1.2定积分的分部积分公式ppt课件

1、 设函数设函数)(xu、)(xv在区间在区间 ba,上具有连续上具有连续导数，则有导数，则有 bababavduuvudv. . 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv一、分部积分公式一、分部积分公式The formula of integration by parts例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(1

2、12120221xdx 12 21021x . 12312 那么那么例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 练习：计算练习：计算.2cos124 xxdx.42ln8 例例3 3 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln 101121dxxx xx 2111 10)2ln()1ln(32lnx

3、x . 3ln2ln35 例例4 4 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf 10)(dxxxf 102)()(21xdxf1201( )2x f x 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf练习练习:设设 xtdtexf1,)(2.)(10 dxxxfI计算计算. 11 eI例例5

4、5 证明定积分华里士证明定积分华里士WallsWalls公公式式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxInnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxnInnn 22002sin)1(sin)1( nnInIn)1()1(2 21 nnInnI积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式nI4223 nnInnI,直到下标减到直到下标

5、减到0或或1为止为止,214365223221202ImmmmIm ,3254761222122112ImmmmIm ), 2 , 1( m,2200 dxI, 1sin201 xdxI221 235 3 1(21)!,2226 4 2 2(2)!2mmmmImmm 212226 4 2(2)!121 217 5 3(21)!mmmmImmm 于是于是例例6. 设设,1,0)(连连续续在在xf ,3)2(,1)0( ff且且,5)2( f求求.d)2(10 xxfx 解解: xxfxd)2(10)2(d2110 xfx 10)2(21xfx xxfd)2(10 2510)2(41xf2 (分部

6、积分分部积分)dxxfdtttxxf)(0,sin0)( 计计算算设设2 练习练习:解：解：例例7右端右端,)(上上有有连连续续的的二二阶阶导导数数在在设设baxf )(af且且试证试证 babaxxfbxaxxxfd)()(21d)( baxfbxax)(d)(21 abxfbxax)()(21 xbaxxfbad)2)(21 分部积分积分分部积分积分)(d)2(21xfbaxba 再次分部积分再次分部积分xxfbad)( abxfbax)()2(21 = 左端左端,0)( bfdxeyxIyx 11, 1 求求设设解：解： yxxyyxyxyx,dxeyxIxy)(1 dxeyxxy)(1

7、 dxxexy 1dxyexy 1dxxexy 1dxyexy 1yxex1)1( yxye1 1)1(yxex 1yxye yeeeey)1(22 例例8 8例例9(07,11)设曲线设曲线C的方程为，点的方程为，点)(xfy )2,3(是它的一个拐点，直线与分别是曲线是它的一个拐点，直线与分别是曲线C1l2l在点与处的切线，其交点为在点与处的切线，其交点为)0,0()2,3(）， 42(设函数具有三阶连续导数，计算定积分设函数具有三阶连续导数，计算定积分)(xfdxxfxxI)()(230 20 )(xfy )42( ，)2,3(1l2lxyo定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 .

8、bababavduuvudv二、小结二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）（注意与不定积分分部积分法的区别）一、一、 填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；练练 习习 题题3 3、 0sin)(xdxxmJm， （m为为自自然然数数） 4 4、 01)1cos

9、(sinxdxnxn. . 三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0( ff证证明明：3sin )()(0 xdxxfxf . 01)1cos(sinxdxnxndxxnxxnxxnsinsincoscossin10 nxdxxxdxxnxnnsinsincossincos010 xdnnsin1nxdxxxdnxnnnsinsinsincos100 nxdxxndxnxxnxnxnnnnsinsin)sin(sin1sincos1000 相等相等0 01)1sin(cosxdxnxn练练习习：一一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . . 二二、1 1、211cos1