1.3.1函数的单调性与导数

1、（4）.对数函数的导数对数函数的导数:(1)(ln ) x (2)(log)ax （5）.指数函数的导数指数函数的导数:(1)()xe (2)()(0,1).xaaa 1 (sin ) x （）（3）.三角函数三角函数 ： 2 (cos ) x （）（1）.常函数：常函数：(C)/ , (c为常数为常数)； （2）.幂函数幂函数 ： (xn)/ 一、复习回顾：基本初等函数的导数公式一、复习回顾：基本初等函数的导数公式导数的运算法则:法则法则1:( )( )f xg x法则法则2:( )( )f x g x法则法则3:( )( ( )0)( )f xg xg x设函数设函数 y = f (x)

2、的定义域为的定义域为I,D是是I 的子集，当的子集，当 对任意的两个对任意的两个变量变量x 1、x 2 D 且且 x 1 x 2 时时yxoabyxoab1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在D 上是增函数上是增函数；2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 则则 f ( x ) 在在D 上是减函数上是减函数；若若 f(x) 在在D上是增函数或减函数，上是增函数或减函数，D 称为称为单调区间单调区间二、复习引入二、复习引入:oyxyox1oyx1xy1122xxyxy3在在（ ，0）和（）和（0, ）上分别是减函数。上分别是减函数。

3、但在定但在定义域上不是减函数。义域上不是减函数。在（在（ ，1）上是减）上是减函数，在（函数，在（1, ）上）上是增函数。是增函数。在在( ,)上上是增函数是增函数概念回顾概念回顾画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间画出下列函数的图像，并根据图像指出每个函数的单调区间(1)函数的单调性也叫函数的增减性；函数的单调性也叫函数的增减性； (2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。念。这个区间是定义域的子集。(3)单调区间：针对自变量单调区间：针对自变量x而言的。而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为

4、单调递增若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区区间；间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。判断函数单调性有哪些方法？判断函数单调性有哪些方法？比如：判断函数比如：判断函数 的单调性。的单调性。yx 233 ?yxxxyo2yx 函数在函数在 上为上为_函数，函数，在在 上为上为_函数。函数。图象法图象法定义法定义法 (,0)减减 (0,)增增如图：如图： 以前以前,我们用定义来判断函数的单调性我们用定义来判断函数的单调性.在假设在假设x1x2的前提下的前提下,比比较较f(x1)0(或或f(x)0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）确

5、认并指出递增区间（或递减区间）2、证明可导函数、证明可导函数f(x)在在(a,b)内的单调性的方法：内的单调性的方法：(1)求求f(x)(2)确认确认f(x)在在(a,b)内的符号内的符号(3)作出结论作出结论归纳归纳:练习练习 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(1) 因为因为 , 所以所以3( )3f xxx. 0) 1(333)(22xxxf因此因此, 函数函数 在在 上单调递增上单调递增.xxxf

6、3)(3Rx(2) 因为因为 , 所以所以2( )23f xxx).1(222)(xxxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递增单调递增;0)( xf1x32)(2xxxf当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.0)( xf1x32)(2xxxf例例2 判断下列函数的单调性判断下列函数的单调性, 并求出单调区间并求出单调区间:; 32)( )2( ;3)( ) 1 (23xxxfxxxf );, 0(,sin)( )3(xxxxf. 12432)( )4(23xxxxf解解:(3) 因为因为 , 所以所以( )sin,(0, )f xxx x. 01cos)(xxf因此因此,

7、函数函数 在在 上单调递减上单调递减.xxxfsin)(), 0(x(4) 因为因为 , 所以所以32( )23241f xxxx 当当 , 即即 时时, 函函数数 单调递增单调递增;0)( xf21712171xx或)(xf 当当 , 即即 时时, 函数函数 单调递减单调递减.0)( xf2466)(2xxxf21712171x)(xf练习练习2.讨论二次函数讨论二次函数 的单调区间的单调区间.)0()(2acbxaxxf解解: )0()(2acbxaxxf.2)(baxxf0 ) 1 (a 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数

8、的递减区间是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0 )2(a 由由 , 得得 , 即函数即函数 的递增区间的递增区间是是 ; 相应地相应地, 函数的递减区间是函数的递减区间是0)( xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 当当时时，当当或或时时，当当或或时时，试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。( )f x分析分析：( )f x在在此此区区间间递递减减()fx在在 此此 区区 间间 递递 增增()fxx图图 象象 在在 此此 两两 处处 附附 近近

9、 几几 乎乎 没没 有有 升升 降降 变变 化化 , ,切切 线线 平平 行行轴轴ABxyo23( )yf x 2.2.应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象ABxyo23( )yf x 已知导函数的下列信息：已知导函数的下列信息：23( )0;32( )0;32( )0.xfxxxfxxxfx 当当时时，当当或或时时，当当或或时时，试画出函数试画出函数 图象的大致形状。图象的大致形状。( )f x分析分析：( )f x在在此此区区间间递递减减()fx在在 此此 区区 间间 递递 增增()fxx图图 象象 在在 此此 两两 处处 附附 近近 几几 乎乎 没没 有有 升升 降降

10、 变变 化化 , ,切切 线线 平平 行行轴轴ABxyo23( )yf x 2 2应用导数信息确定函数大致图象应用导数信息确定函数大致图象解：解： 的大致形状如右图：的大致形状如右图：( )f xxyo12( )yf x xyo12( )yf x xyo1 2( )yf x xyo12( )yf x xyo( )yfx 2(A)(B)(C)(D)C(04浙江理工类浙江理工类)设设 是函数是函数 的导函数，的导函数， 的图象如的图象如右图所示右图所示,则则 的图象最有可能的是的图象最有可能的是( )( )f x( )fx( )yfx ( )yf x (课本课本)322( ), ,30( )( )( )( )( )f xxaxbx ca