高等数学多元函数微分重点难点

1、多元函数微分学及其应用一. 基本要求(1) 理解多元函数的概念。(2) 了解二元函数的极限与连续性的概念及有界闭区域上连续函数的性质。(3) 理解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的必要条件和充分条件及全微分在近似计算中的应用。(4) 理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算法。(5) 掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。(6) 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的偏导数。(7) 了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它的方程。(8) 了解二元函数的二阶泰勒公式。(9) 理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会用

2、最小二乘法求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的实际问题。二. 主要内容 多元函数微分学及其应用基本概念及其联系重要结论微分法几何应用极值、最值及其应用(1) 多元函数极限.(2) 连续.(3) 偏导数.(4) 全微分.(5) 方向导数.(6) 梯度.(7) 基本概念之间的联系.见后面的七个重要定理.(1) 多元复合函数偏导.(2) 隐函数求偏导.(3) 方向导数及梯度的计算.(1) 曲线的切线与法平面方程.(2) 曲线的切平面与法线方程.(1) 极值存在的必要条件.(2) 极值存在的充分条件.(3) 条件极值、最值最小二乘法.重要

3、概念名称定义说明极限设函数在开区域(或闭区域)内有定义，是的内点或边界点，若对于任意给定的正数，总存在正数，使得对适合不等式的一切点，都有成立，则称常数为函数当时的极限，记作类似可定义元函数.二元函数的极限，也叫二重极限注意：任意方式当以不同方式趋于语言用来证明极限存在.连续设函数在开区域(或闭区域)内有定义，是的内点或边界点，且，若，则称函数在连续可用语言定义连续.利用初等函数连续性求极限.偏导数如果极限存在，则称此极限为在点处对的偏导数记作，类似定义关于的偏导数求偏导数法则同一元函数求导法则.全微分如果在点的全增量可表示为，其中不依赖于，则称在点可微，而称为在点的全微分，记作，即.若记，有

4、.在可微的前提下,有方向导数设在包含,的邻域内有定义，射线:则在处处沿方向的方向导数定义为其中.类似定义空间方向上的方向导数为其中.多元函数某些概念之间关系的比较1. 一元函数在连续可导可微分极限存在 2. 二元函数在点两个偏导数存在连续可微分两个偏导数连续沿任何方向的方向导数存在极限存在 名称梯度极值定义设在点的某一邻域内具有连续一阶偏导数，则在点处的梯度定义： 说明梯度是一个向量，梯度的方向与取得最大方向导数的方向一致，梯度的模为方向导数的最大值。注：设函数在点的某个邻域内有定义，对于异于的点，如果都适合不等式则称函数在有极大(小)值(1) 极值分为无条件极值和条件极值。(2) 极大值与极

5、小值统称为极值。(3) 使函数取得极值的点称为极值点。l 重要定理定理1 在有界闭区域上的多元连续函数，在上一定有最大值和最小值.定理2 在有界闭区域上的多元连续函数，如果在上取得两个不同的函数值，则它在上必取得介于两个值之间的任何值.定理3 如果的两个二阶混合偏导数及在区域内连续，那么在该区域内，必有=.定理4 如果函数在点可微，则该函数在点的偏导数必定存在，且函数在点的全微分为定理5 如果函数的偏导数，在点连续，则函数在该点可微.定理6 设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在该点的偏导数必为零，即，.定理7 设函数在点的某邻域内连续且存在二阶连续偏导数，且，记，则(1)当时，在处具有

6、极值，且当时，是极大值，当时，是极小值；(2) 当时，不是极值；(3) 当时，在处是否有极值不能确定.l 重要公式多元复合函数求导法则内容说明如果，在点处有偏导数，在点处有连续偏导数，则复合函数在点处有关于或的偏导数，且 复合关系树形图 (1)公式个数与自变量个数相同;(2)每个公式项数与中间变量个数相同;(3)函数有几层复合，每项就是几个因子的乘积.若， ，则，复合关系树形图：若，则复合关系树形图：注：这里与含义不同若，则复合关系树形图：隐函数的求导公式由方程确定隐函数，且有连续的偏导数,则由方程确定隐函数，且有连续的偏导数，则，.方向导数的计算公式内容说明(或)在可微点处沿任何方向的方向导

7、数都存在，且(或)其中为与轴正向的夹角(为方向的方向角)可微是方向导数存在的充分条件，反之不一定成立.空间曲面的切平面与法线方程曲面在点处的切平面与法线方程分别为，.曲面在点的切平面与法线方程分别为，.空间曲线的切线与法平面方程曲线在点处切线与法平面方程分别为，.曲线在点处的切线方向向量为.多元函数极值的求法无条件极值(1) 求驻点：求的一切实数解.(2) 判定：由定理7判定所求驻点是否为极值点.(3) 求极值：求出极值点相应的极值.条件极值说明求在条件下的极值. (1)作辅助函数(拉格朗日函数)，其中(称拉格朗日常数)是待定常数.(2)求可能极值点，解方程组消去，解出.(3)判定上述点是否为

8、极值点.用拉格朗日乘数法求条件极值，可推广到在约束条件，下的极值,作辅助函数:其中是待定常数.重点: 理解多元函数的基本概念定义，掌握基本概念之间的关系，会求复合函数和隐函数的偏导数。会求曲线的切线与法平面，曲面的切平面及法线的方程,掌握求多元函数极值、最值及其实际应用。难点： 抽象的多元复合函数求偏导，多元函数的条件极值及其实际应用。三、例题精选l 极限与连续求极限的方法:1. 利用连续的定义及初等函数的连续性，如是的连续点，则；2. 利用两边夹法则；3. 利用化简方法(恒等变形、因式分解、有理化、极限的运算性质、等价代换)；4. 换元法(转换为一元函数极限)。 例1 求下列极限 (1) ,

9、 (2) (3) (4) 解：(1) 因是初等函数，是其连续点，故 (2) ,因为 原式.(3)令 ，则 原式(4)原式证明极限不存在的方法:1. 若二元函数沿某一途径的极限不存在,则该函数的极限不存在；2. 若沿途径的极限为，则极限不存在；3. 若沿两条不同途径的极限都存在，但不相等，则该函数的极限不存在.例2 证明下列极限不存在 (1) (2) (3) 解：(1)令,则与有关，所以极限不存在.(2) 当沿趋于零时，当沿趋于零时，原式, 所以原式极限不存在. (3)令 ，则 原式 不存在，所以原式极限不存在.l 偏导与全微分例3 证明：在点连续，偏导数存在，但不可微.证明 所以 ,即 故 在

10、点不可微.例4 设二元函数 (1) 求；(2) 证明在点不连续.(3) 证明在点处可微. 解 （1） 用偏导数的定义计算. (2)当， 不存在而由(1) 知故，即在点处不连续，同理可证在点处不连续.(3) 只要证因为 故在点处可微.注：此题说明 函数可微偏导连续例5 设 ，且 .当变量 分别增加一个单位时,那个变量对的影响最大?分析: 由偏导数的几何意义可知,分别表示函数 在点 沿轴方向, 沿轴方向, 沿轴方向的，只需求出的三个偏导数加以比较即可。所给函数为隐函数形式。将所给方程两端分别关于 求偏导数,可求出三个偏导数。由于 可得 。同理可得 。由于 ，因此可知对的变化影响最大。例6 设 其中

11、有二阶连续偏导数，求.解 注：1. 求二阶偏导时，将一阶偏导仍认作是与具有相同的复合层次函数，这是计算中重要一环. 2. 表示对第一个位置变元求偏导数.例7 设具有连续的二阶偏导数，且满足方程，其中为常数. 令. 证明 .分析: 本题有两种思路，一种是将表示成的函数;一种是将表示成 的函数.证法1 , 所以有 = 又 ， , 所以,. 证法2 ，所以 因为 又 , 所以 .隐函数求偏导数的解题方法：1. 公式法，对其中一个变量求偏导，将其他变量当作常数；2. 直接法，求偏导时，始终要注意函数是什么，自变量是什么；3. 微分法，利用一阶微分形式不变性。例8 设函数由方程所确定，求。解 方法一：

12、令 , 方法二： 对方程两边关于求导，得 . 即同理可得 ， 求法同方法一.方法三： 记由于 ， 故 ，即 所以 ，. 例9 设是由方程和所确定的函数，其中和分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求.解 分别在和的两端对求导，得 整理后得由此解得 例10设函数在点处可微,且 求.解 几何上的应用例11 求曲面的平行于的切平面的方程分析：本题的关键是在于求出切点切点既在切平面上，也在曲面上.解 设切点为， 令 ,则曲在的切平面的法线向量为 已知平面的法向量为，由于已知曲面的切平面与已知平面平行，故其法向量互相平行，因此，所以 .又点在曲面上，应满足方程，所以有 ，即 ，解得 ， . 故所求切平面

13、方程为.例12求曲线在点处的切线与法平面方程.分析：只要求出的方向向量即可，而的方向向量既垂直于第一个曲面的切平面的法向量，又垂直于第二个曲面的其平面的法向量，所以可取它们的向量积.解 在点处的切平面法向量为，在点处的切平面法向量为.所以切线为 法平面方程为 。例13 证明曲面(为可微)上任一点处的切平面平行于一定直线.证明 (1) 设曲面上任一点为，则过点的切平面的法向量为 (2) 令 ，则 即 只要 ，即可， 所以可取 .从而曲面上任一点的切平面均平行于定向量，当然也就平行于任何一条以为方向向量的直线，取定直线为即可.例14 设可微,证明: 方程表示的曲面为柱面.分析: 要证明方程表示的曲

14、面为柱面,只需证明曲面上任一点处的切平面平行于一条固定直线,即证明曲面上任一点的法向量垂直于一固定向量即可证明 设, 则即曲面上任一点处的法向量为设固定向量 要使 ,即使只需使 若取 ,则必有 ,因此,所给曲面上任一点的法向量垂直于固定向量 ,从而,所给曲面为一柱面.极值与最值例15 已知在点的邻域内有定义且有讨论在处是否有极值.解 时，由极限的保号性，的一个去心邻域，由极值的定义知，为极小值.时，由极限的保号性，的一个去心邻域，当时，所以为的极大值. 例16 设在有界闭区域上具有二阶连续偏导数，且恒有，。试证：必在的边界上取最大值、最小值.分析：由于结论中出现了最小值，所以应想到用最值定理.

15、由题设知必在上取最大值、最小值，因此只须证在内不能取最值，再由题中所给的条件，所以可用反证法.证明：反证法 ,假设不能在的边界上取最大值、最小值，则由最值定理知，必在内取最大值、最小值，不妨设在点处取最大值，即，为内的一点，则为内的极大值点.由极值的必要条件知，又， ，所以由极值的充分条件知在处没有极值，这与在处取极大值矛盾，所以必在的边界上取最大值. 同理，必在的边界上取最小值.注：此题用到了例17在曲面的第一卦限部分里求一点，使曲面在该点的切平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积最小，并求此体积.解：(1) 设点为曲面上一点，则在的切平面方程为 令 ， 令 ， 令 ， (2) 四面体的体积

16、为 (3) 令 解得 故所求点为 ，最小体积为 .例18 设有一座小山，取它的底面所在的平面为坐标面，其底部所占的区域，小山的高度函数为.(1) 设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式.(2) 现欲利用此座小山开展攀岩活动，为此需要在山脚找一个上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界线上找出使(1)中的达到最大值的点，试确定攀登起点的位置.解 (1) 由梯度的几何意义知，在点处沿梯度方向的方向导数最大，方向导数的最大值为该梯度的模，所以(2) 令 ，由题意，只需求在约束条件下的最大值点.令 ，则 将(1)+(2),得，或.若

17、，则由式(1)得，再由式(3)，得 ，若，则由式(3)，得 ，.于是得到4个可能的极值点为，由于 ，故或可作为攀登的起点.单元自测题(A)(90分钟，满分100分)一. 填空题(3分)1.函数的定义域 .2.若函数，则 .3. .4.设，则 .5.求曲线在处的切线方程是 .二选择题(每题3分)1. 已知曲面上点处的切平面平行于平面，则点为( ) A.(1,-1,2) B.(-1,1,2) C.(1,1,2) D.(-1,-1,2) 2. 设，则 在点(0,0)处( ) A.不连续 B.偏导数不存在 C.偏导数存在且不可微 D.偏导数存在且可微3. 设，则( ) A.在点(0,0)连续 B. C

18、.,其中为的方向余弦 D.在点(0,0)沿轴负方向的方向导数为14. 设在点的全微分存在，则下列结论不正确的是( ) A. 在点必连续 B. 在点的两个偏导数必存在 C. 在点的两个偏导数必连续 D. 在点处必有切平面5. 在曲线的所有切线中，与平面平行的切线( ) A. 只有1条 B. 只有2条 C. 至少3条 D. 不存在三.计算下列各题(共40分，58分)1.设，求.2.，求.3.函数在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,-2,2)方向的方向导数.4.求复合函数的二阶偏导数，其中具有连续的二阶偏导数，求.5设 是由方程 确定的隐函数, 求四.(8分)求曲线在点处的切线及法平面方程.五

19、.(8分) 求函数的极值.六.(9分) 求曲面上平行于平面 x-y+2z=0 的切平面方程.七.(5)讨论二元函数 在 点的连续性.自测题(A)答案一. 1. 2. 3. 4. 5.切线： 二. 1. C 2. C 3. D 4. C 5. B三. 1. 0 2. 3. 4. 5. 四.切线方程： 法平面方程：五. (1,1)为极值点，极值为，容易证明(0,0)不是极值点六. ； 七. 提示： 自测题(B)(90分钟，满分100分)一.填空题(每题3分)1.设，则在点处的值为 .2.设，则 .3.函数的定义域为 .4.椭球面在点处的切平面方程为 .5.，从点到的方向导数等于 .二.选择题(每题

20、3分)1.二元函数在点处的两个偏导数，存在，是在该点连续的( )A. 充分条件而非必要条件 B. 必要条件而非充分条件C. 充分必要条件 D. 既非充分条件又非必要条件2.在下列各点中，( )为函数的极大值点.A. B. C. D. 3.极限( )A. 0 B. 1 C. 2 D. 4.设，则( )A. 0 B. 不存在 C. -1 D. 15.设，则( )A. ; B. ; C. -1; D. 1.三.解答下列各题(42分)1.设，其中为可微函数，求.2.设，其中函数具有二阶连续导数，求.3.设由方程确定，求.4.求在上的最大、最小值.5.设，求.6.设，其中具有二阶连续偏导数，求.四.(10分) 在椭球面上求一点，使过此点得切平面与三坐标面而构成的四平面的体积最小，并求出此最小体积.五.(9分) 求曲线在点的切线及法平面方程.六.(9分) 证明函数有无穷多个极大值点，而没有极小值点.自测题(B)答案一. 1. 2. 3. 4. 5.二三. 1. 2.0 3. 4. 5 6.四.当，时，取最小值 五.切线方程： 法平面方程：六.提示