高等数学第六章5

1、 由物理学知道，如果物体在作直线运动的由物理学知道，如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力过程中有一个不变的力F作用在这物体上，且作用在这物体上，且这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在这力的方向与物体的运动方向一致，那么，在物体移动了距离物体移动了距离s时，力时，力F对物体所作的功为对物体所作的功为sFW . 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.一、变力沿直线所作的功一、变力沿直线所作的功例例 1 1 把把一一个个带带 q 电电量量的的点点电电荷荷放放在在 r 轴轴

2、上上坐坐标标原原点点处处，它它产产生生一一个个电电场场这这个个电电场场对对周周围围的的电电荷荷有有作作用用力力由由物物理理学学知知道道，如如果果一一个个单单位位正正电电荷荷放放在在这这个个电电场场中中距距离离原原点点为为 r 的的地地方方，那那么么电电场场对对它它的的作作用用力力的的大大小小为为 2rqkF （k是是常常数数） ，当当这这个个单单位位正正电电荷荷在在电电场场中中从从 ar 处处沿沿 r 轴轴移移动动到到 br 处处时时，计计算算电电场场力力 F 对对它它所所作作的的功功解解取取r为为积积分分变变量量，ro q a b 1 r,bar drr 取取任任一一小小区区间间,drrr

3、,功元素功元素,2drrkqdw 所求功为所求功为drrkqwba 2barkq 1.11 bakq如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处drrkqwa 2 arkq1.akq 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例 2 2 一圆柱形蓄水池一圆柱形蓄水池高为高为 5米，底半径为米，底半径为3 米，池内盛满了水米，池内盛满了水.问要把池内的水全部问要把池内的水全部吸出，需作多少功？吸出，需作多少功？解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为为积积分分变变量量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,xoxdxx 5这一薄层水的重力为这

4、一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素为功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为,)(kxxf 第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101)(dxxfw,2k .)(0 hhdxxfw例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功厘米，若每次锤击所作的功相等，问第相等，问第 次锤击时又将铁钉击入

5、多少？次锤击时又将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘米厘米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n 由由物物理理学学知知道道，在在水水深深为为h处处的的压压强强为为hp ，这这里里 是是水水的的比比重重如如果果有有一一面面积积为为A的的平平板板水水平平地地放放置置在在水水深深为为h处处，那那么么，平平板板一一侧侧所所受受的的水水压压力力为为ApP 如果平板垂直放

6、置在水中，由于水深不同如果平板垂直放置在水中，由于水深不同的点处压强的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思”思想想二、水压力二、水压力例例 4 4 一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为设桶的底半径为R，水的比重为，水的比重为 ，计算桶的一端面，计算桶的一端面上所受的压力上所受的压力解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为为积积分分变变量量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小矩形片上各处的压强

7、近小矩形片上各处的压强近似相等似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为.222dxxR ,xp 小小矩矩形形片片的的压压力力元元素素为为dxxRxdP222 端端面面上上所所受受的的压压力力dxxRxPR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R 例例 5 5 将将直直角角边边各各为为a及及a2的的直直角角三三角角形形薄薄板板垂垂直直地地浸浸人人水水中中，斜斜边边朝朝下下，直直角角边边的的边边长长与与水水面面平平行行，且且该该边边到到水水面面的的距距离离恰恰等等于于该该边边的的边边长长，求求薄薄板板所所受受的的侧侧压压力力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a

8、面积微元面积微元,)(2dxxa dxxaaxdP 1)(2)2(dxxaaxPa )(2(20 .373a 由由物物理理学学知知道道，质质量量分分别别为为21, mm相相距距为为r的的两两个个质质点点间间的的引引力力的的大大小小为为221rmmkF ，其其中中k为为引引力力系系数数，引引力力的的方方向向沿沿着着两两质质点点的的连连线线方方向向 如如果果要要计计算算一一根根细细棒棒对对一一个个质质点点的的引引力力，那那么么，由由于于细细棒棒上上各各点点与与该该质质点点的的距距离离是是变变化化的的，且且各各点点对对该该质质点点的的引引力力方方向向也也是是变变化化的的，就就不不能能用用此此公公式式

9、计计算算三、引力三、引力例例 6 6 有一长度为有一长度为l、线密度为、线密度为 的均匀细棒，的均匀细棒，在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒a单位处有一质量为单位处有一质量为m的质点的质点M，计算该棒对质点，计算该棒对质点M的引力的引力2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为为积积分分变变量量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 小段与质点的距离为小段与质点的距离为,22yar 引力引力,22yadymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkd

10、Fx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF利用利用“微元法微元法”思想求变力作功、思想求变力作功、水压力和引力等物理问题水压力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）四、小结四、小结思考题思考题 一球完全浸没水中，问该球面所受的总一球完全浸没水中，问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与球浸没的深度有无关系？它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系？压力与它在水中受到的浮力有何关系？思考题解答思考题解答 该球面所受的总压力方向向上（下

11、半球该球面所受的总压力方向向上（下半球面所受的压力大于上半球面），其值为该球面所受的压力大于上半球面），其值为该球排开水的重量，即球的体积，也就是它在水排开水的重量，即球的体积，也就是它在水中受到的浮力因此该球面所受的总压力与中受到的浮力因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关球浸没的深度无关一、一、 直径为直径为20厘米，高为厘米，高为80厘米的圆柱体内充满压强厘米的圆柱体内充满压强为为310厘米厘米牛牛的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？体积缩小一半，问需要作多少功？二二、 一一物物体体按按规规律律3tcx 作作直直线线运运动动，媒

12、媒质质的的阻阻力力与与速速度度的的平平方方成成正正比比，计计算算物物体体由由0 x移移至至ax 时时，克克服服媒媒质质阻阻力力所所作作的的功功 . .三三、 有有一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门，它它的的两两条条底底边边各各长长610 米米和和米米，高高为为20米米，较较长长的的底底边边与与水水面面相相齐齐. .计计算算闸闸门门的的一一侧侧所所受受的的水水压压力力 . .练练 习习 题题四、四、 半径为半径为的球沉的球沉r入水中，球的上部与水面相切，入水中，球的上部与水面相切，球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作球的比重与水相同，现将球从水中取出，需要作多少功？多少功？五、五、 一块一块a高

13、为高为 ，b底为底为的等腰三角形薄板，垂直地的等腰三角形薄板，垂直地沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄沉没在水中，顶在下，底与水面相齐，试计算薄板每面所受的压力板每面所受的压力 . .六、六、 设有一半设有一半R径为径为，中心，中心 角角为为的圆弧形细棒，其的圆弧形细棒，其线密度为线密度为 常数常数，在圆心处有一质，在圆心处有一质的的量为量为 m质点质点M，试求这细棒对质，试求这细棒对质M点点的引力的引力 . .七七、 油油类类通通过过直直油油管管时时，中中间间流流速速大大，越越靠靠近近管管壁壁流流速速越越小小，实实验验测测定定，某某处处的的流流与与速速 v流流处处到到管管子子中中心心的的距距之之间间离离 r有有关关系系式式)(22rakv , ,其其中中为比例为比例k常常数数，为为油油管管a半半径径. .求求通通过过油油管管的的流流量量 （注注： 当当流流速速为为常常量量时时， 流流量量 = = 流流