函数及极限 前3章

1、考核要求及成绩评定考核要求及成绩评定序号序号成绩类别成绩类别考核方式考核方式考核要求考核要求权重（权重（%）备注备注1期末成绩期末考试闭卷60%百分制，60分及格2平时成绩小论文1次10%优、良、中、及格、不及格3平时表现A课堂考核10%2次没参加课程则无法获得学分4平时表现B课后作业20%相关竞赛n大学生数学竞赛（非数学组）4,5月份组织校级数学竞赛，选拔优秀学生进行暑期培训，参加10月份的全国数学竞赛n数学建模（数学二室）9月份参加全国数学建模赛绪论n高等数学发展简史n微积分的基本思想和方法n学习方法初等数学时期（公元前3世纪17世纪）n初等数学的主要研究对象：n匀速的运动（速度不变）；n

2、匀加速运动（速度均匀变化）；n直边图形（不弯曲）；n 圆弧形图形（均匀弯曲）；1. 有限次四则运算。x yOy=x21xi微积分的基本思想和方法tsv 速度问题 面积问题l瞬时速度l曲边图形的面积一一、高等数学与初等数学的 初等数学研究的常量与固定图形，即常量数学区别 思维.它的方法是孤立 的静止的，属形式逻辑。 高等数学 研究变量和变化的图形，即变量数学。它的方法是运运动动 的联系联系的，辩证辩证的，属辩证逻辑。 二、微积分历史简介简介： 我们即将学习的高等数学高等数学，它的主要内容是微积分微积分。研究函数的一门学科，它产生于十六.七世纪，主要是为解决当时 而创立的。个问题个问题 求物体在任

3、意时刻的瞬时速度、加速度。 求曲线在一点的切线（光线穿过凸透镜 的一系列问题） 求最大值、最小值（炮弹的最大射程、行星 离开太阳的最远、最近距离等） 求面积、体积、物体的重心等 这四个问题引起了当时大多数科学家的注意，他们在研究这些问题的过程中所产生的数学思想、方法就是微积分的萌芽。微积分问题至少被十七世纪十几个大数学家和几十个小的数学家探索过，位于他们全部贡献的顶峰是牛顿、莱布尼兹。牛顿牛顿 牛顿对微积分的研究偏重物理方向。 伟大英国数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。 莱布尼兹是哲学博士、 外交官、法学家、历史学 家 、语言学家、地质学家 、逻辑学家。并在力学、光学、流体力学、气体力学

4、、航海学、计算机方面也做了重要工作。莱布尼兹对微积分的研究偏重于哲学方向。莱布尼兹有人说: 牛顿牛顿和莱布尼兹是微积分的创始人，实际上这样说是不准确的。因为在数学和科学的巨大进展中，几乎总是建立在几百年中作出过一点一滴贡献的许多人的工作之上，需要有一个人走那最高和最后的一步。这个人要能够敏锐地从这些纷乱的猜测和说明中清理出前人有价值的想法，有足够的想象力把这些碎片重新组织起来，这个人就是牛顿。 历史上曾有过牛顿莱布尼茨学派之争达一百年之久，互相指责剽窃了对方，后经调查证实：他们两人对微积分的研究都是独立的。牛顿早一些，但他并没有把研究成果即时公布于世，以致误会。牛顿创立了许多方法，是经验的、具

5、体的、谨慎的； 而莱布尼兹富于想象，是大胆的，喜欢推广，关心符号、法则、公式广泛意义下的微积分。侧重点不同，但可以互补。 十七世纪的微积分是不严密的。他们都满足于计算，只要结果有用就行，包括都没有把微积分的基本概念弄清楚，更不用说精确了。他们不能正确解释这些概念，而是依靠成果的彼此一致和方法的多产，没有严密地向前推进。十八世纪也是糊里糊涂十八世纪也是糊里糊涂。 十九世纪以后，由于数学自身的发展，才有一些数学家作了这方面的工作，以至成了现在的有严谨理论体系的微积分。教学内容决定教学方法，因此我们有意识地在教材的处理上做一些尝试，准备多种教法并用。n名称：高等数学n总课时：6课时/周；n内容：一元

6、、多元函数微分学、积分学；矢量代数、空间解析几何；无穷级数；微分方程高等数学（上册）各章的知识结构和联系极限与连续函数导数与微分导数的应用不定积分定积分及 其应用常微方程目的n掌握高等数学的基本知识，基本理论，基本计算方法，提高数学素养。n培养抽象思维和逻辑推理的能力、辩证的思想方法。n培养空间想象能力。n培养分析问题和解决问题的能力。n为学生进一步学习数学打下一定的基础，为学习专业的后继课程准备必要的数学基础。 学习方法n 课前课前课堂课堂课后课后n华罗庚讲：学习数学，若不做习题，如入宝山而空返。第一章 函数与极限1.1 映射与函数)(:xfxBAf， 一、一、设设A、B是两个非空集合，如果

7、按照某种对应法是两个非空集合，如果按照某种对应法则则f，对于，对于A中的中的一个元素一个元素x，在，在B中中有且仅有且仅有有一个元素一个元素y和和x对应，则称对应，则称f是是，记作：记作：其中，其中，y，记作，记作 f(x) ，即，即 ,fDfR：1.A,B是有顺序的，是有顺序的， 与与 是是不同不同的；的； BAf:ABf:2.A中每个元素在中每个元素在B中必有唯一的象；中必有唯一的象；3.A中元素中元素不能有剩余不能有剩余，B中元素中元素可有剩余可有剩余；4.A中元素与中元素与B中元素可以是中元素可以是“一对一一对一”，“多对多对 一一”，但，但不能不能“一对多一对多”；：1.A,B是有顺

8、序的，是有顺序的， 与与 是是不同不同的；的； BAf:ABf:2.A中每个元素在中每个元素在B中必有唯一的象；中必有唯一的象；3.A中元素中元素不能有剩余不能有剩余，B中元素中元素可有剩余可有剩余；4.A中元素与中元素与B中元素可以是中元素可以是“一对一一对一”，“多对多对 一一”，但，但不能不能“一对多一对多”；- 26 -映射的两个基本要素：定义域与对应法则映射的两个基本要素：定义域与对应法则设设:,fAB如果如果,fRB 则称则称f是一个是一个满映射满映射，如果对如果对A中的任意两个不同元素中的任意两个不同元素12,xx 有有12()()f xf x 则称则称f是一个是一个单射单射，

9、如果一个映射既是满射，又是单射如果一个映射既是满射，又是单射则称则称f是个是个一一映射一一映射. .如果如果f是个一一映射，则对每个是个一一映射，则对每个,yB 有唯一的一有唯一的一个个,xA 适合适合( ),f xy 规定规定( ),g yx 则则g就是就是B到到A上的一个映射，称为上的一个映射，称为f的的逆映射逆映射，记为，记为1:fBA - 27 -其定义域其定义域1,ffDRB 值域值域1.ffRDA 此时也此时也称称f是是可逆映射可逆映射. .11()ff 设设:,:,fAB g BC则对每个则对每个,xA 对应唯一对应唯一的一个的一个( ),yf xB 从而对应唯一的一个从而对应唯

10、一的一个( ),zg yC 这样就确定了一个从集合这样就确定了一个从集合A到集合到集合C的映射的映射, , 这个映这个映射称为射称为f和和g所确定的所确定的复合映射复合映射, ,记为记为,gf 即即:gfAC ()( )( ( ),gfxg f xxA 任意两个映射任意两个映射, ,f g则则gf 当且仅当当且仅当.fgRD ：All，任意一个，或任意，所有；，任意一个，或任意，所有；：Exist，存在，能找到。，存在，能找到。)(:xfxBAf， 二、二、设设f为集合为集合A到集合到集合B的映射，即的映射，即 按照映射按照映射f,都有唯一的都有唯一的 ，如果，如果B为数集，则称映射为数集，则

11、称映射f为为函数，记为函数，记为,Ax yB 值域：值域：Rf=f(X)=y | y=f(x)，xD。定义域：定义域： 在数学中，有时不考虑函数的实际意义，而抽象地研究用算式表达的函数。这时约定函数的定义域就是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值。函数值：函数值： 当 x取数值 x0D时，与 x0对应的 y的数值称为函数 yf(x)在点 x0处的函数值，记为 f(x0)。 对应规律对应规律f的表示方法:解析法、图象法、列表法函数的两要素函数的两要素n函数是从实数集到实数集的映射, 其值域总在R内, 因此构成函数的要素是定义域定义域D及及对应法则对应法则f . n如果两个函数的定义域相同如果两

12、个函数的定义域相同, 对应法则也相对应法则也相同同, 那么这两个函数就是相同的那么这两个函数就是相同的, 否则就是否则就是不同的不同的. 注意n确定值域：根据定义域和对应法则n确定定义域： 1. 有实际意义的：根据实际问题有意义来确定 2. 无实际意义的：自变量所能取得的使y=f(x)成立的一切数值例4.函数函数y=x称为取整函数。称为取整函数。 函数的定义域为函数的定义域为D ( , + )， 函数的值域为函数的值域为W Z-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 xy54321-1-2-3-4-5 yx 函数的定义域为D(, +)。 函数的值域为W1, 0, 1。 O xy21

13、-1-2y = sgn x 1, 当x0 0, 当x01, 当x1 y=( )x1ay=axxyO常用的指数函数为 y=ex.3指数函数指数函数 函数 y=ax (a是常数，且a0，a 1)叫做指数函数指数函数的定义域：D=（ ，+ ） 单调性： 若a1，则指数函数单调增加； 若0a1y=axxyOy=logax4对数函数对数函数 指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a 1) 对数函数的定义域是区间(0，+ ) 自然对数函数：y=ln x=loge x.常用的三角函数有常用的三角函数有：正弦函数：正弦函数： y=sin x1-1y=cos x余弦函数： y=cos

14、x1-1y=sin xyxOxyO5三角函数三角函数正切函数：正切函数： y=tan x 余切函数： y=cot xxyOpp p 2 p 2xyOpp p 2 p 2y=tan xy=cot x正割、余割函数的性质：是以2p为周期的函数，在区间(0, )正割函数：p2余割函数：内是无界函数 y sec x 。1cos x1sin x y csc x 。 反正弦函数的主值： y=arcsin x，x ， .反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数. p 2p2反正弦函数： y=arcsin x， 定义域为-1，1.反余弦函数： y=arcco

15、s x 定义域为-1，1 反余弦函数的主值： y=arccos x，x(0，p)-11yxO p 2p2y=arcsin xy=arcsin xyxOp-11y=arccos xy=arccos x6反三角函数反三角函数反正切函数的主值： y=arctan x，反正切函数： y=arctan x,定义域为(- ， ).Oxy p 2p2y=arctan x p 2p2 其值域规定为( ， )反余切函数的主值： y=arccot x，其值域规定为(0，p)反余切函数： y=arccot x，定义域为(- ， +).y=arccot xOxyp- 45 - 常数函数常数函数, ,幂函数幂函数, ,

16、指数函数指数函数, ,对数函数对数函数, ,三角函数三角函数和反三角函数统称为和反三角函数统称为基本初等函数基本初等函数. .arccotyx 反反余余切切函函数数xycot arc 常量与变量用什么符号不是绝对的，但应尊重数 学的习惯。 还有一些量在过程中是变化着的，也就是可以取 不同的数值，这种量叫做变量。常用字母为x，y，z， u，v，w，s，t 等。 在观察自然现象或技术过程时，常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化始终只取同一数值，这种量叫做常量。常用字母为 a，b，c，d，e，h，i，k，l，m，n等。常量与变量区间和邻域n几个数集几个数集: N表示所有自然数构成的集合,

17、 称为自然数集自然数集. N0, 1, 2, , n, . N1, 2, , n, . R表示所有实数构成的集合, 称为实数集实数集. Z表示所有整数构成的集合, 称为整数集整数集. Z , n, , 2, 1, 0, 1, 2, , n, . Q表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集有理数集. 有限区间有限区间: 设ab, 称数集x|axb为开区间开区间, 记为(a, b), 即 (a, b)x|axb. 类似地有 a, b x | a xb 称为闭区间闭区间, a, b) x | axb 、(a, b x | axb 称为半开区间半开区间. 其中a和b称为区间(a, b)、a, b、a,

18、 b)、(a, b的端点端点, ba称为区区间的长度间的长度. 无限区间无限区间: a, ) x | ax , (, b x | x b , (, )x | | x | 0，则称区间，则称区间(a , a )为点为点a 的的 邻域邻域，记作，记作U(a, )，即，即 U(a, ) x|a xa x| |x a| 。其中点其中点 a 称为称为邻域的中心邻域的中心, 称为称为邻域的半径邻域的半径。xOaa+去心邻域去心邻域: (a,) x |0| xa |M。Oxyy=f(x)y= My= M函数的有界性举例：例1. f(x) sin x在(, +)上是有界的： 即| sin x | 1。-11y

19、xO-2p pp 2py=sin x112xy例2. 有界函数的图形特点有界函数的图形特点： 函数y f(x)的图形在直线y M和y M的之间。 如果存在数 M0，使对任一 xX，有 | f(x) | M，则称函数函数f(x)在在X上有界上有界； 如果这样的M不存在，则称函数f(x)在X上是无界函上是无界函数数，就是说对任何M（无论M多么大），总存在 x1X，使|f(x)|M。Oxyy=f(x)y= My= M函数的有界性举例：例1. f(x) sin x在(, +)上是有界的： 即| sin x | 1。-11yxO-2p pp 2py=sin x112xy例2. Oxy1 2y=1/x 函

20、数f(x)1/x在开区间(0,1)内是无界的。无界函数举例： 函数f(x) 1/x在(0, 1)内有下界，无上界。 这是因为，任取M1，总有0 x1=(2M) 1M，所以函数无上界。 但此函数在(1, 2)内是有 界的。注意：若函数f(x)在区间I上有界函数f(x)在区间I上既有上界，又有下界定理1，设f(x),g(x)均为A上的有界函数，则f(x) g(x),f(x)g(x)也为A上的有界函数题型：函数的有界性解题思路n定义法：利用定义，对函数取绝对值，再对不等式进行缩放。n利用极限（后面章节讲）n利用闭区间上连续函数的有界性（后面章节讲）n利用导数（后面章节讲）n例如：判断 在定义域(-,

21、+)内的有界性11)(42xxxf2. 函数的单调性函数的单调性 设函数y f(x)在区间A上有定义。如果对于区间 A 上任意两点x1及x2，当x1 x2时，恒有f(x1) f(x2)(或者f(x1) f(x2)，则称函数f(x)在A上单调递增（或单调递减）。如果将上述不等式改为f(x1) f(x2),则称函数f(x)在区间A上是严格增加(或严格递减)。x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x) 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数。x1x2f(x2)f(x1)OxyI y=f(x)函数单调性举例ny=arcsinx ,y= arccosx ny=x,f(x)=sgnx题型：判别函数

22、的单调性n利用定义n利用导数法（后面章节讲述） 设函数f(x)的定义域D关于原点对称(或称函数在关于原点对称的区间上)。如果对于任意的xD，有f(x) f(x)，则称f(x)为偶函数。3. 函数的奇偶性Oxy-xxf(-x)f(x)yf(x)偶函数举例： yx2， ycos x都是偶函数 偶函数的图形关于y轴对称。奇偶函数举例： yx3， ysin x都是奇函数。101x -22y3xy 如果对于任意的xD，有 f(x)f(x)，则称f(x)为奇函数。奇函数的图形关于原点对称。ch8定理2 (1)两个奇函数之和为奇函数，两个偶函数之和为偶函数(2)两个奇函数或两个偶函数之积为偶函数(3)奇函数

23、与偶函数之积为奇函数说明: 给定 ),(),(llxxf则 2)()(2)()()(xfxfxfxfxf偶函数偶函数 奇函数奇函数 函数奇偶性的判别n利用定义n利用奇偶函数的运算性质：1.奇函数的代数和，2.偶函数的代数和.；3.偶函数之积.；4.奇函数和偶函数之积；5.f(x)+f(-x); f(x)-f(-x); f(x)+f(-x)=0时，f(x)是函数。n函数的奇偶性是相对于对称区间而言，否则n例如)1lg()(2xxxf 设函数设函数f(x)的定义域为的定义域为A。如果存在一个不为零的数。如果存在一个不为零的数 T ，使得对于任一使得对于任一x D有有(x T) A，且，且 f(x+

24、T) f(x)，则称，则称f(x)为周为周期函数，期函数，T称为称为f(x)的周期。的周期。 若若T是是f(x)的周期，则的周期，则nT(n=1,2,3,)都是都是f(x)的周期。的周期。最小的周期成为函数的周期最小的周期成为函数的周期 周期函数的图形特点周期函数的图形特点： yxOl2l-2l-ly=f(x)4. 函数的周期性函数的周期性ch81.3 函数的运算ch81，函数的四则运算定义1 设两个函数f 与g 的定义域分别为Df， Dg,且, Df Dg ，则函数f与g的和f+g,差f-g、积fg,商f/g分别定于为(f+g)(x)=f(x)+g(x) (x Df Dg )(f-g)(x)

25、=f(x)-g(x) (x Df Dg )(fg)(x)=f(x)g(x) (x Df Dg )(f/g)(x)=f(x)/g(x) (x DfDg- x|g(x)=0 )- 71 -sh2xxeex 双双曲曲正正弦弦xych xysh ),(: D奇函数奇函数. .ch2xxeex 双曲余弦双曲余弦),(: D偶函数偶函数. .xey21 xey 21- 72 -shthchxxxxxeexxee 双双曲曲正正切切奇函数奇函数, ,),(: D有界函数有界函数, ,chcthshxxxxxeexxee 双双曲曲余余切切- 73 -双曲函数常用公式双曲函数常用公式sh()sh chch sh;

26、xyxyxy ch()ch chsh sh;xyxyxy 22chsh1 ;xx sh22sh ch;xxx 22ch2chsh.xxx 21 x 对于任一 x 1，1，先计算 u=1x2，然后再计算 y= ，这就是说函数 y= 的对应法则是由函数u=1x2和y= 所决定的，我们称函数 y= 是由函数u=1x2和y= 复合而成的复合函数，变量 u称为中间变量u例例 函数 y= 表示 y是 x的函数，它的定义域为 1，1设 u=1x2，则函数 y= 的值可以按如下方法计算：21 xu21 xu2复合函数复合函数21 xD1D2u=j(x)y =f(u)y =f j(x) 一般地，设函数y =f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)在数集D2上有定义，如果 u | u= j(x)， xD2 D1则对于任一 xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数 y =f(u)和u=j(x)复合而成的