()(PuPuuPuuC2102001022121 1)(PPPuuuCo 三次三次Bezier曲线曲线 o 矩阵表示为：矩阵表示为： 33221203)1 (3)1 (3)1 ()(P

30、uPuuPuuPuuC32102300010033036313311)(PPPPuuuuCo 图图7.5 三次三次Bezier 曲线曲线 三次三次BezierBezier曲线的基函数曲线的基函数67三次Bezier曲线的四个Bezier基函数o 注意：对于注意：对于Bezier曲线，在区间曲线，在区间(0,1)范围内，范围内，每个基函数均不为零，说明每个基函数均不为零，说明不能不能使用控制多边使用控制多边形对曲线的形状进行形对曲线的形状进行局部调整局部调整，如果改变某一，如果改变某一控制点位置，整个曲线都将受到影响。控制点位置，整个曲线都将受到影响。 Bezier Bezier 曲线具体计算曲

31、线具体计算p2 = x2,y2p0 = x0,y0p1 = x1,y1p3 = x3,y3p(t) = (1-t)3p0 + 3(1-t)2tp1 + 3(1-t)t2p2 + t3p3转化为平面上的点，计算方法如下：转化为平面上的点，计算方法如下：p(t) = Si=0.3 Bi(t) piBi(t) = (3i) ti (1-t)3-ix(t) = (1-t)3x0 + 3(1-t)2tx1 + 3(1-t)t2x2 + t3x3y(t) = (1-t)3y0 + 3(1-t)2ty1 + 3(1-t)t2y2 + t3y.2 2 BezierBezier曲线的性质曲线的性

32、质o 端点性质端点性质 o 端点切矢量端点切矢量 u 在在 P0 点处与边点处与边 P0 P1相切；相切；u 在在Pn点点 处与边处与边Pn-1Pn 相切。相切。 nPCPC)1(,)0(01011,)()(niiiniPPuBnuC)() 1 (),()0(101nnPPnCPPnCBezierBezier曲线的性质曲线的性质o 二阶导数二阶导数u Bezier曲线在起始点和终止点处的二阶导数曲线在起始点和终止点处的二阶导数分别取决于最开始和最后的三个控制点。分别取决于最开始和最后的三个控制点。71)()(1() 1 ()()(1()0(112 0112 nnnnPPPPnnpPPPPnnp

33、o 对称性对称性 u 若保持原全部顶点的位置不变，只是把次序颠倒过来，则新的Bezier曲线形状不变，但方向相反o 几何不变性几何不变性u Bezier曲线的位置和形状只与特征多边形的顶点的位置有关，它不依赖坐标系的选择。u 移动第i个控制顶点Pi，将对曲线上 u=i/n 处产生最大的影响BezierBezier曲线的性质曲线的性质o 凸包性凸包性u Bezier曲线各点均落在控制多边形各顶点构曲线各点均落在控制多边形各顶点构成的成的凸包凸包之中。之中。u Bezier曲线的凸包性保证了曲线随控制点平曲线的凸包性保证了曲线随控制点平稳前进而不会振荡。稳前进而不会振荡。730)1 ()!( !)

34、(,ininittinintBnininininittttknintB00,1)1()1 ()!( !)(凸包凸包o 变差缩减性变差缩减性u 对于平面对于平面Bezier曲线曲线C(u)，平面内任意条直线平面内任意条直线与其交点的个数不多于该直线与其控制多边形与其交点的个数不多于该直线与其控制多边形的交点个数。的交点个数。u 曲线总是比控制多边形所在的折线更平滑曲线总是比控制多边形所在的折线更平滑7.4.3 Bezier7.4.3 Bezier曲线的可分割性曲线的可分割性 o Bezier曲线的可分割性可用德卡斯特里奥（曲线的可分割性可用德卡斯特里奥（De Casteliau）算法表达如下）算

35、法表达如下o 给定空间给定空间n+1个点个点Pi（i=0，1， 2n）及参数）及参数t，有，有 )()()1 ()(111tPttPttPririri 1 , 0 ;, 1 , 0 ;, 2 , 1trninro 例如，当例如，当n=3时，有时，有 o 三次三次Bezier曲线递推如下：曲线递推如下： 0, 31 , 0, 22 , 1 , 0, 1iririr)()()1 ()()()()1 ()()()()1 ()(030212020111010010tPttPttPtPttPttPtPttPttP)()()1 ()()()()1 ()(121121111020tPttPttPtPttPt

36、tP)()()1 ()(212030tPttPttPiiPtP)(0o 根据该式可以绘制根据该式可以绘制BezierBezier曲线，取曲线，取t=0t=0，t t1/31/3，t t2/32/3，t=1t=1，点的运动轨迹形成，点的运动轨迹形成BezierBezier曲线曲线。图。图7-87-8绘制的是绘制的是t=1/3t=1/3的点。的点。o 7.5.1 Bezier曲面的定义曲面的定义o 7.5.2 双三次双三次Bezier曲面的定义曲面的定义 7.5.1 Bezier7.5.1 Bezier曲面的定义曲面的定义 o Bezier曲面是由曲面是由Bezier曲线拓广而来，以两组正曲线拓广

37、而来，以两组正交的交的Bezier曲线控制点构造空间网格来生成曲曲线控制点构造空间网格来生成曲面。面。o mn次次Bezier曲面的定义如下：曲面的定义如下： （u，v）0，10，1 )()(),(m0i,0,vBuBPvupnjminjjio 依次用线段连接点列依次用线段连接点列Pi,j（i0，1，m；j0，1，n）中相邻两点所形成的空间网格）中相邻两点所形成的空间网格称为控制网格，当称为控制网格，当m3，n3时由时由4416个个控制点构成控制网格，如图所示，其相应的曲控制点构成控制网格，如图所示，其相应的曲面称为双三次面称为双三次Bezier曲面。曲面。 7.5.2 7.5.2 双三次双三

38、次BezierBezier曲面的定义曲面的定义 o 双三次双三次Bezier曲面定义如下：曲面定义如下：o （u，v）0，10，1 )()(),(30i3 ,3 ,30,vBuBPvupjijji7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线 o Bezier曲线曲线虽然有许多优点，但也存在虽然有许多优点，但也存在不足不足：u 控制点个数控制点个数(n+1)决定曲线的次数（决定曲线的次数（n次）次）；u 曲线不能局部修改，修改某一控制点将影响曲线不能局部修改，修改某一控制点将影响到整条曲线到整条曲线，原因是，原因是Bernstein基函数在整个基函数在整个开区间（开区间（0，1）内均不为零，所以曲线在开

39、）内均不为零，所以曲线在开区间内任何一点的值都将受到全部顶点的影区间内任何一点的值都将受到全部顶点的影响，改变其中某一顶点的位置，将会引起整响，改变其中某一顶点的位置，将会引起整条曲线的改变。条曲线的改变。 u 控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越控制多边形与曲线的逼近程度较差，次数越高，逼进程度越差；高，逼进程度越差；o 为了克服上述问题，为了克服上述问题，Gordon和和Riesenfeld于于1974年用年用B样条基函数样条基函数代替了代替了Bernstein基函数基函数，构造了，构造了B样条曲线样条曲线。o B样条曲线的样条曲线的次数次数可根据需要指定，不像可根据需要指定，不像Bez

40、ier曲线的次数是由控制点的个数来确定曲线的次数是由控制点的个数来确定o B样条曲线的样条曲线的突出优点突出优点是增加了对曲线的是增加了对曲线的局部局部修改修改功能功能o B样条曲线比样条曲线比Bezier曲线更贴近控制多边形，曲曲线更贴近控制多边形，曲线更光滑（很容易产生线更光滑（很容易产生C2连续性）连续性）7.6 B7.6 B样条曲线样条曲线o 7.6.1 B样条曲线的定义样条曲线的定义 o 7.6.2 二次二次B样条曲线样条曲线 o 7.6.3 三次三次B样条曲线样条曲线 o 7.6.4 B样条曲线的性质样条曲线的性质 7.6.1 B7.6.1 B样条曲线的定义样条曲线的定义 o 给定

41、给定n+1个控制点个控制点Pi（i0，1，2，n），），n次次B样条曲线段的参数表达式为：样条曲线段的参数表达式为：o 依次用线段连接控制点依次用线段连接控制点Pi（i0，1，2，n）组成的多边形称为）组成的多边形称为B样条曲线控制多边形。样条曲线控制多边形。o 在工程实际中，二次和三次在工程实际中，二次和三次B样条曲线应用较样条曲线应用较为广泛。为广泛。 niniitFPtp0,)()(injnjnjnijintCntF01,)() 1(!1)(7.6.2 7.6.2 二次二次B B样条曲线样条曲线 o 二次二次B样条曲线的样条曲线的n2，i0，1，2，B样条曲样条曲线是二次多项式线是二次多

42、项式89222220,230211( )( 1)(2)(2)3(1)32!21(21)2jjjFtC tjttttt22, 222, 121)() 122 - (21)(ttFtttF22, 212, 102, 0)()()()(PtFPtFPtFtpinjnjnjnijintCntF01,)() 1(!1)(7.6.2 7.6.2 二次二次B B样条曲线样条曲线 o 矩阵表示矩阵表示2102 011022121) 1(21)(PPPtttpo 二次二次B B样条曲线的样条曲线的起点起点p(0)p(0)位于位于P0P1P0P1边的中点处，且其边的中点处，且其切矢量切矢量P1P1P0P0沿沿P0

43、P1P0P1边的走向；边的走向；o 终点终点p(1)p(1)位于位于P1P2P1P2边的中点处，且其切矢量边的中点处，且其切矢量P2P2P1P1沿沿P1P2P1P2边的走向；边的走向；o P(1/2)P(1/2)正是正是P(0)P(0)、P1P1、P(1)P(1)这三点所构成的三角形的这三点所构成的三角形的中线中线P1PmP1Pm的中点，而且的中点，而且p(1/2)p(1/2)处的切线平行于两个端处的切线平行于两个端点的连线点的连线p(0) p(1)p(0) p(1)o 这样，三个顶点这样，三个顶点P0P1P2P0P1P2确定一段二次确定一段二次B B样条曲线，该段样条曲线，该段曲线是一段抛物

44、线曲线是一段抛物线o 一般情况下，一般情况下，B B样条曲线不经过控制点样条曲线不经过控制点，曲线起点只与，曲线起点只与前二个控制点有关，终点只与后二个控制点有关前二个控制点有关，终点只与后二个控制点有关7.6.3 7.6.3 三次三次B B样条曲线样条曲线 o 矩阵表示矩阵表示o 三次三次B样条曲线的样条曲线的n3，k0，1，2，3，控制，控制多边形有四个控制点多边形有四个控制点P0、P1、P2 和和P3，B样条样条曲线是三次多项式曲线是三次多项式 3210230141030303631331161)(PPPPttttp三次三次B B样条曲线几何性质样条曲线几何性质o 曲线起点曲线起点p(0

45、)位于位于 P0P1P2底边底边P0P2的中线上的中线上，且距，且距P1点三分之一处点三分之一处u 该点处的切矢量该点处的切矢量p(0)平行于平行于P0P1P2的底边的底边P0P2，且长度为其二分之一。且长度为其二分之一。u 该点处的二阶导数该点处的二阶导数p”(0) 沿着中线沿着中线P1Pm方向，长度方向，长度等于中线的两倍。等于中线的两倍。o 曲线终点曲线终点p(1)位于位于 P1P2P3底边底边P1P3的中线上的中线上，且距，且距P2点三分之一处点三分之一处u 该点处的切矢量该点处的切矢量p(1)平行于平行于P1P2P3的底边的底边P1P3，且长度为其二分之一。且长度为其二分之一。u 该

46、点处的二阶导数该点处的二阶导数p”(1)沿着中线方向，长度等于中沿着中线方向，长度等于中线的两倍。线的两倍。三次三次B B样条曲线几何性质样条曲线几何性质o 这样，四个顶点这样，四个顶点P0,P1,P2 ,P3确定一段三次确定一段三次B样样条曲线条曲线o 一般情况下，一般情况下，B样条曲线不经过控制点，曲线样条曲线不经过控制点，曲线起点只与前三个控制点有关，终点只与后三个起点只与前三个控制点有关，终点只与后三个控制点有关控制点有关o 实际上，实际上，B样条曲线都具有这种控制点的邻近样条曲线都具有这种控制点的邻近影响性，这正是影响性，这正是B样条曲线局部可调整性好的样条曲线局部可调整性好的原因原

47、因 7.6.4 B7.6.4 B样条曲线的性质样条曲线的性质连续性连续性o B样条曲线不同于样条曲线不同于Bezier曲线整体生成，它是分曲线整体生成，它是分段生成的，段生成的，B样条曲线各段之间自然连接样条曲线各段之间自然连接o 图示二次（图示二次（n2）B样条曲线，由样条曲线，由7段曲线组成段曲线组成，需要，需要9个控制点；个控制点；o 图示三次（图示三次（n3）B样条曲线，由样条曲线，由6段组成，需段组成，需要要9个控制点。个控制点。 二次二次B B样条曲线的连续性样条曲线的连续性三次三次B B样条曲线的连续性样条曲线的连续性局部性质局部性质o 在在B样条曲线中，每段样条曲线中，每段B样

48、条曲线受样条曲线受n+1个控制个控制点影响，改变一个控制点的位置，最多影响点影响，改变一个控制点的位置，最多影响n+1个曲线段，其它部分曲线形状保持不变。个曲线段，其它部分曲线形状保持不变。o 在工程设计中经常需要对曲线进行局部修改，在工程设计中经常需要对曲线进行局部修改，B样条曲线能很好地满足这一要求，这就是样条曲线能很好地满足这一要求，这就是B样样条曲线受欢迎的原因之一。条曲线受欢迎的原因之一。 二次二次B B样条曲线样条曲线局部顶点修改局部顶点修改7.7 B7.7 B样条曲面样条曲面 o 7.7.1 B样条曲面的定义样条曲面的定义 o 7.7.2 双三次双三次B样条曲面的定义样条曲面的定义o 7.7.3 双三次双三次B样条曲面的连续性样条曲面的连续性 7.7.1 B7.7.1 B样条曲面