3.4基本不等式(经典)学习教案

1、会计学13.4基本不等式基本不等式(经典经典)一、问题引入一、问题引入第1页/共28页22+abab新课探究新课探究22ab2ab222SabSab四个三角形大正方形第2页/共28页=a b特别地，当时又有怎样的结论？ab22+=2abab新课探究新课探究第3页/共28页一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数 ，我们有，我们有 , a b222abab当且仅当当且仅当 时等号成立时等号成立ab思考：思考：如何证明？如何证明？第4页/共28页222222()02ababababab证明：证明：当且仅当当且仅当 时，时， 此时此时ab2()0ab222abab第5页/共28页abababab0,

2、0,2abababab若则当且仅当时取等号第6页/共28页2abab22abab0,02abababab当时，当且仅当时等号成立变形式：平方平方第7页/共28页 0,02ababab（）能否用不等式的性质进行证明？能否用不等式的性质进行证明？小组合作：小组合作：第8页/共28页2 2_ _0 0 abababab要证：只要证：只要证：只要证：（_-_)显然上式成立.2 ab2 abab第9页/共28页在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，设 AC = a , BC = b 。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。RtRtACDDCB三角形三角形与相似基本不等式的几何意义是：“半径

3、不小于半弦。半径不小于半弦。” 2ababE()ab当且仅当时，取号aCDCDb2CDabCDabP98探究探究第10页/共28页2.代数意义：代数意义：几何平均数小于等于算术平均数几何平均数小于等于算术平均数3.几何意义：几何意义：半弦长小于等于半径半弦长小于等于半径(0,0)2ababab（当且仅当当且仅当a=b时时，等号成立等号成立）二二、新课讲解新课讲解算术平均数算术平均数几何平均几何平均数数从数列角度看从数列角度看:两个正数的等比中项小于等于它们的两个正数的等比中项小于等于它们的等差中项等差中项1.1.思考思考: :如果当如果当 用用 去替换去替换 中的中的 , ,能得到什么结论能得

4、到什么结论? ? 0, 0ba,ab222aba bba,基本不等式第11页/共28页基本不等式：基本不等式：当且仅当当且仅当a =b时，等号成立时，等号成立.当且仅当当且仅当a=b时，等号成立时，等号成立.222(abab aR、b）重要不等式：重要不等式：(0,0)2ababab注意：注意：（1）不同点：两个不等式的）不同点：两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2）相同点：当且仅当）相同点：当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。第12页/共28页22R2()abababab如果，那么当且仅当时，取号1.重要不等式重要不等式002()abababab如果，那么当且仅当时，取号2.基

5、本不等式（均值定理）基本不等式（均值定理）基本不等式成立的要素：基本不等式成立的要素：2abab（）（1）：看是否均为正数）：看是否均为正数（2）：看不等号的方向）：看不等号的方向（3）：看等号是否能取到）：看等号是否能取到简言之：一正二定三相等简言之：一正二定三相等第13页/共28页当且仅当当且仅当ab时等号成立时等号成立当且仅当当且仅当ab时等号成立时等号成立(a0,b0)2abab2(0,0)ababab222abab0,02ababab2（）结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值结论结论2 2：两个正数和为定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有

6、最大值第14页/共28页已知已知x1,求求 x 的最小值以及取得最小值时的最小值以及取得最小值时x的值。的值。 11x解：x1 x10 x （x1） 1 2 1311x) 1(1x) 1(1) 1(xx当且仅当当且仅当x1 时取时取“”号号.于是于是x2或者或者x0（舍去）（舍去）11x答：最小值是答：最小值是3，取得最小值时，取得最小值时x的值为的值为2例例1:构造积为定值构造积为定值通过加减项的方法配凑成通过加减项的方法配凑成基本不等式的形式基本不等式的形式.例题讲解例题讲解第15页/共28页;1, 0)1(1的的最最值值求求已已知知：例例xxx . 21xx1x2121:时时原原式式有有

7、最最小小值值即即当当且且仅仅当当解解 xxxx;1, 0)2(的的最最值值求求已已知知xxx 有有最最值值，并并求求其其最最值值。为为何何值值时时，函函数数当当函函数数若若xxxyx,31, 3)3( 结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值第16页/共28页5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3 xxxx、解解。最最大大值值为为时时，函函数数有有最最大大值值，即即当当且且仅仅当当54,313 xxx. 21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2 时时有有最最大大值值即即当当且且仅仅当当、解解xxxx第17页/共28页,41,41121,0,

8、0 xyxyyxxyyxyx解124929291xyyx例例3 已知已知x0,y0,且且x+y=1 求求 的最小值的最小值 yx91例题讲解例题讲解(1)基本不等式取等号基本不等式取等号的条件的条件(2) “1”的代换在不等式的代换在不等式中的应用中的应用12时，有最小值当且仅当yx 正确？正确？错错第18页/共28页例例2 2（1 1）用篱笆围一个面积为）用篱笆围一个面积为100 100 的矩形菜园，问的矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的这个矩形的长宽各为多少时，所用篱笆最短？最短的篱笆是多少？篱笆是多少？ 2m,xmym解：设矩形菜园的长为宽为2 10022()40

9、 xyxyxyxy由可得：100,2()xyxy m则篱笆的长为xy等号当且仅当时成立，10 xy此时因此这个矩形的长、宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.第19页/共28页（2）用一段长为）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长宽各为多少时，菜园面的长宽各为多少时，菜园面 积最大？最大面积是多少？积最大？最大面积是多少？,xmym解：设矩形菜园的长为宽为2()3618,xyxy 则1822xyxy=92xym矩形菜园的面积为S=xy当且仅当时等号成立，2.这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m81xy解法一：解

10、法一： 第20页/共28页(2)设矩形菜园的宽为xm，则长为(36-2x)m，其中 0 x18 ,解法二：解法二： 其面积为:)236(221)236(xxxxS.162836)22362(2122xx当且仅当2x=36-2x，即x=9时菜园面积最大，即菜园长18m，宽为9 m时菜园面积最大为162 m2.第21页/共28页解：解： 【例例3】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 设水池底面一边的长度为xm， 则水池的宽为 ,水池的总造价为y元，根据题

11、意，得x160048001600150120(2 32 3)3yxx 1600240000720()xxxx16002720240000.297600402720240000第22页/共28页1600,40,2976000.xxyx即时有最小值 因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元第23页/共28页赵老师花赵老师花10万元购买了一辆家用汽车万元购买了一辆家用汽车,如果如果每年使用的保险费每年使用的保险费,养路费养路费,汽油费约为万元汽油费约为万元,年维修费第一年是万元年维修费第一年是万元,以后逐年递增万以后逐年递增万.则则这种汽车使用多少年时这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最它的年平均费用最少少? 综合应用综合应用分析：“年平均费用年平均费用”的含义？的含义？第24页/共28页解：设使用解：设使用x年后，年平均费用为年后，年平均费用为y万元，则万元，则xxxxxy102 .02)1(2 .09 .0 xxx101.021101 . 0 xx110 x100.1x20.1有最小值时，当且仅当yxx即当即当x=10时，时，y有最小值有最小值3万元万元答：使用答：使用10年后，年平均费用最少。年后，年平均费用最少。第25页/共28页( , )3203271xyx yx