《能带理论一》ppt课件

1、第六章第六章 能带实际一能带实际一第六章第六章 能带实际能带实际6.1 周期场中单电子形状的普通特征周期场中单电子形状的普通特征Bloch定理定理6.2 一维周期场中电子运动的近自在电子近似一维周期场中电子运动的近自在电子近似6.3 三维周期场中电子运动的近自在电子近似三维周期场中电子运动的近自在电子近似6.4 紧束缚近似紧束缚近似TBA6.5 克勒尼希克勒尼希-彭尼彭尼Kronig-Penny 模型模型6.6 能带构造的计算方法能带构造的计算方法6.7 晶体能带的对称性晶体能带的对称性6.8 能态密度和费米面能态密度和费米面6.9 晶体中电子的运动特征晶体中电子的运动特征6.10 在恒定电场

2、作用下电子的运动在恒定电场作用下电子的运动6.11 导体、绝缘体和半导体的能带论解释导体、绝缘体和半导体的能带论解释6.12 在恒定磁场中电子的运动在恒定磁场中电子的运动6.13 能带构造的实验研讨能带构造的实验研讨 黄昆：黄昆： 第第4、5章章 阎守胜：第阎守胜：第3、4章章 Omar： 固体物理学根底固体物理学根底 5章章 方俊鑫、陆栋方俊鑫、陆栋5.6-10节和节和6章章 Blakemor Solid State Physics 3章章 Kittel 8版版 7章各节，章各节， 9.3节节 李正中李正中7章章 冯端、金国钧冯端、金国钧12章章 Ashcroft: Solid State

3、Physics 8-11章章 主要参考书：主要参考书：第六章第六章 能带实际能带实际 能带论是目前研讨固体中的电子形状，阐明固体性质最重能带论是目前研讨固体中的电子形状，阐明固体性质最重要的实际根底。它的出现是量子力学与量子统计在固体中运用要的实际根底。它的出现是量子力学与量子统计在固体中运用最直接、最重要的结果。能带论不但胜利地处理了经典电子论最直接、最重要的结果。能带论不但胜利地处理了经典电子论和和Sommerfeld自在电子论处置金属问题时所遗留下来的许多问自在电子论处置金属问题时所遗留下来的许多问题，而且成为解释一切晶体性质包括半导体、绝缘体等的题，而且成为解释一切晶体性质包括半导体、

4、绝缘体等的实际根底。实际根底。 固体物理中这个最重要的实际是一个青年人首先提出的，固体物理中这个最重要的实际是一个青年人首先提出的，1928年年23岁的岁的Bloch在他的博士论文在他的博士论文“论晶格中的量子力学中，论晶格中的量子力学中，最早提出了解释金属电导的能带概念，接着最早提出了解释金属电导的能带概念，接着1931年年Wilson 用能用能带观念阐明了绝缘体与金属的区别在于能带能否填满，从而奠带观念阐明了绝缘体与金属的区别在于能带能否填满，从而奠定了半导体物理的实际根底，在其后的几十年里能带论在众多定了半导体物理的实际根底，在其后的几十年里能带论在众多一流科学家的努力中得到完善。一流科

5、学家的努力中得到完善。能带论虽比自在电子论有所严厉，但依然是一个近似实际。能带论虽比自在电子论有所严厉，但依然是一个近似实际。222221,1022,110011224211()1244( , )(,)( ,)NZNinii jnijNZNm ninnmineeeijnnmnmenineHmMrrZeZeRRrRTUr rTUR RUr R 假定在体积假定在体积 V=L3 中有中有 N 个带正电荷个带正电荷 Ze 的离子实，相应的离子实，相应地有地有 NZ 个价电子，那么该系统的哈密顿量为个价电子，那么该系统的哈密顿量为: 哈密顿量中有哈密顿量中有 5 部分组成，前两项为部分组成，前两项为NZ

6、电子的动能和电子电子的动能和电子之间的库仑相互作用能，三、四项为之间的库仑相互作用能，三、四项为N个离子实的动能和库仑个离子实的动能和库仑相互作用能相互作用能,第五项为电子与离子实之间的相互作用能。这是一第五项为电子与离子实之间的相互作用能。这是一个非常复杂的多体问题，不做简化处置根本不能够求解。个非常复杂的多体问题，不做简化处置根本不能够求解。体系的薛定谔方程：体系的薛定谔方程： 但这是一个但这是一个 量级的多体问题。量级的多体问题。),(),(RrRrH 首先运用绝热近似，思索到电子质量远小于离子质量，电子首先运用绝热近似，思索到电子质量远小于离子质量，电子运动速度远高于离子运动速度，故相

7、对于电子的运动，可以以为运动速度远高于离子运动速度，故相对于电子的运动，可以以为离子不动，调查电子运动时，可以不思索离子运动的影响，取系离子不动，调查电子运动时，可以不思索离子运动的影响，取系统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问题简化为多电统中的离子实部分的哈密顿量为零。复杂的多体问题简化为多电子问题。系统的哈密顿量简化为：子问题。系统的哈密顿量简化为：),(),(nienjieeeRrUrrUTH 多电子体系中由于相互作用，一切电子的运动都关联在一同，多电子体系中由于相互作用，一切电子的运动都关联在一同，这样的系统仍是非常复杂的。但可以运用平均场近似，让其他电这样的系统仍是非常复杂的

8、。但可以运用平均场近似，让其他电子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场，即子对一个电子的相互作用等价为一个不随时间变化的平均场，即平均场近似：平均场近似：2,1011( , )( )24NZNZeeijeii jiijeUr ru rrr 23310 cmNZiNnmiieiRrZerumH11202241)(2系统的哈密顿量可以简化为系统的哈密顿量可以简化为NZ个电子哈密顿量之和：个电子哈密顿量之和：因此可以用分别变量法对单个电子独立求解单电子近似。因此可以用分别变量法对单个电子独立求解单电子近似。单电子所受的势场为：单电子所受的势场为：nRmeRrZerurU2041)()(

9、无论电子之间相互作用的方式如何，都可以假定电子所感受无论电子之间相互作用的方式如何，都可以假定电子所感受到的势场具有平移对称性周期场近似：到的势场具有平移对称性周期场近似：)()(rURrUn平移对称性是晶体单电子势最本质的特点。平移对称性是晶体单电子势最本质的特点。 经过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电子经过上述近似，复杂多体问题变为周期势场下的单电子问题，单电子薛定谔方程为：问题，单电子薛定谔方程为： 222U rrErm )()(rURrUn其中：其中：这个方程是整个能带论研讨的出发点。这个方程是整个能带论研讨的出发点。求解这个运动方程，讨论其解的物理意义，求解这个运动方程，讨

10、论其解的物理意义，确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。确定晶体中电子的运动规律是本章的主题。从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的：从以上讨论中，可以看到能带论是在三个近似下完成的： BornOppenheimer 绝热近似：绝热近似： HatreeFock 平均场近似平均场近似 周期场近似周期场近似(Periodic potential approximation)：每个电子都在完全一样的严厉周期性势场中运动，因此每每个电子都在完全一样的严厉周期性势场中运动，因此每个电子的运动都可以单独思索。个电子的运动都可以单独思索。 所以，能带论是单电子近似的实际。虽然能带论经常所以，能带论

11、是单电子近似的实际。虽然能带论经常处置的是多电子问题，但是，多电子是填充在由单电子处处置的是多电子问题，但是，多电子是填充在由单电子处置得到能带上。可以这样做的缘由就在于单电子近似，即置得到能带上。可以这样做的缘由就在于单电子近似，即每个电子可以单独处置。用这种方法求出的电子能量形状每个电子可以单独处置。用这种方法求出的电子能量形状将不再是分立的能级，而是由能量上可以填充的部分允将不再是分立的能级，而是由能量上可以填充的部分允带和制止填充的部分禁带相间组成的能带，所以这带和制止填充的部分禁带相间组成的能带，所以这种实际称为能带论。种实际称为能带论。固体中电子能级构成能带的定性阐明：见固体中电子

12、能级构成能带的定性阐明：见Omar 书书p194从原子从原子a到分子到分子b，再到固体，再到固体c其能谱的演化其能谱的演化求解自在锂原子的薛定鄂方程，得到一系列分立的能级，而求解自在锂原子的薛定鄂方程，得到一系列分立的能级，而锂分子得到能谱由一组分立的双线构成，是相互作用使二重锂分子得到能谱由一组分立的双线构成，是相互作用使二重简并消除的结果。可以想像在简并消除的结果。可以想像在 N 个原子组成的固体里，每一个原子组成的固体里，每一个原子能级都分裂为间隔很近的个原子能级都分裂为间隔很近的 N 个支能级，由于个支能级，由于 N 之数值之数值之大，可以以为各支能级紧连在一同，构成能带。之大，可以以

13、为各支能级紧连在一同，构成能带。能带普通宽约能带普通宽约 5eV，支能级间隙：，支能级间隙：232355 10eV10需求指出的是：需求指出的是： 在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这在固体物理中，能带论是从周期性势场中推导出来的，这是由于人们对固体性质的研讨首先是从晶态固体开场的。而周是由于人们对固体性质的研讨首先是从晶态固体开场的。而周期性势场的引入也使问题得以简化，从而使实际研讨任务容易期性势场的引入也使问题得以简化，从而使实际研讨任务容易进展。所以，晶态固体不断是固体物理的主要研讨对象。然而，进展。所以，晶态固体不断是固体物理的主要研讨对象。然而，周期性势场并不是电子具有

14、能带构造的必要条件，现已证明，周期性势场并不是电子具有能带构造的必要条件，现已证明，在非晶固体中，电子同样有能带构造。在非晶固体中，电子同样有能带构造。 电子能带的构成是由于当原子与原子结合成固体时，原子电子能带的构成是由于当原子与原子结合成固体时，原子之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一同是晶之间存在相互作用的结果，而并不取决于原子聚集在一同是晶态还是非晶态，即原子的陈列能否具有平移对称性并不是构成态还是非晶态，即原子的陈列能否具有平移对称性并不是构成能带的必要条件。能带的必要条件。 虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下虽然晶体中电子的运动可以简化成求解周期场作用下的单

15、电子薛定谔方程，但详细求解仍是困难的，而且不同的单电子薛定谔方程，但详细求解仍是困难的，而且不同晶体中的周期势场方式和强弱也是不同的，需求针对详细晶体中的周期势场方式和强弱也是不同的，需求针对详细问题才干进展求解。问题才干进展求解。 Bloch首先讨论了在晶体周期场中运动的单电子波函数首先讨论了在晶体周期场中运动的单电子波函数应具有的方式，给出了周期场中单电子形状的普通特征，应具有的方式，给出了周期场中单电子形状的普通特征，这对于了解晶体中的电子，求解详细问题有着指点意义。这对于了解晶体中的电子，求解详细问题有着指点意义。黄昆黄昆 书书 4.1节节 p154-157Bloch 定理定理关于关于

16、 k 取值和意义的几点讨论：取值和意义的几点讨论：三三. Bloch函数的性质函数的性质6.1 周期场中单电子形状的普通特征周期场中单电子形状的普通特征一一. Bloch定理定理 思索一理想完好晶体，一切的原子实都周期性地静思索一理想完好晶体，一切的原子实都周期性地静止陈列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其本身外止陈列在其平衡位置上，每一个电子都处在除其本身外其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期其他电子的平均势场和原子实的势场中运动。按照周期场近似，电子所感遭到的势场具有周期性。这样的模型场近似，电子所感遭到的势场具有周期性。这样的模型称为周期场模型。称为周期场模型。 当我开场思

17、索这个问题时，觉得到问题的关键当我开场思索这个问题时，觉得到问题的关键是解释电子将如何是解释电子将如何“偷偷地潜行于金属中的一切偷偷地潜行于金属中的一切离子之间。离子之间。. 经过简明而直观的傅立叶分析，经过简明而直观的傅立叶分析，令我高兴地发现，这种不同于自在电子平面波的波令我高兴地发现，这种不同于自在电子平面波的波仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。仅仅借助于一种周期性调制就可以获得。 F Bloch在周期场中，描画电子运动的在周期场中，描画电子运动的Schrdinger方程为方程为 222U rrErm 其中，其中，U(r) = U(r +Rl)为周期性势场，为周期性势场， Rl=l1a

18、1+l2a2+l3a3为格矢，为格矢，方程的解应具有以下方式：方程的解应具有以下方式： ieukkk rrr Bloch函数函数 这里，这里，uk(r) = uk(r +Rl) 是以格矢是以格矢 Rl 为周期的周期函数。为周期的周期函数。这个结果称为这个结果称为Bloch定理。它确定了动摇方程解的根本特点。定理。它确定了动摇方程解的根本特点。Bloch wave function换句话说：换句话说：Bloch 发现，不论周期势场的详细函数方式如何，发现，不论周期势场的详细函数方式如何，在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是在周期势场中运动的单电子的波函数不再是平面波，而是调幅平面波

19、，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而调幅平面波，其振幅也不再是常数，而是按晶体的周期而周期变化。周期变化。 ieukkk rrr这种方式的波函数这种方式的波函数叫叫 Bloch波函数，或说波函数，或说 Bloch 波。它描画的电子叫波。它描画的电子叫 Bloch电子电子这个结论是这个结论是Bloch 定理。定理。Bloch 定理也可表述为：定理也可表述为： ni k RnkkrRer 它阐明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子它阐明在不同原胞的对应点上，波函数只相差一个相位因子 ，它不影响波函数的大小，所以电子出如今不同原胞的，它不影响波函数的大小，所以电子出如今不同原胞的对应点

20、上几率是一样的。这是晶体周期性的反映。对应点上几率是一样的。这是晶体周期性的反映。ni k Re Bloch 定理：定理：周期势场中周期势场中的电子波函的电子波函数必定是按数必定是按晶格周期函晶格周期函数调幅的平数调幅的平面波。面波。Bloch 定理的物理证明定性阐明：定理的物理证明定性阐明： 周期势场中的波函数也应具有周期性是无疑的，因此方程周期势场中的波函数也应具有周期性是无疑的，因此方程的解可以表示为：的解可以表示为： 其中其中势场的周期性也使与电子相关的一切可丈量，包括电子几率势场的周期性也使与电子相关的一切可丈量，包括电子几率 也必定是周期性的，这就给未知函数也必定是周期性的，这就给

21、未知函数 附加了下述附加了下述条件：条件：( )( )( )kkrf r u r2( ) r( )f r22()( )nf rRf r对于一切对于一切 都满足此条件的函数只能是指数方式：都满足此条件的函数只能是指数方式：因此运动方程的解具有因此运动方程的解具有Bloch 方式：方式：nRik re()( )knku rRu r ieukkk rrr见冯端：凝聚态物理学上见冯端：凝聚态物理学上p141详细证明：根据黄昆书详细证明：根据黄昆书 4.1节节p154 由于势场的周期性反映了晶格的平移对称性，可定义由于势场的周期性反映了晶格的平移对称性，可定义 一个平移对称操作算符一个平移对称操作算符T

22、，使得对于恣意函数，使得对于恣意函数 f (r) 有有 T ffrra这里，这里，a，1, 2, 3是晶格的三个基矢。是晶格的三个基矢。显然，它们是互易的：显然，它们是互易的： T T fT ffrraraa T T frT T T T = 0，晶体中单电子运动的哈密顿量应具有晶格周期性：晶体中单电子运动的哈密顿量应具有晶格周期性： 222T HfTUfm rrrr 222222UfmUfm r arrararra 222UT fHT fm rrrr即：平移算符和晶体中电子的哈密顿量是互易的。即：平移算符和晶体中电子的哈密顿量是互易的。 即：即：T HH T 0根据量子力学可知，根据量子力学可

23、知， 可对易的算符可对易的算符 T 和和 H 有共同本征态。有共同本征态。设设 (r)为其共同本征态，有为其共同本征态，有 HET rrrr + ar 1, 2, 3其中其中 是平移算符是平移算符 T 的本征值。为了确定平移算符的本的本征值。为了确定平移算符的本征值，引入周期性边境条件。征值，引入周期性边境条件。 设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，设晶体为一平行六面体，其棱边沿三个基矢方向，N1，N2和和N3分别是沿分别是沿a1，a2和和a3方向的原胞数，即晶体的总原胞方向的原胞数，即晶体的总原胞数为数为 NN1N2N3 。设为非简并设为非简并周期性边境条件：周期性边境条件： Nrr

24、a而而 NNNT rarrr得得21Niheh整数，整数， 1, 2, 3所以所以2exphiN引入矢量引入矢量312123123hhhNNNkbbb这里这里b1，b2和和b3为倒格子基矢，于是有为倒格子基矢，于是有iek a2ab1 12233rRraaa 331212123123T T T rr 1 12233exp ikaaar iek Rr + Rr定义一个新函数：定义一个新函数： iuek rkkrriuek r RkkrRrR iiieeek Rk Rk rkr ieuk rkkrr这阐明这阐明 uk(r) 是以格矢是以格矢 Rl 为周期的周期函数。证毕。为周期的周期函数。证毕。二

25、二. 关于关于 k 取值和意义的几点讨论：取值和意义的几点讨论： ieuk rkkrr 波矢量波矢量 k 是对应于平移算符本征值的量子数，其物是对应于平移算符本征值的量子数，其物理意义表示不同原胞之间电子波函数的位相变化。理意义表示不同原胞之间电子波函数的位相变化。如如 111iek ararr 1反映的是沿反映的是沿a1方向，相邻两个原胞中周期对应的两方向，相邻两个原胞中周期对应的两点之间电子波函数的位相变化。不同的波矢量点之间电子波函数的位相变化。不同的波矢量 k 表示原胞表示原胞间的位相差不同，即描画晶体中电子不同的运动形状。但间的位相差不同，即描画晶体中电子不同的运动形状。但是，假设两

26、个波矢量是，假设两个波矢量 k 和和 k 相差一个倒格矢相差一个倒格矢Gn，可以证明，可以证明，这两个波矢所对应的平移算符本征值一样。这两个波矢所对应的平移算符本征值一样。 ieuk rkkrr对于对于k： iek a对于对于k k+Gn：niiiieeeek ak aG ak a 1, 2, 3 这阐明，这两个波矢量这阐明，这两个波矢量 k 和和 k kGn所描画的电所描画的电子在晶体中的运动形状一样。因此，为了使子在晶体中的运动形状一样。因此，为了使 k 和平移算符和平移算符的本征值一一对应，的本征值一一对应， k 必需限制在一定范围内，使之既能必需限制在一定范围内，使之既能概括一切不同的

27、概括一切不同的 的取值，同时又没有两个波矢的取值，同时又没有两个波矢 k 相差一相差一个倒格矢个倒格矢 Gn。与讨论晶格振动的情况类似，通常将。与讨论晶格振动的情况类似，通常将 k 取取在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最在由各个倒格矢的垂直平分面所围成的包含原点在内的最小封锁体积，即简约区或第一布里渊区中。小封锁体积，即简约区或第一布里渊区中。312123123hhhNNNkbbb假设将假设将 k 限制在简约区中取值，那么称为简约波矢，假设限制在简约区中取值，那么称为简约波矢，假设k在整个在整个k空间中取值，那么称为广延波矢。空间中取值，那么称为广延波矢。 由于由于h1，h2和

28、和h3为整数，所以，为整数，所以，k的取值不延续，在的取值不延续，在k空间中，空间中，k的取值构成一个空间点阵，称为态空间点阵。每的取值构成一个空间点阵，称为态空间点阵。每一个量子态一个量子态k在在k空间中所占的体积为空间中所占的体积为123123111bNNNNbbb在在k空间中，波矢空间中，波矢k的分布密度为的分布密度为 3388abvNVNkaVNv晶体体积在简约区中，波矢在简约区中，波矢k的取值总数为的取值总数为 bN 晶体的原胞数k小结：波矢小结：波矢 k 的意义及取值：的意义及取值： Bloch函数中的实矢量函数中的实矢量 k 起着标志电子形状量子数的作用，起着标志电子形状量子数的

29、作用，称作波矢，波函数和能量本征值都和称作波矢，波函数和能量本征值都和 k 值有关，不同的值有关，不同的 k 值表值表示电子不同的形状。示电子不同的形状。 在自在电子情形，波矢在自在电子情形，波矢 k 有明确的物理意义，有明确的物理意义， 是自在电是自在电子的动量本征值。但子的动量本征值。但 Bloch 波函数不是动量本征函数，而只是波函数不是动量本征函数，而只是晶体周期势场中电子能量的本征函数，所以，晶体周期势场中电子能量的本征函数，所以， 不是不是 Bloch电电子的真实动量，但它具有动量量纲，在思索电子在外场中的运子的真实动量，但它具有动量量纲，在思索电子在外场中的运动以及电子同声子、光

30、子的相互作用时，会发现动以及电子同声子、光子的相互作用时，会发现 起着动量起着动量的作用，被称作电子的的作用，被称作电子的“准动量或准动量或“晶体动量。晶体动量。 在晶格周期势场中的电子终究有多少能够的本征态，即在晶格周期势场中的电子终究有多少能够的本征态，即 k 能够取那些值，是我们需求知道的。晶格周期性和周期性边境能够取那些值，是我们需求知道的。晶格周期性和周期性边境条件确定了条件确定了 k 只能在第一只能在第一 Brillouin 区内取区内取 N (晶体原胞数目晶体原胞数目个值，所以每个能带中只能包容个值，所以每个能带中只能包容 2N 个电子。个电子。kkk三三. Bloch函数的性质

31、函数的性质Bloch函数函数 ieuk rkkrr平面波因子平面波因子 阐明在晶体中运动的电子已不再局域于阐明在晶体中运动的电子已不再局域于某个原子周围，而是可以在整个晶体中运动的，这种电子某个原子周围，而是可以在整个晶体中运动的，这种电子称为共有化电子。它的运动具有类似行进平面波的方式。称为共有化电子。它的运动具有类似行进平面波的方式。那么，周期函数那么，周期函数 的作用那么是对这个波的振幅进展的作用那么是对这个波的振幅进展调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。并不影响态函数具有行进波的特性。ie

32、k r ukr晶体中电子：晶体中电子： ieuk rkkrr自在电子：自在电子： iAek rkr孤立原子：孤立原子： Curr可以看出，在晶体中运动电子的波函数介于自在电子可以看出，在晶体中运动电子的波函数介于自在电子与孤立原子之间，是两者的组合。假设晶体中电子的与孤立原子之间，是两者的组合。假设晶体中电子的运动完全自在，那么运动完全自在，那么 ；假设电子；假设电子完全被束缚在某个原子周围，那完全被束缚在某个原子周围，那么么 。但实践上晶体中的电子既。但实践上晶体中的电子既不是完全自在的，也不是完全被束缚在某个原子周围，不是完全自在的，也不是完全被束缚在某个原子周围，因此，其波函数就具有因此

33、，其波函数就具有 的方式。周期函数的方式。周期函数 的性质的性质 就反映了电子与晶格相互作用的强弱。就反映了电子与晶格相互作用的强弱。 const.uAkr.ieCconstk r ieuk rkkrr ukr可以以为，可以以为，Bloch函数中，行进波因子函数中，行进波因子 描画晶描画晶体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；体中电子的共有化运动，即电子可以在整个晶体中运动；而周期函数因子而周期函数因子 那么描画电子的原子内运动，那么描画电子的原子内运动，取决于原子内电子的势场。取决于原子内电子的势场。 从能量的角度看，假设电子只需原子内运动孤立从能量的角度看，假设电子只需原子内运

34、动孤立原子情况，电子的能量取分立的能级；假设电子只需原子情况，电子的能量取分立的能级；假设电子只需共有化运动自在电子情况，电子的能量延续取值。共有化运动自在电子情况，电子的能量延续取值。由于晶体中电子的运动介于自在电子与孤立原子之间，由于晶体中电子的运动介于自在电子与孤立原子之间，既有共有化运动也有原子内运动，因此，电子的能量取既有共有化运动也有原子内运动，因此，电子的能量取值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能带构造。值就表现为由能量的允带和禁带相间组成的能带构造。 ie k r ukr结语：结语： 以上我们只是经过分析给出了固体中电子态函数的以上我们只是经过分析给出了固体中电子态函数的普

35、通性普通性质，而为了得到明晰确切的结果，我们就必需对一个感质，而为了得到明晰确切的结果，我们就必需对一个感兴趣的、兴趣的、特定固体的实践势能特定固体的实践势能V(r) 去求解单电子的去求解单电子的 Schrdinger方程，方程，然而即使是比较简单的势，其然而即使是比较简单的势，其 Schrdinger方程的求解方程的求解过程也是过程也是一项数学推导极其繁琐的任务，为了得到能与实验对照一项数学推导极其繁琐的任务，为了得到能与实验对照的结果，的结果，这样做当然是非常必要的。但假设只是为了更好地进一这样做当然是非常必要的。但假设只是为了更好地进一步了解周步了解周期性势场对电子运动的影响，我们最好是

36、选择运用经过期性势场对电子运动的影响，我们最好是选择运用经过简化的简化的势，用最少量的数学过程来求解势，用最少量的数学过程来求解 Schrdinger方程，以方程，以便专心地便专心地了解相关的物理问题。这就是我们后面几节的内容。了解相关的物理问题。这就是我们后面几节的内容。近自在电子模型近自在电子模型The Nearly Free Electron Model该模型假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自在该模型假设晶体势很弱，晶体电子的行为很像是自在电子，我们可以在自在电子模型结果的根底上用微扰电子，我们可以在自在电子模型结果的根底上用微扰方法去处置势场的影响，这种模型得到的结果可以作方法去处

37、置势场的影响，这种模型得到的结果可以作为简单金属如：为简单金属如：Na,K,Al价带的粗略近似。价带的粗略近似。紧束缚模型紧束缚模型The Tight-Binding Model 该模型假定该模型假定原子势很强，晶体电子根本上是围绕着一个固定原子原子势很强，晶体电子根本上是围绕着一个固定原子运动，与相邻原子存在的很弱的相互作用可以当作微运动，与相邻原子存在的很弱的相互作用可以当作微扰处置，所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带扰处置，所得结果可以作为固体中狭窄的内壳层能带的粗略近似，例如，过渡金属的的粗略近似，例如，过渡金属的3d能带。能带。 关键是得到周期势场作用下，电子运动的普通特点，关键

38、是得到周期势场作用下，电子运动的普通特点，给出其形状函数和能谱，并以此来解释固体性质。给出其形状函数和能谱，并以此来解释固体性质。本节习题：本节习题：6.1 一维周期势场中电子的波函数一维周期势场中电子的波函数 应满足应满足Bloch定理定理 假设晶格常数为假设晶格常数为a，电子的波函数是：，电子的波函数是： kx sin3coskkklxxaxixaxfxlaa)c)b)f 是某个确定的函数。是某个确定的函数。试求出电子在这些形状时的波矢试求出电子在这些形状时的波矢 k。一、何谓近自在电子近似一、何谓近自在电子近似 Nearly Free Electron 在周期场中，假设电子的势能随位置的

39、变化起伏比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子的运动就几乎是自在的。因此，我们可以把自在电子看成是它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。 也称为弱周期场近似。这个模型虽然简单，但却给出周期场中运动电子本征态的一些最根本特点。何谓近自在电子近似何谓近自在电子近似定性描画定性描画微扰计算微扰计算见黄昆书见黄昆书 4.2节节 p1576.2 一维周期场中电子运动的近自在电子近似一维周期场中电子运动的近自在电子近似晶体中的电子感遭到的一维晶格周期势场晶体中的电子感遭到的一维晶格周期势场见于Omar 书p197见于Kittel 书 p118二二. 近自在电子近自在电子NFE

40、模型的定性描画模型的定性描画 在NFE 模型中，是以势场严厉为零的 Schrdinger方程的解即电子完全是自在的为出发点的，但必需同时满足晶体平移对称性的要求，我们称之为空格子模型。 在一维情况下，空格子模型中的态函数和能量表达式为：22(0)(0)1,2ik rkkkeEmL 上式中的 0 表示是未受微扰的解。自在电子的能量和波矢关系是抛物线，但思索到平移对称性的要求，它被 Brillouin 区边境截成多段，可以平移倒易基矢 的整数倍，以便让恣意两个等效点的能量一样。2hGa空格模型的能量波矢关系：空格模型的能量波矢关系：自在电子的 k 取值范围是没有限制的，能量取值范围也是无限制的。晶

41、体中的波矢 k只能在第一Brillouin区内取值。能量可以经过一个 k 值对应多个能量值来包容。 当思索微弱的周期势场影响时，空格子能谱的明显变化只发生在 Brillouin区区心和边境处，原先相互衔接的，如今分开了，出现了一个能隙，也就是说，在这些点上，能谱的外形遭到弱晶体势场的修正。实践上，晶体势的作用是使空格子模型中能带构造中的尖角变得平滑了。 在区域的其它部分，能谱的外形遭到的影响很小，根本坚持了空格子模型的抛物线方式。见以下图。 所以说近自在电子近似下晶体电子的能级区分成为电子可以占据的能带以及不能占据的禁带。弱周期势场对能带的影响：弱周期势场对能带的影响：以上参照 Omar一书整

42、理空格模型的能量波矢关系：空格模型的能量波矢关系：Blakemore书p208-209也有类似表达。弱周期势场对弱周期势场对能带的影响：能带的影响：能隙Ashcroft 一书 p160 关于一维带隙的阐明自在电子能量波矢关系自在电子能量波矢关系Brillouin边境处的简并边境处的简并弱周期势的影响弱周期势的影响Brillouin边境处的分裂边境处的分裂扩展区方式扩展区方式简约区方式简约区方式周期方式周期方式周期性势场： U xU xaa为晶格常数作Fourier展开： 002expnnnxU xUUia其中 001LUU x dxL 势能平均值 视为常数 012expLnnxUU xidxL

43、aLNa根据近自在电子模型，Un为微小量。电子势能为实数，U(x)=U*(x)，得 Un*=U-n 。三、微扰计算：思索长度三、微扰计算：思索长度 的一维晶体的一维晶体 2222dU xxExm dxU1. 非简并微扰非简并微扰 kkHE k这里，单电子哈密顿量为： 222d2dHU xm x 220020d2exp2dnnnxUUiHHm xa 22002d2dHUm x 零级近似02expnnnxHUia 代表周期势场的起伏作为微扰项处置分别对电子能量 E(k) 和波函数 (k) 展开 (0)(1)(2)kkkE kEEE(0)(1)(2)kkkk将以上各展开式代入Schrdinger方程

44、中，得(0)(0)(0)0kkkHE(1)(0)(0)(1)(1)(0)0kkkkkkHHEE(2)(1)(0)(2)(1)(1)(2)(0)0kkkkkkkkHHEEE零级近似方程：零级近似方程：(0)(0)(0)0kkkHE能量本征值：能量本征值：2222(0)022kkkEUmm00U 令相应的波函数：(0)1ikxkeL正交归一性：(0)(0)0Lkkk kdxk k一级微扰方程：(1)(0)(0)(1)(1)(0)0kkkkkkHHEE令(1)(1)(0)ka代入上式(1)(0)(0)(0)(0)(1)(0)(1)(0)kkkka EHEaE两边同左乘 并积分得(0)k(1)(0)(

45、0)(1)(1)kkk kkkkk kaEHEaE当 k = k 时，(1)(0)(0)0LkkkkkEHHdxk H k(1)0012exp0LikxikxknnnxEeUie dxLa当 k k 时，(1)(0)(0)k kkkkHaEE由于一级微扰能量 Ek(1)0，所以还需用二级微扰方程来求出二级微扰能量，方法同上。 令(2)(2)(0)ka代入二级微扰方程中可求得补充：按照量子力学普通微扰实际的结果，本征值补充：按照量子力学普通微扰实际的结果，本征值的一、二的一、二 级修正项为：级修正项为： (1)2200kkkkkEkU kkU kEEE 1000kkkkkkU kEE波函数的一级

46、修正为： 0UU xU以上见黄昆书 p158, 有类似的微扰推导2(2)(0)(0)k kkkkkkHEEE二级微扰能量：这里(0)(0)0Lk kkkHHdxk H k0012expLik xikxnnnxeUie dxLa0012expLnnnUi kkx dxLaUn 当 kk+2n/a0 当 k k+2n/a于是，求得电子的能量为222(0)(2)(0)(0)2k kkkkkkkkHkEEEmEE22220222222nnmUkmnkka电子波函数为(0)(1)(0)(0)(0)(0)k kkkkkkkkkkHEE222202exp 2/112/ikxnnmUinx aeLkkn a2

47、 nkka ikxkke ux其中 222202exp 2/112/nknmUinx auxLkkn a 容易证明 uk(x) uk(x+a)，是以 a 为周期的周期函数。可见，将势能随位置变化的部分当作微扰而求出的近似波函数确实满足Bloch定理。这种波函数由两部分组成：1ikxLe第一部分是波数为k的行进平面波 第二部分是该平面波受周期场的影响而产生的散射波。因子2222212/nmULkkn a是波数为kk+2n/a的散射波的振幅。 在普通情况下，由各原子产生的散射波的位相各不一样，因此彼此相互抵消，周期场对行进平面波的影响不大，散射波中各成分的振幅均较小，可以用微扰法处置。 但是，假设由相邻原子所产生的散射波即反射波成分有一样的位相，如行进平面波的波长 2/k正好满足条件 2an 时，相邻两原子的反射波就会有一样的位相，它们将相互加强，从而使行进的平面波遭到很大干涉。这时，周期场的影响就不能当作微扰了当(0)(0)(0)2/kkkn aE