“杨辉三角中的一些秘密”教学设计

1、 摘要:杨辉三角蕴含了丰富的数字规律和数学思想.本节课通过从不同角度研究杨辉三角,得到杨辉三角的性质,总结出一般数阵的研究方法.提高了学生运用联系及类比的观点看待问题,解决问题的能力.使学生养成发现问题,探究、构建新知的学习习惯.最后,对本节探究课进行反思.关键词:杨辉三角;组合数;教学设计;教学思考教学内容解析本课题来自人教A 版选修23第一章后的“探究与发现”.杨辉三角蕴涵了丰富的数字规律和数学思想方法,所以它是一个很有价值的探究性课题.杨辉三角是一个特殊的数阵.探究杨辉三角中的数字规律,有利于巩固学习二项式系数的性质,并对进一步认识组合数,进行组合数的计算和变形有重要的作用.对杨辉三角的

2、研究,可以让学生通过总结,得到研究一般数阵的方法.同时,通过欣赏分形及斐波那契数列等有趣的数学内容,学生可以由此发现数学之美,产生对数学的学习兴趣.另外,通过组织不同形式的探究,可以让学生学会观察与归纳等探究方法,体验数学发现和创造的历程,培养创新精神,也有利于学生理解数学知识,培养数学应用意识.教学目标设置(1了解数阵概念,会用组合数表示杨辉三角中的数;(2了解杨辉三角中所蕴含的规律,提高观察和分析问题,运用联系及类比的观点看待问题,从而解决问题的能力;(3归纳出杨辉三角及一般数阵的研究方法,养成发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯.学生学情分析知识结构:学生已经学习过组合数的定义和性质以

3、及二项式系数的性质,并对杨辉三角有一定的了解.能力结构:学生已经具备了一定的综合分析问题的能力,利用适时地问题引导就能建立起知识之间的相互联系,解决相关问题.但是,他们对于规律的归纳还有一定的困难,需要适当地引导.教学策略分析因为发现杨辉三角中的部分数字规律有一定的难度,本节课采用的是以学生自主探究为主,教师引导探究为辅的探究课类型.为了让学生感受数学的趣味性,本节课具体采用的是自主探究与合作交流相结合的探究方式.探究时采用个人独立思考后小组合作互动的方式,重点在于发现数阵中的规律,使学生通过思维碰撞,擦出智慧的火花,达到共同完成建构知识的目的.同时也使不同层次的学生都学有所获,让学生体会发现

4、和创造的成就感,发展学生的创造性思维.多媒体辅助教学的应用,可节省时间,增大信息量,增强直观形象性.提倡学习方式的多样化,本节课从“情境引入发现数字规律利用组合数表述结论证明结论”,始终坚持让学生主动参与,亲身实践.在学生合作、师生互动中,学生真正成为知识的发现者和研究者.在这样的课堂中,不仅学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,而且对所用到的数学方法和涉及到的数学思想得以领会.教学重点:通过从不同的角度研究杨辉三角,得到杨辉三角的性质,并最终总结出一般数阵的研究收稿日期:20150211作者简介:陈碧文(1985,男,中学二级教师,主要从事数学探究课堂教学及数学文化渗透研究援 特别报道TE

5、BIEBAODAO48方法.教学难点:将杨辉三角的规律用组合数来进行总结.教学过程1.引经据典,步入新课今天这节课,我们从一幅图画开始,大家认识这两个图案吗(如图1,图2?这是我们华夏传说中的河图和洛书.“河出图,洛出书,圣人则之”,伏羲根据河图演绎了八卦,大禹依据洛书划分了九州.可以说河图和洛书是我们华夏文化的起源.可大家知道吗,河图和洛书其实也是世界上最古老的数阵 .图1图2什么是数阵呢?将数字按照一定顺序组合成图形就是数阵.今天这节课,我们就一起来研究一下数阵.当然,对于一个新的内容,我们需要一个研究的载体.所以,我们从一个特殊的三角数阵开始.大家认识这个数阵(如图3吗?在古代,我们称它

6、为“开方作法本源图”.而在现代,它还有另外一个名字杨辉三角 .图3(1(2杨辉三角在整个数学史中扮演着重要的角色:北宋的贾宪用它手算高次方根;元朝的朱世杰用它研究高阶等差级数(垛积术;牛顿用它算微积分;华罗庚思路更广,差分方程,无穷级数都谈到了.那么,我们又能从杨辉三角中探寻到哪些奥秘呢?让我们一起来看一下.【设计意图】新课标提倡体现数学的文化价值.在教学中将历史知识引入课堂,既可以让学生了解一些数学史,激发学生的兴趣,同时又可以培养学生的民族自豪感.通过数阵的概念引入本节课,能引发学生的思考,为后续探究其他数阵做好铺垫.学生不是只为研究杨辉三角而研究杨辉三角,而是要能通过对杨辉三角的研究,总

7、结出一般数阵的研究方式.2援复习回顾,总结已知杨辉三角在我们学习二项式系数的性质时已经有所接触.那么,我们已经学习过杨辉三角的哪些性质呢?(1贾宪在他的“开方作法本源图”中写道:“左衺乃积数,右衺乃隅算,中藏者皆廉”,用今天的话来讲,就是说杨辉三角中的每一个数都是二项式系数,而二项式系数都可以写成组合数.从而我们就可以把杨辉三角写成以下的形式,其中第n行第r个数可以写成a n,r=C r-1n-1(如图4.图41C01C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C06C16C26C36C46C56C66C0n-1C1n-1C

8、2n-1C r-1n-1C r n-1C n-2n-1C n-1n-1C0n C1n C2nC r nC n-1n C n n(2杨辉三角每一行之和为2的n-1次幂,组合数表示为C0n+C1n+C2n+C r n+C n-1n+C n n=2n.(3杨辉三角中每一个数都是两肩上数之和,用组合数表示就是C r-1n-1+C r n-1=C r n.这个结论最早是由南宋时期的杨辉所发现的,所以称之为杨辉恒等式.(4杨辉三角是左右对称的,即C r n=C n-r n.【设计意图】通过教师提问,学生回答的方式,让学生回顾前面所学杨辉三角的内容,既起到承上的作用,又为接下来的研究做好铺垫.其中,杨辉恒等

9、式特别报道TEBIEBAODAO49 能够让学生更容易发现和证明规律,而用组合数表示杨辉三角,能够让学生更容易总结出规律,是本节课研究的关键.3.小组合作,共探新知在研究之前,我们首先需要一起探讨一下,该如何去研究杨辉三角呢?苏轼有一句诗使笔者很受启发.“横看成岭侧成峰,远近高低各不同”,这句诗告诉我们需要从不同的角度看待一项事物.我们研究杨辉三角时,是不是也可以从不同角度出发呢?下面,就让我们四人一组,从不同角度出发,用数字格式的杨辉三角观察规律,用组合数格式的杨辉三角总结规律,并加以证明(如图5.图5(21C 01C 11C 02C 12C 22C 03C 13C 23C 33C 04C

10、14C 24C 34C 44C 05C 15C 25C 35C 45C 55C 06C 16C 26C 36C 46C 56C 66C 0n -1C 1n -1C 2n -1C r -1n -1C r n -1C n -2n -1C n -1n -1C 0n C 1n C 2n C r n C n -1n C n n(111112113311464115101051161520156117213535217118285670562881【设计意图】导学案中已经为学生准备了两个杨辉三角,一个用数字表示,一个用组合数表示.笔者要求学生从数字表示的杨辉三角中寻找规律,从组合数表示的杨辉三角中总结规律

11、,并加以证明.这体现了“观察归纳猜想证明”的数学研究理念,并且通过小组合作的方式,既能降低探究的难度,也能培养学生的合作意识,提高学生的学习兴趣.4.小组展示,分享所得杨辉三角的性质.角度1:(1杨辉三角中每一行数的平方和都是杨辉三角中的数.(C 0n 2+(C 1n 2+(C n n 2=C n 2n .思路:既然杨辉三角每一行的和存在规律,那么每一行的平方和是不是也有规律呢?证明:二项展开式,因为(1+x n ×(x +1n =(1+x 2n ,所以(C 0n +C 1n x +C r n x r +C n n x n (C 0n x n+C 1n xn-1+C r n x n

12、-r +C n n =C 02n +C 12n x +C r 2n x r +C 2n 2n x 2n.取其中的x n 项,等式左边=(C 0n 2+(C 1n 2+(C n n 2·x n ,等式右边=C n 2n x n .由于等式两边相等,所以x n 项的系数也相等,即(C 0n 2+(C 1n 2+(C n n 2=C n 2n .(2杨辉三角每一行数字错一位叠加就得到11的若干次幂.证明:由二项展开式(1+x n =C 0n +C 1n x +C 2n x 2+C r n x r +C n -1n x n -1+C n n x n ,赋值x =10,得(1+10n =11n

13、 =C 0n +C 1n ×10+C 2n ×102+C r n ×10r +C n -1n ×10n -1+C n n ×10n.因此115=1×100000+5×10000+10×1000+10×100+5×10+1.在杨辉三角中,把第n 行中的数字错位排列相加,其和就是11n -1(如图6.1510105+1161051115=161051161520156+11771561116=1771561图6(1(2(3第1,2,4,8,16,行,这些行即2k (k 是自然数行的各个数字均为奇数,

14、第2k +1行除两端的1之外都是偶数.(4第p +1(p 为素数行除去两端的数字1以外的所有数都能被p 整除,其逆命题也成立,即对任意r 1,2,n -1,都有n C rn n 是素数.角度2:每一斜行前n 个数加起来都是下面一行的第n 个数,C r r +C r r +1+C r r +2+C r n -1=C r +1n (n >r (用杨辉恒等式证明.特别报道TEBIEBAODAO50 思路1:这是从求和的角度来研究的,既然横的一行相加存在规律,那么斜的一行相加是不是也可以得到一些结论呢?证明:C r r +C r r +1+C r r +2+C r n -1=C r +1r +1

15、+C r r +1+C r r +2+C r n -1=C r +1r +2+C r r +2+C rn -1=C r +1r +2+C r n -1=C r +1n .思路2:将杨辉三角的斜行加起来呢?思路3:将杨辉三角摆成直角三角形,45°角斜行相加呢?得到数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,(斐波那契数列.(1它是由一对兔子的繁衍问题而产生的.(2它的每一项都是前两项之和.(3这样一个完全是自然数的数列,通项公式却用含无理数的式子a n =555+12(n-52(n来表达.(4当n 趋向于无穷大时,后一项与前一项的比值越来越接近黄金分割0.618.

16、(5斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前.例如,松果、凤梨、树叶的排列、某些花朵的花瓣数(如向日葵花瓣、蜂巢、蜻蜓翅膀等.杨辉三角中斜的第一行是一个常数数列,第二行是等差数列,第三行开始每一行都是高阶等差数列.角度3:(1将杨辉三角中的奇数用线段连接起来,就构成了一个歇尔宾斯基三角.(22n 阶杨辉三角中,共有3n 个奇数,共有2n -1·(1+2n -3n 个偶数(n N +.角度4:(1梯形中5个数相加就是下面隔行的数:C r n +C r +1n +C r n +1+C r +1n +1+C r +2n +1=C r +2n +3.思路:根据杨辉恒等式,杨辉三角每一

17、个数都是上面两个数之和,那么是不是可以进一步将这两个数向上推导?证明:根据杨辉恒等式,C r +2n +3=C r +1n +2+C r +2n +2=(C r n +1+C r +1n +1+(C r +1n +1+C r +2n +1=C r n +C r +1n +C r n +1+C r +1n +1+C r +2n +1.(2除了1之外,所有正整数都出现有限次.只有2出现刚好一次.6,20,70等出现三次.出现两次和四次的数很多.还未能找到刚好出现五次的数.120,210,1540等刚好出现六次.【设计意图】每个小组发言,结合杨辉三角性质的特点,进行组合数的总结.在总结过程中,从特殊

18、情形出发,推导出杨辉三角性质的一般表示,体现从特殊到一般的思想.通过学生归纳猜想,引导学生验证猜想结论是否正确.同时为了突破利用科学探究的思想指导学生研究未知数阵这一难点,引导学生从模型化的角度出发,多角度地分析问题、探究问题、解决问题,将学生思维推向高潮.这既加深学生对前后知识内在联系的理解,又从深度和广度上让学生感受到了数学知识的串联和呼应.5.教师补充,再得新知(1将杨辉三角中的奇数用线段连接起来,就可以得到一个有趣的三角形,即歇尔宾斯基三角.(2对歇尔宾斯基三角进行拓展:谢尔宾斯基塔(三棱锥谢尔宾斯基地毯(正方形谢尔宾斯基海绵(正方体分形数学.(3介绍分形之美.(4通过斜行相加,得到斐

19、波那契数列,展示斐波那契数列的优美视频.【设计意图】对杨辉三角中部分学生没有发现的性质,教师做简单补充,既让学生了解到杨辉三角中更多的秘密,又让学生学会从不同的角度看待问题.同时,图片及视频形式的资料直观地展现数学之美,增加学生对数学的热爱之情.6.探究小结,盘点新知本节课的收获如下.(1杨辉三角的秘密,同时也是二项式系数的性质.(2通过对杨辉三角的研究,学生得到对于一般数阵的研究方法.【设计意图】本环节通过教师的引导,让学生总结本节课的收获,并由教师进行必要补充.将收获分为两层境界.首先,是知识上的收获,即杨辉三角的秘密;其次,是方法上的收获,通过对杨辉三角的研究,得到了对一般数阵的研究思路

20、,从观察横行、斜行、特别报道TEBIEBAODAO51竖行、折线,局部,整体等角度进行研究.作业:(1查找资料,并阅读华罗庚的从杨辉三角说起,看看杨辉三角中还有哪些我们没发现的秘密.(2用我们今天所学的探究方法,研究莱布尼茨三角,你能从这个数阵中发现哪些秘密呢?思考与感悟本节课是知识拓展类选修课程“数学欣赏”中的一课,是对教材中阅读与思考、探究与发现这两个栏目中的阅读材料的二次挖掘.探究与发现是为了改变以学生单纯地接受教师传授知识为主的学习方式,实行以学生的自主探究、合作交流为主的研究活动,意在培养学生的创新精神、实践能力.作为一节探究课,教师教什么?怎么教?它能让学生在知识、思维、能力上有什

21、么收获?这些问题值得我们思考.接下来,笔者就从以下几个方面来谈一谈对本节课的思考与感悟.1.深入课题,明确定位本节课的课题是“杨辉三角中的一些秘密”.事实上,有许多知名的数学家都研究过杨辉三角,华罗庚先生更是出版过一本从杨辉三角谈起,他们发现了许多杨辉三角的秘密,而教材呈现给我们的却只是杨辉三角秘密当中的冰山一角.因此,在教学内容的选取上,笔者将本节课立足于对数阵的探究,以杨辉三角为载体,结合最近发展区理论,从二项式系数出发,从组合数的角度去探究杨辉三角,同时利用数阵与数列概念的相似性,从通项、递推、求和等角度辅助杨辉三角的探究,最终去发现杨辉三角的秘密,并归纳出一般数阵的研究方法,使本节课的探究得到升华.2.契合主题,合作探究自新课改以来,自主、合作、交流这三个词就是课标倡导的一种比较重要的学习方式,这节课既然选自“探究与发现”,在课堂模式上选择的自然是探究式教学.那么,什么是探究,学生该如何探究,又该如何避免表面上热热闹闹的假探究呢?课标中有明确解释,数学探究是指学生围绕某个数学问题,自主探究及学习的过程.探究包含了探究的内容、探究的形式、探究的分工.这节课当中,笔者采用的是教师引导下的学生自主探究与合