第一讲 方程和不等式 - 宝山教育信息网

1、第一讲 方程和不等式宝山区教师进修学院 王凤春二OO五年七月十日新高一衔接新高一衔接数学讲座数学讲座 首先，祝贺同学们以优异的成绩升入高中。同学们，高中与初中的数学有着本质的区别，已经由简单的数量关系转到复杂、抽象的逻辑推理，发生了质的变化，因而，更需要自觉主动的学习。初中有许多内容是高中继续学习的基础，必须熟练掌握。今天，我与同学们共同温习“方程和不等式”的内容就是其中之一。 一、方程与方程组1一元一次方程【学习要点】 解形如ax=b(a0)的方程，如果a1，要 把x的系数化成1，可以采取如下方法：(1)当a是整数时,两边都除以未知数的系数；(2)当a是分数时，两边都乘以未知数系数的 倒数。

2、 【例题选讲】1、下列方程中是一元一次方程的是( )A、x+2y=3 B、x2-3x=4 C、3x=0 D、139xx2、关于x的方程x3m5+7m=5是一元一次方程，则m=_.C23、选择题（1）方程2x-4=3x+8移项可得( )A、2x+3x=8+4B、2x-3x=8+4C、-2x-3x=-8+4 D、2x+3x=8-4 B（2）下列方程中与方程3x-1=8的解相同的是( )A、3x=7 B、3x=9 C、x-1= D、x=8+1 83 B（3 3）下列四组变形中，属于移项法则的）下列四组变形中，属于移项法则的是是( ( ) )A A、由、由5x+7=05x+7=0，得，得5x= 75x

3、= 7 B B、由、由2x-3=02x-3=0，得，得2x3+3=32x3+3=3 C C、由、由 ，得，得x=12x=12 D D、由、由5x=75x=7，得，得 126x 75x A4、如果方程、如果方程2x+a=x1的解是的解是 4，那么，那么a的的值应是值应是_. 35、解下列方程(1) 9x+2=3x10 解：移项得9x-3x=-10-2，解得x=2 (2) 3x+4=5x6(用两种方法解) 注：根据方程的特点，将含注：根据方程的特点，将含x的项移的项移到右边更方便。到右边更方便。6、当x=_时，代数式2x+1和x+5的值相等。 7、若|3m+2|+|2n3|=0时，m=_，n=_.

4、 8、方程2x3(10 x)=5x7(x3)解法中，开始出现错误的步骤是( ) A、2x30+3x=5x7x21 B、2x+3x5x+7x=21+30 C、7x=9 D、x= 9742332A 9、指出下列解方程中哪一步有错误，把这一步的序号填在括号内，并写出正确的答案。解方程3(2x+1)-5x=4(2x+5) 6(x4)解：去括号，得6x+35x=8x+206x+24移项，得6x-5x-8x-6x=20+24-3合并同类项，得13x=41系数化为1，得 此题错处是_应改为_， 正确答案是_4113x +6x -41 10、解下列方程(1)5(x1) 3(x+3)=0 解：解得x=7(2)5

5、(x+2)=2(2x+17) 解：解得x=24(3)4(2x1) 3(x+2)=2(x9) 解：解得x=38 (4)3(4x2) 2(2x5)=4(3x+5) 解：解得x=-42二元一次方程组 【学习要点】【学习要点】 1、解方程组的思想是、解方程组的思想是“消元消元”，一般情，一般情况下，解况下，解二元一次方程组有代入消元法和加二元一次方程组有代入消元法和加减消元法两种。减消元法两种。 2、关于二元一次方程有无穷多个解的问、关于二元一次方程有无穷多个解的问题，也就是所谓解的不定性的问题，是初中题，也就是所谓解的不定性的问题，是初中代数学习的一个难点。对于二元一次方程来代数学习的一个难点。对于

6、二元一次方程来说，它的每一组解又是一对数，这一对数有说，它的每一组解又是一对数，这一对数有一定的相关性，也就是后面所学的坐标。一定的相关性，也就是后面所学的坐标。 一、填空题一、填空题1.二元一次方程4x-3y=12，当x=0，1，2，3时，y=_ 0 ,34,38,42.在x+3y=3中，若用x表示y，则y=_，用y表示x，则x=_ 3-3y 131x3.把方程3(x+5)=5(y-1)+3化成二元一次方程的一般形式为_ 3x-5y+17=0 4.方程y=2x-3与3x+2y=1的公共解是_ x=1,y=-1 5方程x+y=3有_组解，有_组正整数解，它们是_ x=1,y=2x=1,y=2或

7、或x=2,y=1x=2,y=1两两 无数无数 6已知方程(k2-1)x2+(k+1)x+(k-7)y=k+2， 当k=_时，方程为二元一次方程1 17对二元一次方程2(5-x)-3(y-2)=10，当x=0时，则y=_；当y=0时，则x=_ 2 238.方程2x+y=5的正整数解是_ x=2,y=1或x=1,y=3二、选择题二、选择题9在方程2(x+y)-3(y-x)=3中，用含x的代数式表示y，则 Ay=5x-3； By=-x-3； C Dy=-5x-3 1355xyAD10与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是 A10 x+2y=4； B4x-y=7； C20 x-

8、4y=3； D15x-3y=6 11若若5x2ym与与4xn+m-1y是同类项，则是同类项，则m2-n的的值为值为 A1； B-1； C-3； D以上答案都不对以上答案都不对 BD 12方程方程2x+y=9在正整数范围内的解有在正整数范围内的解有 A1个；个； B2个；个； C3个；个； D4个个三、解方程组13.2102540 xyxy 解：解：x=3 ，y=2 注：用代入消元法注：用代入消元法14 3234xyxy 解：解：x=1，y=-1 注：用加减消元法注：用加减消元法15 23102370 xyxy 解：解：x=-2，y=-1 16 231042100 xyxy 解：解：x=2 ,y

9、=-1 3一元二次方程 【知识库】 在公元前4、5世紀時，我國已掌握了一元二次方程的求根公式。 公元628年，從印度的婆羅摩笈多寫成的婆羅摩修正體系中，得到一元二次方程x2+px+q=0的一個求根公式。 韋達（1540-1603）給出根與系數的關係。 在阿拉伯阿爾花拉子米的代数學中討論到方程的解法，解出了一元二次方程，其中涉及到六種不同的形式，令 a、b、c為正數，如ax2=bx、ax2=c、 ax2+c=bx、ax2+bx=c、ax2=bx+c 等。把二次方程分成不同形式作討論。阿爾花拉子米除了給出二次方程的幾種特殊解法外，還第一次給出二次方程的一般解法，承認方程有兩個根，並有無理根存在。

10、知识要点知识要点11只含有一个未知数，且未知数的最高次只含有一个未知数，且未知数的最高次数是数是2的整式方程，叫做一元二次方程。的整式方程，叫做一元二次方程。 2一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式：（a0），注意），注意 的条件不可缺少。的条件不可缺少。3一元二次方程的解法：（一元二次方程的解法：（1）因式分解）因式分解法法 （2）开平方法）开平方法 （3）配方法）配方法 (4)公式法公式法4如果如果 ，那么一元二次方程，那么一元二次方程（a0）的两根为）的两根为 02cbxax042 acbaacbbx2420a 【例题精选】【例题精选】一元二次方程的解法一元二次方程的解法 1判

11、别下列方程哪些是一元二次方程，若是一元二次方程，则写出各项的系数，若不是说出为什么？ （1） 131xxxx解：（1）原方程化成一般式是不是一元二次方程，是一元一次方程。 03 x（2） 15342xx解:(2)原方程化成一般式是原方程化成一般式是 是一元二次方程；二次项系数是是一元二次方程；二次项系数是 ； 一次项系数是一次项系数是4，常数是，常数是 。053452xx553（3）（3）当当 ，即，即 时，是一元时，是一元二次方程；二次项系数是二次方程；二次项系数是k+1 ，一次项，一次项系数是系数是-2k，常数项是，常数项是1。 01212kxxk01k1k当当 k+1=0 ，即，即k=-

12、1时，不是一元二时，不是一元二次方程。次方程。 2解下列方程 （1） 1211312xx 解法一：13122xx 05722 xx 0152xx 251x，12x 解法二：13122xx 013122xx 0521xx 11x，252x (2)09522x 解：由9522x得 352x， 所以 11x，42x 说说明明：解解形形如如02 cax（a0）的的方方程程，可可把把常常数数项项 c移移到到等等号号右右边边，得得cax2，acx2，用用开开平平方方法法解解，当当 a、c 异异号号即即0ca时时，acx；当当 a、c 同同号号，即即0ca时时，方方程程无无解解；当当0c时时，021 xx。

13、 （3） 030142xx 解：移项，得解：移项，得30142xx，左边配方，左边配方， 得得493049142xx 得得1972x 开平方，得开平方，得197x，所以，所以 197x （4） （用配方法） 04832 xx 解解：方方程程两两边边都都除除以以 3，得得034382xx（使使二二次次项项系系数数化化为为 1） 移移项项，得得34382xx 方方程程左左边边配配方方91634916382xx（方方程程两两边边都都加加上上一一次次项项系系数数一一半半的的平平方方） 928342x 开开平平方方，得得37234x，所所以以 37241x，37242x 归纳：分析一元二次方程特点，归纳

14、：分析一元二次方程特点，选择适当解法。选择适当解法。 一元二次方程特点一元二次方程特点解法解法等号一边为零，另一等号一边为零，另一边易于分解边易于分解 因式分解法因式分解法 ax2=k或或a(x+b)2=k （a0，k为常数）为常数） 开平方法开平方法 二次项系数为二次项系数为1，一次项系数为偶数一次项系数为偶数 配方法配方法 以上三种方法以上三种方法均不简便均不简便 公式法（公式法是公式法（公式法是最基本方法）最基本方法） 一元二次方程及其应用一元二次方程及其应用 【复习要点】【复习要点】 1、 判别式： 、 判别式： acb42叫做一叫做一元二次方程元二次方程02cbxax（a0）的根的判

15、别式。）的根的判别式。 （1）0方程有两个不相等的实数根；方程有两个不相等的实数根； （2）0方程有两个相等的实数根；方程有两个相等的实数根； （3）0方程没有实数根。方程没有实数根。 2、根根与与系系数数关关系系：如如果果方方程程02cbxax（a0） 的的两两个个根根1x、2x，那那么么1212bxxacxxa 【例题精选】【例题精选】1将正确的答案填入空格内将正确的答案填入空格内 （1）方程）方程 的判别式的判别式= _ ，不解方程，这个方程根的情，不解方程，这个方程根的情况是况是 。 2732432方程有两个不相等的实数根方程有两个不相等的实数根（2）关于关于x的一元二次方程的一元二次

16、方程 的两个根互为倒数，则的两个根互为倒数，则m 0) 1() 1(22mxmxm0.5xx33222求证：无论求证：无论m为何实数，一元二次方程为何实数，一元二次方程 必有两个不相等的实数根。必有两个不相等的实数根。 0422mmxx 证明：证明：222444416mmmm 22441 152115mmm 不论不论 m 取何值取何值0122m 221150m 原方程必有两个不相等的实数根。原方程必有两个不相等的实数根。 说说明明： 要要证证明明一一元元二二次次方方程程有有两两个个不不相相等等的的实实数数根根，只只要要证证明明0。 解解这这类类题题目目的的一一般般步步骤骤是是先先列列出出的的代

17、代数数式式，然然后后利利用用完完全全平平方方式式或或配配方方等等方方法法来来说说明明的的代代数数式式0，=0 或或0，就就可可得得到到方方程程根根的的情情况况。 3关于关于x的方程的方程 有两个不有两个不相等的实数根。相等的实数根。（1）求）求k的取值范围；的取值范围；（2）是否存在实数）是否存在实数k，使方程的两个实数根，使方程的两个实数根的倒数和等于的倒数和等于0？若存在求出？若存在求出k的值，若不存的值，若不存在说明理由。在说明理由。0412kxkkx 解： （1）124412kkkk 由题意得2100kk 12k 且 k0 （2）设方程的两个根为）设方程的两个根为1x，2x， 1210

18、4xx，0121kkxx，12121211xxxxx x0 满足条件的满足条件的 k 不存在。不存在。 说明：含有字母系数的一元二次方程要注意说明：含有字母系数的一元二次方程要注意 二次项系数不等于二次项系数不等于0这个隐含条件。这个隐含条件。4已知一元二次方程已知一元二次方程 的一的一个根比另一个根大个根比另一个根大 ，求，求c的值。的值。 0122cxx52解解：设设5212 xx，由由根根与与系系数数关关系系得得 1221 xx， 即即125211 xx 561x，5652562x 由由根根与与系系数数关关系系，得得31565621xxc 5设方程 的两根为 、（ ），不解方程，求 的值

19、。 xx10222211， 解：原方程化为解：原方程化为由根与系数关系，得由根与系数关系，得 02102xx10 2 2222222211 222410104 21025242 分析分析:（1）k应满足：应满足： 结果结果kb bb,bc ac（传递性）ab a+cb+c（数加） )(0,0,数乘cbcacbacbcacba 与等式相比，主要区别在数乘这一性质上，对于等式a=b ac=bc，不论c是正数、负数还是零，都成立，而对于不等式ab，两边同乘以c之后，ac与bc的大小关系就需对c加以讨论确定。这个关系即使记得很清楚，但在解题时最容易犯的毛病就是错用这一性质，尤其是需讨论参数时。 （2

20、2）一元一次不等式组解的四种情况）一元一次不等式组解的四种情况 大大取较大，大大取较大， 小小取较小，小小取较小， 小大，大小中间找，小大，大小中间找，小小，大大解不了。小小，大大解不了。 【例题选讲】【例题选讲】一、填空题 1当当x=_时，代数式时，代数式5x-3的值为正数。的值为正数。 0.82已知代数式已知代数式 的值是非正数，则的值是非正数，则x的取值的取值范围是范围是_。 24x小于等于小于等于23当代数式当代数式 的值不大于的值不大于 的值时，的值时，则则x的取值范围是的取值范围是_. 912x113x小于等于小于等于174当当x取什么值时，代数式取什么值时，代数式 的值的值不大于

21、代数式不大于代数式 的值。的值。 二、解答题二、解答题852x3243x答案：答案：x25求不等式求不等式 的正整数解。的正整数解。3115xx解：解不等式得解：解不等式得x2，所以，所以x=16三个连续自然数之和小于三个连续自然数之和小于10，这样的数有几，这样的数有几组？并把它们分别写出来。组？并把它们分别写出来。 解：设三个连续的自然数分别为解：设三个连续的自然数分别为x-1,x,x+1则题意得则题意得x-1+x+x+110，解得，解得x7a-x 三、解下列不等式（组）三、解下列不等式（组）解解:化简得化简得ax2a，当，当a0时时,x2;当当a0时，时，x2； 当当a=0时，不等式无解

22、。时，不等式无解。 8112-3X35解：移项得：解：移项得：11-2-3X35-2 即即9-3X33系数化为系数化为1得：得：-11X5 解：由原不等式得：解：由原不等式得：2X-35或或2x-34或或x-1 10.|2x+1|2 解：由原不等式得解：由原不等式得-22x+12所以所以-32x1，解得，解得-3/2x1/2 562(3)11.5444.4xxxx解：原不等式组的解集为解：原不等式组的解集为x-3 x-3 3231212.1173xxxx解：原不等式组的解集为解：原不等式组的解集为-1/3x3 1. 理解并应用不等式的基本性质对不等式进行正确变形；5.会解简单的绝对值不等式。4

23、.会讨论简单字母不等式的解集；3.会解一元一次不等式及不等式组；2.利用数轴表示不等式(组)的解集；【小结】【小结】三、列方程、不等式（组）解应用题【复习要点】【复习要点】列方程（组）列方程（组）或不等式（组）或不等式（组）解应用题的关键是分析问解应用题的关键是分析问题中的有关数量，从中找出相等或不等关系。题中的有关数量，从中找出相等或不等关系。一般分为四个步骤：一般分为四个步骤：（1）读题）读题分为读懂和深刻理解两个层次，把分为读懂和深刻理解两个层次，把“问问题情景题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）；条件的关系）；（2）建模）

24、建模根据问题的数量关系列方程（组）；根据问题的数量关系列方程（组）；（3）求解）求解解方程（组）或不等式（组）；解方程（组）或不等式（组）；（4）检验）检验对结果进行验证，对错误加以调节，最对结果进行验证，对错误加以调节，最后将结果应用于现实。后将结果应用于现实。 【例题精选】【例题精选】1、两个单位职工共储蓄、两个单位职工共储蓄36万元，已知甲单位职万元，已知甲单位职工储蓄比乙单位职工储蓄多两倍，求两个单位职工储蓄比乙单位职工储蓄多两倍，求两个单位职工储蓄各多少万元？工储蓄各多少万元？解：设乙单位职工储蓄解：设乙单位职工储蓄x万元，万元，则甲单位职工储蓄则甲单位职工储蓄2x万元。万元。由题意

25、得由题意得x+2x=36，解得，解得x=12。答：甲乙两单位职工储蓄分别为答：甲乙两单位职工储蓄分别为12万元和万元和24万元。万元。 2、有两个运输队，第一队有、有两个运输队，第一队有32人，第二人，第二队有队有28人，现因任务需要，要使第一队人人，现因任务需要，要使第一队人数是第二队人数的数是第二队人数的2倍，需要从第二队调倍，需要从第二队调多少人支援第一队？多少人支援第一队？ 解：设从第二队调入第一队解：设从第二队调入第一队x人，则调入后人，则调入后第一队为第一队为x+32人，第二队人，第二队28-x人人由题意得由题意得x+32=2(28-x)，解得，解得x=8答：需要从第二队调答：需要

26、从第二队调8人支援第一队人支援第一队 。3、某中学校办工厂去年总收入比总支出多、某中学校办工厂去年总收入比总支出多40000元，计划今年总收入比总支出多元，计划今年总收入比总支出多56700元，元，若计划今年总收入比去年增加若计划今年总收入比去年增加15%，总支出比，总支出比去年减少去年减少5%，求今年的总收入和总支出。，求今年的总收入和总支出。 解：设去年的总收入为解：设去年的总收入为x元，则总支出为元，则总支出为x-40000元，元，今年的总收入为今年的总收入为(1+15%)x=1.15x元，总支出为元，总支出为(1-5%)(x-40000)=0.95(x-40000)元，元，由题意得由题

27、意得1.15x=0.95(x-40000)+56700，解得，解得x=93500所以，今年的总收入为所以，今年的总收入为1.15x=107525元，总支出为元，总支出为0.95(x-40000)=50825元。元。4、某工厂要锻造直径为、某工厂要锻造直径为60毫米，高为毫米，高为40毫毫米的圆柱形零件毛坯，问需截取直径米的圆柱形零件毛坯，问需截取直径80毫毫米的圆钢多长？米的圆钢多长？ 解：设需要截取直径解：设需要截取直径80毫米的圆钢毫米的圆钢x毫米，毫米，由题意得由题意得 解得解得x=22.5毫米毫米答：需截取直径答：需截取直径80毫米的圆钢毫米的圆钢22.5毫米。毫米。 22403040

28、 x简析：知道形积简析：知道形积( (形状或体积变化形状或体积变化) )问题的意义，分析这问题的意义，分析这类问题中已知数与未知数之间的相等关系，解这类问题类问题中已知数与未知数之间的相等关系，解这类问题的关键是熟记有关形体的周长、面积和体积公式。的关键是熟记有关形体的周长、面积和体积公式。 5、甲、乙两人骑车从相距、甲、乙两人骑车从相距78千米的两地相千米的两地相向而行，向而行，3小时后相遇，甲比乙每小时多走小时后相遇，甲比乙每小时多走2千米，求甲、乙每小时各走多少千米？千米，求甲、乙每小时各走多少千米？ 解：设甲、乙每小时各走解：设甲、乙每小时各走x千米和千米和x-2千米，千米，由题意得由

29、题意得3x+3(x-2)=78，解得，解得x=14答：甲、乙每小时各走答：甲、乙每小时各走14千米千米t和和12千米。千米。 6、建宁小区规划在一个长方形场地上修建、建宁小区规划在一个长方形场地上修建3条条同样宽的小路，如图，在剩余部分铺上草皮。同样宽的小路，如图，在剩余部分铺上草皮。已知场地的长比宽多已知场地的长比宽多69米，小路宽为米，小路宽为1m，草皮，草皮共铺了共铺了2940m2。问：该长方形场地宽多少米？问：该长方形场地宽多少米？ 解：设长方形场地宽为解：设长方形场地宽为x米，则长为米，则长为x+69米米由题意得由题意得(x-1)(x+69-2)=2940，化简得化简得x2 +66x

30、-3007=0解得解得x=31或或x=-97（舍）（舍）答：长方形场地宽为答：长方形场地宽为31米。米。 7、甲、乙两个施工队合修一条长、甲、乙两个施工队合修一条长1125米的公米的公路，甲队从东头修起，先挖路，甲队从东头修起，先挖3天，每天修天，每天修55米，米，乙队从西头修起，每天修乙队从西头修起，每天修65米，求这条公路从米，求这条公路从破土动工到竣工共需多少天？破土动工到竣工共需多少天？ 解：设从破土动工到竣工共需解：设从破土动工到竣工共需x天完成，天完成，则乙队挖了则乙队挖了x-3天，天，由题意得由题意得55x+65(x-3)=1125，解得，解得x=11答：这条公路从破土动工到竣工

31、共需答：这条公路从破土动工到竣工共需11天。天。 8、限期完成一项工程，甲队单独做、限期完成一项工程，甲队单独做4天可以完天可以完成，乙队则需成，乙队则需10天完成，现甲队工作天完成，现甲队工作2天后，天后，余下的由乙队去做，正好按期完工，余下的由乙队去做，正好按期完工，求原计划多少天完成？求原计划多少天完成？ 解：设余下的由乙队去做需要解：设余下的由乙队去做需要x天完成，天完成，由题意得由题意得 ，解得解得x=5，而，而5+4=9答：原计划答：原计划9天完成。天完成。21410 x9 9、水池有两个进水管和一个出水管，单独开放、水池有两个进水管和一个出水管，单独开放甲管甲管6 6小时可注满水

32、池，单独开放乙管小时可注满水池，单独开放乙管4 4小时可小时可注满水池，单独开放丙管注满水池，单独开放丙管1212小时可放完一满池小时可放完一满池水，如果三管齐开几小时可注满一池水。水，如果三管齐开几小时可注满一池水。 解：设三管齐开几小时可注满一池水，解：设三管齐开几小时可注满一池水，由题意得由题意得解得解得x=3答：如果三管齐开答：如果三管齐开3小时可注满一池水。小时可注满一池水。 16412xxx10、一个两位数，十位上的数与个位上的数的、一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是和是11，如果把十位上的数与个位上的数对调，如果把十位上的数与个位上的数对调，那么得到的两位数就比原两位数大那么得到的两位数就比原两位数大63，求原来的两位数。求原来的两位数。 解：设十位数字为解：设十位数字为x，则个位数字为，则个位数字为11-x,由题意得由题意得10（11-x）+x=10 x+11-x+63，解得解得x=2，10 x+11-x=29答：原两位数是答：原两位数是29 。简