《函数的基本性质》新课程高中数学高三一轮复习课件

1、名师伴你行名师伴你行返回目录返回目录 函数的函数的基本性质基本性质理解函数的单调性、最大（小）值及其理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义几何意义；了解函数奇偶性的含义.名师伴你行返回目录返回目录 1.函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形函数的单调性与最值在高考中常以选择、填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位调性，因此本部分内容在高考中占有十分重要的地位. 2.函数的奇偶性常与函数的单调性、最值等结合考查，函数的奇偶性常与函数的单调性、最值等结合考

2、查，是高考考查的热点是高考考查的热点. 3.函数的奇偶性函数的奇偶性,以选择、填空题居多，且是高考考以选择、填空题居多，且是高考考查的热点，预测明年仍将是考查的热点查的热点，预测明年仍将是考查的热点.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行1.单调性单调性(1)单调性的定义单调性的定义一般地一般地,设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为A,区间区间MA.如果取区间如果取区间M中的任意两个值中的任意两个值x1，x2,改变量改变量x=x2-x10,则当则当y=f(x2)-f(x1)0时时,就称函数就称函数y=f(x)在区间在区间M上上是是 .当当y=f(x2)-f(x1)0时时,就称函数就称函

3、数y=f(x)在区在区间间M上是上是 .(2)函数函数f(x)在区间在区间D上单调递增上单调递增 0 .(3)函数函数f(x)在区间在区间D上单调递减上单调递减 增函数增函数 减函数减函数 (x1-x2)f(x1)-f(x2)0 x-x )f(x- )f(x2121 (x1-x2)f(x1)-f(x2)0 0 x-x )f(x- )f(x2121 返回目录返回目录 名师伴你行(4)从图象上看函数的单调性，从左向右单调递减从图象上看函数的单调性，从左向右单调递减,图象呈图象呈现现 趋势，单调递增趋势，单调递增,图象呈现图象呈现 趋势趋势.(5)单调递增函数图象上任意两点连线的斜率恒单调递增函数图

4、象上任意两点连线的斜率恒 零，零，单调递减函数图象上任意两点连线的斜率恒单调递减函数图象上任意两点连线的斜率恒 零零.2.奇偶性奇偶性(1)奇偶性的定义奇偶性的定义设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为D，如果对，如果对D内的任意一个内的任意一个x，都，都有有-xD，且，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做，则这个函数叫做 .设函数设函数y=g(x)的定义域为的定义域为D,如果对如果对D内的任意一个内的任意一个x，都，都有有-xD,且且g(-x)=g(x)，则这个函数叫做，则这个函数叫做 .小于小于下降下降 上升上升 大于大于奇函数奇函数 偶函数偶函数 返回目录返回目录 名师伴你行函

5、数为奇函数或偶函数的必要条件是函数为奇函数或偶函数的必要条件是 .若函数若函数y=f(x)既为奇函数又为偶函数，则既为奇函数又为偶函数，则 ;反之并反之并不一定成立不一定成立.f(-x)=-f(x) ，f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0.(2)奇函数与偶函数的性质奇函数与偶函数的性质如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形为对称中心的中心对称图形;反之，如果一个函数的图象是反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇

6、函数数.定义域关于原点对称定义域关于原点对称f(x)=0f(-x)+f(x)=0返回目录返回目录 名师伴你行如果一个函数是偶函数，则它的图象是以如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴轴为对称轴的轴对称图形的轴对称图形;反之，如果一个函数的图象关于反之，如果一个函数的图象关于y轴对轴对称，则这个函数是偶函数称，则这个函数是偶函数.在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和仍在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和仍是是 ，两个偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积仍是的积仍是 ，一个偶函数与一个奇函，一个偶函数与一个奇函数的积仍是数的积仍是 .奇偶数在对称区间上的奇偶数在对称

7、区间上的 相同，偶函数相同，偶函数在对称区间上的在对称区间上的 相反相反.增减性增减性 偶函数（或奇函数）偶函数（或奇函数） 偶函数偶函数 奇函数奇函数 增减性增减性返回目录返回目录 试讨论函数试讨论函数f(x)= ,x(-1,1)的单调性的单调性(其中其中a0). 1xax2 名师伴你行返回目录返回目录 【解析】解法一【解析】解法一:任取任取x1,x2(-1,1),且且x10,则则y=f(x2)-f(x1)-1x1x21,|x1|1,|x2|1,x1-x20,x12-10,x22-10,|x1x2|1,即即-1x1x20, 0时时,y=f(x2)-f(x1)0,此时函数此时函数f(x)在在(

8、-1,1)上为减函数上为减函数;当当a0,此时函数此时函数f(x)在在(-1,1)上为增函数上为增函数.)1x)(1x()1xx)(xx(a1xax1xax21222121211222 ) 1x)(1x() 1xx)(xx(21222121 名师伴你行返回目录返回目录 解法二解法二:a0时时,f(x)0,函数函数f(x)在在(-1,1)上为减函数上为减函数;a0,函数函数f(x)在在(-1,1)上为增函数上为增函数.2222221)(x)1x(a1)(x2xax-1)a(x)x(f 对于给出具体解析式的函数对于给出具体解析式的函数,判断或证明其在某区判断或证明其在某区间上的单调性问题间上的单调

9、性问题,可以结合定义可以结合定义(基本步骤为取点、作基本步骤为取点、作差或作商、变形、判断）求解差或作商、变形、判断）求解.可导函数则可以利用导可导函数则可以利用导数解之数解之.名师伴你行返回目录返回目录 讨论函数讨论函数f(x)=x+ (a0)的单调性的单调性.x xa a名师伴你行:显然显然f(x)为奇函数为奇函数,所以先讨论函数所以先讨论函数f(x)在在(0,+)上的单调性上的单调性,设设x1x20,则则 当当0 x21, 则则f(x1)-f(x2)0， 即即 f(x1) x2 时，时，0 0, 即即f(x1)f(x2),故故f(x)在在 ,+)上是增函数上是增函数. f(x)是奇函数，

10、是奇函数， f(x)分别在分别在(-,- , ,+)上为增函数；上为增函数； f(x)分别在分别在- ,0),(0, 上为减函数上为减函数.返回目录返回目录 ).).x xx xa a- -)(1)(1x x- -(x(x) )x xa a(x(x- -) )x xa a(x(x2 21 12 21 12 22 21 11 1a2 21 1x xx xa aa2 21 1x xx xa aaaaaaa f(x1)-f(x2)=名师伴你行返回目录返回目录 :由由f(x)=1- =0可得可得x= .当当x 时或时或x0,f(x)分别在分别在 ,+),(-,- 上是增函数上是增函数.同理同理0 x

11、或或- x0时时,f(x)0,得函数的定义域是得函数的定义域是(0,4).令令t=4x-x2,则则y= .t=4x-x2=-(x-2)2+4,t=4x-x2的单调减区间是的单调减区间是2,4),增区间是增区间是(0,2.又又y= 在在(0,+)上是减函数上是减函数,函数函数y= 的单调减区间是的单调减区间是(0,2,单调增单调增区间是区间是2,4).) )x x- -(4x(4xloglog= =y y2 22 21 1t tloglog2 21 1t tloglog2 21 1) )x x- -(4x(4xloglog2 22 21 1名师伴你行返回目录返回目录 函数函数f(x)对任意的对任

12、意的a,bR,都有都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并并且当且当x0时时,f(x)1.(1)求证求证:f(x)是是R上的增函数上的增函数;(2)若若f(4)=5,解不等式解不等式f(3m2-m-2)3. (1)是抽象函数单调性的证明是抽象函数单调性的证明,所以要用单所以要用单调性的定义调性的定义. (2)将函数不等式中抽象的函数符号将函数不等式中抽象的函数符号 “ f ” 运用单调运用单调性性“去掉去掉”，为此，为此,需将右边常数需将右边常数 3 看成某个变量的函数看成某个变量的函数值值.名师伴你行 (1)证明证明:设设x1,x2R,且且x10, f(x2-x1)1. f(x2)-

13、f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1) =f(x2-x1)-10. f(x2)f(x1). 即即f(x)是是R上的增函数上的增函数.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 (2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5,f(2)=3,原不等式可化为原不等式可化为f(3m2-m-2)f(2),f(x)是是R上的增函数上的增函数,3m2-m-22,解得解得-1m .故解集为故解集为 .34 34, 1名师伴你行返回目录返回目录 (1)f(x)在定义域上在定义域上(或某一单调区间上或某一单调区间上)具有单调性具有单调性,则则f(

14、x1)f(x2) f(x1)-f(x2)0,若函数是增函若函数是增函 数数 ,则则f(x1)f(x2) x11时，时，f(x)0， 且且f(xy)=f(x)+f(y).（1）求）求f(1);（2）证明）证明f(x)在定义域上是增函数；在定义域上是增函数；（3）如果）如果f（ ）=-1，求满足不等式，求满足不等式f(x)- 2 的的x的取值范围的取值范围.31)2 2- -x x1 1f f( ( 名师伴你行 （1）令）令x=y=1，得，得f(1)=2f(1)，故，故f(1)=0.（2）证明）证明:令令y= ,得得f(1）=f(x)+f（ ）=0，故，故f（ ） =-f(x).任取任取x1,x2

15、(0,+)，且，且x11,故故f 0，从而，从而f(x2)f(x1). f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数.返回目录返回目录 x1x1x111x12xx12xx)(12xx名师伴你行（3）由于）由于f =-1，而，而f =-f(3)，故，故f(3)=1.在在f(xy)=f(x)+f(y)中，令中，令x=y=3,得得f(9)=f(3)+f(3)=2.又又-f（ ） =f(x-2)，故所给不等式可化为，故所给不等式可化为f(x)+f(x-2)f(9)，即，即fx(x-2)f(9). x0, x-20, x(x-2)9.x的取值范围是的取值范围是1+ ,+).返回目录返回目录 )31()31

16、(21x解得解得x1+ .1010名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考广东卷年高考广东卷若函数若函数f(x)=3x+3-x与与g(x)=3x-3-x的的定义域均为定义域均为R,则则 ( ) A.f(x)与与g(x)均为偶函数均为偶函数 B.f(x)为偶函数，为偶函数，g(x)为奇函数为奇函数 C.f(x)与与g(x)均为奇函数均为奇函数 D.f(x)为奇函数，为奇函数，g(x)为偶函数为偶函数B 名师伴你行 【分析】【分析】判断函数奇偶性应分两步判断函数奇偶性应分两步: (1)定义域是否关于原点对称定义域是否关于原点对称; (2)判断判断f(-x)与与f(x)的关系的关系. 【解析】【解

17、析】f(x)=3x+3-x，f(-x)=3-x+3x. f(x)=f(-x)，即，即f(x)是偶函数是偶函数. 又又g(x)=3x-3-x,g(-x)=3-x-3x. g(x)=-g(-x)，即函数，即函数g(x)是奇函数是奇函数. 故应选故应选B.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 判断函数的奇偶性判断函数的奇偶性, 一般有以下几种方法一般有以下几种方法 : (1)定义法定义法:若函数的定义域不是关于原点的对称区域若函数的定义域不是关于原点的对称区域,则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数; 若函数若函数的定义域的定义域 是关于是关于

18、原点的对称区域原点的对称区域,再再 判判 断断 f(-x) 是否等是否等于于f(x)或判断或判断 f(x) f(-x) 是否等于零或判断是否等于零或判断 (f(-x)0)是否等于是否等于1等等. (2)图象法图象法:奇奇(或偶或偶)函数的充要条件是它的图象关于函数的充要条件是它的图象关于原点原点(或或y轴轴)对称对称. (3)性质法性质法:偶函数的和偶函数的和 、差、积、商（分母不为零）、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数 ；奇（偶）数；奇（偶）数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇（偶）函

19、数 ；一；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数个奇函数与一个偶函数的积为奇函数. (注注:利用上述结论时要注意各函数的定义域利用上述结论时要注意各函数的定义域.)x)x)f(f(f(x)f(x)名师伴你行返回目录返回目录 判断下列函数的奇偶性：判断下列函数的奇偶性：（1）f(x)= ；（2）f(x)=log2(x+ )(xR)； x2+x(x0)；（4）f(x)= lg|x-2|.判断函数奇偶性应分两步判断函数奇偶性应分两步: （1）定义域是否关于原点对称）定义域是否关于原点对称; （2）判断）判断f(-x)与与f(x)的关系的关系.2 22 2x x- -1 11 1- -x x12 2x x

20、（3）f(x)=名师伴你行返回目录返回目录 【解析】【解析】（1）x2-10且且1-x20, x=1，即，即f(x)的定义域是的定义域是-1,1. f(1)=0,f(-1)=0, f(1)=f(-1),f(-1)=-f(1)， 故故f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数. （2）已知）已知f(x)的定义域为的定义域为R， f(-x)=log2-x+ =log2 =-log2(x+ )=-f(x), f(x)是奇函数是奇函数.1 1x xx x1 12 21 1x x2 21 1(-x)(-x)2 2名师伴你行返回目录返回目录 （3）当）当x0，则，则 f(-x)=(-x)2-(-x)

21、=x2+x=f(x)； 当当x0时时,-x0，得，得x2. f(x)的定义域的定义域 x|x2 关于原点不对称，关于原点不对称， 故故 f(x) 既既不是奇函数也不是偶函数不是奇函数也不是偶函数.名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考江苏卷年高考江苏卷设函数设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xR)是是偶函数，则实数偶函数，则实数a的值为的值为 . 【分析】【分析】利用利用f(x)=f(-x)对任意对任意xR恒成立恒成立,解解a的值的值. 【解析】【解析】因为因为f(x)是偶函数，所以恒有是偶函数，所以恒有f(-x)=f(x)，即，即-x(e-x+aex)=x(ex+ae-x),化简得化

22、简得x(e-x+ex)(a+1)=0.因为上式对任意实数因为上式对任意实数x都成立，所以都成立，所以a=-1.名师伴你行返回目录返回目录 对任意对任意x恒成立与解关于恒成立与解关于x的方程是不一样的的方程是不一样的,注意区别注意区别.名师伴你行返回目录返回目录 设函数设函数f(x)=x3+bx2+cx(xR),已知已知g(x)=f(x)-f(x)是奇函是奇函数数.(1)求求b,c的值的值;(2)求求g(x)的单调区间与极值的单调区间与极值.名师伴你行 (1)f(x)=x3+bx2+cx, f(x)=3x2+2bx+c, 从而从而g(x)=f(x)-f(x)=x3+bx2+cx-(3x2+2bx

23、+c) =x3+(b-3)x2+(c-2b)x-c是一个奇函数是一个奇函数, g(0)=0得得c=0,由奇函数定义得由奇函数定义得b=3. (2)由由(1)知知g(x)=x3-6x,从而从而g(x)=3x2-6,由此可知由此可知,(-,- )和和( ,+)是函数是函数g(x)的单调递增区间的单调递增区间;(- , )是函数是函数g(x)的单调递减区间的单调递减区间; g(x)在在x=- 时时,取得极大值取得极大值,极大值为极大值为4 ; g(x) 在在x=2时时,取得极小值取得极小值,极小值为极小值为-4 .返回目录返回目录 2222222名师伴你行返回目录返回目录 函数函数f(x)的定义域为

24、的定义域为D=x|x0,且满足对于任意且满足对于任意x1,x2D,有有f(x1x2)=f(x1)+f(x2).(1)求求f(1)的值的值;(2)判断判断f(x)的奇偶性并证明你的结论的奇偶性并证明你的结论;(3)如果如果f(4)=1,f(3x+1)+f(2x-6)3,且且f(x)在在(0,+)上是增上是增 函数函数,求求x的取值范围的取值范围. (1)依题设可令依题设可令x1=x2=1,则可求则可求f(1)的值的值; (2)令令x1=-1,x2=x,即可找到即可找到f(-x)与与f(x)间的关系间的关系,但需求但需求f(-1)的值的值; (3)充分利用奇、偶函数在其对称区间上的单调性求解充分利

25、用奇、偶函数在其对称区间上的单调性求解.名师伴你行返回目录返回目录 【解析】【解析】(1)对于任意对于任意x1,x2D,有有f(x1x2)=f(x1)+f(x2),令令x1=x2=1,得得f(1)=2f(1),f(1)=0. (2)令令x1=x2=-1,有有f(1)=f(-1)+f(-1),f(-1)= f(1)=0.令令x1=-1,x2=x,有有f(-x)=f(-1)+f(x),f(-x)=f(x),f(x)为偶函数为偶函数.21名师伴你行返回目录返回目录 (3)依题设有依题设有f(44)=f(4)+f(4)=2, f(164)=f(16)+f(4)=3. f(3x+1)+f(2x-6)3,

26、 即即f(3x+1)(2x-6)f(64).(*) 解法一解法一:f(x)为偶函数为偶函数, f|(3x+1)(2x-6)|f(64). 又又 f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数, 0|(3x+1)(2x-6)|64. 解上式得解上式得3x5或或 x-或或 x3. x的取值范围为的取值范围为 x x 或或 x3或或30 (3x+1)(2x-6)64或或 (3x+1)(2x-6)3或或x x5 或或 x3 xR.3x5或或 x 或或 x3.x的取值范围为的取值范围为x x 或或 x3或或30时时,f(x)0恒成立恒成立,f(3)= - 3.(1) 证明证明:函数函数y=f(x)是是R上的

27、减函数上的减函数;(2) 证明证明:函数函数y=f(x)是奇函数是奇函数;(3) 试求函数试求函数y=f(x)在在m,n(m,nZ)上的值域上的值域.名师伴你行(1) 证明证明:设设x1,x2R,且且x10,f(x2-x1)0. f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)f(x1). 故故f(x)是是R上的减函数上的减函数.(2) 证明证明:f(a+b)=f(a)+f(b)恒成立恒成立, 可令可令a=-b=x,则有则有f(x)+f(-x)=f(0), 又令又令a=b=0,则有则有f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0. 从而从而xR,f(x)+f(-x)=0, f(-x)=-f(x).故故y

28、=f(x)是奇函数是奇函数.返回目录返回目录 名师伴你行返回目录返回目录 (3) 由于由于y=f(x)是是R上的单调递减函数上的单调递减函数, y=f(x)在在m,n上也是减函数上也是减函数,故故f(x)在在m,n 上的最大值上的最大值f(x)max=f(m),最小值最小值f(x)min=f(n). 由于由于f(n)=f(1+(n-1)=f(1)+f(n-1)=nf(1), 同理同理f(m)=mf(1). 又又f(3)=3f(1)=-3,f(1)=-1, f(m)=-m,f(n)=-n. 函数函数y=f(x)在在m,n上的值域为上的值域为-n,-m. 名师伴你行返回目录返回目录 已知函数已知函

29、数f(x)的定义域为的定义域为R,且满足且满足f(x+2)=-f(x).（1）求证：）求证：f(x)是周期函数；是周期函数；（2）若）若f(x)为奇函数，且当为奇函数，且当0 x1时，时，f(x)= x，求，求使使f(x)=- 在在0,2 009上的所有上的所有x的个数的个数. (1)只需证明只需证明f(x+T)=f(x),则则f(x)即是以即是以T为周期的周期函数为周期的周期函数;(2)由第由第(1)问可知只需求问可知只需求 一一 个个周期中周期中f(x)=- 的的x的个数便可知在的个数便可知在0,2 009 上上的的x的个数的个数.212121名师伴你行返回目录返回目录 (1)证明证明:f

30、(x+2)=-f(x), f(x+4)=-f(x+2)=-f(x)=f(x), f(x)是以是以4为周期的周期函数为周期的周期函数. (2)当当0 x1时时,f(x)= x, 设设-1x0,则则0-x1, f(-x)= (-x)=- x.f(x)是奇函数是奇函数,f(-x)=-f(x), -f(x)=- x,即即f(x)= x.故故f(x)= x(-1x1). 又设又设1x3,则则-1x-21,f(x-2)= (x-2).21212121212121名师伴你行返回目录返回目录 又又f(x-2)=-f(2-x)=-f(-x)+2)=-f(-x)=-f(x),-f(x)= (x-2),f(x)=- (x-2)(1x3). x (-1x1) - (x-2) (1x3),由由f(x)=- ,解得解得x=-1.f(x)