第五章-曲线拟合(数值分析)

1、第五章第五章 曲线拟合法曲线拟合法一、什么是曲线拟合一、什么是曲线拟合)(xp 已知nnyyyyxxxx1010要求出一个简单函数 ，使)2 , 1 , 0)(niyxpii（很接近与，这类问题称为曲线拟合法。xyo曲线拟合和函数插值的区别： 曲线拟合法求出的函数p(x)不必通过给定的点，但和给定点很接近。如何衡量接近程度？一、什么是最小二乘原理一、什么是最小二乘原理是衡量接近程度的一种方法用最小二乘原理进行曲线拟合的方法称为最小二乘法。最小二乘原理最小二乘原理nnxaxaaxp10)(设 已知nnyyyyxxxx1010noiniiiiyxPR022)(最小。naaa,10求 使由此可见，最

2、小二乘问题需要两个条件： 1.已知一组数据 2.一个拟合多项式（经验公式）例：例：已给出j1234567Tj19.125.030.136.040.045.150.0Rj76.3077.8079.2580.8082.3583.9085.10电阻R和温度T的关系画草图画草图tr1020304050758085近似为一直线，设方程为： rp(t)a+bt （a,b待定）712)(),(ijjrbtaba使最小)72 , 1()(jrtpRjjj则0)(),(0)(),(712712jjjjjjrbtabbbarbtaaaba29. 057.70ba所求拟合曲线是： r=p(t)=70.57+0.29

3、t 由此得二乘法的一般定义maaa,0定义：定义：设有n对数据（xj,yj)(j=1,2,n)，从这些数据中找一个m次近似 多项式 这里（mn时，称为超定方程。), 2 , 1(1mibxanjijiji设 minjijijmiinbxaxxx111221)(),（问题变成使最小 minjikijijkabxak110)(2 minjmiiikikjijbaaxa111)(用矩阵形式给出即：bAAxATT法方程组思路思路例例34871204812121212121xxxxxxxxx用最小二乘法解下列超定方程组的近似解01141472820417124812192525137AAT0114147

4、282bAT38101872464. 119272. 021xx8192572251372121xxxx0417124812A=解：解：正交多项式的曲线拟合正交多项式的曲线拟合一、一、 广义最小二乘拟合多项式广义最小二乘拟合多项式1.）定义：）定义：设函数族)(),(),(:)(210 xPxPxPxP线性无关，则其线性组合 称为P(x)的基函数。)(),(),(210 xPxPxPniiixPaxP0)()(称为广义多项式2.) 最小二乘问题最小二乘问题miiimmxPaxPaxPaxPaxP01100)()()()()(设给定一组数据), 2 , 1(),(njyxjj求一个广义多项式最小

5、使njjjjnjjjmyxPRaaa121210)(),(3.) 广义最小二乘原理算法广义最小二乘原理算法), 1 , 0(0mkakmijkjjiinjjxPyxPa010)()( njjjkjmiinjjkjijyxPaxPxP101)( )()(njjjkjkyxPc1)(njjkjijikxPxPc1)()(令).1 , 0(0mkcacmikiik写成方程组形式mmmmmmmmmmcacacaccacacaccacacac11001111101000101000二、正交多项式的曲线拟合二、正交多项式的曲线拟合1.) 概念：概念：定义定义1：TnTnyyyyxxxx),(),(2121

6、niiiTyxyxyx10),(如果则称x,y正交。定义定义2:设有一个函数族.)1 , 0()(kxPk对其中任意两个多项式 )()(xPxPsl及使得在某一组数 中有).,2 , 1(njxjnjjsjljslslslxPxPxxPxP100)()()()(),(（称 关于节点 带权 的正交多项式族， 称为权函数，且)(xPk).,2 , 1(njxj)(x)(x0)(x而 称为关于节点,.)1 , 0()(kxPk带权正交多项式。).,2 , 1(njxj定义定义3:设有一个函数族.)1 , 0()(kxPk其中任意两个多项式 )()(xPxPsl及有下式成立：nmnmdxxxbam常数

7、0)()(称此函数为在a,b内关于权函数 的正交函数族。)(x2.) 举例举例.2sin,2cos,sin,cos, 1xxxx在区间，上正交。xmxxx) 1sin(.3sin,2sin,sin在点集上正交。,.1 , 0,mimixi3.) 勒让特多项式勒让特多项式1)(x当区间-1,1，权函数 时，由.)2 , 1() 1(!21)(1)(20nxdxdnxPxPnnnnn所表示的多项式，称勒让特多项式。111220)()(nmnnmdxxPxPmn且) 33135(81)()35(21)() 13(21)()(1)(244332210 xxxPxxxPxxPxxpxp如：4.) 等距节

8、点上的正交多项式等距节点上的正交多项式设m次正交多项式具有如下形式：) 1).(2)(1(.) 1(1)(21,mxxxxaxxaxaxpmnm)()2(2)1(1,.1)(mmnmxaxaxaxp或) 1).(2)(1()(kxxxxxk其中称为阶乘积。假设节点为nxxxxn.2, 1, 0210共n+1个整数点，现在通过这些节点去构造一族正交多项式满足正交条件。nxnmmnxnmnmnxnmnxnnmnxnmnxnnmxPxxPxPxPxxPxPxPxPxP0,)1(0, 1,0,)1(0, 1,0,0, 0,0)(0)()(0)(0)()(0)(0)()(使013) 1,.1 , 0(2

9、11)()2(2)1(1mknaknamkknakmm)(1) 1(kkmkkmkkncca等距节点的正交多项式作曲线拟合步骤：1. 设等距节点 作变换：nuuuu.,210)(10uuhx2. 取 作为正交多项式系数。)(),.(),(, 1, 0 xPxPxPnmnn3. 经验公式：)(.)()()(, 11, 00 xPaxPaxPaxPnmmnnkkkkcca njjnkknjjjnkkxPcyxPc0,20,)()(其中总结：总结：对函数近似表达式的方法泰勒展开插值法最小二乘法度为例，讨论表达式的精以arctgx2146. 0| 11|)(.5353arctgxRxarctgxxxxarctgx取泰勒展开0711. 0) 1()1 ()(7854. 0101001012xxxRx