第二章激光原理复习总结

1、1/32第二章第二章 开放式光腔与高斯光束开放式光腔与高斯光束 本章主要讲授光学谐振腔的模式；光学谐振腔的几何分析方法和衍射理论分析方法；平行平面腔模的迭代解法；稳定球面镜稳定球面镜共焦腔；一般稳定球面腔及等价共焦腔；共焦腔；一般稳定球面腔及等价共焦腔；重点：重点：学会写一些光学系统的传播矩阵；能判断一个腔是否学会写一些光学系统的传播矩阵；能判断一个腔是否稳定；掌握共焦腔模式分布特点、一般稳定球面腔及其等价共稳定；掌握共焦腔模式分布特点、一般稳定球面腔及其等价共焦腔的相互关系、高斯光束的焦腔的相互关系、高斯光束的q参数及其应用、光束质量的判参数及其应用、光束质量的判断因子。断因子。2/3210

2、L1TL自由空间平移矩阵21ST0011TrR2-01介质界面折射矩阵球面镜反射矩阵光线传输的变化可以用传输矩阵（光线传输的变化可以用传输矩阵（ABCD）与初始传输光线的矩阵相乘得到与初始传输光线的矩阵相乘得到一、常见变化矩阵一、常见变化矩阵会推导！会推导！3/32二、谐振腔稳定性判据二、谐振腔稳定性判据光学谐振腔中光线往返矩阵及矩阵元素ABCD光学谐振腔中光线n次往返矩阵光学谐振腔的稳定性条件即稳定性判据光线传输矩阵（光线传输矩阵（ABCD）4/32稳定性判据稳定性判据 适用任何形式的腔适用任何形式的腔, ,具有普适性！具有普适性！121 DA稳定腔稳定腔121 DA临界腔临界腔121 DA

3、非稳腔非稳腔稳定性判据的另一形式稳定性判据的另一形式221111RLgRLg1021gg只适用于简单的共轴球面镜腔只适用于简单的共轴球面镜腔( (直腔直腔) )！0, 12121gggg 稳定腔稳定腔 121210gggg，非稳腔非稳腔临界腔临界腔A、D为谐振腔中光线一次往返一次往返矩阵元素5/32模自再现腔内形成稳定场分布开腔模的定量求解惠更斯-菲涅尔原理菲涅尔-基尔霍夫衍射积分公式自再现模满足的积分方程自再现模满足的积分方程根据具体的腔进行简化简化自再现模满足的积分方程并利用分离变量法进行求解得到本征函数本征函数和和本征值本征值6/32本征值方程存立的条件本征值方程存立的条件： m 和和

4、n 取一系列特定取一系列特定值值本征值。本征值。对应本征值对应本征值 m 和和 n 的满足方程的场分布函数的满足方程的场分布函数vm(x)和和vn(y)为本征函数。为本征函数。求解衍射积分本征值方程的目的意义：求出求解衍射积分本征值方程的目的意义：求出本征值本征值和本征函数和本征函数，从而，从而决定开决定开腔自腔自再现模的全部特征再现模的全部特征。7/32本征函数：决定本征函数：决定镜面上镜面上的的场分布场分布，包括，包括场的场的振幅振幅和和相位分布相位分布。决定自决定自再现模的传输特性再现模的传输特性，包括，包括模的模的衰减衰减、相移、相移、谐振频谐振频率率等。等。yximnmnmneyxA

5、yxv,镜面上场的镜面上场的振幅分布振幅分布。镜面上场的镜面上场的相位相位分布分布。ie本正值：本征函数：本征函数：8/32(1)本征函数本征函数角向长椭球函数角向长椭球函数, 3 , 2, 0,00nmaycSaxcSyxvnmmn(2)本征值本征值径向长椭球函数径向长椭球函数) 1 ,() 1 ,(4)1(0)1(021cRcRNenmnmkLinmnmmn1长椭球函数的基本性质长椭球函数的基本性质u长椭球函数长椭球函数 和和 都是实函数。都是实函数。) 1 ,()1(0cRmcXcSm,0u当当 (或或 )时，时，角向角向长椭球函数有长椭球函数有近似解析解近似解析解cN方形镜共焦腔的自再

6、现模方形镜共焦腔的自再现模9/32LyxnmmnmneyLHxLHCyxv2222,镜面上场的振幅和位相分布镜面上场的振幅和位相分布厄米高斯近似厄米高斯近似1、厄米高斯近似：、厄米高斯近似：当当c=2 N 1 或模场分布集中在或模场分布集中在镜面中心附近镜面中心附近 ( x , y a )时，角向长椭球函数化为时，角向长椭球函数化为厄厄米高斯函数米高斯函数。常系数可用近似解来讨论共焦腔镜面上的场分布特性！可用近似解来讨论共焦腔镜面上的场分布特性！厄米多项式高斯函数10/32TEM0TEM1TEM2Hm(x)222xyFeHm(x)FIH2m(x)F2几种高阶高斯光束的光强分布图几种高阶高斯光束

7、的光强分布图10XHXXH212422XXH11/32基模基模: TEM 0 020222000000swrLyxeCeCv高阶横模高阶横模mnTEMm、n的理意义的理意义?12/3213/32基横模TEM00的场振幅分布特点：分布特点：腔轴上最强，离腔轴分布特点：腔轴上最强，离腔轴距离距离r 增大，光强将减弱。增大，光强将减弱。基模在基模在镜面镜面上的光斑半径上的光斑半径LyxWos2211211200nwwmwwssnssm高阶模在高阶模在镜面镜面上的光斑半径上的光斑半径14/32模场相位分布特点：相位由自再现模相位由自再现模vmn(x, y) 的辐角决定，的辐角决定，因长椭球函数因长椭球

8、函数是实数，故说明无论是基模还是高阶模，是实数，故说明无论是基模还是高阶模，镜面上各点镜面上各点场的相位值都相等，且场的相位值都相等，且等相位面与共焦腔镜面重合。等相位面与共焦腔镜面重合。2.单程功率损耗单程功率损耗由由本征值的模本征值的模决定决定 211221,1,16111cRcRNonommnmn结论结论: (1)某阶高阶横模的衍射损耗某阶高阶横模的衍射损耗mn最终只最终只取决取决于菲涅耳数于菲涅耳数N！而与腔的具体几何尺寸无关！而与腔的具体几何尺寸无关！(2) 所有模式的损耗都随菲涅耳数的增加而减小。所有模式的损耗都随菲涅耳数的增加而减小。(3)菲涅耳数相同时，损耗随横模次数的增加而迅

9、菲涅耳数相同时，损耗随横模次数的增加而迅速增加。速增加。(对横模的选择有利！对横模的选择有利！)15/323.单程相移单程相移由由本征值的辐角本征值的辐角决定决定1）TEMmn模在腔内一次单程渡越的总相移模在腔内一次单程渡越的总相移21nmkLmn几何相移几何相移附加相移附加相移相移特点相移特点(1) 与腔的菲涅耳数无关！与腔的菲涅耳数无关！(2) 附加相移随横模阶次不同而不同！附加相移随横模阶次不同而不同！(3) 不同横模的相移相差不同横模的相移相差/2的整数倍的整数倍！16/322) 谐振频率谐振频率12121212nmqLcnmqLcmnq特点特点a、相同横模可有不同的、相同横模可有不同

10、的 谐振频率谐振频率(q不同不同)。b、模简并模简并 有相同有相同谐振谐振频率的不同模式频率的不同模式(只要只要 q+1/2(m+n)相同相同)。模简并是共焦腔的一个特点。模简并是共焦腔的一个特点。22qmnc c、频率简并的模，其单程损耗并不一定简并。频率简并的模，其单程损耗并不一定简并。17/323) 频率间隔频率间隔a、同一横模相邻两个纵模之间的频率间隔。、同一横模相邻两个纵模之间的频率间隔。Lcmnqqmnq21与与F-P腔中均匀平面波模型得到的结果一致。腔中均匀平面波模型得到的结果一致。b、同一、同一q、相邻相邻 m 或相邻或相邻 n 的横模的频率间隔。的横模的频率间隔。qmnqnq

11、mmLc212211qmnqqnmnLc21221118/32方形镜共焦腔的行波场方形镜共焦腔的行波场一、方形镜对称共焦腔的行波场一、方形镜对称共焦腔的行波场 厄米厄米-高斯光束高斯光束1、推导方法、推导方法菲涅耳菲涅耳基尔霍夫基尔霍夫衍射积分公式衍射积分公式腔内、外任一点的场腔内、外任一点的场镜面上的场镜面上的场2、腔中的场分布、腔中的场分布 zyxizrnmmnmneeyzHxzHzEAzyxE,002222, 在厄米在厄米-高斯近似下高斯近似下19/32 2020211212fzfzfzLzsfLs2200基模光斑半径基模束腰半径 122202fzz特点特点:a:a、光斑半径随、光斑半径

12、随z z按照双曲线规律变化。按照双曲线规律变化。b b、当、当 z=0 z=0 时，时， 达到最小值达到最小值 z且有且有： 002sz基模高斯光束的腰斑半径基模高斯光束的腰斑半径光斑半径光斑半径:振幅下降为最大值振幅下降为最大值1/e时的光斑尺寸时的光斑尺寸20/322Lfz sz002(x , y)002s00fL2zc c、当、当 时，即在镜面上时，有：时，即在镜面上时，有：21/32模体积模体积1 1、定义：描述某一腔模在腔内扩展的空间体积。、定义：描述某一腔模在腔内扩展的空间体积。2 2、意义：模体积大。对激活介质能量的提取就大，、意义：模体积大。对激活介质能量的提取就大，对模式振荡

13、作贡献的粒子数越多，就有可能获得对模式振荡作贡献的粒子数越多，就有可能获得大的输出功率。大的输出功率。决定一个模式能否振荡，能获得多大的输出功率，决定一个模式能否振荡，能获得多大的输出功率，与其它模式的竞争情况等。与其它模式的竞争情况等。3 3、对称共焦腔基模的模体积：看、对称共焦腔基模的模体积：看成底半径为成底半径为0 0，高为，高为L L的圆柱体。的圆柱体。221220000LwLVs22/32等相位面的分布等相位面的分布1、与腔轴线相交于、与腔轴线相交于z0的等相位面的方程的等相位面的方程 zyxizrnmmnmneeyzHxzHzEAzyxE,002222,21211,22nmfrfk

14、zyx022, 0 , 021211,znmfrfkzyx柱坐标系中02020/)1 (Lrzz23/322、等相面特点、等相面特点(1) 近似为抛物面近似为抛物面,顶点顶点在：在：z=z0, 焦距为：焦距为：0200202241zfzLf(2) 在在 的范围内的范围内,等相面近似为等相面近似为2 fr 球面球面,与腔轴交于与腔轴交于z0处的等相面曲率半径为处的等相面曲率半径为:000202zffzfzfzfR(3) 有有 ,0000zzz0000zzz, 说明等相面是凹面向着腔心的，且说明等相面是凹面向着腔心的，且 R 随随 z 0而变。而变。z0z02020/)1 (Lrzz24/32(4

15、) 当当 时，时， 。20LfzLfzR 20即反射镜面本身与两个等相面重合。即反射镜面本身与两个等相面重合。(5) 当当 时，时， 。腔心和无穷远处腔心和无穷远处或00zR(6) 在等相面处方一个相应曲率半径的反射镜片，共在等相面处方一个相应曲率半径的反射镜片，共焦场分布不受影响。焦场分布不受影响。的等相面为的等相面为平面。平面。25/32远场发散角远场发散角(全角全角)01、定义：双曲线两、定义：双曲线两渐近线间的夹角。渐近线间的夹角。基模：基模： zzze2lim210 弧度弧度 zfzz2012lim220112limfzzf02f20f高阶模的发散角随阶次的增大而增大，方向性高阶模的

16、发散角随阶次的增大而增大，方向性变差！变差！26/32圆形镜对称共焦腔圆形镜对称共焦腔mmerLrCrvsrsmnmsmnmnsincos22,2022020220000,osreCrv1 1、模的振幅分布、模的振幅分布mnTEM2 2、模的相位分布、模的相位分布3、单程相移和谐振频率单程相移和谐振频率m、n的意义的意义?27/32一般稳定球面镜腔一般稳定球面镜腔 一般球面镜腔：一般球面镜腔：由两个曲率半径不同的球面镜按照任意间距组成的腔。一般稳定球面镜腔的模式理论：一般稳定球面镜腔的模式理论：可以从光腔的衍射积分方程出发严格建立，以共焦腔的模式理论为基础，等价共焦腔的方法以共焦腔的模式理论为

17、基础，等价共焦腔的方法。一般稳定球面腔与共焦腔的等价性：一般稳定球面腔与共焦腔的等价性：根据共焦腔模式理论，任根据共焦腔模式理论，任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任何一个稳定球面何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价；而任何一个稳定球面镜腔唯一地等价于一个共焦腔。镜腔唯一地等价于一个共焦腔。一般稳定球面腔与共焦腔的等价在一般稳定球面腔与共焦腔的等价在它们具有相同的行波场它们具有相同的行波场。 理解：理解：若有焦距为若有焦距为 f f 的共焦腔的共焦腔, ,则其任意两等相面可则其任意两等相面可构成稳定腔构成稳定腔. .注意在对应的位置镜面的曲率半径要与等注意在对应的位置镜面的曲率半径要与

18、等相面的曲率半径相等相面的曲率半径相等28/32由由 R1 , R2 , L z1 , z2 , f 。 2121RLRLLRLz 2112RLRLLRLz 22121212R-LR-LLRRL-RLRLf注意R的正负取值29/32对于任意的稳定腔，我们可以通过研究与其对应的共焦腔的特征模来研究它的模的性质。由于共焦腔的行波场是高斯光束，因此，高斯光束的性质对于稳定腔的行波场具有代表意义。 高斯光束的基本性质：高斯光束的基本性质：1. 高斯光束在其轴线附近可看作是一种非均匀高斯（曲率中心不断变化）球面波；2. 在其传播过程中曲率中心不断改变；3. 其振幅在横截面内为一高斯光束；4. 强度集中在轴线及其附近；5. 等相位面保持球面。高斯光束的自再现：高斯光束的自再现：即在合适的位置放置一个焦距适当的透镜，使两束高斯光束互为束腰相等的物象共轭光束。高斯光束的准直高斯光束的准直：单透镜准直和望远