第十五章 电路方程的矩阵形式

1、2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系1第十五章第十五章 电路方程的矩阵形式电路方程的矩阵形式15-1 割集割集15-2 关联矩阵关联矩阵A 、回路矩阵、回路矩阵B 、割集矩阵、割集矩阵Q*15-3 矩阵矩阵A、B、Q之间的关系之间的关系15-4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式15-5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式15-6 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式*15-7 列表法列表法2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系2引言：电路的分析方法引言：电路的分析方法1. 小规模电路小规模电路人工观察法人工观察法回

2、路电流法回路电流法结点电压法结点电压法2. 大规模电路大规模电路 仍采用以上具体方法，但求解过程具有以下几个特点：仍采用以上具体方法，但求解过程具有以下几个特点： （1）采用系统化方法建立电路方程；）采用系统化方法建立电路方程； （2）电路方程用矩阵形式表示；）电路方程用矩阵形式表示； （3）利用计算机作为求解工具。）利用计算机作为求解工具。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系315-1 回路电流方程的矩阵形式2. 回路矩阵回路矩阵（1）独立回路矩阵（回路矩阵）独立回路矩阵（回路矩阵） 若一回路由某些支路组成，则称这些支路与该回路若一回路由某些支路组成，则称这些支路与

3、该回路关联关联。支路与回路的关联性质可以用所谓的独立回路矩阵加以描述。支路与回路的关联性质可以用所谓的独立回路矩阵加以描述。独立回路矩阵简称为回路矩阵。独立回路矩阵简称为回路矩阵。 以回路电流作为电路的待求变量，对电路进行分析的方法以回路电流作为电路的待求变量，对电路进行分析的方法称为回路电流法。称为回路电流法。1. 回路电流法回路电流法 设有向图的独立回路数为设有向图的独立回路数为l，支路数为，支路数为b，在对所有独立回，在对所有独立回路和支路均加以编号后，该有向图的（独立）回路矩阵路和支路均加以编号后，该有向图的（独立）回路矩阵B将是将是一个一个lb 的矩阵。的矩阵。2022年5月9日17

4、时14分北京科技大学信息工程学院自动化系4 B的每一行对应一个独立回路，列对应于支路，它的任的每一行对应一个独立回路，列对应于支路，它的任一元素一元素bjk定义如下：定义如下： bjk = +1，表示支路，表示支路k与回路与回路j关联，并且它们的方向关联，并且它们的方向一致一致； bjk = - -1，表示支路，表示支路k与回路与回路j关联，并且它们的方向关联，并且它们的方向相反相反； bjk = 0， 表示支路表示支路k与回路与回路j无关联无关联。举例：试写出如下所示有向图的独立回路矩阵。举例：试写出如下所示有向图的独立回路矩阵。345261解：首先借助于解：首先借助于“树树”的概念选取一组

5、独立回路的概念选取一组独立回路2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系5 一个连通图一个连通图G的一个树的一个树T 包含包含G的全部结点和部分支路，树的全部结点和部分支路，树T 本身是连通的且又不包含回路。本身是连通的且又不包含回路。 补充知识：有关补充知识：有关“树树”的一些概念的一些概念 树中包含的支路称为树支，树支以外的其它支路称为连支。树中包含的支路称为树支，树支以外的其它支路称为连支。一个具有一个具有n个节点、个节点、b条支路的电路，其树支数为条支路的电路，其树支数为n-1，连支数为，连支数为b-(n-1)。345261（a）356（b）346（c）2022年5

6、月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系6 若选若选3、5、6为树支，得到的独立回路组如上图（为树支，得到的独立回路组如上图（b）所示。）所示。12345610101 11011001200011 13345261（a）4563561132623（b）B=进一步得到的回路矩阵为：进一步得到的回路矩阵为：2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系7（2）基本回路矩阵）基本回路矩阵 如果所选独立回路组是对应于一个树的如果所选独立回路组是对应于一个树的单连支回路组单连支回路组，则称相应的回路矩阵为基本回路矩阵，并用则称相应的回路矩阵为基本回路矩阵，并用Bf 表示。表示。

7、 写写Bf 时，注意安排其行、列次序如下：时，注意安排其行、列次序如下： 把把l条连支依次排列在对应于条连支依次排列在对应于Bf 的第的第1到第到第l（l=b-n+1） 列，然后再排列树支；列，然后再排列树支； 取每一单连支回路的取每一单连支回路的序号序号为对应连支所在列的为对应连支所在列的序号序号，且以该连支的方向作为对应回路的绕行方向。且以该连支的方向作为对应回路的绕行方向。 Bf 将具有以下形式将具有以下形式1 |fltBB式中，下标式中，下标 l 和和 t 分别表示对应于连支和树支的部分；分别表示对应于连支和树支的部分； 1l 是一是一个个 l 阶的单位子矩阵。阶的单位子矩阵。2022

8、年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系8 选选3、5、6为树支，则为树支，则1、2、4为连支。上图（为连支。上图（b）所示独立）所示独立回路组即为一组单连支回路，其基本回路矩阵为：回路组即为一组单连支回路，其基本回路矩阵为：举例：试写出如下所示有向图（举例：试写出如下所示有向图（a）的基本回路矩阵。）的基本回路矩阵。345261（a）4563561132623（b）12435610011 11010101200101 13fB =2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系93. 基尔霍夫定律和回路矩阵基尔霍夫定律和回路矩阵B的关系的关系（1）用回路矩阵）用回

9、路矩阵B表示的表示的KCL的矩阵形式的矩阵形式 用一个用一个 l 阶列向量表示阶列向量表示 l 个独立回路电流，即个独立回路电流，即T12llllliiii 由于回路矩阵由于回路矩阵B的每一列（也就是回路矩阵的每一列（也就是回路矩阵BT的每一行）的每一行）表示每一条支路与回路的关联情况，所以按矩阵的乘法规则可表示每一条支路与回路的关联情况，所以按矩阵的乘法规则可知，各支路电流的列向量知，各支路电流的列向量12biiii TlB i 上式表明电路中各支路电流可以用与该支路关联的所有回上式表明电路中各支路电流可以用与该支路关联的所有回路的回路电流表示，这正是回路电流法的基本思想。路的回路电流表示，

10、这正是回路电流法的基本思想。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系10举例：利用下图验证举例：利用下图验证 i =BTil 的正确性。的正确性。345261（a）4563561132623（b）12345610101 11011001200011 13B=2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系111T23100010110001101111lllliB iii1212313123lllllllllliiiiiiiiii12345610101 11011001200011 13B=T123lllliiii2022年5月9日17时14分北京科技大学信

11、息工程学院自动化系12123456iiiiii 1T23100010110001101111lllliB iii1212313123lllllllllliiiiiiiiii i345261（a）4563561132623（b）2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系13（2）用回路矩阵）用回路矩阵B表示的表示的KVL的矩阵形式的矩阵形式 若电路中的若电路中的b个支路电压用个支路电压用u=u1 u2 ubT 表示，则回路表示，则回路矩阵矩阵 B 左乘支路电压列向量左乘支路电压列向量 u 的结果将是一个的结果将是一个 l 阶的列向量。阶的列向量。Bu回路回路1中的中的回路回路

12、2中的中的 回路回路l 中的中的uuu根据根据KVL可知可知Bu 0 由于矩阵由于矩阵 B 的每一行表示每一对应回路与各支路的关联情的每一行表示每一对应回路与各支路的关联情况，所以由矩阵乘法规则可知，乘积列向量中每一个元素将等况，所以由矩阵乘法规则可知，乘积列向量中每一个元素将等于每一对应回路中各支路电压的代数和，即于每一对应回路中各支路电压的代数和，即2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系14345261（a）4563561132623（b）用回路矩阵用回路矩阵B表示的表示的KVL的矩阵形式的矩阵形式12345610101 101100100011 1uuuBuuuu

13、1356236456uuuuuuuuuu000 0例如：试用下图验证例如：试用下图验证 的正确性。的正确性。 Bu 02022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系154. 复合支路的定义复合支路的定义 设第设第k条支路为复合支路，如下图所示。条支路为复合支路，如下图所示。- - +SkUekISkIZk(Yk)kIkU+- - 本章对回路电流法中的复合支路有如下规定：本章对回路电流法中的复合支路有如下规定：（1）复合支路）复合支路Zk (Yk) 只能是只能是单一单一的电阻、电感或电容，而不的电阻、电感或电容，而不能是它们的组合；能是它们的组合； （2）复合支路电压、电流为）复

14、合支路电压、电流为关联关联参考方向；参考方向； （3）允许一条支路缺少某些元件；）允许一条支路缺少某些元件； （4）不允许有无伴电流源支路存在。）不允许有无伴电流源支路存在。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系165. 支路电压、电流方程（支路电压、电流方程（VCR）的矩阵形式）的矩阵形式（1）电路中的电感之间无耦合时的情况）电路中的电感之间无耦合时的情况 当电路中电感之间无耦合时，对于第当电路中电感之间无耦合时，对于第k条支路应用条支路应用相量法相量法有有- - +SkUekISkIZk(Yk)kIkU+- -()kSkkSkkUZIIU若设：若设：2022年5月9

15、日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系17为支路电流列向量；为支路电流列向量；T12 bIIII为支路电压列向量；为支路电压列向量；T12 bUUUU为支路电流源的电流列向量；为支路电流源的电流列向量；T12 SSSSbIIII为支路电压源的电压列向量。为支路电压源的电压列向量。T12 SSSSbUUUU则对整个电路有则对整个电路有111112222200SSSSbbSbbSbUIIUZZUIIUZUIIU（1）即即()SSUZ IIU式中式中Z 称为称为支路阻抗矩阵支路阻抗矩阵，它是一个对角阵。，它是一个对角阵。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系18（2）

16、电路中的电感之间有耦合时的情况）电路中的电感之间有耦合时的情况 当电路中电感之间有耦合时，式（当电路中电感之间有耦合时，式（1）还应计及互感电压）还应计及互感电压的作用，假设第的作用，假设第1条支路至第条支路至第g条支路相互条支路相互均有耦合均有耦合，则，则12311112131eeeegsgUZ Ij MIj MIj MIU12322212232eeeegsgUj MIZ Ij MIj MIU 123123eeeeggsgggggUj MIj MIj MIZ IU eggsgIII111esIII1221MM式中，式中， ， ， ， ；“ ”号取决于各电感的同名端和电流、电压号取决于各电感的

17、同名端和电流、电压的参考方向。的参考方向。11ggMM2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系19 由于其余支路之间无耦合，故得由于其余支路之间无耦合，故得 ehhshhUZ IUebbsbbUZ IU 因此，当电路中第因此，当电路中第1条支路至第条支路至第g条支路电感之间有耦合，条支路电感之间有耦合，而其余支路之间无耦合时，支路电压与支路电流之间的关系可而其余支路之间无耦合时，支路电压与支路电流之间的关系可用下列矩阵形式表示用下列矩阵形式表示ebbsbIIIehhshIII式中，式中， ， 。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系20SbSSSb

18、bSSbhgggggbUUUIIIIIIZZZMjMjMjZMjMjMjZUUU21221121222111212100000000000000或写成或写成()SSUZ IIU式中，支路阻抗矩阵式中，支路阻抗矩阵Z为为非非对角阵，其主对角线元素为各支路阻对角阵，其主对角线元素为各支路阻抗，而非对角线元素将是相应支路之间的互感阻抗。抗，而非对角线元素将是相应支路之间的互感阻抗。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系216. 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式TlIB I 由由KCL0UB KVL 支路方程支路方程()SSUZ IIU整理后得回路电流方程的矩阵形式

19、整理后得回路电流方程的矩阵形式TlSSBZB IBUBZ I 如设如设Zl=BZBT，则回路电流方程的矩阵形式可写为，则回路电流方程的矩阵形式可写为其中，其中，Zl是一个是一个l 阶的方阵，称为阶的方阵，称为回路阻抗矩阵回路阻抗矩阵，它的主对角线，它的主对角线元素为自阻抗，非主对角线元素则为互阻抗。元素为自阻抗，非主对角线元素则为互阻抗。lSSlZ IBUBZ I2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系22例：用矩阵形式列出下图所示电路的回路电流方程。例：用矩阵形式列出下图所示电路的回路电流方程。7. 举例举例1SI+ - -2SU3j L1R2R4j L51j C341

20、5212解：作出有向图，并选支路解：作出有向图，并选支路1、2、5为树支，可得为树支，可得回路矩阵回路矩阵B 123451101012 010112022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系231SI+ - -2SU3j L1R2R4j L51j C3415212123451 ()Zdiag RRj Lj Lj CT20000SSUUT10000SSII2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系241010101011B123451 ()Zdiag RRj Lj Lj CT1234510011 0 1 011 () 1001 0 110111BZBdiag

21、 RRj Lj Lj C1352451010001101000111Rj Lj CRj Lj C135524551111Rj Lj Cj CRj Lj Cj C2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系25135524551111Rj Lj Cj CRj Lj Cj CTlZBZB1SI+ - -2SU3j L1R2R4j L51j C2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系261010101011BT20000SSUU201010100101100SSUBU20SU 2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系27123451 ()

22、Zdiag RRj Lj Lj CT10000SSII1010101011B11352451000010000SIRj Lj CRj Lj C 110SR I 1123450101011 ()00101100SSIBZ Idiag RRj Lj Lj C2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系28110SSR IBZ I 20SSBUU 112SSSSR IBUBZ IU得到电路回路电流方程的矩阵形式为得到电路回路电流方程的矩阵形式为代入代入TlSSBZB IBUBZ I13115512224551111lSlSRj Lj Cj CIR IIURj Lj Cj C2022

23、年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系29重写电路回路电流方程的矩阵形式如下重写电路回路电流方程的矩阵形式如下13115512224551111lSlSRj Lj Cj CIR IIURj Lj Cj C1SI+ - -2SU3j L1R2R4j L51j C34152122022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系30 s ss sI I U U Z Z B B 8. 回路电流法的步骤（以相量形式为例）回路电流法的步骤（以相量形式为例）（1）从已知网络，写出）从已知网络，写出 、 、 和和 ；BZSUSI（2）根据）根据 求出求出 ； TlZBZBlZ（3）

24、求出）求出 和和 ；SBUSBZ I（4）列出回路电流方程的矩阵形式）列出回路电流方程的矩阵形式lSSlZ IBUBZ I（5）根据上式求出）根据上式求出 ；lI（6）由）由KCL方程方程 求出各支路电流求出各支路电流 ；TlIB II（7）根据支路方程）根据支路方程 求出各支路电压求出各支路电压 。()SSUZ IIUU2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系3115-2 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式1. 结点电压法结点电压法 以结点电压作为电路的待求变量，对电路进行分析的方以结点电压作为电路的待求变量，对电路进行分析的方法称为结点电压法。法称为结点电压

25、法。2. 关联矩阵关联矩阵（1）关联矩阵）关联矩阵 若一条支路连接于某两个结点之间，则称该支路与这两若一条支路连接于某两个结点之间，则称该支路与这两个结点相个结点相关联关联。定义定义 设有向图的结点数为设有向图的结点数为n，支路数为，支路数为b，且对所有结点与支，且对所有结点与支路均加以编号后，该有向图的关联矩阵路均加以编号后，该有向图的关联矩阵Aa为一个为一个(nb)阶的阶的矩阵。矩阵。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系32 ajk= +1，表示支路，表示支路k与结点与结点 j 关联并且它的方向背离结点；关联并且它的方向背离结点；345261 ajk= 0， 表示

26、支路表示支路k与结点与结点 j 无关联。无关联。 ajk= - -1，表示支路，表示支路k与结点与结点 j 关联并且它的方向指向结点；关联并且它的方向指向结点； 举例举例 试写出下图所示电路的关联矩阵。试写出下图所示电路的关联矩阵。1111000200110131001104010011aA =123456 Aa的行对应结点，列对应支路，它的任一元素的行对应结点，列对应支路，它的任一元素ajk定义如定义如下：下：2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系33特点特点 （i）Aa的每一列只有的每一列只有+1和和-1两个非零元素；两个非零元素； （ii）如把如把Aa所有行的元素

27、按列相加，则可以得到一行所有行的元素按列相加，则可以得到一行全为零的元素，这说明这些行不是彼此独立的。或者说全为零的元素，这说明这些行不是彼此独立的。或者说Aa中中的任一行必能从其它的任一行必能从其它(n-1)行导出。行导出。（2）降阶关联矩阵降阶关联矩阵 如果把如果把Aa的任一行划去，剩下的的任一行划去，剩下的(n-1) b阶矩阵称为降阶矩阵称为降阶关联矩阵，一般用阶关联矩阵，一般用A加以表示。加以表示。 今后将主要使用降阶关联矩阵，并经常省去今后将主要使用降阶关联矩阵，并经常省去“降阶降阶”二二字。字。1111000200110131001104010011aA =1234562022年5

28、月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系34 将上面的第将上面的第4行划去，则可得到降阶关联矩阵为：行划去，则可得到降阶关联矩阵为： 被划去的行所对应的结点可以作为被划去的行所对应的结点可以作为参考结点参考结点。1111000200110131001104010011aA =123456111+1000200110+13 +100+1+10A=1234562022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系35 设电路中的设电路中的b个支路电流可以用一个个支路电流可以用一个b阶列向量表示阶列向量表示Ai =结点结点1上的上的i结点结点2上的上的i 结点结点(n-1)上的上的

29、i 根据根据KCL可知可知3. 基尔霍夫定律和关联矩阵基尔霍夫定律和关联矩阵A的关系的关系（1）用矩阵）用矩阵A表示的表示的KCL的矩阵形式的矩阵形式T12biiii 若用矩阵若用矩阵A左乘电流列向量，则乘积是一个左乘电流列向量，则乘积是一个(n-1)阶列向量，阶列向量，由矩阵相乘规则可知，它的每一个元素为相应结点上各支路电由矩阵相乘规则可知，它的每一个元素为相应结点上各支路电流的代数和，即流的代数和，即0Ai 2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系36例如：利用下图验证例如：利用下图验证 Ai =0 的正确性。的正确性。345261111000001101100110

30、A123346145iiiiiiiii 123456111000001101100110Aiiiiiii 000 0T126iiii2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系37（2）用矩阵）用矩阵A表示的表示的KVL的矩阵形式的矩阵形式 设电路中的设电路中的b个支路电压可以用一个个支路电压可以用一个b阶列向量表示阶列向量表示T12buuuu (n-1)个结点电压可以用一个个结点电压可以用一个(n-1)阶列向量表示阶列向量表示T12(1)nnnn nuuuu 由于矩阵由于矩阵A的每一列，也就是矩阵的每一列，也就是矩阵AT的每一行，表示每一的每一行，表示每一对应支路与结点的关

31、联情况，所以用矩阵对应支路与结点的关联情况，所以用矩阵A表示的表示的KVL的矩阵的矩阵形式为形式为TnuA u 上式表明电路中各支路的电压可以用与该支路相关联的两上式表明电路中各支路的电压可以用与该支路相关联的两个结点的结点电压表示，这正是结点电压法的基本思想。个结点的结点电压表示，这正是结点电压法的基本思想。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系38解：设是参考结点，电压为零，则解：设是参考结点，电压为零，则345261111000001101100110A131122332nnnnnnnnnuuuuuuuuu1T23101100110011001010Annnnuu

32、uu123456uuuuuuu例如：利用下图验证例如：利用下图验证 的正确性。的正确性。TnuA uT123nnnnuuuu2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系394. 复合支路定义复合支路定义- - +SkUekISkIYk(Zk)dkI+ - -ekUkIkU+- - 对于结点电压法，可采用下图所示的复合支路。对于结点电压法，可采用下图所示的复合支路。 本书对结点电压法中的复合支路有如下规定：本书对结点电压法中的复合支路有如下规定： （1）电路中不存在受控电压源，同时也不允许无伴电）电路中不存在受控电压源，同时也不允许无伴电压源支路的存在；压源支路的存在； （2）

33、其它与回路电流法中对复合支路的前三点规定相）其它与回路电流法中对复合支路的前三点规定相同。同。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系405. 支路电压、电流方程（支路电压、电流方程（VCR）的矩阵形式）的矩阵形式（1）当电路中无受控电流源，电感之间无耦合时的情况）当电路中无受控电流源，电感之间无耦合时的情况- - +SkUekISkIYk(Zk)+ - -ekUkIkU+- -对整个电路有对整个电路有此时，对于第此时，对于第k条支路有条支路有kekSkIII()SkkSkkY UUISkekkY UI()SSIY U UI2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工

34、程学院自动化系41即：即：111112222200SSSSbbSbbSbIUUIYYIUUIYIUUI式中式中Y 称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。（2）电路中无受控电流源，但电感之间有耦合时的情况）电路中无受控电流源，但电感之间有耦合时的情况 此时还应计及互感电压的影响，根据上节结论可知，方此时还应计及互感电压的影响，根据上节结论可知，方程在形式上与上式完全相同，唯一的差别在于此时程在形式上与上式完全相同，唯一的差别在于此时Y 不再是不再是一个对角阵。一个对角阵。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系42（3）电路中含有受控电流源，但

35、电感之间无耦合时的情况）电路中含有受控电流源，但电感之间无耦合时的情况- - +SkUekISkIYk(Zk)dkI+ - -ekUkIkU+- - 此时，对第此时，对第k条支路有条支路有()kdkSkkSkkIY UUII 设第设第k条支路中的受控电流源受第条支路中的受控电流源受第j条支路中无源元件上的条支路中无源元件上的电压电压 或电流或电流 控制，即控制，即 或或 。ejUejIdkejkjIg UdkejkjII2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系43- - +S jUejIS jIYj(Zj)+ - -ejUjIjU+- -()dkejjSjkjkjIg U

36、gUU 则在则在VCCS情况下，上式中的情况下，上式中的()dkejjSjkjkjjIIY UU而在而在CCCS的情况下，上式中的的情况下，上式中的 若第若第j条支路如下图所示条支路如下图所示2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系441111122220000000000SSSjjjSjkjkkkSkbbbSbIUUIYIUUIYYIUUYYIUUYIUU2SSjSkSbIII于是整个电路支路方程的矩阵形式为于是整个电路支路方程的矩阵形式为2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系45 支路方程在形式上仍与情况（支路方程在形式上仍与情况（1）时相同，

37、只是矩阵）时相同，只是矩阵Y 的内的内容不同而已，此时容不同而已，此时Y 也不再是对角阵。也不再是对角阵。上式中上式中gkjkjkjjYY（当（当 为为VCCS时）时）（当（当 为为CCCS时）时）dkIdkI整个电路支路方程的矩阵形式可简写为整个电路支路方程的矩阵形式可简写为()SSIY U UI2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系460123456（b）4di1Si1R1u2di2R2Su5L6L4C4Su4Si3C6i0（a）举例：电路如下图所示，图中元件的下标代表支路编号，设举例：电路如下图所示，图中元件的下标代表支路编号，设 ， ，写出各支路，写出各支路VC

38、R方程的矩阵形式。方程的矩阵形式。221 1dig u446 6dii2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系471212346465610000010000000000000100000100000RgRj CYj Cj Lj Lj L支路导纳矩阵为（参考教材支路导纳矩阵为（参考教材P407图图15-13）解：解：2121dIg U4646dII，2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系48T140000SSSIIIT240000SSSUUU代入支路方程代入支路方程 ，可得，可得()SSIY U UI121111222233346444465566

39、5610000010000000000000000001000000100000SSSRgIUIRIUUj CIUj CIUUjLIUIUjLjL400SI2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系496. 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式整理后得结点电压方程的矩阵形式整理后得结点电压方程的矩阵形式由由KCL0AI KVLTnUA U支路方程支路方程()SSIY U UITSnSAYA UAIAYU若设若设 ，则结点电压方程的矩阵形式可写为，则结点电压方程的矩阵形式可写为 TnY = AYASnSnY UAIAYU其中，其中，Yn是一个是一个(n-1)阶的方阵，

40、称为阶的方阵，称为结点导纳矩阵结点导纳矩阵，它的主，它的主对角元素为自导纳，非主对角元素则为互导纳。对角元素为自导纳，非主对角元素则为互导纳。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系50 试用矩阵形式列出电路的结点电压方程。电路如下图试用矩阵形式列出电路的结点电压方程。电路如下图(a)所示，图中元件的数字下标代表支路编号。所示，图中元件的数字下标代表支路编号。7. 举例举例R4R3R5L1L2iS3iS4C61234（a）解：作出电路的有向图，如上图（解：作出电路的有向图，如上图（b）所示。）所示。1234164325（b）2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工

41、程学院自动化系51选结点选结点为参考结点，则关联矩阵为为参考结点，则关联矩阵为110110021100013010110A=12345612341643252022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系52R4R3R5L1L2iS3iS4C61234电压源列向量电压源列向量SU 0电流源列向量电流源列向量T340000SSSIII支路导纳矩阵为支路导纳矩阵为61234511111Ydiagj Cj Lj LRRR12341643252022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系53134114342611224342452111111111011111nSSnS

42、nRRj Lj LRUIIj CUj Lj Lj Lj LUIRj LRRj L代入结点电压方程的矩阵形式代入结点电压方程的矩阵形式TSnSAYA UAIAYUR4R3R5L1L2iS3iS4C612342022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系548. 结点电压法的步骤（以相量形式为例）结点电压法的步骤（以相量形式为例）（1）从已知网络写出）从已知网络写出 、 、 和和 ； AYsUsI（2）根据）根据 求出求出 ；TnYAYAnY（3）求出）求出 和和 ；SAISAYU（4）列出结点电压方程的矩阵形式）列出结点电压方程的矩阵形式SnSnY UAIAYU（5）根据上式求出

43、）根据上式求出 ；nU（6）由）由KVL方程方程 求出各支路电压求出各支路电压 ；UTnUA U（7）根据支路方程）根据支路方程 求出各支路电流求出各支路电流 。()SSIY UUII2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系5515-3 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式1. 割集电压法割集电压法 以割集电压（树支电压）作为电路的待求变量，对电路以割集电压（树支电压）作为电路的待求变量，对电路进行分析的方法称为割集电压法。进行分析的方法称为割集电压法。2. 割集割集 （1）定义）定义 连通图连通图G的一个割集是的一个割集是G的一些支路的集合，把这些支的一些支路的

44、集合，把这些支路移去将使路移去将使G分离为两个部分，但是如果少移去其中任意一分离为两个部分，但是如果少移去其中任意一条支路，图仍将是连通的。条支路，图仍将是连通的。 （2）举例）举例2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系56abcdefbdeacf( b,d,e,f )是割集是割集accdfabcdef(a,b,e)是割集是割集2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系57 (a,b,c,d,e)不是割集，因为移去割集支路后，不是割集，因为移去割集支路后，G 被分离成三被分离成三部分。部分。fabcdef (a,d,e, f ) 不是割集，因为即使在

45、割集支路中少移去一条支不是割集，因为即使在割集支路中少移去一条支路路 e ，图仍不能连通。，图仍不能连通。bcabcdefbdeacf2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系58（3）割集的确定）割集的确定abcdef(a,b,e) 为割集为割集cdfQ1abcdef 可以通过在连通图可以通过在连通图G上作闭合面的方法确定一个割集。上作闭合面的方法确定一个割集。 如果在如果在G上作一个闭合面，使其包围上作一个闭合面，使其包围 G 的的某些某些结点。若把结点。若把与此闭合面相切割的所有支路全部移去，与此闭合面相切割的所有支路全部移去，G 将被分离为两个部将被分离为两个部分，

46、则这样一组支路便构成一个割集。分，则这样一组支路便构成一个割集。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系59abcdefef(a,b,c,d )为割集为割集(a,e,c,f )为割集为割集abcdefQ3abcdefQ2bd2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系60（4）独立割集组和基本割集组）独立割集组和基本割集组独立割集组独立割集组 对应于一组线性独立对应于一组线性独立KCL方程的割集称为独立割集组。方程的割集称为独立割集组。abcdef1Qabcdef2Qabcdef3Qabcdef4Qabcdef1:0fdaQIII2:0abeQIII3:

47、0bcfQIII4:0ecdQIII 由于右侧四式由于右侧四式不独立，所以不独立，所以Q1、Q2、Q3、Q4不是独不是独立割集组。立割集组。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系61基本割集基本割集 由树的一个树支与相应的一些连支构成的割集称为单树支由树的一个树支与相应的一些连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。割集或基本割集。基本割集组基本割集组 对于一个具有对于一个具有n个结点的连通图，其树支数为个结点的连通图，其树支数为(n-1)，因此，因此将有将有(n-1)个单树支割集组，这里称之为基本割集组。个单树支割集组，这里称之为基本割集组。结论：结论：对于一个具有对于

48、一个具有n个结点的连通图而言，其独立割集组中个结点的连通图而言，其独立割集组中割集的数目为割集的数目为(n-1) 。 基本割集组是一组独立割集，但一组独立割集不一定非是基本割集组是一组独立割集，但一组独立割集不一定非是基本割集组，如同一组独立回路不一定非是单连支回路组一样。基本割集组，如同一组独立回路不一定非是单连支回路组一样。基本割集组的选择基本割集组的选择 首先选择图首先选择图G 的一个树，然后在图的一个树，然后在图G 中做闭合面并使闭合中做闭合面并使闭合面每次面每次只和一个树支只和一个树支相切割，则该树支和同闭合面相切割的连相切割，则该树支和同闭合面相切割的连支共同构成一个单树支割集，同

49、理可得到其它单树支割集。支共同构成一个单树支割集，同理可得到其它单树支割集。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系62abcdef 选择选择a,e,c为树，树支用实线表示，连为树，树支用实线表示，连支用虚线表示。然后在图支用虚线表示。然后在图G中做闭合面，中做闭合面，每个闭合面只和一个树支相切割，从而可每个闭合面只和一个树支相切割，从而可得到得到(n-1)个单树支割集。个单树支割集。abcdefQ1Q1(a,d, f )abcdefQ2Q2(b,e,d, f )abcdefQ3Q3(b,c, f )举例举例 以上三个图中的点划线表示树支和连支与相应闭合面相切以上三个图中

50、的点划线表示树支和连支与相应闭合面相切割的情况。割的情况。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系633. 割集矩阵割集矩阵（1）独立割集矩阵（割集矩阵）独立割集矩阵（割集矩阵） 设一个割集由某些支路构成，则称这些支路与该割集设一个割集由某些支路构成，则称这些支路与该割集关联关联。支路与割集的关联性质可用割集矩阵支路与割集的关联性质可用割集矩阵Q加以描述。加以描述。 对每个割集编号，并指定一个割集方向（移去割集所有支对每个割集编号，并指定一个割集方向（移去割集所有支路，路，G 被分割成两部分，从其中一部分指向另一部分的方向称被分割成两部分，从其中一部分指向另一部分的方向称

51、为割集方向，每一个割集只有两个可能的方向）后，（独立）为割集方向，每一个割集只有两个可能的方向）后，（独立）割集矩阵割集矩阵Q为一个为一个(n-1) b阶的矩阵。阶的矩阵。 Q的行对应割集，列对应支路。割集矩阵的行对应割集，列对应支路。割集矩阵Q 的任一元素的任一元素qjk定义如下：定义如下：qjk = +1，表示支路，表示支路k与割集与割集 j 关联，并且它们的方向关联，并且它们的方向一致一致；qjk = 1，表示支路，表示支路k与割集与割集 j 关联，并且它们的方向关联，并且它们的方向相反相反；qjk = 0， 表示支路表示支路k与割集与割集 j 无关联无关联。2022年5月9日17时14

52、分北京科技大学信息工程学院自动化系64345261 选支路选支路3、5、6为树支，其独立割集数为为树支，其独立割集数为3。若选如图所示的。若选如图所示的3个割集，则割集矩阵为个割集，则割集矩阵为 451Q24261Q3例如：求下图所示电路的割集矩阵。例如：求下图所示电路的割集矩阵。321Q1111000110011021101013123456Q=2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系65（2）基本割集矩阵）基本割集矩阵 如果选一组单树支割集作为独立割集组，则称这种割集矩如果选一组单树支割集作为独立割集组，则称这种割集矩阵为基本割集矩阵，用阵为基本割集矩阵，用 Qf 表

53、示。表示。 写写 Qf 时，注意安排其行、列次序如下：时，注意安排其行、列次序如下： 把把(n-1)条树支依次排列在对应于条树支依次排列在对应于Qf 的第的第1到第到第(n-1) 列，列，然后再排列连支；然后再排列连支； 取每一单树支割集的取每一单树支割集的序号序号为相应树支所在列的为相应树支所在列的序号序号，且，且选割集方向与相应树支方向一致。选割集方向与相应树支方向一致。 Qf 将具有如下形式将具有如下形式1 |ftlQQ式中，下标式中，下标 t 和和 l 分别表示对应于树支和连支的部分；分别表示对应于树支和连支的部分；1t是一个是一个(n-1)阶的单位子矩阵。阶的单位子矩阵。2022年5

54、月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系66345261 选支路选支路3、5、6为树支，得到如图所示为树支，得到如图所示的的3个割集，写出基本割集矩阵个割集，写出基本割集矩阵Qf 为：为：321Q1451Q24261Q3例如：求下图所示电路的基本割集矩阵例如：求下图所示电路的基本割集矩阵。100110101010120011113356124fQ =2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系674. 基尔霍夫定律和割集矩阵基尔霍夫定律和割集矩阵Q的关系的关系（1） 用割集矩阵用割集矩阵Q（ Q f）表示的）表示的KCL的矩阵形式的矩阵形式 设设b个支路电流用个支路

55、电流用i =i1 i2 ibT表示，根据割集矩阵的定表示，根据割集矩阵的定义和矩阵的乘法规则不难得出义和矩阵的乘法规则不难得出0Qi Qi =割集割集1对应闭合面上的对应闭合面上的i割集割集2对应闭合面上的对应闭合面上的i 割集割集(n-1)对应闭合面上的对应闭合面上的i 根据闭合曲面根据闭合曲面KCL可知可知2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系68345261123456111000100110110101iiiQiiii 1231451246iiiiiiiiii 例如：利用下图验证例如：利用下图验证 Qi =0 的正确性（割集选取如的正确性（割集选取如P64所示）

56、。所示）。111000110011021101013123456Q=T126iiii2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系69123456111000100110110101iiiQiiii 1231451246iiiiiiiiii 000 0321Q1451Q24261Q32022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系70 有时也可以写为有时也可以写为0Qi 0ffQ i 这里的这里的 ，其中，其中it 表示树支电流，表示树支电流，il 表示连支电流。表示连支电流。T | ftliii345261100110101010120011113356124f

57、Q =T356124ifiiiiii3125146124iiiiiiiiii356124100110010101001111ffQ iiiiiii 2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系713125146124iiiiiiiiii000 0356124100110010101001111ffQ iiiiiii 321Q1451Q24261Q32022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系72（2）用矩阵）用矩阵Qf 表示的表示的KVL的矩阵形式的矩阵形式 设设(n-1)个树支电压用个树支电压用ut=ut1 ut2 ut(n-1)T表示，表示，b 个支路个

58、支路电压用电压用uf =ut |ulT表示，其中表示，其中t 表示树支部分的电压，表示树支部分的电压，l 表示连表示连支部分的电压。支部分的电压。 通常选单树支割集组作为独立割集组，并通常选单树支割集组作为独立割集组，并将树支电压作为将树支电压作为对应的割集电压对应的割集电压，则，则ut 可看作基本割集组的割集电压列向量。可看作基本割集组的割集电压列向量。 由于由于Qf 的每一列，也就是的每一列，也就是QfT的每一行，表示一条支路与的每一行，表示一条支路与割集的关联情况，按矩阵相乘的规则可得支路电压割集的关联情况，按矩阵相乘的规则可得支路电压TfftuQ u 上式表明电路的支路电压可以用树支电

59、压（割集电压）表上式表明电路的支路电压可以用树支电压（割集电压）表示，这就是后面将介绍的割集电压法的基本思想。示，这就是后面将介绍的割集电压法的基本思想。2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系73 支路电压为：支路电压为：uf =u3 u5 u6 u1 u2 u4T设割集（树支）电压为设割集（树支）电压为 ：ut=ut1 ut2 ut3T选支路选支路3、5、6为树支，则为树支，则3452611T23100010001111101011tftttuQ uuu1231231323ttttttttttuuuuuuuuuu356124uuuuuufu例如：利用下图验证例如：利用

60、下图验证 的正确性。的正确性。TfftuQ u100110101010120011113356124fQ =2022年5月9日17时14分北京科技大学信息工程学院自动化系745. 复合支路和支路电压、电流方程的矩阵形式复合支路和支路电压、电流方程的矩阵形式 复合支路的定义同结点电压法复合支路，如下图所示。复合支路的定义同结点电压法复合支路，如下图所示。所以，对整个电路而言，其支路方程的矩阵形式为所以，对整个电路而言，其支路方程的矩阵形式为()fS ffS ffIY UUI- - +SkUekISkIYk(Zk)dkI+ - -ekUkIkU+- -2022年5月9日17时14分北京科技大学信息